量子力学12套内部模拟试题
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561模拟试题试题1一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,Y R 21,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=r r r r的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
二. （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H+=μ2ˆˆ20时，能级是0nE，如果哈密顿算符变成μαp H H ˆˆˆ0+=（α为实参数），求变化后的能级n E 。
三. （20分）质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中，()⎩⎨⎧>≤=0 ,0 ,010x V x x V 且>c ，01>V , 求其负的能量本征值。
四.（20分）已知在2L 与z L 的共同表象中，算符y L ˆ的矩阵形式为562⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0ii 0i 0i 02ˆ yL求y L ˆ的本征值和归一化的本征矢。
五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为μ，角频率皆为ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
试题2一.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kxA x 2sin=ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的取值几率分布及平均值。
二. （20分）质量为m 的粒子处于如下一维势阱中()⎪⎩⎪⎨⎧>>≤≤<∞=a x V ax x x V )0(0 ,00.0若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20V E =的状态，试确定此势阱的宽度a 。
三. （20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢1u、2u和3u 构成的，以其为基矢的两个算符Hˆ和B ˆ的矩阵形式如下563⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010100001ˆ ;100010001ˆb B H ω 其中，ω,b 为实常数。
证明算符Hˆ和B ˆ是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。
四. （20分）固有磁矩为s ˆγμ=的电子，0=t 时处于2=x s 的状态，同时进入z 方向均匀磁场kB B =中。
求0>t 时测量x sˆ得2-=x s 的几率是多少。
γ为已知常数，sˆ 为自旋算符。
五.（20分）一个电荷为q 、质量为μ和角频率为ω的线谐振子，受到恒定弱电场ε的作用，即x q W ˆε-=，求其能量近似到二级修正、波函数到一级修正。
试题3一.（20分）质量为m 的粒子，在阱宽为a 的一维无限深势阱中运动，当0=t时，粒子处于状态()()()()x x x x 3214141210,ϕϕϕψ+-= 其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的取值几率； （2） 求0>t时的波函数()t x ,ψ；564（3） 求0>t时能量的取值几率。
二.（20分）设体系的哈密顿算符为()22221ˆ21ˆˆ21ˆz y x L I L L I H ++=利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。
三. （20分） 自旋为21、固有磁矩为sγμ=（γ为实常数）的粒子，处于均匀外磁场jB B =中，设0=t 时，粒子处于2=zs的状态，求出0>t时的波函数，进而计算x sˆ与z sˆ的平均值。
四.（20分）若一维体系的哈密顿算符()x V p H +=μ2ˆˆ2不显含时间，在能量表象中证明： (1) ()mn m n mn x E E p -= i μ(2) ()()mmnmnn mp x E E 22222μ=-∑(3) ()()mmnmnn mx V x x E E ⎪⎭⎫⎝⎛=-∑d d 22μ五. （20分） 各向同性三维谐振子的哈密顿算符为())(21ˆˆˆ21ˆ2222222z y x p p p H z y x +++++=μωμ 加上微扰()zx yz xy W ++-=λˆ之后，用微扰论求第一激发态的一级能量565修正。
试题4一.（20分）质为m 的粒子处于一维位势()⎪⎩⎪⎨⎧>>≤≤<∞=a x V ax x x V 00 ,00 ,)(0中，导出其能量本征值00V E <<时满足的方程。
二.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的其中几率分布及平均值。
三.（20分）若一维体系的哈密顿算符()x V p H +=μ2ˆˆ2不显含时间，在能量表象中证明：（1） ()mn m n mn x E E p -= i μ（2） ()()mmnmnn mp x E E 22222μ=-∑（3） ()()mnnmnn mx V x x E E ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∑d d 22μ566四.（20分）求自旋角动量在任意方向n（方向余弦为γβαcos ,cos ,cos ）的投影算符γβαc o s ˆc o s ˆc o s ˆˆz y x n s s s s++= 的本征值和相应的本征矢。
五.（20分）设有一量子体系，其能量算符0ˆH 的本征矢记为() ,2,1,0=n n ，给定厄米特算符B Aˆ,ˆ及[]A B C ˆ,ˆi ˆ=。
设体系受到微扰[]0ˆ,ˆi ˆH A W λ=的作用，若已知0ˆ0,0ˆ00ˆ0000C C B B A A===，试在微扰后的基态（无简并）下计算Bˆ的平均值，准确到λ量级。
