微分几何期末1

1、等距变换一定是保角变换 （×）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量 （√）6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。

( √ )7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。

( × )8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。

( √ )9、LN-M 2不是内蕴量。

( × )10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。

( √ )11、曲线→r =→r (s)为一般螺线的充要条件为(r ,r ,....r )=0 （√）12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。

（√）13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。

（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。

（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。

（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。

( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ )18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×）21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。

( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。

( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

( √ )24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。

( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。

( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。

( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。

( ╳ )29、LN-M 2是内蕴量。

（ √ ） 30、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( ╳ )31、保角变换一定是等距变换 （⨯） 32、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. （⨯） 33、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. （√ ） 34、测地曲率是内蕴量 （√ ）35、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 36、曲面上曲率线网一定存在. ( √ )37、存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 ( × ) 38、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。

( × ) 39、曲面上的直线一定是测地线。

( √ )1、半径为R 的圆的曲率为1R .2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是F=0 ,3、坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是0F M ==.4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足E F G L M N ==_,5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是主方向方向.6、向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是,0r r ⋅=。

7、曲线r=r(t)的挠率是,,,,,,,,,2(,,)()r r r r r τ=⨯。

8、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件L=N=0。

9、直纹曲面的高斯曲率值满足0K ≤。

10、球面上的测地线是大圆。

11、曲线r =r (s)的曲率定义是..||r 。

12、空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_与一固定方向成定角__。

13、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是M=0。

14、坐标网是渐近线网的充要条件是 L=N=0 。

15、平面上的测地线一定是__直线__。

16、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_1_。

17、螺旋线{}t t t X ,sin ,cos = 在点（1,0,0）处的单位切向量是__}22220{，，__，法平面方程是__0=+z y __。

18、设Γ为曲面∑上曲线，点P 在Γ上，Γ在P 点的测地曲率为1，又∑在P 点沿Γ切方向的法曲率为2，则Γ在P 点的曲率为5 。

19、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 20III HII KI-+= 。

20、向量函数()r t 平行于固定平面的充要条件是21、曲率是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.22、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,抛物点,平点.23、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 24、曲面的第三基本形式是它的球面表示 的第一基本形式.25、若曲面∑和曲面}2,,{:1y x X =∑等距，则∑的高斯曲率K= 0 。

26、柱面X }),(),({v u G u F =的第一基本形式为22,2,2))()((dv du u G u F ++。

27、设Γ若曲面∑上的曲线，若Γ既是渐近线又是测地线，则Γ是 直线 。

又若曲面上的曲线Γ既是渐近线又是曲率线，则Γ是 平面曲线 。

28、曲面{}v u u uv u u v u X 2323,2,),(--= 在点A （1，3，4）的切平面方程是07236=--+z y x 。

29、曲面上曲线的弧长是____等距___不变量。

30、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是___保角____变换。

31、圆的曲率和挠率特征为k=大于零的常数__，τ=0_。

32、曲率恒等于0的曲线是____直线_____。

,,,,,,((),(),())0r t r t r t =33、在曲面上的任意点，主方向的数目总为__2___。

34、已知33{cos,sin,cos2}r x x x=，2xπ<<，则α=1{3cos,3sin,4}5x x--，β={sin,cos,0}x x，γ=1{4cos,4sin,3}5x x--，κ=625sin2x35、已知曲面{cos,sin,6}r u v u v v=，u>，02vπ≤<，则它的第一基本形式为222(36)du u dv++，第二基本形式为du dv，高斯曲率K=2236(36)u-+，平均曲率H=0，点(1,0,0)处沿方向:2du dv=的法曲率，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为66, 3737 -1、已知空间正则参数曲线32(){cos ,sin ,cos 2}r t t t t = ①求基本向量,,αβγ. ②求()r t 的曲率和挠率(0)2t π<<.答：,22{3sin cos ,3sin cos ,2sin 2}r t t t t t =-- ,,2223,,,2332,,,,2{3cos 6sin cos ,6sin cos 3sin ,4cos 2}{21sin cos 6sin ,6cos 21sin cos ,8sin 2}5sin cos 3sin 2{cos ,sin ,}4r t t t t t t t r t t t t t t t r t tr r t t t =-+--=--=⨯=--,,,215sin 24r r t⨯=325sin cos k t t=425sin cos t t τ=sin cos {3cos ,3sin ,4}5sin cos t t t t t t α=--443{cos ,sin ,}555t t γ=-- sin cos {sin ,cos ,0}sin cos t t t t t tβγα=⨯=2、求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0,y =0y 的交角.解 ；曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量yr={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r={x , 0y ,ax 0y }，其切向量xr ={1，0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为ϕ，则有cos ϕ =20220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅3.求抛物面22()z a x y =+在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.解； 曲面方程即，22{,,()}r x y a x y =+，{1,0,2}x r ax ={0,1,2}y r ay =，{0,0,2}xx r a =，{0,0,0},xy r ={0,0,2}yy r a = 。

在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a1= ，{0,0,1}n =所以2N κ-4a Nκ+42a =0 ，两主曲率分别为1κ = 2 a , 2κ= 2 a2,0,2L a M N a === ，122,2k a k a==所以，高斯曲率24K a =平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a4、求曲线()(){}3233,3,3r a t t at a t t =-+的曲率和挠率：()0a >解：因为()(){}3233,3,3r a t t at a t t =-+，()(){}2231,6,31r a t at a t '=-+，{}6,6,6r at a at ''=-，()(){}22222181,36,181r r a t a t a t ''⨯=--+，()2321r a t '=+，()221821r r a t ''⨯=+，{}6,0,6r a a '''=-，()3,,216r r r a ''''''=，所以()22131k a t=+，()22131a tτ=+5.确定螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v cv =上的曲率线。

解 对于正螺面{}cos ,sin ,r u v u v cv =，221,0,,0,,0.E F G u c L M N ===+===曲率线的方程为22220dv dudv du u c - 1 0 += ，化简得()22220du u c dv -++=，即dv=±。

积分得ln u v c+=±+。

所求曲率线为1ln u v c ++=，2ln u v c +-=。

6.已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E = u-线的测地曲率u g E κ=-= v-线的测地曲率vg G κ==7、求曲面33z x y =-的渐近曲线.33{,,}r u v u v =-2{1,0,3}ur u =2{0,1,3}v r v =-22413,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u = 0uv r = {0,0,6}vv r v =-49uu L n r u =⋅=uv M n r =⋅=469vv vN n r u -=⋅=又2220Ldu Mdu dv Ndv ++=∴22udu vdv = 0±=∴33221uv C =+ 33222()u v C -=+8、 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t te } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。