第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．[重点] 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题．[难点] 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解．知识点一直线的倾斜角[填一填]1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．[答一答]1．每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了．2．若0°≤α<180°，任给定一个角α，有多少条直线与之对应？提示：有无数条，这无数条直线互相平行．知识点二直线的斜率[填一填]1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系3.经过两点的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[答一答]3．是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么？提示：当直线与x 轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x 轴的倾斜程度． 4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k ＝0，当0°<α<90°时，k >0，并且随α的增大，k 也增大，当α＝90°时，k 不存在；当90°<α<180°时，k <0，并且随α的增大，k 也增大．5．斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，但只颠倒其中一个的顺序是不行的．6．过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的所有直线都有斜率吗？提示：不是，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.类型一 直线的倾斜角 [例1] 给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)； ⑤若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．[答案]A根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类.[变式训练1](1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(C)A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°≤α<180°解析：如图所示，α为钝角，即90°<α<180°.(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为120°.类型二直线的斜率命题视角1：直线斜率的定义[例2]已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．[分析]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanα可求．[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，∴k＝tanα＝tan120°＝－ 3.∴直线l2的斜率为－ 3.直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：①当0°≤α<90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；②当90°<α<180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.[变式训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(D)A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0<k 3<k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1<0，所以k 1<k 3<k 2.命题视角2：直线的斜率公式[例3] 求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不相等的实数．(1)(a ，c )，(b ，c )； (2)(a ，b )，(a ，c )； (3)(a ，a ＋b )，(c ，b ＋c )．[分析] 先确定斜率，再由公式k ＝tan α确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在．[解] (1)k ＝c －c b －a ＝0，倾斜角为0°.(2)∵直线所经过的两点的横坐标相同， ∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (3)k ＝(b ＋c )－(a ＋b )c －a＝1，倾斜角为45°.只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.[变式训练3] (1)已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( A )A.33 B.3 C.32D ．1 解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝3，∴α＝60°，故直线l 的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l 的斜率为33.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 命题视角3：斜率公式的应用[例4] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.[变式训练4] 点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，则y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．解析：如图，设P 坐标(－1，－1)，A ，B 坐标分别为(2,4)，(5，－2)， k P A ＝4－(－1)2－(－1)＝53，k PB ＝－2－(－1)5－(－1)＝－16，所以y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( B ) A ．0 B.33C. 3D ．1解析：k ＝tan30°＝33. 2．若直线l 经过点M (2,3)，N (2，－1)，则直线l 的倾斜角为( D ) A ．0° B ．30° C ．60°D ．90° 解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( D ) A ．－45°<α<45° B ．－45≤α<45°C ．0°<α<45°或135°<α<180°D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°4．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为(3＋23，0)．解析：设Q (x,0)，则由tan150°＝－2x －3＝－33可求之．5．如下图，已知△ABC 三个顶点坐标A (－2，1)，B (1,1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－(－2)＝0.直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1.由于点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在． 又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°， ∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC 的倾斜角为135°.∴直线AB 的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率为－1，倾斜角为135°；直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.——本课须掌握的两大问题1．倾斜角理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[目标] 1.