浅谈常微分方程双语教学

随着全球化进程的加快，各国高校之间的交流与合作日趋频繁，培养国际化、个性化和创新性的专业人才已成为国内外高等学校共同的人才培养目标。

现代高校在不断融合中西方教育理念的同时，均致力于运用国际化教育思维模式培养具备高深专门知识、信息获取能力、知识运用能力及批评分析能力的新型人才。

这些年来，我国高校不断吸收并借鉴西方一些国家的高等教育的理念与模式，去其糟粕取其精华，给教学方法、手段及过程等带来了巨大变革。

教学方法是影响教学效果的关键因素之一，如何把中西方高校的一些教学方法中最先进的部分融合起来，运用到我国高校本科常微分方程课程教学中，来满足学生的个性化、多样化的学习和发展需求，真正做到因材施教，促进学习者释放潜能，是该专业教师必须认真探讨的课题。

不少学者从中西方历史文化、心理学和行为学、思维方式及教育理念等多角度阐述和研究中西方在教育思维模式上存在的差异，例如文献[1],作者就中西方教育思维与教学方法进行了对比分析；有研究具体到中国和西方某一国家的某一种教学方法进行对比分析，例如文献[2],作者就澳大利亚和中国关于运用问题导向式（Problem-based learning,简称PBL ）教学方法的情况，包括其课程设置与组织、实施过程与取得的效果进行对比分析；有研究具体到中国和西方某一国家某门课程的教学进行对比分析，例如文献[3],作者就加拿大和中国高校的常微分方程课程的课程设置、教学内容、教学方式与手段、实验环节、考核方式等五个方面进行了对比分析。

具体到常微分方程，该课程是数学专业的一门基础课程，对“老三基”（数学分析、高等代数、解析几何）和“新三基”（泛函分析、拓扑学、近世代数）起到承上启下的作用，其理论体系逻辑性强、抽象程度高、知识应用性强，能有效地培养学生的应用能力和创新能力。

针对常微分方程课程应用性强的特点以及培养国际化人才的需求，笔者在文献[4]就应用型人才培养模式下常微分方程课程双语教学进行了探讨；针对创新性人才培养的需求，笔者在文献[5]中就常微分方程教学中数学建模与应用能力的培养进行了探讨。

第七章 常微分方程 (Differential Equation)第四节 二阶线性微分方程 (Differential Equation of Second Order) 教学目的：1.理解二阶微分方程解的结构2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解表达式3.熟练掌握自由项为()()x n f x P x e λ=的二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法4.会解简单的自由项()cos f x A x β=或()sin f x A x β=的二阶常系数 非齐次线性微分方程教学内容：1.线性方程解的结构定理2.二阶常系数线性齐次微分方程的通解3.二阶常系数线性非齐次微分方程的特解教学重点：1.二阶微分方程解的结构2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解表达式3.自由项为()()x n f x P x e λ=的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教学难点：自由项为()()x n f x P x e λ=的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教 具：多媒体课件教学方法：精讲：重点讲清以上微分方程的解法。

多练：在讲授后，通过练习、讨论和分析归纳帮助学生自我消化、自我提高，从而培养学生的计算能力。

教学过程：在工程及物理问题中，遇到得高阶方程很多都是线性方程，或者可简化为线性方程。

二阶线性方程得一般形式为 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （1）其中，)(),(x q x p 及)(x f 是已知函数，)(),(x q x p 叫做系数函数，)(x f 叫做自由项。

当)(),(x q x p 为常数时，方程)(x f qy y p y =+'+'' （2）叫做二阶常系数线性微分方程。

一、线性方程解的结构定理以上所述二阶线性微分方程得解得结构定理，是以常系数线性微分方程(2)为例，其所有结论，对方程(1)都成立。

在方程(2)中，若0)(≡x f ，则方程0=+'+''qy y p y （3）叫做二阶常系数线性齐次微分方程，相应的0)(≠x f 时，方程(2)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程。

