数学试卷(理科)

卜人入州八九几市潮王学校高三理科数学下学期试卷含答案

一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选顶中，只有一个符合题目要求的〕 1、复数1zabi、2zbai〔abR、〕，假设复数12zz、在复平面内对应的点分别为12ZZ、，那么12OZOZ的值等于

A、22abB、22ab

C、0D、一个与a、b的值有关的数 2、设,2|3|xxBxxA、那么""BxAx或是""BAx的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、以下函数中值域是),0(的函数是

A、xy215 B、xy1)21(

C、xy21D、121xy 4、在等差数列na中，假设1594aaa，那么46

tan()aa

A、33 B、3 C、1 D、1 5、314sin，那么4cos的值等于

A、322 B、322 C、31 D、3

1

6、向量5(1,2)(2,4)||5(),2abcabcac、、，若则与的夹角为 A、300 B、600 C、1200 D、1500 7、假设双曲线18222xay的一条准线与抛物线yx82的准线重合，那么双曲线的离心率为 A、2 B、22 C、4 D、24

8、过△ABC的重心G作一直线分别交AB、AC于D、E，假设0,,xyACyAEABxAD，那么yx11的值是 A、1 B、2 C、3 D、4 9、04)(21]1,(2xxaa，x不等式时恒成立，那么a的取值范围是 A、)41,1( B、)23,21( C、]41,( D、]6,( 10、)1ln()(;2)(;cos)(;sin)(4321xxfxxfxxfxxf是定义在[,0]上的四个函数，其中满足性质：“对任意1],1,0[],,0[21且、任意、xx，有 )()()(2121xfxfxxf恒成立〞的只有

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

1992年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 22．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ）A ． 10°B ． 20°C ． 50°D ． 70°5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞18．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）A ． 20°B ． 70°C ． 45°D ． 135°9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0D ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ）A ． 160B ． 240C ． 360D ． 80012．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ）A ． [0，arcsina ]B ． [arcsina ，π﹣arcsina ]C ． [π﹣arcsina ，π]D ． [arcsina ，+arcsina ]13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ）A ．b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=014．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 316．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）B ． f （1）＜f （2）C ． f （2）＜f （4）D ． f （4）＜f （2）＜f（4）＜f（4）＜f（1）＜f（1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是_________．20．（3分）sin15°sin75°的值是_________．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为_________．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_________．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．1992年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ．B ． 1C ．D ． 2考点：对数的运算性质． 分析：根据，从而得到答案．解答： 解：． 故选A ． 点评：本题考查对数的运算性质． 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．考点：二倍角的正弦． 分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin （ωx+φ）+b 的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值 解答： 解：∵y=sin （ωx ）cos （ωx ）=sin （2ωx ），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题： 计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°考点：两角和与差的正弦函数．分析：把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．解答：解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x，∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0，∴sin（4x+5x）=0，∴sin9x=0，∴9x=kπ，k∈Z，∴x=20°故选B．点评：抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快，故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞ 1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评： 本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）直线（t为参数）的倾斜角是（）A．20°B．70°C．45°D．135°考点：直线的参数方程．专题：计算题．分析：已知直线（t为参数）再将直线先化为一般方程坐标，然后再计算直线l的倾斜角．解答：解：∵直线（t为参数）∴x﹣3=tsin20°，y=﹣tsin20°，∴x+y﹣3=0，∴直线倾斜角是135°，故选D．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y 2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．解答：解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2∴展开式中x的系数为C51•3•24=240故选项为B点评：本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理，也是求展开式有关问题的方法．12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0，arcsina]B．[arcsina，π﹣arcsina]D．[arcsina，+arcsina]C．[π﹣arcsina，π]考点：正弦函数的图象；反三角函数的运用．分析：在同一坐标系中画出y=sinx、y=a，根据sinx≥a即可得到答案．解答：解：由题可知，如图示，当sinx≥a时，arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视．13．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答：解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．点评：本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；综合题．分析： 先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答： 解：设e x =t （t ＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+，对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）=由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题． 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．专题： 压轴题；数形结合．分析： 先从条件“对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答： 解：∵对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）∴f （x ）的对称轴为x=2，而f （x ）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f （2）＜f （1）＜f （4），故选A ．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．20．（3分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程，利用复数相等，求出复数z即可．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）．将z=x+yi代入原方程，得（x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）=1+3i，整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i．根据复数相等的定义，得由①得x=﹣1．将x=﹣1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=﹣1，z2=﹣1+3i．点评：本小题考查复数相等的条件及解方程的知识，考查计算能力，是基础题．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由题意作辅助面，作出两条异面直线a、b所成的角，再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角三角形中求解．解答：解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2﹣2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ．如果点F（或E）在点A（或A1）的另一侧，则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=．点评：本题利用条件作出辅助面和辅助线，结合线面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂线的长；考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．考点：椭圆的简单性质．专题：证明题；压轴题．分析：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB 不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．解答：证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22①∵A、B在椭圆上，∴，．将上式代入①，得2（x2﹣x1）x0=②∵x1≠x2，可得．③∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2，∴﹣2a＜x1+x2＜2a，∴．点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．。

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。