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第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

代数几何复习题代数几何复习题代数几何是数学中的一个重要分支，它研究的是代数和几何之间的关系。

在代数几何中，我们通过代数的方法来研究几何对象的性质和结构。

在这篇文章中，我将给大家提供一些代数几何的复习题，希望能够帮助大家巩固和加深对这一学科的理解。

1. 证明一个仿射簇的闭包是一个封闭集。

解答：设X是一个仿射簇，即由一组多项式方程f_1(x_1,...,x_n)=0,...,f_m(x_1,...,x_n)=0定义。

我们要证明闭包Cl(X)是一个封闭集。

假设点P不在Cl(X)中，即存在一个开集U包含P，且U与Cl(X)没有交点。

由于X是仿射簇，那么对于每个点Q∈X，存在一个多项式方程g_Q(x_1,...,x_n)=0，使得g_Q(Q)=0。

由于U与Cl(X)没有交点，所以对于每个点Q∈X，都存在一个开集V_Q包含Q，且V_Q∩U=∅。

由于X是有限集，那么存在一个开集V包含X，且V∩U=∅。

现在考虑多项式方程g(x_1,...,x_n)=∏_(Q∈X)g_Q(x_1,...,x_n)，由于V∩U=∅，所以g(x_1,...,x_n)在整个V上不为0。

根据零点定理，g(x_1,...,x_n)=0的解集不包含X，这与X的定义矛盾。

因此，我们证明了闭包Cl(X)是一个封闭集。

2. 证明一个仿射簇的维数等于其坐标环的Krull维数。

解答：设X是一个仿射簇，其坐标环为A。

我们要证明维数dim(X)等于A的Krull维数。

首先，我们知道A的Krull维数等于A的素理想链的最大长度。

设p_0⊂p_1⊂...⊂p_r是A的一个素理想链，我们要证明r≥dim(X)。

假设r<dim(X)，那么存在一个极大理想m，使得m∉{p_0,...,p_r}。

由于m是极大理想，所以A/m是一个域。

考虑A/m上的仿射簇Y，由于m∉{p_0,...,p_r}，所以Y∩X=∅。

根据Hilbert's Nullstellensatz定理，我们知道Y的坐标环A(Y)是一个有限生成的A/m代数。

第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点①向量积（方向）、混合积（计算）；②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； ③空间曲线在坐标面上的投影；④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；） ⑤平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量: 既有大小, 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.； 向量的符号: 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F ；向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.共面向量： 设有k (k ≥3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k 个向量共面； 两向量夹角：当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值.；②向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . :平行四边形法则: 向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ; (2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).负向量: 设a 为一向量, 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量, 记为-a . 向量的减法: 把向量a 与b 移到同一起点O , 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a .向量与数的乘法： 向量a 与实数λ的乘积记作规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. 当λ=0时, |λa |=0, 即λa 为零向量, 这时它的方向可以是任意的.运算规律: (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb . 向量的单位化: 设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a . ，于是a =|a |e a .定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b =λa .③空间直角坐标系在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则.坐标面: 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.卦限: 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy 面的上方. 在xOy 面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy 面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式: 任给向量r , 对应有点M , 使→r =OM . 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有 →→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 则 →k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式, x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量. 点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系 →) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r .有序数x 、y 、z 称为向量r (在坐标系Oxyz )中的坐标, 记作r =(x , y , z ); 向量→OM =r 称为点M 关于原点O 的向径. ④利用坐标作向量的线性运算 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )a +b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ). λa =(λa x , λa y , λa z ).利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa ,即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是zzy y x x a b a b a b ==. ⑤向量的模、方向角、投影 设向量r =(x , y , z ), 作→r =OM , 则 向量的模长公式222||z y x ++=r . 设有点A (x 1, y 1, z 1)、B (x 2, y 2, z 2),→→→OA OB AB -==(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1),A 、B 两点间的距离公式为：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==. 方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角. 设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ.从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα. cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );2、数量积、向量积、混合积①两向量的数量积数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积的性质:(1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b ;反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有 222222||||cos zy x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ.数量积的坐标表示:设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z ), 则 a·b =a x b x +a y b y +a z b z . 数量积的运算律: (1)交换律: a·b = b·a ;(2)分配律: (a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c .(3) (λa )·b = a·(λb ) = λ(a·b ), (λa )·(μb ) = λμ(a·b ), λ、μ为数.②两向量的向量积向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出: c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角;c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定. 那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即c = a ⨯b .向量积的性质:(1) a ⨯a = 0 ;(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a ⨯b = 0, 则a //b ; 反之, 如果a //b , 则a ⨯b = 0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a //b ⇔ a ⨯b = 0. 数量积的运算律:(1) 交换律a ⨯b = -b ⨯a ;(2) 分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c .(3) (λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b ) (λ为数). 数量积的坐标表示: 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )a ⨯b = ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k .为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . ③三向量的混合积混合积：先作两向量a 和b 的向量积b a ⨯,把所得到的向量与第三个向量c 再作数量积c b a ∙⨯)(，这样得到的数量叫做三个向量a 、b 、c 的混合积，记作[abc][abc]= c b a ∙⨯)(=zyxz y xc c c b b b z y xa a a 混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。