基于Maple软件《常微分方程》一体化教学的探讨李银;位瑞英【摘要】基于由加拿大Waterloo大学研究组开发的符号计算软件Maple,对常微分课程理论与实用协同一体化教学进行了研究与探讨.首先,利用软件强大的符号计算功能,对方程解的动态化、“形”与“数”的同步进行了探讨;其次,运用Maple 作图功能辅助方程课的教学和展示;最后,通过创设情境、做数学实验等方式,可以优化课堂教学,提高教学成效.【期刊名称】《韶关学院学报》【年(卷),期】2016(037)012【总页数】5页(P73-77)【关键词】Maple软件;常微分课程;优化教学【作者】李银;位瑞英【作者单位】韶关学院数学与统计学院,广东韶关512005;韶关学院数学与统计学院,广东韶关512005【正文语种】中文【中图分类】G624.0随着信息技术对现代教育的冲击,大学里一些基础课程面临着创新和提高;数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学［1-2］,数学表现出高度的抽象性和应用的广泛性的特点,具有特殊的公共基础地位,其重要性显而易见.基于Maple软件的数学教学从学生实际出发，创设的问题情景，引导学生通过实践思考探索交流,获取知识,形成技能,拓宽思维,学会学习,促使学生在教师指导下生动活泼地主动地富有个性地学习.在组织教学的过程中应该以学生为主题的课堂理念来组织教学,有选择的来应用实验,启迪心智、增进学生的素质.PPT的简单与完美、Word的朴实、几何画板的清新快捷、Flash动感与浪漫、Maple的“万变不离其宗”,让数学教学变得丰富多彩.因此,数学软件的应用,可以优化课堂教学，大幅度地提高教学质量.在目前的教学中,Maple，Mathematica，MATLAB等软件使用较为广泛［3］,本文则主要对Maple在常微分课程教学中的应用作些探讨.Maple是一个易学易用的符号计算软件,它的最大优势能让方程的解动起来及“形”与“数”的同步.具体思路见图1.常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学专业的一门专业必修课.它不但是数学的基础课,同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础.在教学当中,教师应加强基本理论的教学，同时也要注意运算技能的培养和训练;通过典型例子、做练习题这些环节,帮助培养、提高解题能力和技巧.课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次,循序渐进,环环相扣.课程的内容主要包括模型建立、一阶方程的求解、解的存在唯一性、高阶方程的求解、方程组的求解、稳定性(选讲)等内容.在《常微分课程》实验教学［4-5］中,利用Maple教学的目的是使学生掌握数学实验的基本方法和思想.基本理论的教学一直是教学的难点,需要将理论概念中“易错易混”的内容在教学中有许多需要反复比较、仔细观察、认真体会,从而发现一些数量关系、位置关系.从实际问题出发,借助符号计算和Maple软件,通过自己设计和动手,提出自己的猜测并找出支持论据,从实验中学习、探索和发现数学规律.如:课程中的极限问题.例1已知这是极限中的一个重要极限,通过严密的证明推导得出结果,技巧较高,过程抽象.老师可以通过Maple作图,让学生从图形中观察极限的渐进过程,加深对定义的理解. 在Maple命令窗口中输入输出结果见图2.由图2可知,当x→1时f(x)→1．图2对学生的直观思维起了很好的引导作用,使学生能很好体会极限的含义,为以后的学习打下坚实的基础．函数的左、右极限也是相当抽象的概念．若单纯从定义的角度来解释,不仅单调乏味,学生有时也感到难以接受．通过几何图形来深化它的外延和内涵,将使概念易学易懂．例2解方程的初值问题：y=1-y2,y(-4)=2,y(-4)=-0.99.对于方程的求解,同学们感到非常的困难，通过Maple作图（见图3），让学生从图形中观察方程解的渐进过程,加深对方程求解的理解.With(DEtools):DEplot((D(y))(x)=1-y(x)^2,y(x),x=-4..4,[[y(-4)=-.99],[y(-4)=2]],title='AsymptoticSolution',color=blue,linecolor= [gold,purple]);如图3所示,红色曲线代表y(-4)=-.99;紫色代表y(-4)=2.常微分课程中有很多类型方程如表1,其类型的结论与求解各不相同，其结论的逆命题不一定成立,也有很多命题是假命题,可以通过Maple强大的计算功能和绘图功能来验证命题的准确与错误.