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晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。
它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。
本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。
晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。
一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。
这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。
晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。
在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。
而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。
除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。
例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。
由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。
在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。
例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。
总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。
研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。
随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。
这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。
通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。
此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
第四章总结第四章要求1、掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、了解三维晶格的振动；4、掌握离子晶体长光学波近似的宏观运动方程的建立过程及系数的确定，清楚LST关系及离子晶体的光学性质；5、了解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量子理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握非谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作用。
一维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量确定晶格振动谱的实验方法离子晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态方程非简谐效应热膨胀热传导一 、晶格振动的状态及能量1、一维单晶格的振动 一维单原子链格波：晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，由于晶体内原子间有相互作用，存在相互联系，各个原子的振动间都存在着固定的位相关系，从而形成各种模式的波，即各晶格原子在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dv Fa d vd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ表明存在于相邻原子之间的弹性恢复力是正比于相对位移的第n 个原子的运动方程)2(11n n n n m μμμβμ-+=-+∙∙)(naq t i nq Ae-=ωμ色散关系：把 ω 与q 之间的关系称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。
)21(sin 4]cos 1[222aq maq mββω=-=其中波数为 λπ/2=q ，ω是圆频率，λ是波长（1） “格波”解的物理意义一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。
相邻原子之间的位相差为aq 。
（2）q 的取值范围【－(π/a)<q ≤(π／a)】这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。
q 的取值及范围常称为布里渊区。
前面所考虑的运动方程实际上只适用于无穷长的链，而两端原子的运动方程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。
玻恩-卡曼提出的环状链模型 玻恩-卡曼边界条件（周期性条件）1)(=-Naq i ehNaq ⨯=π2对色散关系的两点讨论A ）由于ω 是q 的偶函数故有aqm 21sin2βω=右图即为二者之间的函数曲线B ）一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系的区别。
当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系一致：cqq m a=≈βω对于一维单原子链，如果相邻原子的相对位移为δ，相对伸长为 a /δ，相互作用力可以写为)(aa δβδ=这表明a β为连链的伸长模量。
若把一维原子链看成是连续的弹性链时，线密度为m/a ，弹性波的波速为2/1)(密度伸长模量===am amac ββωq2、一维双原子链两种原子的运动方程及其格波解运动方程格波解}]s i n )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω}]s i n )(41[1{2/1222aq M m mM mMM m +--+=-βωω＋对应的格波称为光学波或光学支 ，ω－对应的格波称为声学波或声学支。
两种格波的振幅比：aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++， aqm A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--ω＋ 与 ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω 其中a q a22ππ≤〈-对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：)2(121222-+∙∙---=n n n nm μμμβμ)2(2221212nn n n M μμμβμ---=+++∙∙])2([2q na t i nAe -=ωμ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ0)0()(m i n ==--ωωM aβπωω2)2()(max ==--maβπωω2)2()(m i n ==++mMM m )(2)0()(max +==++βωω在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。
