专题11.31反比例函数（动点问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴负半轴上一个定点，点P 是函数6(0)y x x-=<上一个动点，PB y ⊥轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会()A ．先增后减B ．先减后增C ．逐渐减小D ．逐渐增大2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点．点P 是线段AB 上一动点（不与点A 和B 重合），过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是（）A ．252B ．253C ．6D ．123．如图，已知A 、B 是反比例函数ky x=（0k >，0x <）图象上的两点，BC x ∥轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足分别为M 、N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是()①AOP BOP ∆≅∆；②AOP BOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④5．图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(5,0)，点B 是函数6(0)y x x=>图象上的一个动点，过点B 作BC y ⊥轴交函数2(0)y x x=-<的图象于点C ，点D 在x 轴上（D在A 的左侧，且AD BC =，连接,AB CD ．有如下四个结论：①四边形ABCD 可能是菱形；②四边形ABCD 可能是正方形；③四边形ABCD 的周长是定值；④四边形ABCD 的面积是定值．所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．已知反比例函数y =2x和正比例函数y =12x 的图像交于点M ，N ，动点P (m ，0)在x轴上.若△PMN 为锐角三角形，则m 的取值为()A ．-2＜m m ≠0B ．m m ≠0C ．-52＜m ＜m ＜52D ．-2＜m ＜m ＜27．函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图，P 是k y x=的图象上一动点，PC ⊥x轴于点C ，交的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交k y x =的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，下列结论错误的是（）A ．△ODB 与△OCA 的面积相等B ．当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点C ．CA DBPA PB=D ．当四边形OCPD 为正方形时，四边形PAOB 的面积最大8．如图，已知动点P 在函数1(0)2y x x=>的图象上运动，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：1y x =-+交于点E ，F ，则AF BE ⋅的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．129．如图，在反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象上有动点A ，连接OA ，y ＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B ，过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x的图象于点C ，过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx的图象于点D ，交x 轴点E ，连接AC ，OC ，BD ，OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1；②S △BOC ＝32；③S △CDF ＝316S △AOC ；④若BD ＝AO ，则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④10．函数4y x =和1y x =在第一象限内的图象如图，点P 是4y x=的图象上一动点PC x⊥轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ．给出如下结论：①ODB △与OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④13CA AP =．其中所有正确结论有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，点A 为反比例函数y ＝kx（k ＜0．x ＜0）图象上的动点，过点A 分别作x 轴，y 轴的平行线交反比例函数y ＝2x于点B 、点C ，若AB •AC ＝9，则k 的值为_____．12．如图，点P 是直线y ＝3上的动点，连接PO 并将PO 绕P 点旋转90°到PO′，当点O′刚好落在双曲线6y x=（x ＞0）上时，点P 的横坐标所有可能值为_____．13．如图，已知点A 是双曲线3y x=在第一象限上的一动点，连接AO ，以OA 为一边作等腰直角三角形AOB （90AOB ∠=︒），点B 在第四象限，随着点A 的运动，点B 的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．14．如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．15．