在函数微分中,已知函数单调性的分界点是函数的极值点,但是反之未必成立,其反例为：例3分段函数的两侧的单调性.Maple命令窗口输入输出结果见图4.从反例到一元函数而言,函数的极值点不一定是函数单调性的分界点.用生动的反例驳斥错误的命题是行之有效的手段.而借助图形直观、明显说服力强等突出优点,学生将非常容易从反面消除一些易出现的模糊认识,正确区分相近易混的命题、定义,从而对知识的理解和掌握更加牢靠深刻.例4常微分方程在x=0的渐进行为.对于学生来说,方程的解都是很难求的,齐次方程学生勉强可以应付,但对于非齐次,学生感觉会力不从心.显然,怎样把数学难题、教学的难点等通过直观图形表现出来的,可使学生获得直观感知,加深印象.Maple命令窗口输入：>dfieldplot(diff(x(t),t)=exp(-t)-2*x(t),x(t),t=-2..3,x=-2..3,axes=BOXED);向量场输出结果见图4.而解的渐进形态见图5.此时Maple命令窗口输入：> phaseportrait(diff(y(t),t)=exp(-t)-2·y(t),y(t),t=-2..3,{[0,0],[0,0.2],[0,0.4],[0,0.6],[0,0.8],[0,0.1]},y=-2..3,axes=BOXED)从图形4中可以发现方程解的一些特征：当x<0时,积分曲线在一点是递增的.当t→∞时,所有的借都趋于零.这样通过直观图形可以把教学的重点呈现出来,可是学生获得直观认识,深化理解水平,这也弥补传统教学的不足,对教学的效果有很好的提高作用.在方程应用中,许多方程是超越方程,很难甚至得不到符号解.解决的途径是要了解曲线的图形,确定搜索区域,因此绘出曲线图形成为此类问题解决的关键.通过Maple 作图,可以从繁杂的数据和复杂的函数公式中观察变量的内在关系,感受由图形所传递的深层信息，如图6所示.例5方程的数值解.Step1画出函数的图像,见图7；Step2确定区域,求数值解,见表2.程序：>alias(y=y(t),y0=y(0),yp0=D(y)(0)):>eqn:=diff(y=y(t),t$2-(1-y(t)2)·diff(y(t),t)+y(t)=0; >init:=y0=0,yp0=0.1;>F:=dsolve({eqn,init},y,type=numeric);>with(plots):>odeplot(F,[t,y],0..50,color=blue);例6方程组在初值x(0),y(0)=±5的解.Step1列出方程组及初值,画出函数的图像,见图8和图9；Step2确定区域,求平面及三维数值解.程序：>restart:with(DEtools):eq1:diff(y=y(t),t)+y(t)+x(t)=0:eq2:y(t),diff(x(t),t):inil:=x(0)=0,y(0)=5:ini2:=x(0)=0,y(0)=-5:>DEplot({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1);>DEplot3d({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1,color=blue); Maple为基于图形的教学提供了很好的手段,借助于软件绘制的图形可以直观,充分体现方程的概念、定理的内涵,克服传统教学中讲解内容抽象,教学内容难于推广等方面的不足,使抽象的数学教学更加形象生动.对于将来要以数学为工具解决各种实际问题的学生来说,需要准确、快捷的计算和严密的逻辑推理.面对一个实际问题时,在计算、推理之前,首先要用数学语言描述它,建立方程模型;在得到方程的解之后,要结合实际进行分析、检验、修正.传统的数学教学体系和内容则偏重于前者,对于后者的实践远远不够.学生在毕业之后解决实际工作中的问题时,对复杂问题不知如何简化,不知道如何将研究问题抽象成一个简单的方程模型来反映客观事实;想象力差,分析问题、解决问题的能力比较低.在平时的教学过程中,若能引入Maple软件,智能化学习与独立解决问题,这样会大大提高学生解决实际问题的能力,有利于理论与实际有效的结合,提高教学效果.【相关文献】［1］王剑侠，龚力强.Maple在高等数学教学中的应用[J].广州大学学报（自然科学版），2002，1(6)：69-73.［2］周甄川，吕同斌.Maple的图形绘制功能在高等数学教学中的应用[J].黄山学院学报，2010，12(6)：117-119.［3］纪宏伟.几何图形在高等数学中的作用及在Maple下的实现[J].高师理科学刊，2011，31(4)：1-3.［4］冯玮，涂伟霞.由浅入深学Maple[M].北京：国防工业出版社，2002.［5］何青，王丽芬.Maple教程[M].北京：科学出版社，2006.。

