2018学年高一数学人教A版必修一 习题 第三章 函数的应用 3.2.1 含答案

代入 y＝a＋bx，得2415..18＝＝aa＋＋1204..40bb，， 用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可
以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好
地反应积雪深度与灌溉面积的关系.
解析答案
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土 地多少公顷？ 解 由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4， 即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷.
D.430元
答案
5.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示， 现以均匀速度往水瓶中灌水，直到罐满为止，如果水深 h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( D )
1 23 45
答案
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.函数拟合与预测的一般步骤 (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； 解 利用计算机几何画板软件， 描点如图甲.
解析答案
(2)建立一个能基本反应灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； 解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们 假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，

1 函数的零点及应用一、要点扫描1.函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间[a ，b ]内有零点.2.函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0.3.曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根.二、典型例题剖析 1.求函数的零点例1求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点.解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1，∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1.评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题. 2.判断函数零点的个数例2已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数.解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2x ＋1，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x )与f 2(x )的交点的横坐标.在同一坐标系下，分别作出函数f 1(x )＝a x (a ＞1)与f 2(x )＝－x －2x ＋1的图象(如图所示).所以方程f (x )＝0的根有一个.评注 利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f 1(x )与f 2(x )两函数的图象，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数). 3.确定零点所在的区间例3设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析 y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点的横坐标即为x 3＝(12)x －2的根，即f (x )＝x 3－(12)x －2的零点，f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝23－(12)0＝7＞0，∴f (x )的零点在(1,2)内. 答案 B评注 本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求.4.利用函数零点的存在性求参数范围例4关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m 的取值范围. 解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， 又∵f (0)＝1>0，由题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－m －12≤2，Δ＝(m －1)2－4≥0，或②⎩⎪⎨⎪⎧－m －12>2，f (2)≤0.解①得－3≤m ≤－1，解②得m <－3.即m ≤－1. 所以m 的取值范围为m ≤－1.评注 本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求.2 零点问题考向探究函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点.本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型. 一、判断函数零点的存在性例1 已知函数f (x )＝2x 3－4x 2－3x ＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是( )A.函数在区间(－1,0)内有零点B.函数在区间(0,1)内有零点C.函数在区间(1,2)内有零点D.函数在区间(2,3)内有零点分析 根据选项提供的区间来看，需要计算f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)，f (3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点的所在区间.解析 因为f (－1)＝－2<0，f (0)＝1>0，f (1)＝－4<0，f (2)＝－5<0，f (3)＝10>0， 所以f (－1)·f (0)<0，f (0)·f (1)<0，f (2)·f (3)<0. 又因为一个三次方程最多有三个实根，所以函数f (x )＝2x 3－4x 2－3x ＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点. 答案 C评注 由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案. 二、判断函数零点所在的大致区间例2 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析 因为f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点. 答案 B评注 若f (a )·f (b )<0，且f (x )在[a ，b ]上连续，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内一定有零点，但要注意，若f (a )·f (b )≥0，并不能证明f (x )在(a ，b )内没有零点.3 函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握.下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例.一、判断方程解的存在性例1已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解.解因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解.评注要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点.因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.二、确定方程根的个数例2若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A.1B.2C.3D.4分析利用等价转化将方程根的问题转化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断.解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点.由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点.因此方程f(x)＝1仅有一个根.故选A.答案 A评注在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点.三、求参数的取值范围例3已知一次函数y ＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.分析 将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m 的取值范围.解析 因为一次函数f (x )在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0， 即函数f (x )在[－2,0]内有一个零点， 所以f (－2)f (0)≤0.