记住两直线平行与垂直的条件；2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；3.能利用两直线平行或垂直的条件解决有关问题．[重点] 两直线平行与垂直的条件及应用．[难点] 在利用两直线平行与垂直的条件时，对字母取值的讨论．知识点一 两条直线平行与斜率的关系[填一填]设两条不重合的直线l 1，l 2，斜率存在且分别为k 1，k 2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：[答一答]1．两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？提示：不一定，也可能斜率都不存在．2．两直线的斜率相等，两直线一定平行吗？提示：不一定．两直线的斜率相等，两直线平行或重合.知识点二两条直线垂直与斜率的关系[填一填][答一答]3．两条直线l 1，l 2垂直，它们的斜率之积一定为－1，这句话正确吗？提示：不正确．由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，它们的斜率之积不一定为－1.当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2互相垂直，但两直线的斜率之积不存在．类型一 两条直线的平行关系[例1] 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行： (1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)， N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． [分析] 求出斜率，利用l 1∥l 2⇔k 1＝k 2判断，注意公式成立的条件． [解] (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行； (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.[变式训练1] 试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：直线CD 的斜率为5－30－(－4)＝12，所以m －5－(m ＋1)＝12，m ＝－2.类型二 两条直线的垂直关系[例2] (1)l 1经过点A (3,4)和B (3,6)，l 2经过点P (－5，20)和Q (5,20)，判断l 1与l 2是否垂直；(2)直线l 1过点(2m,1)，(－3，m )，直线l 2过点(m ，m )，(1，－2)，若l 1与l 2垂直，求实数m 的值．[分析] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若斜率不存在，可结合图形判断．(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，则由另一条直线的斜率为0求解．[解] (1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，∴l 1⊥l 2.(2)①当两直线斜率都存在，即m ≠－32且m ≠1时，有k 1＝1－m 2m ＋3，k 2＝m ＋2m －1.∵两直线互相垂直，∴1－m 2m ＋3·m ＋2m －1＝－1.∴m ＝－1.②当m ＝1时，k 1＝0，k 2不存在，此时亦有两直线垂直．当2m ＝－3，即m ＝－32时，k 1不存在，k 2＝m ＋2m －1＝－32＋2－32－1＝－15，l 1与l 2不垂直．综上m ＝±1.利用斜率公式来判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．[变式训练2] (1)已知直线l 1经过点A (－2,5)，B (3,5)，直线l 2经过点M (2,4)，N (2，－4)，则直线l 1与l 2的关系是( B )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．重合D ．以上都不对解析：直线l 1的斜率k 1＝0，直线l 2的斜率不存在，所以l 1⊥l 2，选B.(2)若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( A )A ．－23B ．－32C.23D.32解析：由于直线l 与斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.∵k l ＝1－(－1)－a －2－(a －2)＝－1a ，∴－1a ·⎝⎛⎭⎫－23＝－1.∴a ＝－23. 类型三 直线平行与垂直关系的综合应用[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得k AB＝5－32－(－4)＝13，k CD＝0－3－3－6＝13，k AD＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC＝3－56－2＝－12.∴k AB＝k CD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.∵k AD≠k BC，∴AD与BC不平行．又k AB·k AD＝13×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．(1)在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标；(2)证明两直线平行时，仅k1＝k2是不够的，注意排除重合的情况；(3)判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形.[变式训练3]已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2＋22)、B(0,2－22)、C(4,2)，试判断△ABC是否是直角三角形．解：AB边所在直线的斜率k AB＝(2－22)－(2＋22)0－2＝22，CB边所在直线的斜率k CB＝(2－22)－20－4＝22，AC边所在直线的斜率k AC＝2－(2＋22)4－2＝－ 2.∵k CB·k AC＝－1，∴CB⊥AC.∴△ABC是直角三角形．1．下列说法正确的有(A)①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( B ) A ．－3 B ．3 C ．－13D.13 解析：因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3. 3．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( C ) A ．0° B ．135° C ．90°D ．180°解析：∵kl 1＝0且l 1⊥l 2，∴kl 2不存在，直线l 2的倾斜角为90°.4．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝－1，y ＝7.解析：∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标． 解：设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以顶点D 的坐标为(3,4)．——本课须掌握的两大问题1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l 1、l 2存在斜率k 1、k 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2(其中l 1，l 2不重合)；若l 1、l 2可能重合，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．3．2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[目标] 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件；2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系；3.会求直线的点斜式方程与斜截式方程．[重点] 直线方程的两种形式及应用． [难点] 直线方程的推导及应用．知识点一 直线的点斜式方程[填一填]1．已知直线(斜率存在)过两点P (x ，y )，P 0(x 0，y 0)，则直线的斜率k ＝y －y 0x －x 0.2．已知直线过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线方程是y －y 0＝k (x －x 0)．3．过定点P (x 0，y 0)，与x 轴平行的直线的方程为y ＝y 0；与y 轴平行的直线的方程为x ＝x 0.[答一答]1．方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0等价吗？