Wolfram Alpha在常微分方程教学过程中的应用赵志国(河南工学院 河南新乡 453003)摘要：常微分方程作为一门重要数学类专业课，具有理论性和应用性强的特点。

由于该课程教学偏向于理论，学生在传统的教学模式中容易混淆并感到枯燥乏味。

Wolfram Alpha是一款计算知识引擎，囊括了符号运算、科学计算和图像绘制等功能。

该文试图通过将Wolfram Alpha引入课程教学中，以求解析解和数值解为例，让复杂的教学过程简单化，调动学生的动手能力，提高学生兴趣，使学生容易掌握知识难点，体会到数学方法的魅力所在。

关键词：Wolfram Alpha 常微分方程 解析解 数值解中图分类号：G642;O1-4文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2023)12-0188-04Application of Wolfram Alpha in the Teaching Process of OrdinaryDifferential EquationZHAO Zhiguo(Henan Institute of Technology, Xinxiang, Henan Province, 453003 China) Abstract: As an important mathematical course, Ordinary Differential Equation has the characteristics of strong theory and application. Since the teaching of this course is biased towards theory, students are easily confused and bored in the traditional teaching mode. Wolfram Alpha is a computational knowledge engine that includes the functions of symbolic computing, scientific calculation and image drawing. With finding analytical solutions and numerical solutions as and example, this paper attempts to introduce Wolfram Alpha to the teaching of ODE to simplify the complex teaching process, mobilize students' practical ability, improve students' interest in learning, and enable students to easily master knowledge difficulties and experience the charm of mathematical methods.Key Words: Wolfram Alpha; Ordinary differential equation; Analytical solution; Numerical solution常微分方程作为数学类专业学生需要学习的一门专业核心课[1-4]，其理论方法是随机微分方程和偏微分方程等后续课程学习的基础，并且已经被应用到自动化、物理、力学、神经科学、经济和金融等学科领域中。

微分方程双语教学研究论文微分方程双语教学研究论文关键词：教学研究双语教学微分方程摘要：微分方程双语教学是微分方程教学中的一项重要环节，本文主要围绕双语教学主题，结合重庆科技学院目前实际情况，对常微分方程课程的双语教学作了进一步探讨，分析总结了实践经验中存在的问题并提出了一些意见。

保持式双语教学是指学生刚进入学校用母语进行学习，然后逐步在部分课程上用第二种语言进行教学，其他课程仍然用母语进行教学。

这种双语教学比较适合普通高等本科院校。

我校属于新建的本科院校，用这种模式来进行双语教学比较符合我们学校的现实情况。

常微分方程课程的双语教学的主要目的是为了加深学生对国外常微分方程课程的先进的体系、思想方法、发展趋势的理解，以利于进行中西方比较、借鉴西方的先进成果，最终把学生培养成国际化人才。

除此以外，“双语教学”中的英语不仅仅是语言学习，而且可以为了培养学生相应的思维基础、智能结构、文化素质，在开放的外语环境中最大限度地挖掘学生潜能，这对现行的英语教学来说，是一个突破，也是一个更高的标准。

本人曾经讲授过本科的常微分方程课程而且在这方面发表过国际期刊，因此对于双语教学有了一定的了解基础。

通过亲身的讲授体验，通过和学生的交流，观察，调查等多种途径，我发现了在我校进行保持式双语教学中所存在的主要问题。

有如下：一、缺乏师资强大的师资力量是成功实施双语教学的关键。

要真正实现双语教学的目标，就要求教师既要精通常微分方程专业知识，又要具备扎实的英语水平。

有研究表明：现有的高校扩招给大学英语教学带来的巨大压力已经远远超出了教师的承受能力，现有教师也很少有机会在职进修，更缺乏定期出国提高自己语言能力，改善自身知识结构的可能。

许多大学双语教师都没有接受过系统，专门的双语培训。

二、教师的工作量明显加大，课堂信息不足有研究表明：原来用母语教学10分钟就能完成的知识点，用“双语”后需要40分钟，甚至更多。

而授课教师的英语应用能力高低不同，备课时间长短也不同。

分段渐进式双语教学模式在常微分方程中的应用研究作者：冯艳青来源：《现代职业教育·高职高专》2019年第04期[摘; ; ; ; ; ;要]; 通过对常微分方程双语教学目标和建构主义学习理论的分析，提出常微分方程分段渐进式双语教学模式。