（2）声学波的物理本质声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞 质心的振动。
（3）光学波的物理本质是复式格子特有的，光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性的相对振动 （4）q 的取值12=Naiq e即π22Nah q =晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 3、三维晶格的振动格波：在三维晶格中，对于一定的波矢q ，有3个声学波，（3n －3）个光学波。
“q 空间”及q 在其中的分布密度 （1）q 空间:“q 空间”亦称为波矢空间。
（2）q 在波矢空间的密度 分布密度为：33332211)2/()2(1ππV N N N N =Ω=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯∙b b b（3）波矢数和格波数晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 4）晶格振动谱（1）对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。
不同之处在于一维单原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。
（2）对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q ＝0 处有非零的振动频率ω。
4、简谐近似和简正坐标 （1）简谐近似和非谐作用：体系的势能函数只保留至μi 的二次方程，称为简谐近似。
要考虑到高阶作用的则称为非谐作用。
（2）简正坐标与振动模：由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模。
（3）晶格振动能和声子晶格振动的能量量子称为为声子。
5、确定晶格振动谱的实验方法 光子散射：（1）光子散射测定晶格的振动谱（2）长声学波声子导致的光子散射为光子的布里渊散射 （3）喇曼散射是光子与长光学波声子的相互碰撞。
中子散射：(1)中子只与原子核作用 (2)中子散射的非弹性散射 (3) 正常过程与倒逆过程 (4) 三轴中子谱仪 6、离子晶体的长光光学波近似 长光学波的宏观运动方程E W W 1211b b +=∙∙211ω-=bEW P 2221b b +=2/102/12112)]()0([ωεεε∞-==b b22]1)([εε-∞=b长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO横波方程TTb dtd W W 1122=,纵波方程:LLdtd W W 2022])()0([εεε∞-=LST 关系2/1)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=εεωωTO LO离子晶体的光学性质长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸收。
7、局域振动局域振动：局限在杂质（或缺陷）附近的晶格振动称为局域振动.高频模和共振模:对于一维单原子链,当杂质原子质量与原子链中的原子质量之间的关系为M’<M时，在原有的频率之上出现的新的频率的模，称为高频模;当杂质原子比所替代的原子质量重时，即M’>M，将会出现共振模.隙模:晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率落在频隙之间，称为隙模。
二、晶格振动的热容量1、晶格热容的量子理论热容问题概述:（1）晶格热容和电子热容固体的平均内能包括晶格振动能量和电子运动能量，这两种运动能量对固体的热容都有贡献，分别称为晶格热容和电子热容。
（2）杜隆－珀替定律热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子的固体，其热容为CV＝3NkB。
其中N为原子数，kB为玻尔兹曼常数。
高温时，此定律与实验结果符合得很好；低温时，与实验结果不怎么符合。
（3）热容CV的一般表达式晶格振动频率为分立值的情形2//2)1()()(-=-Tk Tk B j Bj B j B j eeT k k dTT E d ωωωdTT E d C C j Nj jV Nj V )(3131-==∑∑==振动频率为连续值的情形ωωωωωωd g ee Tk k TE C Tk Tk B B V v B B m)()1()()(2//2-=∂∂=⎰-爱因斯坦模型: （1）模型的特点认为晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同的频率振动。
（2）晶格的热容2//20)1()/(300-=Tk T k B Bv B B eeT k NkC ωωω)(3Tk f Nk C B E B V ω =2//2)1()(3-=TTEB V E E ee TNk C θθθ（3）爱因斯坦模型与实验符合的程度 1）温度较高时：1/<TE e θ则2222/2/2//)()22(1)(1)1(EEETTTT TTTeeee E E E E θθθθθθθ=+≈-=-- 所以BEE B V Nk TTNk C 3)()(322=≈θθ 与杜隆－珀替定律一致。
2）低温时：1/>>TE eθTk B BV B eTk NkC /2)(3ωω -=爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的贡献 德拜模型:（1）模型特点把晶格看作是各向同性的连续介质，格波为弹性波，并且假定横波和纵波的波速相等。
（2）能量和热容的表达式123/332-=⎰-Tk B med CV E ωωωωπωωωπωωωd ee Tk k CV C Tk Tk B B V B B m22//232)1()(23-=⎰（3）德拜温度CVN m 3/12)6(πω=TC VN Tk Tk D B B m m Θ===3/12)6(πωξ v1)(93/03-Θ=⎰Θ-ξξξe d T T Nk E TDB D)(3)1()(924/03Tf Nke d e T Nk C D D BTDB V D Θ=-Θ=⎰Θξξξξ24/03)1()(3)(-Θ=Θ⎰Θξξξξe d e T Tf TDD D D(4)讨论当温度T>>ΘD 时，热容趋于经典极限。
在极低温度下，热容和T3成正比，称为德拜T3 定律。
温度越低,德拜近似越好.2、晶格振动模式密度 (1)模式密度的定义ωωω∆∆=→∆n g 0lim)( 一般表达式为：⎰∇=|)(|)2()(3q dSV g qωπω(2)求模式密度的几个例子 A 、一维单原子链的模式密度函数dq d L g ωπω1)(=2122)(2)(--=ωωπωm NgB 、德拜近似下的模式密度23232)(41)2()(ωπωππωCV CCVg ==C 、频率与波矢的平方成正比的情况在频率与波矢的平方成正比时，三维、二维、一维情况下，模式密度函数分别与频率ω 的1／2，0，－1／2 次方成比例。