提示：两个方程不等价，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线． 2．直线l 的点斜式方程是y －2＝3(x ＋1)，则直线l 的斜率是( C ) A.2 B.－1 C.3 D.－3 知识点二 直线的斜截式方程[填一填]1．已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则该直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b .2．b 是直线l 在y 轴上的截距．[答一答]3．“截距”与“距离”是否是一回事？提示：不是一回事，如：直线在y 轴上的截距并不是距离，而是直线与y 轴交点的纵坐标，它是一个数值，可正可负，可为零．当截距为非负数时，它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时，它等于交点到坐标原点距离的相反数．4．直线的斜截式方程能表示所有直线吗？提示：不能，当直线的斜率不存在时，则不能用斜截式方程表示．5．直线2x ＋3y ＋1＝0的斜率是－23，在y 轴上的截距是－13，在x 轴上的截距是－12.解析：将直线方程化为y ＝－23x －13得直线的斜率是－23，在y 轴上的截距是－13，令y＝0得x ＝－12，知直线在x 轴上的截距是－12.类型一 直线的点斜式方程[例1] (1)已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点、倾斜角分别为( )A.(4,3)，60°B.(－3，－4)，30°C.(4,3)，30°D.(－4，－3)，60°(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为______.(3)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．[解析](1)由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为3，所以倾斜角为60°.(2)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(3)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．[答案](1)A(2)x＝－5(3)y－4＝－(x－3)已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[变式训练1]求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝13x倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，－2)与y轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线y＝13x的斜率为13，∴倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，其斜率为 3.∴所求直线方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－23－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率k PQ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x ＋y－1＝0.类型二直线的斜截式方程[例2]根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为30°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.[解](1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)因为倾斜角α＝30°，所以斜率k ＝tan30°＝33，由斜截式可得方程为y ＝33x －2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k ＝tan60°＝ 3.因为直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线的方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.[变式训练2] (1)已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则直线l 的斜截式方程为y ＝3x －2.解析：由题意知直线l 的斜率k ＝3，故由直线方程的斜截式可得所求直线方程为y ＝3x －2.故填y ＝3x －2.(2)写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，当m 为何值时，直线过点(1,1)? 解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y ＝2x ＋m .∵直线过点(1,1)，将x ＝1，y ＝1代入方程y ＝2x ＋m 得1＝2×1＋m ，∴m ＝－1即为所求．类型三 直线方程的应用命题视角1：直线方程与平行、垂直 [例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1、k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2.因为两直线互相垂直，所以k 1·k 2＝a (a ＋2)＝－1.解得a ＝－1.所以当a ＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. 因为两条直线互相平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.所以当a ＝－1时，两直线互相平行．(1)若l 1∥l 2(斜率存在)，则k 1＝k 2，此时两直线与y 轴的交点不同，即b 1≠b 2；反之当k 1＝k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2，所以有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2.(2)若l 1⊥l 2(斜率存在)，则k 1·k 2＝－1；反之当k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2.所以有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[变式训练3] 已知直线l 过点A (2，－3)． (1)若l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程； (2)若l 与直线y ＝－2x ＋5垂直，求其方程．解：(1)法1：因为l 与y ＝－2x ＋5平行，所以k l ＝－2，由直线的点斜式方程，知y ＋3＝－2(x －2)．法2：已知直线方程为y ＝－2x ＋5， 而l 与其平行，所以y ＝－2x ＋b ，又过点(2，－3)，所以b ＝1，所以l 的方程为y ＝－2x ＋1. (2)法1：因为l 与y ＝－2x ＋5垂直，所以k l ＝12，由直线的点斜式方程知y －(－3)＝12(x －2)．法2：因为直线y ＝－2x ＋5的斜率为－2，l 与其垂直， 所以可设l 的方程为y ＝12x ＋c ，又因为过点(2，－3)，所以c ＝－4， 所以l 的方程为y ＝12x －4.命题视角2：“截距”的应用[例4] 已知直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，并且l 与两坐标轴围成三角形的面积为24，求直线l 的方程．[分析] 由题意可求出直线l 的斜率，设出直线的斜截式方程，求出直线l 在y 轴上的截距即可．[解] 因为直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b .令y ＝0，得x ＝43b ，即直线l 在x 轴上的截距为43b .由题意，得12|b |·⎪⎪⎪⎪43b ＝24，所以b 2＝36，所以b ＝±6，故所求直线l 的方程为y ＝－34x ＋6或y ＝－34x －6.已知直线的斜率常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距，同时注意截距与距离的区别.[变式训练4] 求斜率为34且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．解：设直线方程为y ＝34x ＋b .令x ＝0，得y ＝b .令y ＝0，得x ＝－43b .