2013年6月数值分析

淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121姓名：姚婷婷学号：1124104129成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。

数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。

正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。

2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()()**********************2**x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x y y x x y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。

此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。

例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x * =3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2012年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1.设T x )3,4,2(-=,则 2x 29= (1分) ∞x4= (1分).2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确（2分）.3.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ(2分).4. 设()1537++=x x x f ，则差商0]2,,2,2,2[821= f （2分）.5. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分) .6.矩阵范数),2,1(||||∞=p A p 与谱半径)(A ρ有一个不等式关系，表现为p A A ||||)(≤ρ（2分）.7.将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231264A 进行LU 分解(即Doolittle 分解),则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1301L (2分);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5064U (2分).二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解： +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）三、（10分）给定函数表84.087.090.092.094.096.097.098.099.011/sin 19.08.07.06.05.04.03.02.01.00x x x 利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算dxx xI ⎰=10sin 的近似值. 解: 用复合辛甫生Simpson 公式,小区间数5=n , 步长2.0)00.1(51=-⨯=h)90.094.097.099.0(21[62.05+++⨯+=≈S I]84.0)87.092.096.098.01(4++++++ 9453.0= （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号四、（12分）设nn ij Ra A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵, 试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+635310121022121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T =,则b Ly =.计算步骤： (1) 将A 直接分解TLDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （4分）⎢⎣⎡102 ⎥⎦⎤5310⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,521=l ,21=d .32=d由b Ly =可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1501⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6312 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒31221y y 由y D x L T1-=得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=16 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （12分）五、(12分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为 ()x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=. （8分） ())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)0(max 2110--≤≤≤x x x 令 ),1()(-=x x x h 由0)(='x h ，求得一个驻点得211=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 41)}1(),(),0({max 110=≤≤h x h h x 所以有())()(11x L x y x R -=)(max 2110x h x ≤≤≤81= （12分）六、(10分) 在区间[0,2]上利用压缩映像原理验证迭代格式1012.k x k +==，，，的敛散性. 解：(1) 记x x +=2)(ϕ，则xx +='221)(ϕ.当]2,0[∈x 时,];2,0[]2,2[)]2(),0([)(⊂=∈ϕϕϕx (5分) (2) .1221)0(|)(|<='≤'ϕϕx 因此,对]2,0[0∈∀x ,迭代格式1012.k x k +==，，， 产生的序列∞=0}{k k x 收敛. (10分)线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（12分）已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比(Jacobi)迭代法公式； （2）证明当4>a 时，雅可比(Jacobi)迭代法收敛； （3）取5=a ,T x)101,51,101()0(=，求出)2(x . 解：（1）对.,3,2,1 =i 从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1n x x a x x x a x x x a x n n n n n n n n n （5分） （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛. （10分）（3）取5=a ，Tx )101,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x . 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x . （12分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++='0)0(10,122y x y x y , (1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(1.0),(0221==++⨯+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)2(21.0)1(1.002121221221=⎪⎩⎪⎨⎧+++++=++⨯+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n （10分）九、（8分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.解: 答案略.。

湖南省教育厅关于公布2013年度湖南省普通高等学校省级精品课程复核结果的通知文章属性•【制定机关】湖南省教育厅•【公布日期】2013.06.21•【字号】湘教通[2013]276号•【施行日期】2013.06.21•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】中等教育正文湖南省教育厅关于公布2013年度湖南省普通高等学校省级精品课程复核结果的通知（湘教通[2013]276号）各普通高等学校：根据我厅《关于2013年湖南省普通高等学校省级精品课程复核工作的通知》（湘教通〔2013〕89号）精神，我厅组织专家对2009年立项建设的省级精品课程、2012年度精品课程复核暂缓通过或申请延期复核的省级精品课程进行了复核。

现将有关情况通知如下：本次申请复核的课程共108门，其中，本科98门，专科5门，专科转本科复核的5门。

经专家复核评审，我厅同意，全省高校共有100门课程通过复核，继续保留省级精品课程荣誉。

其中，本科课程中有92门通过复核，6门暂缓通过；专科课程中有4门通过复核，1门取消；专科转本科复核评审的5门课程中，4门评审通过，转为本科精品课程建设，1门暂缓通过。

由于人员调离和退休等原因，8门课程更改课程主持人。

具体复核结果见附件。

本次复核后继续保留资格和专科转为本科建设的省级精品课程，我厅将继续予以资助建设，学校应按1：1的比例安排配套建设经费。

各高校要进一步加强精品课程的后续建设，着力为高校师生和社会学习者提供优质教学资源，积极促进现有省级精品课程逐步向精品资源共享课转型。

本次复核后暂缓通过的课程，各高校要针对课程复核中发现的问题，采取切实有效措施加强整改，全面提高课程建设质量，1年后再次复核，到期未参加复核的，不再受理复核申报。

为促进省内普通高校精品课程资源的共享，各高校应及时将课程建设过程中形成的各类教学资源上网，并在湖南省高等学校精品课程网（http：//）同步更新，充分发挥省级精品课程的示范和辐射作用。

数值分析课件2015xin王兵团-数值分析整理数值分析1. 数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化。

病态问题：因初始数据微小变化，导致计算结果剧烈变化的问题 良态问题：初始数据微小变化，只引起计算结果微小变化的计算问题。

数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有误差，而计算过程中产生的舍入误差不断增长。

例子2. 误差的来源：①模型误差：在数学建模时，由于忽略了某些次要因素而产生的误差；②观测误差：在采集原始数据时，由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；③截断误差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差；④舍入误差：计算机因数系不全，由接受和运算数据的舍入引起的误差。

科学计算中值得注意的地方：①避免两个相近的数相减；②合理安排量级相差很大的数之间的运算次序，防止大数吃小数；③避免绝对值很小的数做分母；④简化运算步骤，减少运算次数。

3. 用计算机做科学计算时的溢出错误。

机器数系是有限的离散集，机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M 和m ，若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m ，则计算机产生下溢错误。

上溢错误时，计算机中断程序处理；下溢错误时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。

4. 解非线性方程f x ()=0单根的牛顿法具有二阶收敛。

简单迭代法具有一阶收敛性。

当f 'x *()¹0且有2阶导数时，Newton 迭代法才有二阶敛速。

5. 对(n+1)个节点的Newton-cotes 求积公式，在n £7时，Cotes 系数大于0，而在n >7时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。

6. 当系数矩阵A 是严格对角占优矩阵，Jacobi 格式、Seidel 格式都收敛。

7. 用高斯消元法求解线性方程组，一般使用选主元的技术是因为要减少舍入误差。

8. 解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域内取初值，有初值限制。