即(－4m ＋4)(0＋4)≤0，解得m ≥1. 答案 m ≥1评注 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围.整个解题过程利用了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用.例4已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围.分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组.如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示.对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f (1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f (1)>0，解出即可.解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，f (1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.评注 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例.一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决.4 函数应用问题“讲”与“练”讲解一 求函数模型例1某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少85t (t ＞0)万件.请将税金收入表示为征收附加税的函数.解 设每年销售量为x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税为y ＝250x ·t 100＝52tx .依题意，知x ＝40－85t ＞0，即t ＜25.故所求的函数关系式为y ＝52×⎝⎛⎭⎫40－85t t ＝－4t 2＋100t (0＜t ＜25). 评注 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.练习1将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y 与每个商品涨价x 元之间的函数关系式. 答案 y ＝－15x 2＋50x ＋15000⎝⎛⎭⎫0≤x ≤1003 讲解二 函数模型的选用例2某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q (万元)与上市时间t (天)的关系如下表所示：0)，或一次函数Q ＝kt ＋m (k ，m 为常数，且k ≠0).已知种植成本Q ＝112.5万元时，上市时间t ＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.分析 根据题目给定的两组Q ，t 的值，可分别求出模拟函数中的未知量a ，b ，k ，m . 解 设f (t )＝a (t －150)2＋b (其中a ，b 为常数，a ≠0)， g (t )＝kt ＋m (k ≠0).由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (50)＝150，f (150)＝100，⎩⎪⎨⎪⎧g (50)＝150，g (150)＝100.所以⎩⎪⎨⎪⎧a (50－150)2＋b ＝150，a (150－150)2＋b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋m ＝150，150k ＋m ＝100. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝175.所以f (t )＝1200(t －150)2＋100，g (t )＝－12t ＋175.因为f (200)＝1200(200－150)2＋100＝112.5，g (200)＝－12×200＋175＝75，所以选用f (t )＝1200(t －150)2＋100作为模拟函数较好.评注 本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化. 练习2现有一组数据如下表所示：A.y ＝2x －1B.y ＝x 2－1C.y ＝2x －12D.y ＝x 3－x ＋1答案 C讲解三 转化为熟悉的函数模型例3有A ，B 两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M (万元)和N (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式：M ＝12x ，N ＝3x2，今有4万元资金投入经营A ，B 两种商品.为获得最大利润，应分别对A ，B 两种商品的资金投入多少万元？解 设对A 种产品投资x 万元，则对B 种产品投资(4－x )万元.于是获得总利润y ＝12x ＋34－x2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，4－x ≥0，得0≤x ≤4. 令t ＝4－x (0≤x ≤4)， 则x ＝4－t 2(0≤t ≤2).所以y ＝12(4－t 2)＋32t ＝－12⎝⎛⎭⎫t －322＋258(0≤t ≤2). 于是，当t ＝32时，y max ＝258(万元).此时，x ＝4－t 2＝74＝1.75(万元)，4－x ＝2.25(万元).故为了获得最大利润，对A 种商品的资金投入为1.75万元，对B 种商品的资金投入为2.25万元.练习3某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元.已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润.答案安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124000元.。

数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组]一、选择题 1 若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 2 已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B 函数)(x f 在(3,5)内无零点 C 函数)(x f 在(2,5)内有零点 D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 3 若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ） A 12log log a b a < B 12log log a b a = C 12log log a b a > D 12log log a b a ≤ 4 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5 已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 6 如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ()6,2- B []6,2- C {}6,2- D ()(),26,-∞-+∞ 7 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A 14400亩 B 172800亩 C 17280亩 D 20736亩二、填空题 1 若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =2 幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________3 用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，4 函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为5 设函数)(x f y =的图象在[],a b 上连续，若满足 ，方程0)(=x f 在[],a b 上有实根三、解答题 1 用定义证明：函数1()f x x x=+在[)1,x ∈+∞上是增函数设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程202a x bx c ++=有仅有一根介于1x 和2x 之间3 函数2()21f x x ax a =-++-在区间[]0,1上有最大值2，求实数a 的值4 某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元， 销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？