其核心理念在双语教学实践中分三个阶段进行实施，相应的考核方法强调过程性评价，关注学科英语学习的考核形式。

试点教学表明，分段渐进式双语教学模式提升了学生学习的积极性，取得了较好的教学效果，值得进一步尝试和推广。

[关; ; 键; ;词]; 双语教学;常微分方程;教学;评价方式[中图分类号]; G642; ; ; ; ; ; ;[文献标志码]; A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; [文章编号]; 2096-0603（2019）10-0044-02随着我国现代科学技术的高速发展和改革开放的不断深入，中国高等教育国际化进程进一步加速。

顺应时代发展，人才培养、学科发展也应放在全球化的大环境中开展。

教育部从2001年起出台相关文件[1][2]，要求高校积极开展公共课和专业课的双语教学，培养具有扎实专业知识和国际交流能力的大学生，因此在高校开展双语教学是大势所趋。

常微分方程是数学与应用数学专业的一门专业基础课程，是进一步学习数学专业后继课程的必要基础，也是物理学、经济学、金融学、工程学、社会学等领域不可缺少的基础课程之一。

近些年，国内一些高校也开设了以英语为课堂教学语言的常微分方程双语课程，并从各自学校实际情况出发，阐述了双语教学的实施过程和教学中存在的问题，为教师进行双语教学提供了有益的帮助。

但常微分方程双语教学和其他学科的双语教学一样，在课堂教学模式和效果评价等方面的研究还相对薄弱[3][4]。

本文在前人研究的基础上，通过常微分方程双语教学实践，探索适合地方应用型院校常微分方程课程双语教学的模式及评价方式。

一、分段渐进式双语教学模式的内涵建构主义学习理论的创立者，瑞士心理学家皮亚杰认为，学习实际上是一种主动适应环境的过程，这一过程体现了同化与顺应两种行为。

浅谈《结构力学》的双语教学结构力学是一门广泛的学科，许多分支，涉及工程学、物理学、材料学和数学等多个领域的基础理论和应用研究，它以力学作为基础，将结构力学应用于建筑工程、机械工程和交通工程等，成为许多应用工程学科的重要理论研究和分析工具，广泛应用于工程设计、制造、运行和管理中。

在发展现代科技和工程设计过程中，结构力学发挥着越来越重要的作用，但是，传统的教学方式对于学生来说无法很好地让学生理解结构力学的基础原理，学习成绩也不是太理想。

为了解决这个问题，我使用了双语教学的方法，让学生能够更快速地理解和运用结构力学的基础原理，让他们能够更好的掌握这门学科。

一、双语教学的优势双语教学以两种语言（外语和本地语言）结合教学，有以下优势： 1、改善学习效果。

双语教学可以让学生用两种语言同时获得信息，使他们能够更好地理解语言及其附带的意义，让学习更加有效。

2、增强语言表达能力。

学习者可以使用另一种语言来表达自己的思想，这样可以增强学生的语言表达能力。

3、提高对知识的认知能力。

学习者也可以使用另一种语言来理解知识，使他们能够更深入地理解结构力学的原理和概念，从而提高其对知识的认知能力。

二、双语教学实施过程双语教学的实施过程主要是这样的：1、预习活动。

在此活动中，学生根据教师准备的英文读物，课前对重点内容进行概括和理解，这样可以帮助学生提高对结构力学的基本概念的理解。

2、混合类(英-汉)授课。

在此活动中，教师使用英文教材，以汉语为主，搭配英文解释，让学生能够边听边理解英文的内容，让他们能够更好地理解英文中的内容及其附带的意义，从而加深对结构力学的学习。

3、主动参与类活动。

在此活动中，学生可以使用英文表达自己的思想，可以用英语进行讨论和解答问题，这样可以让学生更好地理解结构力学的基本原理，并且提高他们的语言表达能力。

三、双语教学的督导机制1、建立有效的督导机制。

双语教学的督导机制必须有目标、过程评估和结果评估等内容。