专题2. 5利用代数方法处理几何问j在处理几何问题的时候，往往将“形”的问题借助于数式的推理，使之量化，从而具体探索“形” 的性质，最终得到的几何量之间的关系.例1如图2-5-1,矩形A8CQ中,从产为BC、CO上的点，且S加=5. S⑺4ss =3.求A4印的面积.图 2-5-1【分析】已知条件中三个三角形均为直角三角形，可适当引入字母表示面积关系.对于所求不规则4 AE厂的面积，则可通过面积割补来表示.【解】设pllj B£ =—, DF = -.a bQ i n on故山（a ——）（5 —一） = 6,可得a% + — = 24 . 解得cib = 20或ah = 4 （舍），h a ah故S AEF = 20 — 5 — 4 — 3 = 8 .【注】本题解法是将面枳数量化，当然也可以从面枳的比例关系入手解答.连结OE, 设S,即=x,则上x = 2,进而得解.x+3+5 4例2如图2-5-2,四边形月8CO是直角梯形，且A3 = 8C = 2ADQ4 = 1.PB = 2,求梯形48co的面枳.图 2-5-2【分析】本题只需求出高A3即可，可考虑将△用B和△P8C分解成若干个直角三角形，通过勾股定理来寻求有关AB的数量关系.【解】过P作PM_LA8,PN，8C,垂足分别为M、N.设PN=y, A8二〃八则由勾股定理，得x2 + y2 =4 ①<x2+(m-y)2=\ ②(小- X)2 + y2 =9 ③由①②得：y ="士2m由①③得：x =竺士2m代人①得:/w4 - 10〃J +17 = 0 , 解得m2 = 5 土 25/2 .因为，”y,故‘士<小，即〃/>3,故>=5 + 2力，故/^=5 + 2点.2m所以 S…e =3 AO + 8C)・ AB = ： 6 =【注】本题也可利用图形旋转的观点，将△5CP绕点8逆时针旋转90后得△84。