数学1（必修）第三章 函数的应用 [基础训练A 组]参考答案一、选择题 1 C 2,y x y x ==是幂函数 2 C 唯一的零点必须在区间(1,3)，而不在[)3,5 3 A 12log ln 20,01,1a a b =><<>得，12log 0,log 0a b a <> 4 C 332()2312212(1)(1)f x x x x x x x x x =-+=--+=--- 2(1)(221)x x x =-+-，22210x x +-=显然有两个实数根，共三个； 5 B 可以有一个实数根，例如1y x =-，也可以没有实数根，例如2x y = 6 D 24(3)0,6m m m ∆=-+>>或2m <- 7 C 310000(10.2)17280+=二、填空题 1 1x设(),f x x α=则1α=- 2()f x =(),f x x α=图象过点（，34333,4αα===3 [2,2.5) 令33()25,(2)10,(2.5) 2.5100f x x x f f =--=-<=->4 2 分别作出()ln ,()2f x x g x x ==-的图象；5 ()()0f a f b ≤ 见课本的定理内容三、解答题 1 证明：设1212121211,()()()(1)0x x f x f x x x x x ≤<-=--< 即12()()f x f x <，∴函数1()f x x x =+在[)1,x ∈+∞上是增函数 2 解：令2(),2a f x x bx c =++由题意可知2211220,0ax bx c ax bx c ++=-++= 221122,,bx c ax bx c ax +=-+=2222111111(),222a a a f x x bx c x ax x =++=-=- 22222222223(),222a a a f x x bx c x ax x =++=+=因为120,0,0a x x ≠≠≠ ∴12()()0f x f x <，即方程202a x bx c ++=有仅有一根介于1x 和2x 之间 3 解：对称轴x a =，当[]0,0,1a <是()f x 的递减区间，max ()(0)121f x f a a ==-=⇒=-； 当[]1,0,1a >是()f x 的递增区间，max ()(1)22f x f a a ===⇒=；当01a ≤≤时2max 1()()12,2f x f a a a a ±==-+==与01a ≤≤矛盾； 所以1a =-或2 4 解：设最佳售价为(50)x +元，最大利润为y 元， (50)(50)(50)40y x x x =+---⨯240500x x =-++当20x =时，y 取得最大值，所以应定价为70元。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析： 把y ＝f (x )的图象向下平移一个单位后，只有C 图中的图象满足y ＝f (x )－1与x 轴无交点．答案： C2．下列函数中，在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析： y ＝log 12x 是单调减函数；函数y ＝x 2－12在区间(－1，1)内先减后增；函数y ＝－x 3是减函数；函数y ＝2x －1单调递增，且有零点x ＝0.答案： B3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －1 0 1 2 4 y6－4－6－6－46由此可以判断方程A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析： ∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0， ∴f (－3)·f (－1)<0.∵f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴f (2)·f (4)<0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)． 答案： A4．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析： 设原有荒漠化土地面积为a ，由题意，得y ＝a (1＋10.4%)x .故其图象应如D 项中图所示，选D.答案： D5．已知函数f (x )＝e x －x 2，则下列区间上，函数必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析： ∵f (－2)＝1e 2－4<0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝e 0＝1>0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2－4>0，f (－1)·f (0)<0，∴f (x )在(－1,0)上必有零点．答案： B6．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析： 代入数据检验，注意函数值． 答案： B7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x ，0<x <240，x ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋50x －30 000≥0，0<x <240，x ∈N .解得150≤x <240且x ∈N .故生产者不亏本时的最低产量为150台． 答案： C8．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )解析： 由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案： A9．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析： 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象，如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个实根，故选A. 答案： A10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0解析： ∵函数f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0.又∵0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________． 解析： 若m ≠0，则Δ＝4－12m ＝0，m ＝13，又m ＝0也符合要求，∴m ＝0或13.答案： 0或1312．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－2x －1，因为一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点32，因为f (1)＝－2<0，f ⎝⎛⎭⎫32＝278－4<0，f (2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是⎝⎛⎭⎫32，2. 答案： ⎝⎛⎭⎫32，213．某商家1月份至5月份累计销售额达3 860万元，预测6月份销售额为500万元，7月份销售额比6月份递增x %,8月份销售额比7月份递增x %,9、10月份销售总额与7、8月份销售总额相等，若1月份至10月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析： 由题意得3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得x 2＋300x －6 400≥0， 解得x ≥20或x ≤－320(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20. 答案： 2014．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________________________________________________________________________．解析： 在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案： (0,1)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合． 解析： ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14 x ≤0，即x ≥1时，log 14x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log 14x >0时，12≤x <1. 综上所述，x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.16．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析： (1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x (x ≥3 000)元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以，当x ＝4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1， 因此实数a 的取值范围是(0,1)．18．(本小题满分14分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2 log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出资金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解析： (1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5(x －9)，x >10.(2)由题意知1.5＋2log 5(x －9)＝5.5， 2log 5(x －9)＝4，log 5(x －9)＝2， ∴x －9＝52， 解得x ＝34.答：老江的销售利润是34万元．。