试位法的一种改进及其收敛性分析

k4.1045
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表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.

则称序列（Ｘ。）至少Ｐ阶收敛．当ｐ＝ｌ，０＜Ｃ＜１时，称序列（ｘ“）至少线性收
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101

浅议数值模拟收敛性调整方法数值模拟是一种通过计算机程序模拟真实世界中的物理现象或过程的方法。

在进行数值模拟时，我们经常会遇到收敛性问题，即模拟结果与真实结果之间存在一定的误差。

为了提高模拟结果的准确性和可靠性，我们需要采取一些方法来调整收敛性。

收敛性调整方法主要分为以下几种：网格细化、时间步长调整、算法改进以及模型简化等。

网格细化是一种常用的收敛性调整方法。

在数值模拟中，物理过程通常是在离散网格上进行的，网格越细，模拟结果与真实结果之间的误差就越小。

通过不断加密网格，即进行网格细化，可以提高模拟结果的收敛性。

网格细化的原理是将原始网格划分为更小的子网格，然后在子网格上进行计算。

由于子网格比原始网格更细，所以计算结果更精确，收敛性更好。

网格细化的计算量较大，因此在实际应用中需要权衡计算效率和模拟结果的精确性。

时间步长调整是另一种常用的收敛性调整方法。

在数值模拟中，计算时间通常是离散化的，即将时间轴划分为多个时间步长。

时间步长越小，模拟结果的收敛性越好。

通过减小时间步长，可以提高模拟结果的准确性和可靠性。

时间步长的减小会增加计算量，所以需要权衡计算效率和模拟结果的精确性。

算法改进是另一种常用的收敛性调整方法。

在数值模拟中，我们通常采用一些数值算法来模拟物理过程。

不同的算法对收敛性的要求不同，有些算法可能具有较好的收敛性，而有些算法可能具有较差的收敛性。

通过改进数值算法，可以提高模拟结果的收敛性。

算法改进的原理是对原始算法进行优化，使之更加符合物理过程的特点，从而提高收敛性。

算法改进可以是对求解方法的改进，也可以是对边界条件或初始条件的改进等。

模型简化是另一种常用的收敛性调整方法。

在数值模拟中，模拟的物理过程通常是非常复杂的，包含很多细节和难以描述的因素。

为了提高模拟结果的收敛性，我们可以对模型进行简化。

模型简化的原理是将原始模型中的一些复杂因素或细节去除或略去，以简化模型的计算，从而提高收敛性。

模型简化可以是对物理方程的简化，也可以是对边界条件或初始条件的简化等。

BP神经网络收敛性问题改进措施- IT计算机BP神经网络的改进方法及详细措施第24卷第1期Vo124No1重庆交通学院学报JOURNALOFCHONGQINGJIAOTONGUNIVERSITY2023年2月Feb.,2023BP神经网络收敛性问题的改进措施贺清碧,周建丽(重庆交通学院计算机及信息工程学院,重庆400074)ΞBP神经网络的改进方法及详细措施重庆交通学院学报第24卷144llΣδW′jk(n0+1)=W′jk(n0)+ηjkx′jppp权和的结果使ΔWij(n0)减小,因而起到了稳定作用.213变步长法变步长法的基本思想为:先设一初始步长,若一次迭代后误差函数J 增大,则将步长乘以小于1的常数,沿原来方向重新计算下一个迭代点;若一次迭代后误差函数J削减,则将步长乘以小于1的常数.