所以|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋⎝⎛⎭⎫－4b32＝12， |b |＋43|b |＋53|b |＝12，b ＝±3.故所求直线的方程为y ＝34x ＋3或y ＝34x －3.1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( C ) A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：∵方程可变形为y ＋2＝－(x ＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( B ) A.60°，2 B.120°，2－3 C.60°，2－ 3D.120°，2解析：∵该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3. 3．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( B ) A.k >0，b >0 B.k >0，b <0 C.k <0，b >0D.k <0，b <0解析：∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0. 4．若直线l 1：y ＝－2a x －1a 与直线l 2：y ＝3x －1互相平行，则a ＝－23.解析：由l 1∥l 2，∴－2a ＝3，∴a ＝－23.5．已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，且∠CAB ＝60°，∠CBA ＝45°，求边AB ，AC 和BC 所在直线的点斜式方程．解：由A (1,1)，B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0，故边AB 所在直线的方程为y －1＝0.由AB ∥x 轴，且△ABC 在第一象限知边AC 所在直线的斜率k AC ＝tan60°＝3，边BC 所在直线的斜率k BC ＝tan(180°－45°)＝－1，所以，边AC 所在直线的方程为y －1＝3(x －1)，边BC 所在直线的方程为y －1＝－(x －5)．——本课须掌握的两大问题1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．3．2.2 直线的两点式方程[目标] 1.记住直线的两点式方程与截距式方程，并会用它们求直线的方程；2.会用两点式方程与截距式方程解答有关问题．[重点] 直线的两点式方程与截距式方程及应用． [难点] 截距式方程及应用．知识点一 直线的两点式方程[填一填]经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程是y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线的两点式方程，简称两点式．[答一答]1．过点A (5,6)和点B (－1,2)的直线的两点式方程是( B ) A.y －5x －6＝y ＋1x －2 B.y －62－6＝x －5－1－5 C.2－6y －6＝－1－5x －5D.x －62－6＝y －5－1－52．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：不一定．(1)若x 1＝x 2且y 1≠y 2，则直线垂直于x 轴，方程为x －x 1＝0或x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2且y 1＝y 2，则直线垂直于y 轴，方程为y －y 1＝0或y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2且y 1≠y 2，则直线方程可用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．知识点二 直线的截距式方程[填一填]直线l 与x 轴的交点为(a,0)，与y 轴的交点为(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，则直线l 的两点式方程是y －0b －0＝x －a 0－a ，可以整理为x a ＋yb ＝1.它是由直线在x 轴上的截距a 和y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线的截距式方程．[答一答]3．在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( A ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1 C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 4．截距式方程不能表示哪些直线？提示：截距式方程的条件是a ≠0，b ≠0，即直线在x 轴、y 轴上的截距都不能为0，所以截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线及经过原点的直线．知识点三 中点坐标公式[填一填]若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[答一答]5．若已知A (x 1，y 1)及AB 中点(x 0，y 0)，如何求B 点的坐标？ 提示：设B (x ，y )，则由⎩⎨⎧x 1＋x2＝x 0，y 1＋y2＝y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－x 1，y ＝2y 0－y 1， 故点B 的坐标为(2x 0－x 1,2y 0－y 1)．类型一 直线的两点式方程[例1] 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[分析] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件，若满足，则应用公式求解；若不满足，则根据具体条件写出方程．[解] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M (52，－3)．又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.[变式训练1] 梯形ABCD 四个顶点坐标分别为A (－5，1)，B (1，－3)，C (4,1)，D (1,3)．求该梯形中位线所在直线的方程．解：∵k AB ＝－23，k CD ＝－23，∴AB ∥CD .又AD 中点M (－2,2)，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫52，－1，由直线的两点式方程得梯形的中位线MN 所在直线方程为y －2－1－2＝x ＋252＋2，化简得2x ＋3y －2＝0.类型二 直线的截距式方程[例2] 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程．[分析] 可设直线方程为截距式．[解] 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解．故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.解题时，一定要注意根据不同的条件，用适当的直线表达式来求直线方程.本题三角形的两直角边长恰好是直线在两坐标轴上的截距的绝对值，故设为截距式是比较适当的.[变式训练2] (1)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( C ) A.x ＋y ＝5 B.x －y ＝5C.x ＋y ＝5或x －4y ＝0D.x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.(2)若直线y ＝－b a x －cb 经过第一、二、三象限，则( D )A.ab >0，bc <0B.ab >0，bc >0C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析：因为直线经过第一、二、三象限，所以－ba >0，即ab <0，且直线与坐标轴的交点在原点的上方，所以－cb>0，即bc <0，故选D.类型三 直线方程形式的灵活选用[例3] 已知直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2，0)，直角顶点B 的坐标为(1，3)，顶点C 在x 轴上．(1)求边BC 所在直线的方程；(2)求△ABC 的斜边上的中线所在直线的方程．[解] (1)因为直角三角形ABC 的直角顶点为B (1，3)，所以AB ⊥BC ，故k AB ·k BC ＝－1.又A (－2,0)，所以k AB ＝3－01＋2＝33，从而k BC ＝－1k AB ＝－3，所以边BC 所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －23＝0.。