点A （1，3）是双曲线y k x =上一点，点C 是双曲线y kx=上动点，直线AC 交y 轴于点E ，交x 轴于点N ，直线AO 交另一支曲线于点B ，直线BC 分别交x 轴于点M ，交y 轴于点F ，则EF ＝_____．16．在直角坐标系中有过点(3,4)A 的反比例函数(0)k y x x=>，在x 轴上有一点(1,0)P ，在反比例函数图象上有一个动点Q ，以PQ 为一边作一个正方形PQRS ，当正方形PQRS 有两个顶点在坐标轴上时，点S 坐标为__________．17．如图，点P 是反比例函数()0ky x x=<的图象上的动点，点P 绕着定点()0,0O 顺时针旋转45°，得到一个新的点P '，过点P '作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，若OMP ' 的面积是12，则k 的值为______．18．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与版比例函数my x=（x ＞0）的图象交于点P （n ，2），与x 轴交于点A （－4，0），与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC ．（1）求反比例函数的解析式为_____________．（2）根据图象直接写出kx ＋b ＜mx的x 的取值范围为_____________．（3）点D 为反比例函数图象上使得四边形BCPD 为菱形的一点，点E 为y 轴上的动点，当|DE －PE |最大时，求点E 的坐标为_____________．三、解答题19．如图一次函数y kx b =+与反比例函数(0)my x x=>的图象交于(1,6)A ，(,2)B n 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式(2)求AOB 的面积．(3)根据图象直接写出mkx b x+>时,x 的取值范围;(4)已知点(0,5)P ,设点D 是坐标平面内一个动点,当点A ,B ,P ,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点D 的坐标.20．如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()()1,4,4,A B n -两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接AO 并延长交双曲线于点C ，点D 为y 轴上一动点，点E 为直线AB 上一动点，连接,CD DE ，求当CD DE +最小时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接BD ，点M 为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，一次函数1y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象交于点(),1A n ，()1,B m -．(1)求函数ky x=的表达式；(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围；(3)点C 是反比例函数ky x=的图象上第一象限内的一个动点，当ABC 的面积等于ABO 的面积时，求C 点的坐标．22．如图，四边形AOBC 是菱形，点B 在x 的正半轴上，直线AB 交y 轴于点D 轴交x 轴于点B ，反比例函数()120y x x=-<的图象经过点(),4A m ．(1)求直线AB 的解析式(2)如图1，点P 是直线AB 上一动点，点M 是x 轴上一动点（点M 不与点O 点重合）．当PO PM +最小时，求点P 的坐标；(3)如图2，点N 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A -C -B 时停止，设点N 的运动时间为t秒， NDC的面积为S，求S与t的函数关系式．23．如图，一次函数112y x=+的图象与反比例函数()0ky xx=>的图象交于点(),3A a，与y轴交于点B．(1)求a，k的值；(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC AD=，连接CB．求ABC的面积；(3)以线段AB为对角线做正方形AEBF（如图），点G是线段BF（不与点B、F重合）上的一动点，M是EG的中点，MN EG⊥交AB于N，当点G在BF上运动时，请直接写出线段MN长度的取值范围．24．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．解：过点P作PC⊥x轴于点C，∵点P在y=-6x（x＜0）∴矩形PBOC的面积为6设A的坐标为（a，0），P坐标（x，−6x）（x＜0），△APC的面积为S，当a＜x＜0时，∴AC=x-a，∴PC=-6 x∴△APC的面积为S=12（x-a）•6x-=-3（1-ax）∵a＜0，∴-a＞0，∴-ax在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴1-ax在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴-3（1-ax）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，∴S=S△APC+6∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，当x≤a时，∴AC=a-x，∴PC=-6 x∴△APC的面积为S=12（a-x）•6x-=-3（ax-1）∵a＜0，∴ax在x＜a随着x的增大而增大，∴ax-1在x＜a上随着x的增大而增大，∴-3（ax-1）在x＜a上随着x的增大而减小，∴S=6-S△APC∴S在x＜a上随着x的增大而增大，∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，故选D．