试题5一.（20分）氢原子在0=t 时刻处于状态()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=r r r C r3212131210,ϕϕϕψ 式中，()r nϕ为氢原子的第n个本征态。
（1） 计算?=C ； （2） 计算0=t时能量的取值几率与平均值；（3） 写出任意时刻t的波函数()t r ,ψ。
二.（20分） 证明： （1）若一个算符与角动量算符J ˆ 的两个分量对易，则其必与Jˆ567的另一个分量对易；（2）在2ˆJ 与z J ˆ的共同本征态JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为零，且当JM =时，测量x J ˆ与y J ˆ的不确定性之积为最小。
三. （20分）有一质量为m 的粒子，在如下势场中运动()⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤><∞=b x a V ax b x x x V ,0 ,0,0,0试求出束缚能级所满足的方程。
四.（20分）由两个自旋为21的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分别处于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011χ；⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=2i e x p 2s i n 2i e x p 2c o s 2ϕθϕθχ的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。
五.（20分）一个质量为μ、角频率微0ω的线谐振子，受到微扰2ˆx W β=的作用，（1） 用微扰论求能量的一级修正；（2） 求能量的严格解，并与（1）的结果比较。
试题6568一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,Y R 21,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=r r r r的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
二.（20分）已知算符B Aˆ,ˆ满足A A B A AA A A ˆˆˆ ,1ˆˆˆˆ ,0ˆ2+++==+=，证明B Bˆˆ2=，并在B ˆ表象中求出A ˆ的矩阵表示。
三.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ2ˆˆ20时，能级是0n E ，如果哈密顿算符变成μαp H H ˆˆˆ0+=（α为实参数），求变化后的能级n E 。
四. （20分） 两个自旋为21的非全同粒子，自旋间的相互作用是21ˆˆs s C ⋅，其中，C 是常数，1ˆs 与2ˆs 分别是粒子1和粒子2的自旋算符。
设0=t时，粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向，求0>t时测量粒子2的自旋处于z 轴负方向的几率。
五．（20分）三维各向同性谐振子的能量算符为()222220212ˆˆzy xm mp H +++=ω试写出能量本征值与本征函数。
如这谐振子又受到微扰569xyW 22ˆωλ=()1<<λ的作用，用微扰论求基态能量到二级微扰修正，并与精确解比较。
试题7一. （20分） 线谐振子在0=t 时处于 ()()()()x x x x 3102123210,ϕϕϕψ++=态上，其中()x n ϕ为线谐振子第n 个本征值对应的本征函数。
（1） 求在()0,x ψ态上能量的可测值、取值几率与平均值； （2） 写出0>t时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。
二.（20分）对一维定态问题，若哈密顿量为()x V p H+=μ2ˆˆ2且设其具有断续譜，即nE n H n=ˆ，证明 （1） ()k pk x E E knnn k22222ˆμ=-∑（2） 若()x V 与μ无关，则()μ∂∂-=-∑k knnn kE x E E2222三.（20分）两个自旋为21的粒子，它们之间的相互作用为是57021ˆˆs s ⋅γ，其中，γ是常数。
设0=t 时，粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿x 轴的正方向，求0>t 时测量粒子1的自旋沿z轴正方向的几率。
四.（20分）质量为μ、电荷为q 的粒子，在方向互相垂直的均匀电场()0,0,εε=和均匀磁场()B B ,0,0=中运动，取电磁场的标势和矢势分别为x εφ-=和()0,,0Bx A =，其哈密顿算符为φμq A c q p H +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2ˆ21ˆ找出包括Hˆ在内的力学量完全集，并进而求出能量的本征值和本征矢。
五.（20分） 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为 ()r Zer V 2-=（Ze 为核电荷）当核电荷变为()e Z 1+时，相互作用能增加reW2ˆ-=，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。
试题8一. （20分）质量为m 的粒子，在如下势场()()()x V x V x V ~0+-=δ571中运动，其中，()⎩⎨⎧>≤=0,0 ,0~1x V x x V0V 、1V 为两个正实数, 求能量本征值E ()0<E 。
二.（20分） 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()()0,2121>=k kx x V 的基态，（1） 若弹性系数k突然变成k2，即势场变成()22kx x V =，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态度几率； （2） 势场突然由()x V 1变为()x V 2后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成()x V 1，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来()x V 1势场的基态（几率为100％）。
