人教版数学必修四达标练习：两角和与差的正弦余弦正切公式

课时作业(三十二)1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32答案 B解析 1－2sin 222.5°＝cos45°＝22. 2．求11－tan22.5°－11＋tan22.5°的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.22答案 B解析 原式＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1.3．若sin θ2＝35，cos θ2＝－45，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 cos θ＝2cos 2θ2－1＝2⎝⎛⎭⎫－452－1＝725>0，sin θ＝2sin θ2·cos θ2＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425<0， ∴θ在第四象限．4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α等于( )A.179B ．±179C ．－179D.173答案 A解析 将cos α＋sin α＝－13平方整理得2sin α·cos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0.∴cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1－2sin αcos α＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(－13)×(－173)＝179.5.1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．2sin5° D ．－2sin5°答案 D 解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.6．已知等腰三角形底角的余弦为23，则顶角的正弦值是( )A.259B.459C ．－459D ．－259答案 B解析 ∵sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝2×1－（23）2×23＝459.7．若cos2αsin （α－π4）＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72答案 C解析 原式＝cos 2α－sin 2α－22（cos α－sin α）＝－22，化简得sin α＋cos α＝12.8．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sinA ＋cosA 的值为( )A.153B ．－153C.53 D ．－53答案 A解析 方法一 ∵sin2A ＝2sinAcosA ＝23，∴1＋2sinAcosA ＝53，即sin 2A ＋2sinAcosA ＋cos 2A ＝53.∴|sinA ＋cosA|＝153.又∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA ＝153，故选A. 方法二 ∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA>0.∴B 、D 不合题意． 若sinA ＋cosA ＝153，则(sinA ＋cosA)2＝53＝1＋2sinAcosA ＝1＋sin2A. ∴sin2A ＝23，满足题意，故选A.9．若sinxtanx<0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cosx B ．－2cosx C.2sinx D ．－2sinx答案 B解析 ∵sinx ·tanx<0，即sin 2xcosx <0，∴cosx<0.又1＋cos2x ＝1＋2cos 2x －1＝2cos 2x ＝－2cosx.10．函数f(x)＝sin 2x ＋3sinxcosx 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋ 3答案 C解析 f(x)＝sin 2x ＋3sinxcosx ＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin(2x －π6)＋12，x ∈[π4，π2]，∴2x －π6∈[π3，5π6]．∴f(x)的最大值为32. 11．(高考真题·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A.15B.14C.13D.12答案 D解析 ∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.12．已知sin(π4－x)＝35，则sin2x 的值为________．答案725解析 sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝1－2sin 2(π4－x)＝725.13．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝26(0<θ<π2)，则sin2θ＝________．答案73解析 cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝cos[π2－(π4＋θ)]cos(π4＋θ)＝sin(π4＋θ)cos(π4＋θ)＝12sin[2(π4＋θ)]＝12sin(π2＋2θ)＝12cos2θ＝26，∴cos2θ＝23，∴sin2θ＝±1－cos 22θ＝±73. 又∵0<θ<π2，∴0<2θ<π，∴sin2θ＝73.14．在△ABC 中，cos(π4＋A)＝513，求cos2A 的值．解析 在△ABC 中，cos(π4＋A)＝513>0.∴sin(π4＋A)＝1－cos 2（π4＋A ）＝1213.∴cos2A ＝sin(π2＋2A)＝sin2(π4＋A)＝2sin (π4＋A)·cos(π4＋A)＝2×1213×513＝120169.15．已知tan(π4＋α)＝13，(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解析 (1)方法一：∵tan(π4＋α)＝13，∴tan α＝tan[(π4＋α)－π4]＝tan （π4＋α）－tanπ41＋tan （π4＋α）·tanπ4＝13－11＋13＝－12.方法二：∵tan(π4＋α)＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)方法一：原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－12－12＝－1.方法二：sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.原式＝sin2α1＋cos2α－12＝2tan α1＋tan 2α1＋1－tan 2α1＋tan 2α－12＝tan α－12＝－12－12＝－1. ►重点班·选做题16．(高考真题·山东卷)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34，选D.17．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sinx 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．解析 (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos 2（x －π4）＝7210，则sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈(π2，3π4)故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－（45）2＝－35，sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.1．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β. 解析 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－（17）2＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－（43）2＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－（1314）2＝3314.则β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 2．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解析 (1)方法一 b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， ∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.方法二 ∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2，0)，即|b ＋c |＝2，∴向量b ＋c 的长度的最大值为2. (2)方法一 由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.方法二 若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)，得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β.平方后化简得cos β(cos β－1)＝0.解得cos β＝0或cos β＝1经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 3．(2012·广东)已知函数f(x)＝Acos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f(π3)＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(4α＋43π)＝－3017，f(4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．解析 (1)由f(π3)＝2，得Acos(π12＋π6)＝2，。