【点拨】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进行讨论，然后根据反比例函数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．本题综合程度较高．2．A解：设反比例函数解析式为y =k x ，一次函数解析式为y =ax +b ，将点A （1，12）代入y =k x 中，得k =12，∴反比例函数解析式为y =12x，将点A （1，12）、B （6，2）代入y =ax +b 中，得1226a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得214a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y =﹣2x +14．设点P 的坐标为（m ，14﹣2m ），则S 四边形PMON =S 矩形OCPD ﹣S △OCM ﹣S △ODN =S 矩形OCPD ﹣|k |=m （14﹣2m ）﹣12=﹣2m 2+14m ﹣12=﹣2272m -（）+252，∴四边形PMON 面积的最大值是252．故选A ．点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S 四边形PMON 关于m 的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．3．C【分析】根据点P 的位置，分①点P 在OA 上时，②点P 在反比例函数图象AB 段时，③点P 在BC 段，表示出四边形OMPN 的面积，最后判断出函数图象即可得解．解：①当点P 在OA 上运动时，OP t =，•cos sin S OM PM t t αα==⨯，α角度固定，因此S 是以y 轴为对称轴的二次函数，开口向上；②当点P 在AB 上运动时，设P 点坐标为(),x y ，则S xy k ==，为定值，故B 、D 选项错误；③当点P 在BC 上运动时，S 随t 的增大而逐渐减小，故A 选项错误．故选：C ．【点拨】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P 在O →A 、A →B 、B →C 三段位置时四边形OMPN 的面积计算方式．4．B【分析】①显然AO 与BO 不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP ，交x 轴于点E ，延长AP ，交y 轴于点F ，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，12a），A（12b，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．解：①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，∵AP//x轴，BP//y轴，∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，∵S△BOE=S△AOF=12k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，∵S△AOP=12OA•PN，S△BOP=12BO•PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，∴PM=PN，∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；④设P（a，b），则B（a，12a），A（12b，b），∵S△BOP=12BP•EO=112·2b aa⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=4，∴ab=4，∴S△ABP=12AP•BP=11212·2b aa b⎛⎫⎛⎫⨯--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8，故④错误，综上，正确的为②③，故选B．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．5．D【分析】根据题意可知AD BC ∥，结合=AD BC ，可知四边形ABCD 是平行四边形，设B 点坐标为6(,)a a ，则C 点坐标为(63a a -,，即可求出BC =43a ，利用勾股定理可得AB =AB ⊥AD ，即有a =5，求出B 点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C 作CE ⊥x 轴于E 点，过B 点作BF ⊥x 轴于F 点，将四边形ABCD 的面积转化为四边形BCEF 的面积，即可判断．解：：∵BC ⊥y 轴，∴AD BC ∥，∵=AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，设点B 点坐标为6(,)a a，则C 点坐标为(6)3a a -,，结合A 点坐标为(5,0)，∴BC =433a a a +=，AB =①当a =5时，BC =203，AB =65，此时AB ＜BC ，当a =1时，BC =43，AB =AB ＞BC ，随着a 值的变化，显然存在AB =BC 的情况，则平行四边形ABCD 可能是菱形，故①正确；②若平行四边形ABCD 是正方形，则AB ⊥AD ，此时A 、B 的横坐标相等，∴a =5，此时BC =203，AB =65，AB ≠BC ，故平行四边形ABCD 不可能是正方形，故②错误；③∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 的周长为：2(AB +BC )，当a =5时，BC =203，AB =65，周长为：2(AB +BC )=23615，当a =1时，BC =43，AB =周长为2(AB +BC )=83+，显然此时上述二者的周长不相等，故③错误；④过点C 作CE ⊥x 轴于E 点，过B 点作BF ⊥x 轴于F点，如图，则有四边形ABCD 的面积转化为四边形BCEF 的面积，∴ABCD BCEF S S BC BF ==⨯四边形四边形，∵43BC a =，6B a BF y ==，∴4683ABCD BCEF a S S BC BF a ==⨯=⨯=四边形四边形，故面积为定值，故④正确；故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征．