数轴中的数形结合思想

以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。

笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。

”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。

正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

1.2.1 数轴1．数轴(1)定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图．①数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；②原点的选定，单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．通常取向右的方向为正方向．(2)数轴的画法画一条数轴的步骤可概括为：一画、二定、三选、四标．①画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；②定原点：通常原点选在你所画直线居中的位置，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些．③选正方向：通常取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度，将表示刻度的点用短竖线表示．④标数：在数轴上依次标出1,2,3,4,0，－1，－2，－3，－4等各点，相应的数0，±1，±2，…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．要是在数轴上用到30，那得标多少单位啊！适当的长度有两层含义：①可取实际1 cm作为一个单位长度，也可以取2 cm或其他实际数据作为一个单位长度；②一个单位长度可表示1，也可表示10或更多！如图所示就能做到啦！【例1】下列图形表示的数轴正确的是( )．解析：答案：C2．有理数与数轴上的点的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点．(1)表示正数的点都在原点的右侧；(2)表示负数的点都在原点的左侧；(3)表示0的点就是原点．【例2】(1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－2,0,1，－0.5，－3 2，212.(2)指出如图所示的A，B，C，D，E各点分别表示什么数？分析：(1)(2)解：(1)(2)点A表示3；点B表示－1；点C表示－1.5；点D表示1.5；点E表示0.5.点技巧“数形结合”思想(1)根据已知数在数轴上标出对应点，分三步：①画数轴；②确定点，并用实心小圆点描出；③标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数．(2)根据数轴上的点读数，原点表示0，原点向右为正数，原点向左为负数．都体现了“数形结合”的思想．。

江西师范大学科学技术学院学士学位论文浅谈中学数学中数形结合的思想On the middle school mathematics in the form of the combination of the number ofthought姓名：学号：学院：科学技术学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：2012年4月18日浅谈中学数学中数形结合的思想【摘要】数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。

应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。

本文试就数形结合思想在数学中的应用做一综述,对于如何培养学生的数形结合意识,加强数形结合思想训练的方法做一些总结和建议,结合一般例子体现数形结合思想在数学中的基础性和重要性。

【关键词】数形结合直觉思维培养方法On the middle school mathematics in the form of the combination of the number of though 【Abstract】Several form is an extremely with the characteristics of the digital information transfer method, on the number of mathematics is always used the fact that form the abstract nature, and the nature of that with graphics to the number of the facts. Application form for combination, through the analysis of the nature of the graphics, the mathematical many of the abstract concept and theorem direct, visual and simplicity, and with algebra calculation and analysis to the rigorous. The paper tries to form combining ideas for the application in mathematics are reviewed in this paper, how to train the student to form the number with consciousness, strengthen the training of the number form combining ideas and Suggestions to do some summary method, combining general example several form combining ideas embodied in the basic math and importance.【Key words】several form combined with intuition thinking cultivation method目录1引言............................................. 错误！未定义书签。

利用数形结合思想解决数学问题摘要：数形结合思想作为一种将代数知识与几何知识紧密结合起来的思想被学生广泛的应用到数学解题中。

本文围绕数形结合思想应用于初中数学解题中的有效方法进行分析，以期为其他同学运用数形结合思想成功解题提供参考和帮助。

关键词：数形结合初中数学数学思想数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想。

在近几年中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。

因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。

在《义务教育数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.”所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的。

一、以形助数，化难为易。

“形”具有直观、形象等优点，同时能简便的表达复杂的思维，能将枯燥的数学理论趣味化，能将算理变清晰，能把复杂的数学问题变得简单化，但数学图形在平面几何中，要画出想要的图形则必须借助数值的变化和计算，因而要真正的认识形的变化，必须联系到数中来认识形，借助数理，找出图形中所包含的相应的数量关系，即用数学的方法放在图形上去解决几何问题，特别是对于题型比较复杂的“形”，我们不仅要能正确的把图形进行数字化，同时还必须要仔细的观察图形的结构特点，找出所给题目中隐含的已知条件，利用好题目中数与形之间的关系，把“形的问题”正确的转化为“数的问题”，具体的把图形的位置关系转化为数量关系，再对所得的数进行分析和计算，达到解决图形问题的目的。

