下载文档原格式
高中数学函数的定义域及值域1500字函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。
在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。
为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。
函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。
首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。
1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。
2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。
幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。
例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。
3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。
4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。
除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。
例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。
在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。
函数的定义域、值域教学讲义1．函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)求函数定义域的主要依据 ①整式函数的定义域为R . ②分式函数中分母__不等于0__.③偶次根式函数被开方式__大于或等于0__. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为__{x |x ≠0}__. ⑥指数函数的定义域为 R . ⑦对数函数的定义域为__(0，＋∞)__. 2．函数的值域 基本初等函数的值域：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 {y |y ≥4ac －b 24a} ；当a <0时，值域为 {y |y ≤4ac －b 24a} .(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是__{y |y ≠0}__.(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是__(0，＋∞)__. (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R .1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的__并集__.3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．1．(教材改编)函数y ＝11＋x －1的定义域是( C ) A ．{x |x ≠0}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠0且x ≠－1}D ．{x |x ≠0或x ≠－1}2．f (x )＝x 2＋x ＋1在[－1,1]上的值域为( C ) A ．[1,3] B ．[34，1]C ．[34，3]D ．[34，＋∞)[解析] ∵f (x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12，∴f (x )min ＝f (－12)＝34，又f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f (x )∈[34，3]．3．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为43.[解析] f (x )＝2x －1在[－2,0]上为减函数f (x )max ＝f (－2)＝－23，f (x )min ＝f (0)＝－2，f (x )max －f (x )min ＝－23－(－2)＝43.4．(2018·湖南邵阳期末)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f (x2)的定义域为( B )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)[解析] ∵函数f (x )＝log(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x 2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f (x2)的定义域为(2,4]．故选B ．5．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是__[1，＋∞)__；y ＝x 4－x 2＋1的值域是 [34，＋∞) .6．函数y ＝log 0.3(x 2＋4x ＋5)的值域为__(－∞，0]__. [解析] 设u ＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1≥1， ∴log 0.3u ≤0，即y ≤0，∴y ∈(－∞，0]．考点1 求函数的定义域——多维探究角度1 具体函数的定义域例1 (1)(2018·江苏，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为__[2，＋∞)__. (2)(2018·河北邯郸调研)函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( C )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．(－1，－12)∪(－12，1)D ．[－1，－12)∪(－12，1][解析] (1)本题考查函数定义域的求法及对数函数． 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1， ∴x ≥2.∴函数的定义域为[2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12，所以函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为{x |－1<x <1，且x ≠－12}．角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为(－1，－12)．[引申](理)(1)若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？(2)若将本例条件中f (x )改为f (2x )，结果如何？[解析] (1)f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (2x )的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴12<2x <1.由12<2x ＋1<1得－14<x <0，∴f (2x ＋1)的定义域为(－14，0)．名师点拨 ☞函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕 (1)(角度1)函数y ＝1log 12(2－x )＋12x －3的定义域为 (1，32)∪(32，2) .(2)(2018·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是(－1,1).[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧log 12(2－x )>0，2x －3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－x <1，x ≠32⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x ≠32.∴定义域为(1，32)∪(32，2)．(2)要使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－4<x <1，∴－1<x <1，故函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为(－1,1)．考点2 求函数的值域——师生共研例3 (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x . (5)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1,1]． 解法二：反解法： 由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y.∵|x |≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域(－1,1]．(2)配方法：y ＝－2(x －14)2＋258，∴0≤y ≤524，∴值域为[0，524]．(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵|x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2|x |·|1x|＝2， ∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2.得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法三：导数法(单调性法) 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y ≥3； 函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法 设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t 22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，∴y ∈(－∞，12]．即函数的值域为(－∞，12]．解法二：单调性法∵1－2x ≥0，∴x ≤12，∴定义域为(－∞，12]．又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在(－∞，12)上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴y ∈(－∞，12]．(5)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以函数值域为[3，＋∞)． 解法二：数形结合法：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1(x <－1)，3(－1≤x ≤2)，2x －1(x >2).画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 ☞求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数；如例3(1)；(2)反解法：形如y ＝cf (x )＋daf (x )＋b (a ≠0，f (x )值域易求)的函数；如例3(1)；(3)配方法：形如g ＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数；如例3(2)； (4)不等式法；(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域； (6)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (c ≠0)的函数；如例3(4)；(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(5)； (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域． (1)y ＝(14)x 2－2x ；(2)y ＝2x ＋1＋x ； (3)(文)y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)．(理)y ＝x －1x 2＋x ＋2(x >1)．[解析] (1)令x 2－2x ＝t ，∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴t ≥－1，又y ＝(14)t 在[－1，＋∞)上单调递减，∴0<y ≤(14)－1＝4，∴0<y ≤4.∴函数f (x )＝(14)x 2－2x 的值域为(0,4]．(2)解法一：单调性法：定义域为{x |x ≥－1}，函数y ＝2x ，y ＝1＋x 均在[－1，＋∞)上递增，故y ≥2×(－1)＋1＋(－1)＝－2. 解法二：换元法： 令1＋x ＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2－1.∴y ＝2t 2＋t －2＝2(t ＋14)2－178≥－2(t ≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． (3)(文)换元法： 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当“t ＝6t ”时等号成立．即t ＝6时，取最小值26＋4.∴函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为[26＋4，＋∞)．(理)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1(t >0) ∴y ＝t (t ＋1)2＋t ＋3＝t t 2＋3t ＋4＝1t ＋4t ＋3∵t ＋4t ≥4(t ＝2时取等号)∴t ＋4t ＋3≥7，∴0<y ≤17∴函数y ＝x －1x 2＋x ＋2的值域为(0，17]．。
课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。
（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。