6．C【分析】将两个函数联立求解可确定点M 、N 的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解即可得出取值范围．解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组122y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即122x x =，解得12x =，22x =-，假设M (2,1)，N (-2,-1)，当222PM PN MN +>时，∵()2221PM m =-+，()2221PN m =++，()()222221120MN =+++=，∴()()22212120m m -++++>，∴>mm <，当222PN MN PM +>时，()()22212021m m +++>-+,∴52m >-，当222PM MN PN +>时，()()22212021m m -++>++,∴52m <，综上，52m -<<52m <<．故选C【点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键．7．D【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是反比例函数k 的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案解：A 、由于点A 和点D 均在同一个反比例函数1y x =的图象上，所以12ODB S = ，12OCA S = ，故ODB △和OCA 的面积相等，故本选项正确；B 、如图，连接OP ，则2ODP OCP k S S == ， A 是PC 的中点，OAP S ∴= 1224OAC k k S =⨯= ，ODB S = 4OCA k S = ，4OBP ODP ODB k S S S ∴=-=，即4OBP ODB k S S == ，∴B 一定是PD 的中点，故本选项正确；C 、设,k P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,m k B k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,,k m m CA PA DB PB m m m m k k ∴==-==-，故1111CA m k PA k m m ==--，11mDB k m PB k m k==--，∴=CA DB PA PB ，故本选项正确；D 、由于矩形OCPD 、三角形ODB 、三角形OCA 的面积为定值，所以四边形PAOB 的面积不会发生变化，故本选项错误；故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数综合题，关键是设P 点坐标，利用点与点的坐标关系以及反比例函数的性质表现相关线段的长，要对每一个结论进行判断．8．C【分析】由于P 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，那么N 的坐标和M 点的坐标都可以a 表示，那么BN 、NF 的长度也可以用a 表示，接着F 点、E 点的也可以a 表示，然后利用勾股定理可以分别用a 表示AF ，BE ，最后即可求出AF BE ⋅．解：作FG x ⊥轴，P 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，N ∴的坐标为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 点的坐标为(),0a ，112BN a ∴=-，在直角三角形BNF 中，45(1NBF OB OA ∠=︒==，三角形OAB 是等腰直角三角形)，112NF BN a∴==-，F ∴点的坐标为111,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得出E 点的坐标为(),1a a -，2222111(11)()222AF a a a ∴=-++=，2222()()2BE a a a =+-=，22221212AF BE a a∴⋅=⋅=，即1AF BE ⋅=．故选C ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P 坐标，来确定E 、F 两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．9．D 【分析】设4(,A m m ，则OA 的中点B 为1(2m ，2m，即可求得1k =，即可判断①；表示出C 的坐标，即可表示出BC ，求得1323222BOC m S m ∆=⨯⨯=，即可判断②；计算出916CDF S ∆=，3AOC S ∆=，即可求得316CDF AOC S S ∆∆=，即可判断③；先证F 是BD 的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出2BFO CBD BCO COE ∠=∠+∠=∠，根据等腰三角形的性质得出AOC BFO ∠=∠，从而得到2AOC COE ∠=∠，即可判断④．解： 动点A 在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，∴设4(,)A m m，OA ∴的中点B 为1(2m ，2)m ，(0)k y x x => 的图象经过点B ，1212k m m∴=⋅=，故①正确； 过点B 作//BC x 轴交函数4y x =的图象于点C ，C ∴的纵坐标2y m=，把2y m =代入4y x=得，2x m =，2(2,)C m m ∴，13222m BC m m ∴=-=，1323222BOC m S m ∆∴=⨯⨯=，故②正确；如图，过点A 作AM x ⊥轴于M．