用数形结合思想解绝对值问题中小学蔌学?(中学版)初中用数形结合思想解绝对值问题.-'江西省德兴市教研室(334200)黄跃虹绝对值是中学七年级数学教材中的重要概念,也是学生难以理解掌握的问题之一.在教学中,如何渗透数形结合思想,解决绝对值问题?1.从几何直观中渗透.数轴是中学数学中数形结合最基本的表现形式之一.利用数轴解决绝对值问题,不但可以使学生从几何直观上明白绝对值的意义(教材中绝对值的概念就是采用这种几何定义的),而且能渗透数形结合的思想方法.例如:什么数的绝对值是87用数轴上的点表示绝对值等于6的所有数;说出绝对值小于5的所有整数等等.2.从概念中渗透.对于绝对值的概念,不但要使学生懂得它的几何定义,还要让其明白它的意义::品L一Ⅱ(口<0)这是几何形式到代数形式的转化,这种分类方法也是今后的应用中必不可少的.例如:(1)当为何值时,1l=一?(2)l—YI=Y对吗?(3)fal>0成立吗?Inf<0成立吗?为什么?这样做既可以强化概念,又可以解决含有绝对值的式子中字母的取值范围问题.3.利用数轴解绝对值问题.实数与数轴上的点建立了一一对应关系,利用数轴解决有关绝对值的问题十分直观方便.例1已知0,b,c,d为实数,c<0<b<一2,求I口一bl+l0～cI+lb+1l十Ic一2I的值.分析本题直接去掉绝对值符号难度较大,若借助于数轴的直观性,把已知条件转化为数轴来表示的形式则十分简便.解由已知条件,可画出.,b,12在数轴上的大致位置(如图1).cab一3—2—10l23图1借助数轴显然可得:10一bI=b～0,l0一cl=0一c,Ib+1l:一b一1,1c一2I=2一c,故10～bI+Ia—C1+Ib+lI+lc～21=b—n+n—c—b一1+2一c=1—2c.例2若为实数,取何值时,l一2I+l+1l有最小值,并求此最小值.分析本题实际上是一道化简求值题,可利用分段讨论去掉绝对值符号来研究,但如果利用数轴上两点间的距离公式的几何意义解此问题,将非常方便. 解I一2I表示数轴上实数与实数2之间的距离,f+1f表示数轴上实数与实数一1之间的距离. 求f一2l+l+1l的最小值,即求到2与一1两点距离之和的最小值,画出数轴(如图2).一2—1012图2显然当一1≤≤2时,它与两点2和一1距离之和取得最小值3,故当一l≤≤2时,l一2I+1+1l取得最小值3.脒.又...CH=All:{;EK=AK:寺,二二.'.1=2;Z3:4;.'.CHB=2Z1;DKE:23;又'.'1=3....CHB=DKE..MK//AB;MH//AD,.?.BHM:BAD;MKD:BAD;.'.CHB-I-BHM=DKE+MKD.即CHM=MKE.一32一又'.CH=MK,HM:EK,...△CHM~AMKE,.'.MC=ME."直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半".这一性质既说明了斜边上的中线与斜边的数量关系,又得到了两个相关的等腰三角形,所以这一重要性质是研究线段倍半关系和等腰三角形的基础.在许多涉及直角三角形斜边上中线的几何证明与计算中,若能充分发挥这个性质的作用,往往能使你体会到斜边上的中线给问题的求解带来的方便,使问题化难为易,从而解决问题.。

《数轴》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《数轴》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《数轴》是人教版七年级数学上册第一章有理数中的重要内容。

数轴是理解有理数的概念与运算的重要工具，它将数与形有机地结合起来，为后续学习相反数、绝对值以及有理数的运算奠定了基础。

本节课在教材中的地位和作用主要体现在以下几个方面：1、数轴是直观表示有理数的一种方法，通过数轴可以形象地理解有理数的概念，如正数、负数、零的位置和大小关系。

2、数轴为有理数的运算提供了直观的模型，有助于学生理解加法、减法等运算的几何意义。

3、数轴的建立体现了数形结合的数学思想，对培养学生的数学思维和解题能力具有重要意义。

二、学情分析七年级的学生已经具备了一定的数的概念和运算基础，但对于抽象的数学概念和数形结合的思想方法还处于初步认识阶段。

他们在学习过程中可能会遇到以下困难：1、对于数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）的理解和把握不够准确。

2、在数轴上表示数时，容易出现方向错误或单位长度不一致的问题。

3、运用数轴解决实际问题时，难以将实际情境与数轴模型建立有效的联系。

针对以上学情，在教学过程中我将注重引导学生通过观察、操作、思考等活动，逐步理解和掌握数轴的相关知识。

三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解数轴的概念，掌握数轴的三要素。

（2）会正确地画出数轴，能用数轴上的点表示有理数。

（3）能说出数轴上的点所表示的数，能将有理数在数轴上表示出来。

2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、思考、交流等活动，经历数轴的形成过程，培养学生的抽象思维能力和数学语言表达能力。

（2）通过在数轴上表示数，感受数与形的对应关系，体会数形结合的思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）在探究数轴的过程中，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验数学活动的乐趣。

《数轴》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《数轴》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《数轴》是人教版七年级数学上册第一章《有理数》中的重要内容。