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两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ )A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ）A ．21B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 ( ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81 D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ )A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ )A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是( )A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ )A ．412--a a B ．－412--a a C ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ )A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是( ）A ．41B ．23 C ．21 D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= 。

两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。

20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。

3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一 两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？答案 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答案 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )． 知识点二 两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β). (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．思考1 直接写出下列式子的结果：(1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝ ； (2)tan 75°＝ ；(3)1－tan 15°1＋tan 15°＝ . 答案 (1)1 (2)2＋3 (3)33思考2 求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.解 方法一 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.方法二 ∵tan 20°tan 40°＝1－tan 20°＋tan 40°tan (20°＋40°)＝1－13(tan 20°＋tan 40°)， ∴原式＝tan 20°＋tan 40°＋3－(tan 20°＋tan 40°)＝ 3.题型一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.题型二 给值求值(角)例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.跟踪训练2 已知sin α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为() A ．－ 3 B. 3 C ．－33 D.33答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33. tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝－3＋331＋(－3)·(－33)＝－33.题型三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．跟踪训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C .即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .忽视条件中隐含的角的范围而致错例4 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．错解 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得： ⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ② ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1. ∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π. 错因分析 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6tan αtan β＝7易知 tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3 2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ . 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ .5．已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求： (1)tan(α＋β－π4)； (2)tan(α＋β)．一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1)6．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题7.1＋tan 75°1－tan 75°＝ . 8．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为 ． 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ . 三、解答题11．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．12．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．当堂检测答案1．答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 2．答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 4．答案 17解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17. 5．解 (1)∵(π12＋α)＋(β－π3)＝α＋β－π4， ∴tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)] ＝tan (π12＋α)＋tan (β－π3)1－tan (π12＋α)tan (β－π3) ＝2＋221－2×22＝321－4＝－ 2.(2)∵α＋β＝(α＋β－π4)＋π4， ∴tan(α＋β)＝tan (α＋β－π4)＋tan π41－tan (α＋β－π4)tan π4＝－2＋11＋2＝－(2－1)2＝22－3.课时精练答案一、选择题1．答案 A2．答案 C3．答案 C4．答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13， ∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， ∴C 为钝角．5．答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3， ∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )． 6．答案 A解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 二、填空题7.答案 － 3解析 原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.8．答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.9．答案 23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 10．答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 三、解答题11．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.12．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34. ∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.13．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

