新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破专题二三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质理

[推荐学习]新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破-专题二-三角函数、解三角形与平面向量-第3讲第3讲平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( )A.AD→＝－13AB→＋43AC→ B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→ D.AD→＝43AB→－13AC→2．(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→等于( )A．20 B. 15 C．9 D．63．(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n 的值为________．4．(2015·浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝12，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(xe 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R)，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB→＝a，AC→＝b，且CE→＝xa ＋yb，则x＋y＝________.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练 1 (1)(2015·杭州质检)已知向量i 与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1(2)(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.热点二平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝a·a ＝x2＋y2.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA→·OB→＝6，则|OG→|的最小值是________．思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2015·山东)过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝__________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan 2α的值．思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 (2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA→·BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．1．如图，在△ABC中，AD→＝13AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AN→.则AN→等于( )A.12(a＋b) B.13(a＋b)C.16(a＋b) D.18(a＋b)2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于( )A．－34B．－89C．－14D．－493．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，则tan(2α＋π4)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OP→·BP→最小值是________________________．提醒：完成作业专题二第3讲二轮专题强化练专题二第3讲平面向量A组专题通关1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则DA→等于( ) A．(2,4) B．(3,5)C．(1,1) D．(－1，－1) 2．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC→3．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN→＝12NC→，P是BN边上的一点，若AP→＝mAB→＋29AC→，则实数m的值为( )A.19B.13C ．1D ．3 4．(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．215．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________．7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．9．(2015·温州二调)设向量a ＝(3sin x ，sinx )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．10．已知向量a＝(2sin(ωx＋2π3)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．B组能力提高11．已知非零单位向量a与非零向量b满足|a ＋b|＝|a－b|，则向量b－a在向量a上的投影为( )A ．1 B.22 C ．－1D ．－2212．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．(2015·江苏)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．14．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m －n，并求m－n的最大值．学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1．A [∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.]2．C [AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]3．－3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 4．1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(xe 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R)，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(xe 1＋ye 2)|取得最小值1.|b －(xe 1＋ye 2)|2＝|b |2＋(xe 1＋ye 2)2－2b ·(xe 1＋ye 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(xe 1＋ye 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(xe 1＋ye 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 热点分类突破 例1 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法一因为AB→＝a，AC→＝b，D为BC的中点，所以AD→＝12(a＋b)．所以AE→＝12AD→＝14(a＋b)．所以CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋AE→＝－b＋14(a＋b)＝14a－34 b.所以x＝14，y＝－34，所以x＋y＝－12.方法二易得EF＝12MD，MD＝12CF，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF → ＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.跟踪演练1 (1)C (2)12 －16解析 (1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋mj ＝λ(ni ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎨⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.例2 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD→＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD→－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋ 14AB →)·(AD →－34AB →)＝2， 即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12 (OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)， 又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →||OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 跟踪演练2 (1)32(2)90°解析 (1)由题意，圆心为O (0,0)，半径为 1.如图所示，∵P(1，3)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝ 3.∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝3，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴PA→·PB→＝|PA→||PB→|·cos∠APB＝3×3×cos 60°＝32 .(2)∵AO→＝12(AB→＋AC→)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈AB→，AC→〉＝90°.例3 解(1)∵b＝(cos x，sin x)，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sinx cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsinx＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π， ∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.跟踪演练3 解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ， 所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 高考押题精练1．C [因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝AD AB.因为AD →＝13AB →， 所以AN →＝13AM →. 因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )， 所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )． 故选C.]2．B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO→|＝13，∴FD→·FE→＝(FO→＋OD→)·(FO→＋OE→)＝FO→2＋FO→·(OE→＋OD→)＋OD→·OE→＝(13)2＋0－1＝－89.]3．－1 7解析因为a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，所以cos α＋2sin α＝0，则tan α＝－12 .所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.所以tan(2α＋π4)＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·ta nπ4＝－43＋11－－43×1＝－1373＝－17.4．－1 16解析因为OP→＝OB→＋BP→，所以OP→·BP→＝(OB→＋BP→)·BP→＝OB→·BP→＋(BP→)2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以OB→·BP→＝|BP→|cos120°＝－12|BP→|.所以OP→·BP→＝－12|BP→|＋|BP→|2＝(|BP→|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP→|＝14时，OP→·BP→最小值是－1 16.二轮专题强化练答案精析第3讲平面向量1．C[DA→＝CB→＝AB→－AC→＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．D [在△ABC中，由BC→＝AC→－AB→＝2a＋b－2a ＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC→，故选D.]3．B [如图，因为AN→＝12NC→，所以AN→＝1 3AC→，AP→＝mAB→＋29AC→＝mAB→＋23AN→，因为B，P，N三点共线，所以m＋23＝1，所以m＝13.]4.A [建立如图所示坐标系，则 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC→|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]5．9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB→＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 6.35解析设AB的中点为D，由5AM→＝AB→＋3AC→，得3AM→－3AC→＝2AD→－2AM→，即3CM→＝2MD→.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD→＝35CD→，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比值为35 .7.29 18解析在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC ＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋16DC→，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos120°＝2918.8．[－12，12]解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ → ＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，∴y＝f(x)＝12sin(12x－π6)，易知y＝f(x)的值域是[－12，12]．9．解(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈[0，π2]，从而sin x＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin(2x－π6)＋12，当x＝π3∈[0，π2]时，sin(2x－π6)取最大值1.所以f(x)的最大值为32 .10．解(1)因为向量a＝(2sin(ωx＋2π3)，0)，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋2π3)cos ωx＝4[sin ωx·(－12)＋cos ωx·32]cos ωx＝23·cos2ωx－2sinωx cos ωx＝3(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos(2ωx＋π6)＋3，由题意，可知f(x)的最小正周期为T＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1.(2)易知f(x)＝2cos(2x＋π6)＋3，当x∈[0,2π]时，2x＋π6∈[π6，4π＋π6]，故2x＋π6∈[π，2π]或2x＋π6∈[3π，4π]时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[5π12，11π12]和[17π12，23π12]．11．C [因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a ·b －a|a |＝0－|a |2|a |＝－|a |＝－1.]12．D [设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2，同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2， ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立， ∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立． 即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.] 13．9 3解析 ∵a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cosk π6， ∴a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cosk π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝cosk π6·cosk ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cosk π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故∑k ＝011(a k ·a k ＋1)＝∑k ＝011＝(32∑k ＝011c os π6＋12∑k ＝011c os 2k ＋16π＋∑k ＝011s in2k ＋16π.)由∑k ＝011cos 2k ＋16π＝0，∑k ＝011sin 2k ＋16π＝0，得∑k ＝011(a k ·a k ＋1)＝32cos π6×12＝9 3. 14．解 (1)方法一 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0， 又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎨⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 方法二 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2.生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 (2)∵OP →＝mAB→＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ⎩⎨⎧ x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， ∴两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点 B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。