4(,)A m m ，1(2B m ，2m ，2(2,)C m m ， 过点C 作//CE y 轴交函数k y x=的图象于点D ，交x 轴点E ，1(2,2D m m ∴，∴直线OC 的解析式为21y x m =，直线BD 的解析式为2152y x m m=-+，由221152y x m y x m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得5454x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，5(4F m ∴，5)4m ，12159()(2)22416CDF S m m m m ∆∴=--=，AOC AOM COE AMEC AMEC S S S S S ∆∆∆=+-= 梯形梯形，142()(2)32AOC S m m m m ∆∴=+-=，316CDF AOC S S ∆∆∴=，故③正确；1(2B m ，2m ，1(2,)2D m m ，5(4F m ，54m，F ∴是BD 的中点，CF BF ∴=，CBD OCB ∴∠=∠，//BC x 轴，COE BCO ∴∠=∠，2BFO CBD BCO COE ∴∠=∠+∠=∠，若BD AO =，则OB BF =，AOC BFO ∴∠=∠，2AOC COE ∴∠=∠．故④正确；故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．10．C【分析】由于A B 、是反比函数1y x =上的点，可得出12OBD OAC S S ==△△故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA PB ＝，故②错误；根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形PAOB 的面积为定值，故③正确；连接PO ，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．解：∵A B 、是反比函数1y x=上的点，12OBD OAC S S ==△△，故①正确；∵由图的直观性可知，P 点至上而下运动时，PB 在逐渐增大，而PA 在逐渐减小，只有当P 的横纵坐标相等时PA PB ＝，故②错误；∵P 是4y x=的图像上一动点，∴矩形PDOC 的面积为4，∴114322ODB OAC PDOC PAOB S S S S =----= 矩形四边形＝，故③正确；连接OP，∴2412POC OAC S PC S AC ===△△，∴1344AC PC PA PC ==，，∴3PA AC=，∴13AC AP =，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：C ．【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k 的几何意义是解答此题的关键．11．﹣1或﹣4．【分析】根据反比例函数y ＝k x 解析式设点A 的坐标为（m ，k m ），根据点A 、B 、C 的关系及反比例函数y ＝2x ，求得B （2m k ，k m ），C （m ，2m ），根据题意列方程即可得到结论．解：设点A 的坐标为（m ，k m ），∵过点A 分别作x 轴，y 轴的平行线，交反比例函数y ＝2x 于点B 、点C ，∴B （2m k ，k m ），C （m ，2m ），∴AB ＝2m k −m ，AC ＝k m −2m ，∵AB ∙AC ＝9，∴（2m k−m ）（k m −2m ）＝9，∴k ＝−1或k ＝−4，故答案为：−1或−4．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出关于k 的等式是解题的关键．12．【分析】分点P 在由在y 轴的左侧和点P 在y 轴的右侧两种情况求解即可.解：当点P 在由在y 轴的左侧时，如图1，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过点O′作O′N 垂直于直线y=3于点N，∵∠OPN+∠NP O′=90°，∠P O′N+∠NP O′=90°，∴∠OPN=∠P O′N ，∵直线y=3与x 轴平行，∴∠POM=∠O P N ，∴∠POM=∠P O′N ，在△POM 和△P O′N 中，90POM PO N PMO PNO PO PO ∠=∠'⎧⎪∠=∠'=︒⎨⎪='⎩，∴△POM ≌△P O′N ，∴OM=O′N ，PM=PN ，设点P 的横坐标为t ，则OM=O′N=-t ，PM=PN=3，∴GN=3+t ，∴点O′的坐标为（3+t ，3-t ），∵点O′在双曲线6y x=（x ＞0）上，∴（3+t ）（3-t ）=6，解得，∴点P 的横坐标为当点P 在由在y 轴的右侧时，如图2，过点O′作O′H 垂直于直线y=3于点H ，类比图1的方法易求点P如图3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，过点O′作O′F 垂直于直线y=3于点F ，类比图1的方法易求点P综上，点P 的横坐标为故答案为【点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键，解决问题时要考虑全面，不要漏解.13．3y x=-．【分析】设点B 所在的反比例函数解析式为()0k y k x =≠，分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于点E ，由全等三角形的判定定理可知△AOD ≌△OBE （ASA ），故可得出OE BE AD OD ⋅=-⋅，即可求得k 的值．