假设传统的BP算法权值修正公式为0)ΔW=Wij(n0+1)=Wij(n0)+η9Wij(n0)(1)p=1lllWjk(n0+1)=Wjk(n0)+ηΣδjkxjpppp=1llBP算法特点就是在反向传播等效误差量δlpppll时,δl地位相像于正向传播中的输出yl,因此给计算带来了很大便利.BP算法如下进行:(1)正向传播,计算输出和总误差E;pl(2)反向传播误差δWij;l,计算Δ(3)修改权值Wij,然后回到(1)循环往复,直到达到E的最小值点,实际计算中,经常给E规定一个界限,当E达到这一界限时,计算便终止.2BP网络存在的收敛性问题及几点改进措施BP算法是一种有效的学习算法,很有用,业掌握如DC-DC变换器的智能掌握、应用,很慢,.通常影响收敛速度的首先是误差函数,由于它是权重多维空间的超曲面,该曲面存在着很多大范围的“平坦区”,又存在着大量的局部微小的“沟谷”,从而影响收敛速度,甚至难于收敛.其次是神经元的传输函数引起的“假饱和现象”.另外收敛速度还与初始权值和传输函数的选择有关.针对这个问题,可以采纳以下几点改进措施: 211转变误差函数ppllδ由于等效误差重量δjk和ij的大小和正负的变化对收敛速度存在影响,由于BP网络是误差逆向传ppplllδ播,δjk和δij两者比较,jk对收敛速度的影响更大,所以,我们可选取“信息熵”作为误差函数的定[6]义,lE总=ΣΣ[tlllogyll+(1-tll)δlog(1-l该公式中学习步长η是一个固定值,若在0-1内取值,算法将导致不收敛,若步长过小,收敛速度太慢,,,导致,在,学习步长是一个η(n0+1)=η(n0)-β(2)J式中,η(n0+1),η(n0)分别为学习步长修正后的值和当前值,-β为步长增量;0β1为常量.J在学习过程中,逐步自动调整学习常数,每次对学习样本进行一次循环后,计算误差变化率:J(n)-J(n-1)ΔJ(3)=JJ(n0)采纳ΔJ/J作为步长修正依据是基于以下考虑:当ΔJ=J(n0)-J(n0-1)0,说明学习误差正在增大,输出值正大远离期望值,权值调整过大,需要减小ΔW.由公式(1),若削减η,ΔW也必定削减.而学习步长调整公式(2)中η的确是在减小,符合要求,能够加快学习收敛速度.反之,当ΔJ=J(n0)-J(n0-1)0,说明学习误差在减小,输出值正在靠近期望值,这时若增大ΔW则会加快误差减小,但是当误差J已经很小时则ΔJ 变化很小,对ΔW的影响就很小,收敛速度很慢.但是ΔJ/J的变化要比ΔJ 变化大得多,则对ΔW的影响就很大.由公式(3)减小了ΔJ/J也就增大了η,从而加快学习收敛速度.214连接权重的选择收敛速度还与初始权值的选择有关,为避开学习过程中的振荡,J.Caillon等人曾强调限制连接权重的范围,将权重初值限制在[-015,015]区间内随机选取.一般将连接权重初值限制在[-5,5],也可加速收敛.215传输函数(激励函数)的选取传输函数(激励函数)也是BP算法中影响收敛pn-1ppppp=1l=0lly)],其中,δ=yll-tll.lpllppp212加入动量项为了使学习速率足够大,又不易产生振荡,依据Rumelhart的建议,在权值调整算式中,加入“动量n0k-1n-1项”,即: Wij(n0)=-ηΣβ+β0k=29Wij(k-1)ΔW(1)其中β为调整因子,这里0β1.该式的意义在于:当本次9J(n0)/9Wij(n0)与前一次同符号时,其加权求和值增大,使ΔWij(n0)增大,从而在稳定时增加了W的学习速度;当9J(n0)/9Wij(n0)与前次符号相反时,说明有肯定的振荡,此时指数加BP神经网络的改进方法及详细措施第2期贺清碧,等:BP神经网络收敛性问题的改进措施145的重要因素,传输函数的选取影响着BP算法的收敛速度,在BP算法中,传输函数f一般取为f(x)=(1+e-x)-1,这是一个S型函数,它满意:(1)limf(x)=1;x +∞x -∞[7]时刻的修改方向则为上一时刻修改方向与此刻方向的组合,它能有效加速收敛并防止振荡;初始权值和传输函数的选取等.。