课后集训基础达标1.已知α、β为锐角，且cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，那么cosα的值是（ ） A.6556 B.-6556 C.259 D.-259 解析：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，π23）.又cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，∴sin （α+β）=135，sin （2α+β）=54，cosα=cos ［（2α+β）-（α+β）］=cos （2α+β）cos （α+β）+sin （2α+β）sin （α+β）=1312×53+135×54=6556.∴选A. 答案：A 2.当-2π≤x≤2π时，函数f （x ）=sinx+3cosx 的（ ） A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-21C.最大值是2，最小值是-21D.最大值是2，最小值是-1 解析：f （x ）=sinx+3cosx=2（21sinx+23cosx ）=2sin （x+3π）. ∵-2π≤x≤2π，∴-6π≤x+3π≤65π.从而-1≤2sin （x+3π）≤2.∴选D. 答案：D3.若（4tanα+1）（1-4tanβ）=17，tanαtanβ≠-1,则tan （α-β）的值为（ ） A.41 B.21C.4D.12 解析：∵（4tanα+1）（1-4tanβ）=17， tanαtanβ≠-1，∴4tanα-4tanβ=16+16tanαtanβ. ∴βαβαtan tan 1tan tan +-=4=tan （α-β）.∴选C. 答案：C4.在△ABC 中，若2cosB·sinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 解析：sinC=sin ［π-（A+B ）］=sin （A+B ）， ∴2cosB·sinA=sin （A+B ）. ∴可得sinAcosB-cosAsinB=0， 即sin （A-B ）=0，A=B.∴三角形为等腰三角形，故选答案C. 答案：C 5.sin15°sin75°的值是_________________. 解析：原式=sin （45°-30°）sin （45°+30°） =（sin45°cos30°-cos45°sin30°）（sin45°cos30°+cos45°sin30°） =（4246-）×（4246+）=41. 答案：416.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为_________________.解析：原式=.1cos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin =⨯=︒+︒-︒+︒ααααααα答案：1综合运用7.a=sin12°+cos12°与b=2sin56°的大小关系是（ ）A.a=bB.a ＜bC.a ＞bD.a≤b 解析：化简a=2sin （12°+45°）=2sin57°，∴a ＞b. 答案：C8.在△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 等于（ ） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.6516- 解析：cosC=cos ［π-（A+B ）］=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB.因为cosA=135，所以A 必为锐角，所以sinA=1312.因为sinB=53，若B 为钝角，则π43＜B ＜π65，3π＜A ＜2π，所以13[]12π＜A+B ＜34π，所以B 不可能为钝角，故B 必为锐角.所以cosB=54，则cosC=-135·54+1312·53=6516. 答案：A 9.如下图，△ABC 中，∠BAC=45°，BC 边上的高AD 将BC 分成2 cm 和3 cm 两段，求△ABC 的面积.解：设∠BAD=α，∠CAD=β，AD=x.在Rt △ADB 中，tanα=x AD BD 2=. 在Rt △ADC 中，tanβ=xAD DC 3=.tan45°=,132132tan tan 1tan tan =•-+=•-+xx x x βαβα 即652-x x =1. 解这个方程，得x=6或x=-1（舍）， 故S △ABC =21×5×6=15（cm 2）. 拓展探究10.（探究题）是否存在锐角α、β，使α+2β=π32①，tan 2α·tanβ=（2-3）②同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角α，β，则由①式得tan （2α+β）=3tan 2tan1tan 2tan=•-+βαβα③.将②式代入③得tan2α+tanβ=3-3.所以tan 2α，tanβ是方程x 2-（3-3）x+（2-3）=0的两个根.解得x 1=1，x 2=2-3.又0＜2α＜4π，所以tan 2α≠1.所以tan 2α=2-3，tanβ=1，tanα=tan （2α+2α）·.33)32(1)32(22tan12tan222=---⨯=-αα 所以α=6π，β=4π.所以存在α=6π，β=4π使①②式同时成立.备选习题11.已知tanα、tanβ是一元二次方程x 2+33x+4=0的两个根，α，β∈（-2π，2π），求α+β. 解：易知tan （α+β）=3， ∵α，β∈（-2π，2π），又∵tanα+tanβ=-33＜0，tanα·tanβ=4＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0. ∴α∈（-2π，0），β∈（-2π，0）. ∴α+β∈（-π，0）. ∴α+β=-π32. 12.已知sin （2α+β）+2sinβ=0，求证： tanα=3tan （α+β）.证明：由条件得：sin ［（α+β）+α］+2sin ［（α+β）-α］=0，∴sin （α+β）·cosα+cos （α+β）·sinα+2sin （α+β）·cosα-2cos （α+β）·sinα=0. ∴sinα·cos （α+β）=3cosα·sin （α+β）. ∴)cos()sin(3cos sin βαβααα++=. 即：tanα=3tan （α+β）.13.求证：tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan （α-β）tan2β. 证明：由角之间的关系观察到2β=（α+β）-（α-β），所证等式可由tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］变形而得到.∵tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］ =,)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-++--+∴tan2β［1+tan （α+β）·tan （α-β）］=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan2β+tan （α+β）tan （α-β）tan2β=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan （α-β）tan2β.14.tanα，tanβ是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan （α+β）的取值范围.解析：因为tanα、tanβ是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有Δ=（2a+1）2-4a （a+2）≥0且a≠0.解得a≤41且a≠0, ∴a 的取值范围是（-∞，0）∪（0，41］. 由根与系数关系知tanα+tanβ=a a 12+，tanα·tanβ=aa 2+. 于是tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=,212122112--=-+=+-+a a aa a a 由于-a-21≥-41-21=43-.且-a-21≠-21，∴tan （α+β）的取值范围是［43-，-21）∪（-21，+∞）.15.已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+的值. 解：∵sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=21， sin （α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=31， ∴两式相加得sinαcosβ=125，两式相减得c osαsinβ=121. ∴βαβαsin cos cos sin =5，即βαtan tan =5.∴)tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(22βαββαβαβαβαββαβα+-+-+=+--+ βαββαtan tan tan tan tan 2===5.。

两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S ________________；2:tan 2T ________________。

2:cos 2C ________________=________________=________________；四．【基础题达标】 1．12cos312sinππ-=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80° =4．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=5.313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12cos312sinππ-=7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若51cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =x x 且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=11．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-αα2cos 2sin 113．50tan 10tan 350tan 10tan ++=14．化简：15tan 115tan 1-+=15．已知cos （6πα-）+sin α76)πα+的值是考点一： 运用公式求值、求角问题【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－35，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练1】已知βα,是锐角且1010sin ,55sin ==βα，求βα+【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．考点二： 公式的变形应用【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。