解：设点B 所在的反比例函数解析式为()0k y k x=≠，分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于点E ，如图：∵∠AOE+∠DOB=90°，∠AOE+∠OAD=90°，∴∠OAD=∠BOE ，同理可得∠AOD=∠OBE ，在△AOD 和△OBE 中，OAD BOE OA OB AOD OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD ≌△OBE （ASA ），∵点B 在第四象限，∴OE BE AD OD ⋅=-⋅，即3k x x x x⋅=-⋅，解得3k =-，∴反比例函数的解析式为：3y x=-．故答案为3y x =-．【点拨】本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键．14．y=﹣8x．【分析】连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，8a ），得出OD=AE=8a，CD=OE=a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=8x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，CDO OEA DCO EOACO OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，8a），则OD=AE=8a，CD=OE=a，∴C点坐标为（﹣8a，a），∵﹣8aa∙=﹣8，∴点C在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8 x．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．15．6【分析】设AO的解析式为y＝mx（m≠0），将A（1，3）代入求得y＝3x，再求出反比例函数的解析式为y3x=，设C（n，3n），求出直线AC的解析式为y3n=-x33nn++，得到点E（0，33nn+），求出直线BC的解析式为y3n=x33nn-+，得到F（0，33nn-），即可求出答案．解：∵直线AO与反比例函数的图象交于A，B两点，∴设AO的解析式为y＝mx（m≠0），将A（1，3）代入得，3＝m，∴AO的解析式为y＝3x∴B（﹣1，﹣3）∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y 3x =．设C （n ，3n ），直线AC 的解析式为y ＝k 1x+b 1，将A （1，3），C （n ，3n ）代入得：11113k b 3k n b n=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：113k n 33n b n ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为y 3n =-x 33n n++；设直线BC 的解析式为y ＝k 2x+b 2，将B （﹣1，﹣3），C （n ，3n ）代入得：22223k b 3k n b n-=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：223k n 33n b n ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为y 3n =x 33n n -+，∴E （0，33n n +），F （0，33n n -），∴EF 33n 33n n n+-=-=6，故答案为：6．【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数图象与坐标轴交点坐标，两点之间的距离，解题的关键是设点C 的坐标求出函数解析式解决问题．16．(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)--【分析】利用待定系数法求出反比例函数表达式，再分情形画出图形分别求解即可解决问题．解： 反比例函数(0)k y x x=>，过点(3,4)A ，12k ∴=，①如图1中，四边形PQRS 是正方形，PS PQ ∴=，(1,0)P ，(1,12)Q ∴，12PQ ∴=，12PS ∴=，13OS ∴=，(13,0)S ∴．则当S 在负半轴时，(11,0)S -．②如图2中，四边形PQRS 是正方形，Q ∴、S 关于x 轴对称，设(1,)Q m m +代入12y x=中，(1)12m m +=，3m ∴=或4-（舍弃），(4,3)Q ∴，(4,3)S ∴-．③如图3中，作QE x ⊥轴于E ．四边形PQRS 是正方形，PS PQ ∴=，∠SPQ=90°，∴∠SPO+∠QPE=90°，又∠SPO+∠PSO=90°，∴∠QPE=∠PSO ，又∠POS=∠PEQ ，∴PQE SPO ∆≅∆（AAS ），1EQ OP ∴==，(12,1)Q ∴，11PE SO ∴==，(0,11)S ∴，④如图4中，作QE x ⊥轴于E ，QF y ⊥轴于F ．四边形PQRS 是正方形，∴PQ=RQ ，∠PQR=90°，∴∠FQR+∠FQP=90°，∠EQP+∠FQP=90°，∴∠FQR=∠EQP ，又∠QFR=∠QEP=90°，∴PQE RQF ∆≅∆（AAS ），QE QF ∴=，RF PE =，设(,)Q n n ，则Q ，(0R ∴，1)，设(,)S a b ，102+=1a ∴=-1b =，(1S ∴-1)．综上：点S 的坐标为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)--，故答案为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)--．【点拨】本题考查反比例函数综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．17．