数轴不仅是学生学习有理数运算的重要工具，也是今后学习不等式、函数等知识的基础。

它将数与形结合起来，直观地表示数的大小和位置关系，有助于学生理解数学的本质和培养学生的数学思维能力。

本节课在教材中的地位和作用主要体现在以下几个方面：1、数轴是有理数概念的直观化表示，通过数轴可以将抽象的有理数形象地表示出来，帮助学生更好地理解有理数的概念和性质。

2、数轴为有理数的运算提供了直观的模型，例如加法、减法可以通过数轴上的移动来直观地理解和计算。

3、数轴的学习为后续学习平面直角坐标系奠定了基础，是从一维到二维的过渡。

二、学情分析七年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们已经掌握了正数、负数的概念，但对于数的抽象理解还存在一定的困难。

在学习数轴之前，学生已经有了用直线表示排队、温度计等生活经验，这为本节课的学习提供了一定的认知基础。

然而，学生在数轴的三要素的理解和应用上可能会存在一些问题，需要在教学中加以引导和强化。

三、教学目标基于以上对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解数轴的概念，知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

（2）会画数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。

（3）理解数轴上的点与有理数的对应关系。

2、过程与方法目标（1）通过观察、操作、思考等活动，经历数轴的形成过程，培养学生的抽象思维能力和动手操作能力。

（2）通过数轴上点与数的对应关系，渗透数形结合的思想，培养学生的数学思维能力。

3、情感态度与价值观目标（1）通过数轴的学习，让学生感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

七年级数学上册常用数学思想方法一、数形结合的思想。

利用数形结合，可以使研究的问题化难为易，化繁为简。

1、利用数轴解答：有一座3层楼房着火,消防员搭梯子爬往3楼去抢救物品,当他爬到正中1级时,2楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬上了7级,这时候屋顶有两块砖掉下来,他又后退了2级,幸好没有打着他,他又爬上8级,这时候他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有多少级?2、.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米.问：（1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? （2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？3、3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每个队都与其他参赛队各赛一场），那么总的比赛场数是多少？若有4个球队呢？若有5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式。

二、整体代入的思想。

1、若a、b互为倒数，x、y互为相反数，m的绝对值等于3求：（1）5ab－m＋x－4＋y的值；（2）5x－ab＋＋5y的值；（3）x+y∕x³－ab＋m²－8的值。

2、已知x²＋x＋3的值为7，求2x²＋2x－3的值。

三、分类讨论的思想。

在数学问题中，当一个字母（或一个式子）有几种可能的取值；当一个图形有几种不同的位置或不同的形状时，往往需要分类讨论。

分类讨论应做到：分类标准必须统一，分类时不重复不遗漏。

1、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长。

四、割补的思想。

1﹙1﹚用含有a、b的式子表示阴影部分面积；﹙2﹚当a＝3，b＝2时，阴影部分的面积为多少？五、方程思想。

方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这是一种很重要的数学思想方法。

数轴在新课程数学学习中的作用新课程的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观体现在数学课程中，就是“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.其中基本思想处于重要地位，贯穿于新课程教材的始终，基本思想的掌握，也直接影响着学生的数学学习和实践创新能力.数轴作为数学学习的工具，是数形结合数学思想最基本的体现.利用它可以对数学学习起到一定作用.一、理解概念的直观性作用.学习绝对值，相反数，数的的大小比较等概念，利用数轴可以加深对这些概念的理解和掌握.譬如，“绝对值”就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，从而，可直观的得出结论，绝对值不负数；在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点的距离相等; 数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.象∣-5∣=5, ∣+5∣=5,∣0∣=0, -5＜0＜+5.如图示：二、推导法则的演示性作用.数的加乘运算法则、直接给学生应用却难于接受，用数轴加以图示说明，学生一目了然，茅塞盾开，并且易懂，记忆深刻，例如：规定向东为正，向西为负，从原点出发，向东走8米，再向西走5米，结果两次一共向东走了多少米？其算式是：（+8）+（-5）=+3，图示为:易得出异号两数相加的法则，达到灵活运用和掌握.类似地,可以用同样的方法得出同号两数相加和两数相乘的法则.三、表示数或解集的显示性作用.方程或不等式（组）的解在数轴上一经表示，可经纬分明的显示出解是什么或不是什么.例如：求不等式组⎩⎨⎧≤-≥-0401x x 的自然数解集，解之得1≤X ≤4. 如图示,显然自然数解集为X =1，2，3，4.四、数轴分类的整体性作用.例如:求∣X －2∣+∣X －3∣=？利用数轴分类讨论，不至于考虑不周，使某种情况遗漏，解此题所知：（1）当X ＜2时，原式=（X －2）－（X －3）=-2X + 5；（2）当2≤X ＜3时，原式=（X －2）－（X －3）=1；（3）当X ≥3时，原式=（X －2）（X －3）=2X －5.从数轴上使X 在数集内的取值都考虑无遗,而且在今后的学习中经常用到.五、实数与点一一对应的说明性作用.利用数轴上的点充分说明了实数与数轴上的点一一对应。