关于圆锥曲线一个有趣的性质研究

大 学 出版 社 ． ２ ０ １ ２ ．
或ｍ ＝ 一 丁 ２ Ｘ ／ － ６ －
［ ２ ］ 来 洪 臣． 圆 锥 曲 线 问 题 中的 “ 设 而不求” ｕ 】 ＿ 中 小 学 教 学研 究 ，
２ ０ １ １， （ Ｏ ６ ） ．
定 理 ２ 双 曲线 一 ＝ １ 与直线 ｌ ： ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ 相 交 于 ４， 曰两
斜 率 ｋ与 截 距 ｍ 关 系的 式 子 。
关键词 ： 圆锥 曲线 ； 有趣 ； 性质 ； 研 究
【 中图分类号 】 Ｇ６ ３ ３ ． ６
【 文献标识码 】 Ｂ
【 文章编号 】 １ ６ ７ １ － ８ ４ ３ ７ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ ０ ４ ５ — ０ １
本 文 只 讨 论 』 圆 锥 曲 线 焦 点 在 ｘ轴 上 时 所 对 应 的 斜 翠 、 截
证明 ： 令 Ａ（ １ ， ｙ １ ） ， Ｂ（ ｘ ２ ， ） ， ． ‘ Ｏ Ａ上Ｏ Ｂ ． ・ ． ｘ ｌ ｘ ２ ＋ ｙ ｆ ２ ＝ ０ 即ｘ ￣ ｘ ２ ＋ （ ｋ ｘ １ ＋ ｍ） （ ｋ ｘ ２ ＋ ｍ） ＝ Ｏ ｊ
证明 ： 设 Ａ（ １ ， Ｙ １ ） ， Ｂ（ ｘ ２ ， Ｙ ２ ） ，’ ． Ｏ Ａ ｊ ＿ Ｏ Ｂ ． ・ ． ｌ ２ ＋ ｙ ｌ Ｙ ２ ＝ ０
，
２ ＝一 ａ ２ ｍ ２ ＿ａ２ ｂ ２
代入③ 式整理有 ￣ ｍ＋ ２ ｐｋｍ
，
：
，
０
代入①式有 （ １ “ ） － ａ ２ ｍ２ ＿ ａ Ｚ ｂ ２一 ｋ ｍ・ ２ ｋ ｌ ｎ ａ ２＋ ｍ ２ ＝ ０ ，整 理
Ｄ 十０ 。 ‘
ｏ 十 ０‘
则ｍ ＝ ０ （ 不合 题 意 ） 或 ＝ 一 ２ ｐ
ａ‘ ｏ
［ ３ 】 李庆兵 ， 曾铮 ， 苏有马． 圆锥 曲 线 的 又一 个 共 同几 何 性 质 Ｕ ］ ． 上 海 中 学数 学 ， ２ ０ １ １ ， （ ０ ５ ） ． 【 ４ ］ 魏垂政． 圆锥 曲线 中的 “ 圆性 质 ” 刚． 中学 数 学研 究， ２ ０ １ ０ ， （ １ Ｏ ） ．
例２ 已知 抛 物 线 Ｃ ： ｙ Ｚ ＝ １ ６ ｘ ， 是否存在定点 Ｍ， 使 过 Ｍ 的动
＋ ｂ Ｚ ） ｍ Ｚ － ａ ２ ｂ ２ （ １ ＋ ｋ ２ ） ＝ ０ 即 （ 。 ＋ ６ ） ｍ２ 得： — （ ａ ２ ａ ２ ｂ （ １ ） ＝ ０ 厂
— －
所 以
两点 ， 且Ｏ Ａ上Ｏ Ｂ ， 则 ＝ 一 ２ ｐ
等 ＝ － １ ２ 一 １
Ａ ， Ｂ两 点 ， Ｏ Ａ． １ ＿ Ｏ Ｂ ， 则
ｍ
＝ １＋ １
Ｄ ａ
定 理 ３ 抛 物 线 ＝ ２ ｐ ｘ （ ｐ ＞ ０ ） 与直线 ｌ ： ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ 相 交 于 Ａ， Ｂ
＝ ＋