知识点：用代数的方法解决几何问题1.如图，DE 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等。

设BC=a ，AC=b ，AB=c.⑴求AE 和BD 的长； ⑵若∠BAC=90°，△ABC 的面积为S ，求证：S=AE ·BD第20题图ED C BA2.如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG的周长相等，设BC=a 、AC=b 、AB=c ．（1）求线段BG 的长； （2）求证：DG 平分∠EDF ；（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG ．3.如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c=a 1，求证：a=kc ；（2）若c=a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a 1，c=b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1使得k=2？请说明理由．4.如图，已知△ABC ，BC=a ，AC=b ，AB=c ，用一条直线l 截△ABC 的边AB 和AC 的交点分别为D 、E.（1）若截得的△ADE 与原三角形相似，且相似比为1:2，请在图1中画出直线l 的示意图，并求出AD 的长；(2)若截得的△ADE 与四边形BCED 周长相等，且DE+BC=BD+CE ，求DE 的长； （3）若截得的△ADE 与四边形BCED 周长相等，且DE 垂直平分AB ，l=a+b+c ，求证：21(2)4DE l l c =-图1 备用图 备用图5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，E 为BC 边上任意一点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F.(1) 当AB=4，BC=6时，设AE=x ，DF=y ，求y 与x 的关系式，并求出DF 的最大值和最小值；（2）当CE=CD 时，请在备用图中的四边形DCEF 内画出一条线段，把四边形 DCEF 分成两部分，使这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由； （3）当AB=4，CE=3 时，四边形DCEF 的面积等于449时，求DF 的长. 备用图AA CBC B B CA CC D DFEFEBA AB参考答案：1.分析：(1)根据，△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，即，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长；（2）根据（1）中求出的AE，BD的值，先求出AE•BD是多少，在化简过程中，可以利用一些已知条件比如勾股定理等，来使化简的结果和三角形ABC 的面积得出的结果相同．解答：（1）解：∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，∴AB+BD=AC+CD=．∴BD=﹣c=，同理AE=；（2）证明：∵∠BAC=90°，∴c2+b2=a2，S=bc，由（1）知AE•BD=×==（a2﹣b2﹣c2+2bc）=，即S=AE•BD2.（1）解：∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等， ∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG ， ∵D 是BC 的中点， ∴BD=CD ，∴BG=AC+AG ，∵BG+（AC+AG ）=AB+AC ， ∴BG=（AB+AC ）=（b+c ）；（2）证明：∵点D 、F 分别是BC 、AB 的中点， ∴DF=AC=b ，BF=AB=c ， 又∵FG=BG ﹣BF=（b+c ）﹣c=b ，∴DF=FG ，∴∠FDG=∠FGD ，∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE ∥AB ，∴∠EDG=∠FGD ， ∴∠FDG=∠EDG ， 即DG 平分∠EDF ；（3）证明：∵△BDG 与△DFG 相似，∠DFG ＞∠B ，∠BGD=∠DGF （公共角）， ∴∠B=∠FDG ，由（2）得：∠FGD=∠FDG ， ∴∠FGD=∠B ， ∴DG=BD ， ∵BD=CD ，∴DG=BD=CD ，∴B 、G 、C 三点在以BC 为直径的圆周上， ∴∠BGC=90°， 即BG ⊥CG ．3.（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．4.5.（1）易证△ADF ∽EAB,得x y 64=，即y )1324(24≤≤=x x,y 随x 的增大而减小，DF 的最大值为6，最小值为131312； （2）过C 作CG ⊥DF 于点G ，将△DCG 绕C 点逆时针旋转90°，得到正方形；备用图（3）连接DE ，则DE=5,设DF=a ，EF=b ，则2522=+b a ，又21ab+21×3×4=449, 得2ab=25,因此)(2b a -=25-25=0,所以a=b,得DF=DE=225DBCFEA。

