最新人教版必修四高中数学3.1.1《两角差的余弦公式》导学案

高一年级数学导学案3.1.1 两角和与差的余弦学习目标：1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用。

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题。

重点：运用两角和与差的余弦公式求值和证明难点：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式活动一：知识梳理：两角和与差的余弦公式：=-)cos(βα βα-C()=+βαcos βα+C活动二：合作探究用向量法证明公式βα-C 的过程中角α，β的终边与单位圆分别相交于点A, B ，向量A O ,B O 的坐标是如何得到的？活动三：要点导学要点一：求值问题例1：求 105cos 及15cos 的值要点二：给值求值例2：已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-。

要点三：公式的正用，逆用例3：求值：（1）)25sin()35sin()25cos()35cos(αααα+-++-（2）)3cos()3cos(ϕπϕπ-++（3） 313sin 253sin 223sin 163sin +要点四：给值求角例4：已知锐角βα,满足10103cos ,55sin ==βα，求βα+要点五：例5：设α为锐角，求证：（1）)6cos(sin 21cos 23απαα-=+（2）)4cos(2sin cos θπθθ+=-课堂小结：作业：P135练习A,B。

先复习两个向量数量积的定义与坐标运算公式；
定义式： ；
坐标式： ．
（学生活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以 轴非负半轴为始边作角 ， ，它们的终边与单位圆 的交点分别为 、 ，则 ， ；
试用 、 两点的坐标表示 的余弦值。
（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求 ，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？
计
教
学
设
计
一
以境激情
一个斜坡的高为6m,斜坡的长度为10m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°，大小为10N,在力F的作用下，物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功。
我们已经知道
由此我们能否得到 的值呢？
对于 你们同意这个观点吗？说说理由？
通过学生熟知的物理中力的做功，引出本节课题.
（2）由于是具体角，拆分过程容易进行.
（3）拆分的多样性，决定变换的多样性.
（学生活动）求出 的值.
（1）通过诱导公式转化为 ；
（2）转化为先利用 求 ，再用同角关系求
（教师活动）
讲评例题2：
已知 是第三象限角，求 的值.
引导学生分析问题，形成如下思路：结合余弦公式,欲求 的值,必先知道 的值,然后利用公式 即可求解.,注意角 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.
使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力.
（教师活动）对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.
（教师活动）先请一位同学讲思路老师在黑板上演示，然后再向全体同学讲解：
（学生活动）学生认真审题，求解问题

3.1.1两角差的余弦公式课前预习学案一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。

二、预习内容阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：1. 如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-；2. 如何求出0cos15的值;3. 会求0sin 75的值吗？课内探究学案一、学习内容通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。

二、学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15 （2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。

②怎样作出角αβ-的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。

2.向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。

③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。

例题整理例1. 利用差角余弦公式求0cos15的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）ααπsin )2cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=4π52.sin α= α πcos β= - βcos 5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值变式训练：15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值 。

三、反思总结本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式C αβ-（） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.四、当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求0cos 75,cos1052.求值 0000cos75cos30sin 75sin 30+3．化简cos()cos sin()sin αββαββ+++14.cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos课后练习与提高一、选择题1. 0cos50cos 20sin50sin 20+的值为 （ ）A.12 B. 132. 0cos(15)-的值为 （ ）3.已知12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos()4πα-的值等于（ ）A.13 B. 26 C. 26 D. 13二、填空题4.化简0cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=5.若()0000cos60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==r r ，则a b •r r =三、解答题、 6.已知233sin ,,cos ,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.。

3.1.1 两角差的余弦公式 学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？有人认为cos(α-β)=cos α-cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.答案为：不正确.例如：当α=π2，β=π4时，cos(α-β)=cos π4=22， 而cos α-cos β=cos π2-cos π4=-22，故cos(α-β)≠cos α-cos β； 再如：当α=π3，β=π6时，cos(α-β)=cos π6=32， 而cos α-cos β=cos π3-cos π6=1－32，故cos(α-β)≠cos α-cos β. 思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°=________；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°=________；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°=________；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°=________.猜想：cos αcos β＋sin αsin β=________，即______________________________.答案为：①1 ②32 ③0 ④12；cos(α-β) cos(α-β)=cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1.单位圆中(如图)，∠AOx =α，∠BOx =β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案为： A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β). OA →与OB →的夹角是α-β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案为：①OA →·OB →=|OA →||OB →|cos(α-β)=cos(α-β)，②OA →·OB →=cos αcos β＋sin αsin β.∴cos(α-β)=cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α-β)：cos(α-β)=cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例1.计算：(1)cos(-15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值. 跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 105°； (2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.类型二 给值求值例2.已知α，β均为锐角，sin α=817，cos(α-β)=2129，求cos β的值.反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α=(α＋β)-β，α=β-(β-α)，α=(2α-β)-(α-β)，α=12[(α＋β)＋(α-β)]，α=12[(β＋α)-(β-α)]等.跟踪训练2 已知cos α=17，cos(α＋β)=-1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.类型三 给值求角例3.已知cos α=17，cos(α-β)=1314，且0<β<α<π2，求β的值.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 已知cos(α-β)=-1213，cos(α＋β)=1213， 且α-β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A.0B.12C.22D.32 2.若a =(cos 60°，sin 60°)，b =(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于() A.22 B.12 C.32 D.-123.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α=35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75B.15C.- 75D.- 154.已知sin α＋sin β=35，cos α＋cos β=45，求cos(α-β)的值.5.已知sin α=-45，sin β=513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α-β)的值.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题 1.化简cos(45°-α)cos(α＋15°)-sin(45°-α)sin(α＋15°)的结果为( )A.12B.- 12C.32D.- 322.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6-α)等于( ) A 3＋66 B.3－66 C.- 3＋66 D.6－363.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6=513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326 D.5＋53134.若cos(α-β)=55，cos 2α=1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π65.若cos(α＋β)=35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4=513，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A.22 B.32 C.5665 D.36656.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( ) A.- 12 B.12 C.32 D.- 327.化简sin(x ＋y )sin(y -x )-cos(x ＋y )cos(x -y )的结果为( )A.sin 2yB.cos 2yC.-cos 2yD.-sin 2y8.已知sin(π6＋α)=14，则cos α＋3sin α的值为( ) A.-14 B.12C.2D.-1 二、填空题9.已知cos α=45，cos(α-β)=-45，3π2<α<2π，π2<α-β<π，则cos β=________. 10.已知sin α=1517，α∈(π2，π)，则cos(π4-α)的值为________. 11.已知cos(α-β)cos α＋sin(α-β)sin α=m ，且β为第三象限角，则sin β=________.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a =(2cos A ，2sin A )，b =(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A -B =________. 13.已知sin α＋sin β＋sin γ=0，cos α＋cos β＋cos γ=0，则cos(α-β)值是______.三、解答题14.已知cos(2α-β)=-22，sin(α-2β)=22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值.。