一、选择题已知α∈R ，sinα＋2cosα ＝10，则 tan 2α等于 ()1.243 A. 3 B.434 C.－4 D.－3分析∵ sin αα10＋2cos ＝2，225∴sinα＋4sinα·cos α＋ 4cosα＝2.用降幂公式化简得 4sin 2α＝－ 3cos 2α，sin 2α3∴tan 2α＝＝－.应选 C.cos 2α4答案C2.(2016 宁·波二模 )已知锐角△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，23cos2A ＋ cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则 b＝ ()A.10B.9C.8D.5分析化简 23cos2＋＝，A cos 2A 0得 23cos2A＋ 2cos2A－ 1＝ 0，又角 A 为锐角，1解得 cos A＝5，由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 b＝5.答案Dπ13.(2016 全·国Ⅲ卷)在△ ABC 中，B＝4，BC 边上的高等于3BC，则 cos A＝()31010A. 10B. 1010310C.－10D.－10分析设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π124，＝，＝，BD3BC DC3BCtan ∠BAD ＝ 1， tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋2＝－ 3，所以 cos A ＝－101－1×2 10 .答案Cπ π ，且 tan α＝ 1＋sin β4.(2014 新·课标全国 Ⅰ 卷)设 α∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2 cos β ，则 ()ππA.3 α －β＝ 2B.2α－β＝ 2ππC.3α ＋β＝ 2D.2α＋β＝ 2分析由 tanα1＋sin β sin α 1＋sin βcos β 得 ＝ ，＝cos βcos α即 sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，π∴sin(α－β)＝ cos α＝sin 2－α.π π ∵α∈0， 2，β∈0， 2，π π ππ∴α－β∈ －2，2 ， 2－α∈ 0， 2 ，∴由sin(α－ β)＝sinππ2 －α，得 α－ β＝ 2－ α，π∴2α－β＝ 2.答案 B 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 ， ， 若 2＝ (a － b)2 ＋6，C5. a b c. cπ ，则△ ABC 的面积是 ( )＝ 39 3A.3B.23 3C. 2D.3 3分析 c 2＝ － 2＋ ，即2＝ 2＋b 2－＋ ①(a b)6 c a 2ab 6 .π222∵C＝3，由余弦定理得c＝a ＋b－ab②，由①和②得△ABC11×6×3＝33，应选ab＝6，∴S＝2absin C＝222 C.答案C二、填空题6.在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ ABC 的面积为，－＝，cosA ＝－1，则 a 的值为 ________.3 15 b c24＝15，分析∵cos A＝－1，＜＜π，∴40A sin A4△111515，∴bc＝ 24，S ABC＝2bcsin A＝2bc×4＝3又 b－c＝ 2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋ c2＝52，由余弦定理得，2221a ＝b ＋c －2bccos A＝52－2×24× －4 ＝ 64，∴a＝8.答案87.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后抵达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ ________m.分析在△ABC 中， AB＝ 600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－ 30°＝45°，由正弦定理得sin BC＝∠BAC sinAB，即∠ACBBCsin 30°＝600，所以 BC＝300 2.在sin 45°Rt△BCD 中，∠CBD＝ 30°，CD＝ BCtan∠CBD＝ 300 2·tan 30°＝100 6.答案100 68.(2016 杭·州模拟 )若△ ABC 的内角知足 sin A＋2sin B＝2sin C，则 cos C 的最小值是 ________.分析∵sin A＋2sin B＝2sin C.由正弦定理可得 a ＋a ＋ 2b2b ＝2c ，即 c ＝ 2 ，22a ＋ 2b2a 2＋b 2－c 2 a ＋b － 2cos C ＝ 2ab ＝ 2ab3a 2＋ 2b 2－ 2 2ab 2 6ab －2 2ab 6－ 2 ＝ 8ab≥ 8ab ＝ 4 ，2 2a 2当且仅当 3a ＝2b 即b ＝ 3时等号建立 .6－ 2∴cos C 的最小值为.4答案6－ 24三、解答题9.(2016 北·京卷 )在△ ABC 中， a 2＋ c 2＝b 2＋ 2ac.(1)求角 B 的大小；(2)求 2cos A ＋cos C 的最大值 .解 (1)由 a 2＋ c 2＝b 2＋ 2ac 得 a 2＋ c 2－b 2＝ 2ac.a 2＋c 2－b 22ac2由余弦定理得 cos B ＝2ac ＝ 2ac ＝ 2 .又 0＜B ＜π，所以 B ＝ π4 .π 3π(2)A ＋C ＝π －B ＝π－ 4 ＝ 4 ，所以3π 3π C ＝ 4 －A ，0＜A ＜ 4 .3π所以 2cos A ＋cos C ＝ 2cos A ＋cos 4 －A3π 3π ＝ 2cos A ＋ cos 4 cos A ＋sin 4 sin A＝ 2cos A － 2 22 cos A ＋ 2 sin A2 2＝ 2 sin A ＋2 cos Aπ＝ sin A ＋ 4 ，3π π π∵ 0＜ A ＜ 4 ，∴ 4 ＜A ＋ 4 ＜ π，π π 故当 A ＋4＝2，π即 A ＝ 4 时， 2cos A ＋cos C 获得最大值为 1.10.在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ， b ， c.已知 cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角 A 的大小；(2)若△ ABC 的面积 S ＝ 5 3，b ＝5，求 sin Bsin C 的值 .解 (1)由 cos 2A －3cos(B ＋C)＝ 1，得 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即 (2cos A － 1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos A ＝2或cos A ＝－ 2(舍去 )，由于 0＜ A ＜π，所以A ＝π 3 .(2)由 1 1 S ＝ 2bcsin A ＝2bc · 3 2 ＝34 bc ＝5 3，得 bc ＝ 20，又 b ＝ 5，知 c ＝4，由余弦定理得 a 2＝ b 2 ＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故 a ＝ 21.b cbc 220 3 5又由正弦定理得 sin Bsin C ＝ a sin A ·a sin A ＝ a 2sin A ＝21×4＝ 7.2π11.(2015 山·东卷 )设 f(x)＝ sin xcos x －cos x ＋ 4 .(1)求 f(x)的单一区间；A(2)在锐角△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， c.若 f 2 ＝ 0， a ＝1，求 △ ABC 面积的最大值 .π(1)由题意知 f(x)＝sin 2x1＋ cos 2x ＋ 2解 2 － 2sin 2x 1－sin 2x 1 ＝ 2 －2＝ sin 2x －2. ππ由－2＋ 2kπ≤ 2x≤2＋ 2kπ， k∈Z,ππ 可得－ 4 ＋k π≤x ≤ 4 ＋ k π ，k ∈ Z ；π3π由 2 ＋2k π≤2x ≤ 2 ＋2k π ，k ∈ Z ，π 3π 可得 4 ＋ k π≤x ≤ 4 ＋k π，k ∈Z .ππ所以 f(x)的单一递加区间是 － 4 ＋k π， 4 ＋k π (k ∈ Z )；π 3π 单一递减区间是4 ＋ k π ， 4＋k π (k ∈Z ).A 1 1(2)由 f 2＝sin A －2＝0，得 sin A ＝ 2，3 由题意知 A 为锐角，所以 cos A ＝ 2 . 由余弦定理 a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，可得 1＋ 3bc ＝ b 2＋c 2≥2bc ，即 bc ≤ 2＋ 3，当且仅当 b ＝c 时等号建立 .12＋ 32＋ 3所以 2bcsin A ≤4 .所以△ ABC 面积的最大值为4.。