方程解问题的代数解法与几何解法一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程（如简单的三角方程），二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应用.例题1：设方程340xx +-=的根为1x ，方程3log 40x x +-=的根为2x ，求12x x +.代数解法：因为13140+-=，所以1x =方程340xx +-=的一个根，()34x f x x =+-在R 上为增函数，所以()34x f x x =+-在R 上最多只有一个零点，所以1 1.x =因为3log 3340+-=，所以3x =方程3log 40x x +-=的一个根，3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，所以3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上最多只有一个零点，所以2 3.x = 所以12 4.x x +=显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x +.此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考：11340xx +-= ①322log 40x x +-= ②①式可以变形为1134x x =-+，即为311log (4)x x -+=，若设14x t -+=，则14x t =-，于是3log 4t t =-，②式变为322log 4x x =-，t 与2x 都是方程3log 4x x =-的根，而这个方程即3log 40x x -+=，又函数3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214x x =-+，所以12 4.x x +=几何解法：将方程340xx +-=变形为34xx =-+，将方程3log 40x x +-=变形为3log 4x x =-+，在同一坐标系内分别作出函数3x y =，3log y x =，4y x =-+的图像，因为3x y =与3log y x =互为反函数，图像关于直线y x =对称，而4y x =-+与y x =垂直，设垂足为xC ，则直线4y x =-+与3x y =，3log y x =的图像的交点A ，B 关于点C 对称，易求得C 点坐标为(2,2)，又A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，由中点坐标公式得12 4.x x +=这里的几何解法也具有一般性，而且比代数解法容易掌握.例题2：已知实数0a ≥,函数2()1f x ax x =+-在区间(1,1)-上有零点，求实数a的取值范围.代数解法:本题是函数存在零点问题，可以先转化为方程有解问题，而方程有解问题又可以转化为函数值域问题，因此我们还可以有下面的代数解法:解:(1)当0x =时,,1)0(-=f 故0x =不是f (x)的零点. (2)当10,01<<<<-x x 或时,2()1f x ax x =+-0=可以转化为222111111()()24x a x x x x-==-=--,当 01<<-x 时,11x<-, ∴a >21(1)2--124-=, 当 10<<x 时,11x>, ∴a >21(1)2-104-=, 综上2()1f x ax x =+-的值域为(0,∞+) ∴a 的取值范围是(0,∞+).上述解法用了分离参数的方法, 分离参数后所得a 是关于x 的函数.一般地,当分离参数后所得的函数是一个比较简单的函数时,用分离参数法比较简单.几何解法:本题若从端点并结合二次函数图像仔细分析,可以有下面简捷明快几何解法:解：（1）当a =0时，f (x)=x-1,函数f (x)的零点为x=1，且1(1,1)?, 不符合题意.(2) 当a >0时，由0)1(,01)0(>=<-=a f f 知f (x)在区间(0,1)上至少有一个零点,因此f (x)在区间(-1,1)上有零点.综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是(0,∞+). 例题3：已知函数||()2x f x x =+，方程2()f x kx =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围.代数解法：原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+有三个不同的实数解. ⑴当0x >时，方程化为：12kx x =+，即 2210kx kx +-=，①0k =时 ，方程无解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=+=+，ⅰ）当10k -<<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k >时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=-<，结合0x >知原方程有一个正根.ⅲ）1k ≤-时，2440k k ∆=+≥，而此时122x x +=-，1210x x k=->，结合0x >知方程无解. ⑵当0x <时，方程化为：12kx x =-+，即 2210kx kx ++=，①0k =时 ，方程无实数解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=-=- ⅰ）当01k <<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k <时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=<，结合0x <知原方程有一个负根.ⅲ）1k =时，方程显然有两个相等的负根.ⅳ）1k >时，2440k k ∆=->，而此时122x x +=-，1210x x k=>，结合0x <知方程有两个不等的负根.综上可得，当1k >时，方程2()f x kx =有四个不同的实数解. 几何解法：在原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+（*）有三个不同的实数解. 显然0k ≠，在同一个坐标系中作出函数1()2g x x =+和函数()||h x k x =（0k ≠）的图像：由图像可知，当0k <时，两个函数图像仅有一个交点；当0k >时，若()||h x k x =的图像在第二象限的部分与双曲线相交，则在第二象限内有两个交点，而在第一象限内显然总有一个交点，因此我们只要利用判别式求出相切时k 的值0k ，那么本题的答案就是0k k >.当0k >，0x <方程即2210kx kx ++=，由2444(1)0k k k k ∆=-=-=得： 1.k =因此k 的取值范围1k >.通过上面的几个例题两种解法的对比，可以看出，几何解法为代数解法提供了具体的形象的支撑，甚至可以提供讨论的层次，缩短讨论的过程，而代数解法可以解决几何法无法解决的关键的具体的数据.正如华罗庚所言，“数形结合百般好，割裂分家万是非，数缺形时少直觉，形缺数时难入微”.请同学们选择适当的方法完成下面的练习: 1、求方程022=-x x 实数解的个数和有理数解. (答案:实数解的个数为3,有理数解为2,4)２、若关于x 的方程043)4(9=+⋅++x x a 有实数解,求a 的取值范围. (答案: ]8,(--∞).３、方程02|1|=--a a x )1,0(≠>a a 有两个不同的实数解，求a 的取值范围. (答案: 102a <<). ４、已知关于x 的方程a x x =+cos sin 在)2,0(π∈x 上有两个不同的实数解,求a 的取值范围.(答案: )2,3()3,2( -).５、关于x 的方程01)1(2=+-+x m x 在]2,0[∈x 上有解，求实数m 的取值范围. (答案: ]1,(--∞).。

数学代数与几何复习题集及答案<数学代数与几何复习题集及答案>一、代数复习题1. 解方程：求解以下方程组(1) 2x + y = 5x - y = 1(2) 3x + 2y = 84x - y = 2(3) x^2 + 4y^2 = 92x + 3y = 6(答案略)2. 因式分解：将下列多项式进行因式分解(1) x^2 + 5x + 6(2) 2x^2 + 3x - 2(3) x^3 - 8(答案略)3. 等比数列：求解等比数列问题(1) 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第6项为多少？(2) 一个等比数列的首项为3，前5项的和为242。

求该等比数列的公比。

(3) 若一个等比数列的前n项和为S_n，其中首项为a，公比为r。

证明：S_n = a * (1 - r^n)/(1 - r)(答案略)二、几何复习题1. 三角函数：计算下列问题(1) 计算 sin(45°) - cos(30°)(2) 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为3/5，求该锐角的余弦值。

(3) 已知直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10。

求另一条直角边的长。

(答案略)2. 平面向量：解决平面向量问题(1) 已知平面向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，计算 a + b 和 a - b。

(2) 若平面向量a = (x, y)满足 a · (3, 1) = 4，求a的坐标。

(3) 已知平面向量a = (2, 1)，b = (3, 4)。

计算 a · b 和 |a × b|。

(答案略)3. 三角形：解决三角形问题(1) 在三角形ABC中，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠C = ?(2) 若在三角形ABC中，a = 5，b = 7，∠C = 30°，则c = ? （使用余弦定理）(3) 若在三角形ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，是否为直角三角形？(答案略)综上所述，本篇文章为数学代数与几何的复习题集及答案，旨在提供读者复习相关知识点，加深对代数与几何的理解。

