《非负性》专题

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1 / 8 绝对值专题

绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：

l．去绝对值的符号法则：)0()0(0)0(aaaaaa

2．绝对值基本性质

①非负性：0a；

②baab；

③)0(bbaba；

④222aaa；

⑤baba；

⑥bababa．

3．绝对值的几何意义

从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；ba表示数a、数b的两点间的距离．

例题讲解

【例1】(1)已知1a，2b，3c，且cba，那么cba＝．

(2)已知dcba、、、是有理数，9ba，16dc，且25dcba，那么cdab．

（3）已知5x，1y，那么yxyx_________．

（4）非零整数m、n满足05nm，所有这样的整数组),(nm共有______组．

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2 / 8 思路点拨 (1)由已知条件求出cba、、的值，注意条件cba的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x，y的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．

【例2】如果cba、、是非零有理数，且0cba，那么abcabcccbbaa的所有可能的值为( )．

A．0 B． 1或1 C．2或2 D．0或2

思路点拨根据ba、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键．

【例3】已知12b•ab与互为相反数，试求代数式：1111(1)(1)(2)(2)(2015)(2015)abababab的值．

2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 章末专题复习练习题

专题课1 绝对值的应用

类型1 绝对值的非负性

①|a|≥0.

①若|a|＋|b|＝0，则a＝b＝0.

1．若|x|＝x，则x的取值范围是( )

A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜0

2．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是__________．

3．已知|x－3|＋|y－1|＝0，求2x＋3y的值．

4．已知有理数|x－2|与|y－3|互为相反数，求x＋y＋xy的值．

类型2 绝对值的最值问题

5．当a＝2时，|2－a|＋2会有最小值，且最小值是________．

6．当b＝12 时，5－|2b－1|会有最大值，最大值是________．

7．已知x为有理数，则|x－5|＋|x－3|的最小值是________．

8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

(1)若|x－2|＝5，则x＝________；

(2)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|有最小值，请写出当x在什么范围时|x－3|＋|x－6|有最小值，并求出最小值；

(3)当x取何值时，|x－2|＋|x－(－3)|＋|x－4|有最小值，最小值是多少？

专题课2 有理数的大小比较

类型1 利用数轴比较有理数的大小

1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a，b，c，d，则下列说法正确的是( )

A．a>b B．c<0 C．bd

2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a，－a，－1，1的大小关系是( )

A．a＜－1＜1＜－a B．－a＜－1＜a＜1

专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）

专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的

典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混

合运算。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一二次根式的双重非负性

第一层非负性：被开方数0

1．（2022春·重庆）式子1

2a

a

有意义，则实数a的取值范围是（）

A．a≥-1B．a≠2C．a≥-1且a≠2D．a＞2

【详解】解：由题意得，a10,a2，解得，a≥-1且a≠2，故答案为：C.

2．（2019·广东广州）代数式18x有意义时，x应满足的条件是______.

【详解】解：代数式1

8x有意义，可得：80x，所以8x，故答案为8x.3.（青竹湖）函数xx

y2

中，自变量x的取值范围是.

【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2且x≠0，所以，自变量x的取值范围是x≥2．

4．（2022秋·山东济南）若a，b都是实数，b＝12a+21a﹣2，则ab的值为_____．

【详解】解：∵b＝12a+21a﹣2，∴120

210a

a

，∴1-2a=0，解得：a=1

2，则b=-2，

故ab=（1

2）-2=4．故答案为4．

5.（雅礼）已知实数x、y满足0115yx，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x﹣5＝0，y﹣11＝0，解得x＝5，y＝11，

①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．

②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：

27；故答案为27．

第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数2,0

,0aa

aa

aa





6．（2022春·四川凉山）如果21221aa，那么（）A．12aB．1

专题11 二次根式重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）

专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的

典型考题，具体包含五类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混

合运算、二次根式的压轴题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一 二次根式的双重非负性

第一层非负性：被开方数0

1.（南雅）在函数121xyx中，自变量x的取值范围是（ ）

A. 1x B. 1x且12x C. 1x且12x D. 1x

【解答】解：由题意得，x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选：C．

2.（广益）若式子1xx有意义，则x的取值范围是 .

【解答】解：x+1≥0，x≠0，解得，x≥﹣1且x≠0，

则式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．

3.（青竹湖）函数xxy2中，自变量x的取值范围是 .

【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2且x≠0，所以，自变量x的取值范围是x≥2．

4.（青竹湖）已知443yxx，则yx的值为（ ）

【解答】解：由题意可得：x＝4，则y＝3，则的值为：．故选：C．

5.（雅礼）已知实数x、y满足0115yx ，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是 .

【解答】解：根据题意得，x﹣5＝0，y﹣11＝0，解得x＝5，y＝11，

①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．

②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27． 第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数2,0,0aaaaaa

6. （长郡）如果aa21122，则（ ）