1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1； 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴ f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23. (1)求b 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6. (2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318. 3．(2013·济南模拟)已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，所以y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 则－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，所以A ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z.因为0<A <π，所以A ＝π3. 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋c 2－bc ，所以4＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝4，所以bc ＝4.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3. 4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，其图像的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．解：(1)f (x )＝32sin(ωx ＋φ)＋12[1－cos(ωx ＋φ)]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋12，∵两个相邻对称中心的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2.又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12，∴cos φ＝12.∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76，故sin C ＝23.∵0<C <π2，∴cos C ＝53.又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25，∴b ＝6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝21，∴c ＝21.。

第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()．A．－32 B.32C．－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5 B．25 C.41 D．5 2解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b2＝25，b＝5.答案 A3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()．A.43 B.34C．－34D．－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案 C4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A 等于()．A.π2 B.π6 C.π4 D.π3解析在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.答案 D6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A.6365 B.3365C.1365 D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解． 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725. 答案 A 二、填空题8．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 △ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 89．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC＝3×sin π45＝3×225＝31010. 答案3101010．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________. 解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378， ∴sin 2A sin C ＝2×34×74378＝1.答案 111．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12. 答案 －1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.解析 如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD · tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 120(3－1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×1 2＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解(1)因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0，由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

一、选择题1.(2016·山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2B.πC.3π2D.2π 解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝π，故选B.答案 B2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为( )A.y ＝sin 2xB.y ＝cos 2xC.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，∴ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 D3.(2016·温州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2. 此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0＜φ＜π，所以φ＝5π6. 答案 D4.(2016·北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上， 则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.答案A5.(2016·唐山期末)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( ) A.3B.2C.6D.5解析 ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. ∴当x ＝π6＋π22＝π3时，f (x )＝0.∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，排除A 、C ；又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减， 把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.答案 B二、填空题6.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1.答案 2 17.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.答案 78.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，则ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案π2三、解答题9.已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值. 解 f (x )＝2sin x cos x ()2sin 2x －1－12cos 4x＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x ＝－12sin 4x －12cos 4x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4. 此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤12，即－22≤f (x )≤12. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22. 10.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域. 解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 可得cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以－33cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36， 即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36. 11.已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间.解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0＜φ＜π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。

