人教课标版高中数学选修2-2第一章 导数及其应用导数的计算

函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的 Δy 增量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值 的极限， 即 f′(x) Δx f(x＋Δx)－f(x) Δy ＝Δ lim lim . x→0 Δx＝Δ x→0 Δx
• 2．导数的意义 • (1) 几何意义：函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 就是曲线 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ， f(x0)) 处的 切线的斜率k，即k＝f′(x0)． • (2) 物理意义：函数 s ＝ s(t) 在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时， 运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v ，即 v ＝ s′(t)．而函数v＝v(t)在t度a，即a＝ v′(t)．
第一章 导数及其应用
1.导数的概念 对于函数 y＝f(x)，如果自变量 x 在 x0 处有增量 Δx， Δy 那么函数 y 相应地有增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)， 比值Δx就 Δy 叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率，即 ＝ Δx f(x0＋Δx)－f(x0) Δy .如果当 Δx→0 时，Δx有极限，我们就说 y Δx ＝f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的 f(x0＋Δx)－f(x0) Δy 导数， 即 y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δ lim lim . x→0 Δx＝Δ x→0 Δx
f(1)－f(1－x) 1 1 ∴2lim ＝－1，即2f′(1)＝－1， x→0 x ∴f′(1)＝－2. 因此 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－2.
• [ 例 2] 已知函数 f(x) ＝ ax3 ＋ 3x2 － 6ax － 11 ， g(x) ＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0. • (1)求a的值； • (2) 是否存在实数 k ，使直线 m 既是曲线 y ＝ f(x) 的 切线，又是 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k的 值；如果不存在，请说明理由． • [分析 ] 直线 y＝kx＋9 过定点(0,9) ，可先求出过 点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直 线是否也是曲线y＝f(x)的切线．

解得 a＝1.
综上所述，得 f(x)＝xsin x－3. 2
(2)f(x)在(x)＝xsin
x－3，从而有 2
f(0)＝－32＜0，fπ2＝π－2 3
＞0，
又 f(x)在0，π2上的图象是连续不断的，
所以 f(x)在0，π2内至少存在一个零点．
利用导数证明不等式或已知不等式恒成立，求参数的取值
范围，这两个问题通常转化为函数的最值问题解决．
例4 (2012·高考天津卷)已知函数 f(x)＝x－ln(x＋a)的 最小值为 0，其中 a＞0. (1)求 a 的值； (2)若对任意的 x∈[0，＋∞)，有 f(x)≤kx2 成立，求实数 k 的最小值；
当13<a<1 时，方程 g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0 的判别式 Δ
＝ 9a2－ 30a＋ 9<0，
∴ D＝ (0，＋∞ )．
综上所述：当 a≤0 时，
D＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
；
当 0<a≤13时，D＝0，31＋a－
9a2－ 4
30a＋
4 ＋a)x＋6a＝0 的解 x1，x2 满足
x1＝3 1＋ a－
9a2－ 30a＋ 9
4
<0<x2
＝31＋a＋ 9a2－30a＋9， 4
∴ D＝ (x2，＋∞)＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
.
当－1<a≤0 时，x＝3(1＋a)>0，g(0)＝6a≤0， 4
1)≤
2 2i－
12<
2i－
2 32i－
1(i∈
N*，
i≥
2)，

(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量

•1.5.3 定积分的概念
自主学习 新知突破
• 1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义． • 2．掌握定积分的基本性质．
• [问题1] 直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝1＋x围 成的图形的面积是多少？
[提示 1] S＝12(2＋3)×1＝52.
2
[问题2] 利用定积分计算1(1＋x)dx的值．
解析： (1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分
点，把区间[0,2]等分成n个小区间
i－n 1×2，ni ×2
(i＝
1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝xi－xi－1＝
i n
×2－
i－1 n
×2＝2n.
(2)近似代替、求和：取ξi＝2ni(i＝1,2，…，n)，则
n
n
∴ f(ξi)·Δx＝
i＝1
i＝1
2＋i－n 1·1n
n
＝
i＝1
2n＋i－n21
＝2n·n＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋n－ 2n1＝2＋12－21n＝52－21n.
2
∴
(1＋x)dx＝lim
1
n→∞
52－21n＝52.
n
区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
n b－a
i＝1
＝__i＝_1___n___f(_ξ，i) 当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这
b
个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的_定__积_分___，记作 n b－a

a
f(x)dx，
即baf(x)dx＝_nl_i→_m∞_i_＝_1 __n___f(_ξ_i)_．
对定积分的几点认识