2020版高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.3离散型随机变量的分布列及均值、方差教案

1 §12.3 离散型随机变量的分布列及均值、方差

最新考纲 1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 2

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②i＝1npi＝1. 3 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 0

1

P 1－p p

其中0

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

3．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2

… pi … pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝∑ni＝1 (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

4．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

5．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN (k＝0,1,2，…，m)，即

X 0 1 … m

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … CmMCn－mN－MCnN

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 4 概念方法微思考

1．离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？

提示 代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．

2．如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？

提示 可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．

3．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？

提示 随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差． 5

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )

(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )

(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )

(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )

(5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ )

(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )

题组二 教材改编

2．设随机变量X的分布列如下：

X 1 2 3 4

5

P

112

16

13

16 p

则p为( )

A.16B.13C.14D.112

答案 C

解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，

∴p＝1－34＝14.

3．已知X的分布列为 6 X －1 0

1

P 12 13 16

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )

A.73B．4C．－1D．1

答案 A

解析 E(X)＝－12＋16＝－13，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.

4．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．

答案 0,1,2,3

解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.

题组三 易错自纠

5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )

A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数 D．取到的球的个数

答案 C

解析 选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.

6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．

答案 27220

解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，

故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220. 7

题型一 分布列的求法

例1设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．

(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；

(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．

解 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝23，P(Ak)＝13，k＝1,2,3,4,5.

(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为

P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)

＝23×13＋13×23＝49. 8 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C12×23×13＝49.

(2)X的所有可能值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)

＝23×23＋13×13＝59，

P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)

＝23×132＋13×232＝29，

P(X＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)

＝233×13＋133×23＝1081，

P(X＝5)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)

＝232×132＋132×232＝881.

故X的分布列为

X 2 3 4 5

P 59 29 1081 881

思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；

(2)求X取每个值的概率；

(3)写出X的分布列．

求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．

解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝A12A13A25＝310.

(2)X的可能取值为200,300,400. 9 P(X＝200)＝A22A25＝110，

P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)

＝1－110－310＝35.

故X的分布列为

X 200 300 400

P 110 310 35

题型二 均值与方差

例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为

X1 300 －150

P 79 29

10 ∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200.

若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为

X2 500 －300

0

P 35 13 115

∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.

D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29

＝35000，

D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.

∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．

思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略

(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．

(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．

(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．

跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．

解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，

甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.