利用代数式求解解决几何图形问题一、基本概念与性质1.1 几何图形的定义与分类：平面几何图形、立体几何图形等。

1.2 点、线、面的基本性质：点的位置、线的方向与长度、面的面积与形状。

1.3 角度与弧度的概念：角度的度量、弧度的定义。

1.4 三角形、四边形、圆的基本性质：三角形的边长关系、四边形的对角线关系、圆的半径与直径关系。

二、点的坐标与直线方程2.1 坐标系的概念：直角坐标系、极坐标系。

2.2 点的坐标表示：坐标轴上的点、坐标平面内的点。

2.3 直线方程的定义：直线的一般方程、直线的点斜式方程。

2.4 直线与坐标轴的关系：直线与x轴、y轴的交点。

三、三角形的相关代数式求解3.1 三角形的边长关系：海伦公式、余弦定理。

3.2 三角形的面积公式：底乘高、海伦公式。

3.3 三角形的角度关系：正弦定理、余弦定理。

四、四边形的相关代数式求解4.1 四边形的对角线关系：对角线互相平分、对角线交点为重心。

4.2 四边形的面积公式：分割成三角形求面积、对角线交点公式。

五、圆的相关代数式求解5.1 圆的半径与直径关系：半径与直径的比值、圆的周长与半径关系。

5.2 圆的面积公式：πr²、圆的面积与半径关系。

5.3 圆的方程：圆的标准方程、圆的一般方程。

六、立体几何图形的代数式求解6.1 立方体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。

6.2 圆柱体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。

6.3 球的体积与表面积：体积公式、表面积公式。

七、解题策略与方法7.1 画图辅助解题：画出几何图形，明确已知与求解量。

7.2 列代数式：根据题目条件，列出相关的代数式。

7.3 化简与求解：化简代数式，求解未知量。

7.4 检验与讨论：检验解的正确性，讨论解的适用范围。

八、注意事项8.1 掌握基本概念与性质：明确几何图形的定义与性质，为解题打下基础。

8.2 熟练掌握代数式的求解：熟悉各种几何图形的代数式，提高解题速度。

8.3 灵活运用解题策略：根据题目条件，选择合适的解题方法。

常见几何关系的代数化方法专题常见几何问题转化： 1、角度问题（1）若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率：θtan =k（2）若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定。

2、点与圆的位置关系（1）利用圆的定义，转化为点到圆心距离等于半径。

需要解出圆的方程，有些题目中计算量较大； （2）若给出圆的一条直径，可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，则ACB ∠为钝角，转化为向量：0<⋅；若点在圆上，则ACB ∠为直角，转化为向量：0=⋅CB CA ；若点在圆外，则ACB ∠为锐角，转化为向量：0>⋅。

3、三点共线问题（1）通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线； （2）通过向量：任何两点确定向量，若向量共线，则三点共线。

4、直线的平行垂直关系可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转化为坐标运算：()11y x ，=a ，()22y x ，=b ，则a ，b 共线01221=-⇔y x y x ；a ⊥b 02121=+⇔y y x x 。

5、平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系。

6、平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题，注意向量方向是同向还是反向。

7、三角形重心：设不共线三点()11y x A ，，()22y x B ，，()33y x C ，，则ABC ∆的重心⎪⎭⎫ ⎝⎛++++33321321y y y x x x G ，。

8、三角形垂心：转化为顶点与垂心的连线（垂线）与底边垂直，进而转化为向量的数量积为零。

9、三角形内心 （1）角分线定理：ACABCD BD =； （2）AB IP ⊥，AC IQ ⊥；（3）I 在BAC ∠的角分线上，则AQ AP =，等价于ACAC AI ABAB AI =。

特例：当角分线AI 平行于坐标轴时，0=+AC AB k k10、四点共圆问题：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补，可以转化为数量积中的余弦，或正切（即斜率）和为0； （3）方程法：①法一：任选三点确定一个圆，再证明第四个点满足所求圆的方程；②法二：任选2个相邻的弦作中垂线，两个中垂线的交点即为圆心，再证明圆心到四点距离相等； （4）圆幂定理：ABCD 四个点，分别连接AB 和CD ，它们(或它们的延长线)交点为P ，若PD PC PB PA ⋅=⋅，则ABCD 四点共圆。