零件分析法证明不等式专题讲座(最终完美版)

强基计划数学备考系列讲座(3)——不等式证明与最值探究《强基计划数学备考系列讲座(3)——不等式证明与最值探究》一、不等式：基本概念及种类不等式是数学里一个极重要的概念，不仅在数学竞赛中能被大量使用，而且是日常生活和许多科学技术计算中的基础性。

在解决数学实际问题时，有时必须使用不等式。

不等式是一种关于“等于”和“不等于”的关系，可以用简短的语言表示出来，如：“2小于4”可以写为：2<4。

基本上，学会不等式就是学会了表达式“不等于”的各种情况。

常见的不等式有：≤，≥，<，>，≠等。

二、不等式的证明方法不等式的证明有几个重要的方法，需要注意的是，不同的问题可以使用不同的证明方法，应根据具体情况而定。

1、反证法反证法是指，如果一条不等式出现问题，我们可以构造另一种可能，即反面论证：如果我们假定它错误，既不等于也不不等于，就会有矛盾。

2、数学归纳法数学归纳法是基于完整的一系列的证明或支持的目的考虑，以便解决一个特定的不等式，要达成这一目的，需要把焦点集中到特定的不等式中。

这种方法是从已知的不等式中展开的，可以利用先前的结果来证明更大的结论，比如！数列求最大值。

3、识别不等式不等式有着许多不同的形式，从基本形式到更复杂形式。

识别不等式的原理，在一个特定的不等式中，我们可以通过检查讨论的线性因素式判断它是等式或不等式。

三、不等式证明与最值探究1、不等式证明与实例分析不等式证明是利用数学精确的计算，根据它们所提供的信息，正确的判断不等式的结果而取得的,考察某一具体问题，找出具体的概念解释，抓住关键，给出正确的解答是不等式证明中的重中之重。

下面来看一个实例：如果m<2，m×2<4的证明，易知此不等式正确，因为在m>2的情况下m×2=4，不符合条件，所以m<2。

2、最值探究最值探究是利用不等式证明，求出某种情况（通常为相同参数下通过外界条件而表现出的极端情况，比如函数的最小值、最大值或极限等），如果最值的求法清楚的话，求出最值是很简单的，但如果最值比较隐蔽的话，就可以利用不等式的方法，根据情况判断该函数的大小。

证明:要证 a+b+c≥ 3 ,由于 a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c)2≥3. 即证 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而 ab+bc+ca=1, 故需证明 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即证 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
而这可以由 ab+bc+ca≤ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 =a2+b2+c2(当且仅当
2
【例 2】 已知函数 f(x)= 1 x2 ,设 a、b∈R,且 a≠b, 求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
证明:法一 |f(a)-f(b)|<|a-b| | 1 a2 - 1+b2 |<|a-b| ( 1 a2 - 1+b2 )2<(a-b)2
2+a2+b2-2 1 a2 1+b2 <a2+b2-2ab
求证: a + b + c ≥ 3 ( a + b + c ).
bc ac ab
证明: a + b + c = a b c .又知 a+b+c≥ 3 . bc ac ab abc
因此要证原不等式成立,只需证明 1 ≥ a + b + c ,
abc
即证 a bc +b ac +c ab ≤1,即证 a bc +b ac +c ab ≤ab+bc+ca,

（3）分析法证明不等式的格式202ຫໍສະໝຸດ 年10月2日4应用举例
1、证明：ac+bd≤ a2+b2 c2+d2
2、已知a、b都是正数，且a≠b， 求证：
a
b
b＞
a
a
b
2020年10月2日
5
3、已知a、b、c是正数，且a+b+c=1， 求证：
（1）(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc
（2）ab+bc+ca≤
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
不等式的证明（习题课）
2020年10月2日
1
1、比较法
（1）比较法证明不等式的步骤
作差---变形---判断符号----得出结论
（2）比较法经常证明什么样的不等式
高次整式多项式、所证不等式两边 有相同或局部相同的部分
（3）作差之后变形的思维
完全平方、因式积
2020年10月2日
2
2、综合法
（1）定义
1 3
（3） 1a1b111c18
2020年10月2日
6
4、已知a、b、c是正数，求证：
a2 b2 c2 abc bca
2020年10月2日
7
5、已知a＞0， b＞0，且a+b=1， 求证：
（1）a1abb1
25 4
（2）
a1a2
bb12
25 2
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!

选修4－5 不等式选讲
第2讲 证明不等式的基本方法
考纲展示
三年高考总结
从近三年高考情况来看，不等式的证明是高考中的
了解证明不等式的基本方法：比较法、综
一个热点，题目以不等式的性质为基础来考查不等
合法、分析法，并能用它们证明一些简单
式的相关证明，题型以解答题为主，解题时注意比
不等式.
较法、分析法、综合法的应用.
，简化不等式，从而达到证明的目
的，我们把这种方法称为放缩法．
4．三个正数的算术-几何平均不等式
(1)定理 如果 a，b，c∈R＋那么a＋3b＋c ≥ 3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．即三个正数
a＋b＋c
3
的算术平均
3 不小于它们的几何平均 abc
.
(2)基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均数 不小于 它们的几何平均数，即a1＋a2＋n …＋an ≥
比较法证明不等式的方法与步骤 1．作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤 ①作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差； ②变形：将差式进行变形，化简为一个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积， 或配方变形为一个或几个平方和等； ③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号； ④结论：肯定不等式成立的结论． (2)作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．
2．若 n>0，则 n＋3n22的最小值为(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 成立)．
根据算术-几何平均不等式可得 n＋3n22＝n2＋n2＋3n22≥3× 3 12×12×32＝6(当且仅当 n＝4 时“＝”