-1【分析】过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点P '作P M '垂直于二、四象限角平分线于点M ，可证得PNO P MO ' ≌，12PNO P MO S S '== ，再运用三角形面积公式即可求出答案．解：如图：过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点P '作P M '垂直于二、四象限角平分线于点M ，90PNO P MO '∴∠=∠=︒，根据题意可知：45POP ∠='︒，OP OP '=，OM Q 是二、四象限角平分线，45MON ∴∠=︒，45MON POP ∴'∠=∠=︒，PON POM P OM POM ∴∠+∠=+∠'∠，PON P OM ∴∠='∠，在PNO 与P MO ' 中，PNO P MO PON P OM OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩()PNO P MO AAS '∴ ≌，12PNO P MO S S '∴== ，1122NO PN ∴⋅=，1NO PN ∴⋅=，设点P 的坐标为(x ,y )，NO x ∴=-，PN y =，1xy ∴-=，1xy =-，点P 是反比例函数()0k y x x=<的图象上的动点，1k xy ∴==-，故答案为：-1．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的系数k 与三角形面积的关系，作出辅助线证明三角形全等，从而得到三角形的面积是解决本题的关键．18．8y x =0＜x ＜4E(0,3)．【分析】(1)由AC BC =且CO AB ⊥，利用三线合一得到O 是AB 的中点，求出OB 的长，确定出B 坐标，从而得到P 点坐标，将P 坐标代入反比例解析式求出m 的值，即可确定出反比例解析式；(2)观察图象即可求解；(3)假设存在这样的D 点，是四边形BCPD 为菱形，根据菱形的特点得出D 点的坐标，进而求解．解：(1)∵AC BC =，CO AB ⊥，(4,0)A -，∴O 是AB 的中点，即4OA OB ==，∴(4,2)P ，(4,0)B ，将(4,2)P 代入反比例解析式得：8m =，即反比例解析式为8y m =，(2)观察图象可知：m kx b x<+时x 的取值范围为04x <<，(3)假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，连接DC 交PB 于F，如图所示：∵四边形BCPD 为菱形，∴4CF DF ==，∴8CD =，将8x =代入反比例函数8y x=，得1y =，∴D 点的坐标为(8,1)∴则反比例函数图象上存在点D ，是四边形BCPD 为菱形，此时D 坐标为(8,1)，延长DP 交y 轴于点E ，则点E 为所求，则DE PE PD -=为最大，设直线PD 的表达式为：y sx t =+，将点P 、D 的坐标代入上式得：2418s t s t=+⎧⎨=+⎩，解得：143s b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线PD 的表达式：134=-+y x ，令0x =，则3y =，故点(0,3)E ．【点拨】此题属于反比例函数综合，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等于三角形的性质，菱形的性质，正确读懂题意是解题的关键．19．(1)28y x =-+；6y x=；(2)8；(3)0x <或13x <<；(4)点D 的坐标为(2,1)或(4,3)或(2,9)-【分析】（1）将(1,6)A 代入(0)m y x x=>可得m ，将(1,6)A 和(3,2)B 代入y kx b =+可求出一次函数的解析式；（2）设直线28y x =-+与x 轴相交于点C ，根据1122AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y =-=⋅-⋅ 即可求AOB 的面积；（3）观察函数图象，利用数形结合思想即可求解；（4）分三种情况，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解．（1）解：(1,6)A ，(,2)B n 在反比例函数(0)m y x x=>的图象上，166m ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式是6y x=．26n ∴=，解得3n =，(3,2)B ∴， 一次函数y kx b =+与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于A 、B 两点．∴632k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为28y x =-+；（2）解：设直线28y x =-+与x 轴相交于点C ，令0y =，得280x -+=，∴C 的坐标是(4,0)，∴4OC =，∴1111464282222AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y =-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯= ．（3）解：观察函数图象可知，当13x <<时，直线28y x =-+在(0)m y x x=>图象的上方，另外，当0x <时，直线28y x =-+在第二象限，m y x=在第三象限，因此直线28y x =-+在(0)m y x x =<图象的上方，综上可知，当m kx b x+>时，x 的取值范围为：0x <或13x <<；（4）解：当平行四边形ABDP 中PA 为边，PB 为对角线时，如下图所示，(0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B ∴0352(,)22E ++，即37(,)22E ，∴点D 的横坐标为32122⨯-=，纵坐标为72612⨯-=，∴点D 的坐标为(2,1)；当平行四边形ABDP 中PA ，PB 为边时，如下图所示，(0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B ∴1362(,)22E ++，即(2,4)E ，∴点D 的横坐标为2204⨯-=，纵坐标为2453⨯-=，∴点D 的坐标为(4,3)；当平行四边形ABDP 中PB 为边，PA 为对角线时，如下图所示，(0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B ∴0156(,)22E ++，即111(,)22E ，∴点D 的横坐标为12322⨯-=-，纵坐标为112292⨯-=，∴点D 的坐标为(2,9)-；综上，点D 的坐标为(2,1)或(4,3)或(2,9)-．