直 线 与 抛 物 线 Ｃ交 于 Ｐ ， Ｑ两 点 ， 且以 Ｐ Ｑ为 直径 的 圆通 过 原 点 ？
解： 设 经 过 Ｍ 点 的直 线 方 程 为 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ。 则 由 定 理 ３知
例１ 已 知 椭 圆 方 程 为 手 ｘ ２ ＝ １ ， 直 线 方 程ｌ ： ｙ ＝ ｘ ＋ ｍ 与 ￣＝ － １ ６ ， 所以 直 线 方 程 为ｙ ＝ ｋ （ 一 １ ６ ） ， 所以 定点 （ １ ６ ， ０ ） 。
（ ６ ＋ ａ ２ ｋ ） ｘ ２ ＋ ２ ｋ ｍａ ２ ｘ ＋ ａ （ ｍ２ ＿ ６ ） ＝ ０
将 直 线 代 入 抛 物 线 有 ： ＋ （ ２ ｋ ｍ一 ） ｘ ＋ ｍ ＝ ０
２ ｋｍ 则 １ ２ ＝２ ｐ －
２ 后
一
则 ， ｚ 一 ２ ｋ ｍ ａ ２
帆
…
距的关 系 ， 对 于 其 他 情 况 得 到 的结 论 具 有 一 致 性 ， 故 此 处 不 再 复述 。
代入② 式整理有二 ！
： ０
定理 １ 直线 ｙ ＝ ｋ ＋ ｍ与椭圆 ＋ ｛ ；＝ １ （ ａ ＞ Ｏ ， ｂ ＞ Ｏ ） 相交于
“
即ｍ （ ６ ２ － ａ ２ ） ＝ （ １ 础 ） ｎ
（ １ ＋ ｋ 。 ） ｌ ｘ ２ ＋ ｋ ｍ（ ｘ ｌ ２ ） ＋ ｍ ＝ ＋ ｋ ｍ（ ｘ １ ２ ） ＋ ｍ Ｚ － ＝ Ｏ
ｍ ２
， ｌ ２ ＝
③
将直线ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ代人椭圆 ａ ＋ 鲁＝ Ｄ １ （ ０ ＞ ０ ， ｂ ＞ ｏ ） 整理得：
ｖ ｏ ． ６ Ｎ ｏ ． ３
妲锻囊翳常
教 育 教 学 ３
关 于圆锥 曲线 一个有趣 的性质研 究
杨 生 华
（ 湖 南 省 怀 化 市 铁 路 第 一 中学 湖 南 怀化 ４ １ ８ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 本文从直线 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ 与 三 类 圆锥 曲线 位 置 关 系得 到 启 发 ， 得 到 了 一 个使 得 原 点 ０ 与 交 点 Ａ、 Ｂ满 足 ０ Ａ Ｊ ＿ Ｏ Ｂ 的 情 况 下
点 ， 且 Ｏ Ａ ＿ ｋ Ｏ Ｂ ， 则 ， ｎ 。 ａ ： 一 Ｄ 丢
证 明： 设 Ａ（ １ ， Ｙ １ ） ， 曰 （ ２ ， ｙ ２ ） ，‘ ． Ｊ － Ｏ Ｂ ． ・ ． ｌ ２ ＋ ｙ ∥ ２ ＝ ０
椭 圆 Ｅ相 交 于 Ｍ ， Ⅳ两点 ， 且 Ｏ Ｍ 上Ｏ Ｎ（ 其 中 ０ 为 坐标 原 点 ） ， 求 ｍ的值。
参考文献 ：
１ 】 张 雪 明． 高校 自主 招 生 考 试 直 通 车 一 数 学［ Ｍ】 ． 上海 ： 上 海 交 通 解 ： 由 定 理 １ 知 ： 旦 ｍ ｝ ＝ ＋ ｝ 斗 ＝ ｝． ‘ ｜ ・ ． ｍ ２ ＝ 争 ｊ 即 ｍ ＝ — ２ ＂ ， ｊ ／ ６ 一 【