人教版数学九年级上册：24.1.2垂直于弦的直径-课件

变式3 ⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则
AB的弦心距长为
.
设计意图：通过定理的变式，使学生能灵活运用垂
径定理解决圆的有关计算问题。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
设计意图:使生活问题数学化，数 学问题生活化，激发学生的探究 欲望。
教学过程
活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？ （自主学习 动手操作） 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。
设计意图：使学生在解决问题的过 程中，不断探究新知识，为探究垂 径定理做铺垫。
本节知识在中招考试中所占的分值:
2010年 3分
2011年 3分
2012年 3分
2、教学目标
（1）知识技能：
①使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理； ③学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
（2）能力目标：
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
（3）情感目标：
通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩 证唯物主义观点及美育教育.
升华篇(10分钟) 总结篇(2分钟) 应用篇(8分钟) 验证篇(14分钟) 操作篇(4分钟) 情景篇(2分钟)
教学过程
情境篇
问题 ：后勤刘师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下
水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60CM， 水面至管道顶部10CM，你能帮刘师傅计算一下他应准备内 经多大的管道吗？

M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形

两条辅助线： 连半径，作垂直
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
作业： 1.P88习题24.1 第8题、第10题； 2.智慧学习P83 .
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是 不是，因为CD 没A
O
O
A
EBA
DB
D
E
B D O
C
O A CB
集众人之慧
思考探索 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条 或两条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
人教版九年级上册
24.1.2垂直于弦的直径
.
观图形之美
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦长）是37.4m，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.2m， 你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
观图形之美
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得 到什么结论？你能证明你的结论吗？
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE, A⌒C =⌒BC, A⌒D =B⌒D.
·O AE B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种
语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
探数学之理
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果
不是，请说明为什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
的长为 8 cm， ⊙O的半径为
O·
5 cm，求圆心O到弦AB的距

证明）.
补偿提高
1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取 值范围. 补偿提高1题.gsp
∵OD⊥AB, ∴AD=BD=4 在直角三角形AOD中，OA=5(勾股定理)
▪ 2、已知：若以O为圆心作一个⊙O的同心 圆，交大圆的弦AB于C，D两点.
▪ 求证：AC＝BD.
▪ 2.gsp
▪ 变式1：隐去大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD. ▪ 变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不
24.1.2 垂直于弦的直径
自主探究
问题一 用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？ 折叠圆.gsp 问题二 1、观察、思考并回答： （1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？ （2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？ (3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？
折叠.gsp
▪ （4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是 否也相等？如何证明？
▪ 弧相等演示.gsp
▪ 2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？ 这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话 概括出来.
▪ 例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？
▪ 问题三 ▪ 命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦
所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确， 错在哪里？你认为应该怎样修改？
反知在⊙O中，弦AB的长为8厘 米，圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的 半径.
▪ 1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘 米，圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的 半径.