【点拨】本题考查求反比例函数解析式、求一次函数解析式、根据图象求不等式的解集、平行四边形的性质等，第4问有一定难度，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．20．(1)一次函数的解析式为3y x =+；反比例函数解析式为4y x=；(2)()0,3-；(3)134141342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或134141342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,0-或()0,3-【分析】（1）根据点()1,4A 在反比例函数()220k y k x =≠的图象上，可求出反比例函数解析式为4y x =，从而得到点B 的坐标，再把点A 、B 的坐标代入一次函数()110y k x b k =+≠，即可求解；（2）作点C 关于y 轴的对称点G ，连接DG ，过点G 作FG AB ⊥于点F ，连接FG 交y 轴于点J ，设直线AB 交y 轴于点H ，交x 轴于点L ，则DG CD =，可得当点E 与点F 重合时，CD DE +最小，最小值为FG 的长，再根据双曲线的对称性可得点()1,4C --，从而得到点G 的坐标，再证得JKG 是等腰直角三角形，可得点F 与点L 重合，从而得到此时点D 与点J 重合，即可求解；（3）分两种情况讨论：当以BD 为边时，DN BM =，且,DN BM 互相平分；当以BD 为对角线时，MN BD =，且,MN BD 互相平分，即可求解．（1）解：∵点()1,4A 在反比例函数()220k y k x=≠的图象上，∴2144k =⨯=，∴反比例函数解析式为4y x =，把点()4,B n -代入得：414n ==--，∴点()4,1B --，把点()1,4A ，()4,1B --代入()110y k x b k =+≠得：11414k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为3y x =+；（2）解：如图，作点C 关于y 轴的对称点G ，连接DG ，过点G 作FG AB ⊥于点F ，连接FG 交y 轴于点J ，设直线AB 交y 轴于点H ，交x 轴于点L ，则DG CD =，∴CD DE DG DE FG +=+≥，即当点E 与点F 重合时，CD DE +最小，最小值为FG 的长，对于3y x =+，当0x =时，3y =，当0y =时，3x =-，∴3OL OH ==，∴45OHB ALO ∠=∠=︒，∵连接AO 并延长交双曲线于点C ，点()1,4A ，∴点()1,4C --，∴点()1,4G -，∴1,4KG OK ==，∵FG AB ⊥，∴45KJG HJF ∠=∠=︒，∴JKG 是等腰直角三角形，∴1JK KG ==，∴3OJ =，∴OH OJ =，∴点F 在HJ 的垂直平分线上，即点F 与点L 重合，∴此时点D 与点J 重合，∴当CD DE +最小时点D 的坐标为()0,3-；（3）解：设点4,M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N m n ，当以BD 为边时，DN BM =，且,DN BM 互相平分，即()()22220422413224341m a n a m n a a +-+⎧=⎪⎪⎪-+-+⎪=⎨⎪⎪⎛⎫+--=+++⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩，解得：3413432a m n ⎧=⎪⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩或3413432a m n ⎧=⎪⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，经检验：是原方程组的解，且符合题意，∴点N的坐标为13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；当以BD 为对角线时，MN BD =，且,MN BD 互相平分，即()()()2222422431224431a m n a a m n a +-⎧=⎪⎪⎪+--⎪=⎨⎪⎪⎛⎫-+-=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩，解得：130a m n =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或403a m n =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，经检验：是原方程组的解，且符合题意；∴点N 的坐标为()3,0-或()0,3-；综上所述，点N的坐标为13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,0-或()0,3-．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．21．(1)2y x =；(2)10x -<<或2x >；(3)或()11【分析】（1）点(),1A n ，()1,B m -在一次函数上，求出,m n 的值，待定系数法求出ky x =。