第2讲 三角变换与解三角形1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－432．(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57D 563．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 4．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)3cos 10°－1sin 170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4热点二 正弦定理、余弦定理(1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos x 2(3cos x 2－sin x2)，在△ABC 中，有f (A )＝3＋1.(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝1，求△ABC 面积的最大值．1．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C 等于( ) A.1313B.35C.45D.239132．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．提醒：完成作业 专题二 第2讲二轮专题强化练专题二第2讲 三角变换与解三角形A 组 专题通关1．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210C ．－210或7210D ．－72102．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( ) A.1365 B.1565 C.4865 D.63653．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 35．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3 6．(2015·兰州第一中学期中)已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________．7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．8.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________m.9．(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．10．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象． (1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．B 组 能力提高11．(2015·温州模拟)若α∈(0，π2)，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________． 12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.13．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为120°，BC →＝2BD →，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于________．14．(2015·四川)如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B2＋tanC2＋tan D2的值．学生用书答案精析第2讲 三角变换与解三角形 高考真题体验1．C [∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]2．A [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17.]3．2 3解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1， 所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3.4.6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1， 且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24. 热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.跟踪演练1 (1)C (2)D 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1 ＝2＋12－1＝3. (2)3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝0°－12sin 20° ＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D. 例2 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 跟踪演练2 (1)(6－2，6＋2) (2)C解析 (1)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°， ∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2<AB <6＋ 2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 例3 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 跟踪演练3 解 (1)f (x )＝2cos x 2(3·cos x 2－sin x 2)＝23cos 2x 2－2sin x 2·cos x 2＝3＋3cos x －sin x ＝3＋2sin(π3－x )， 由f (A )＝3＋1， 可得3＋2sin(π3－A )＝3＋1， 所以sin(π3－A )＝12. 又A ∈(0，π)，所以π3－A ∈(－2π3，π3)， 所以π3－A ＝π6，即A ＝π6. 由a 2－c 2＝b 2－mbc 及余弦定理， 可得m 2＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知cos A ＝32，则sin A ＝12， 又b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ≥2bc －a 2，即bc ≤(2＋3)a 2＝2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34， 即△ABC 面积的最大值为2＋34. 高考押题精练1．D [因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ·BA ·sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA ·cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝23913.] 2．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12， 易得f (A )＝sin(3A －π6)－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)， 因为0<A <π，所以0<A ≤π3， 所以－π6<3A －π6≤5π6， 所以－12<sin(3A －π6)≤1， 所以－1<sin(3A －π6)－12≤12， 所以函数f (A )的值域为(－1，12]．二轮专题强化练答案精析第2讲 三角变换与解三角形1．A [∵α∈(π2，π)，∴α＋π4∈(34π，54π)， ∵sin(α＋π4)＝35， ∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4－π4)＝cos(α＋π4)·cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.] 2．D [由f (3α＋π)＝165， 得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165， 即4sin(α＋π2)＝165， 所以cos α＝45， 又α∈[0，π2]，所以sin α＝35. 由f (3β＋5π2)＝－2013， 得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013， 即sin(β＋π)＝－513， 所以sin β＝513. 又β∈[0，π2]， 所以cos β＝1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.] 3．B [由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．]4．C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.]5．D [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒ a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.] 6.334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154 ＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．15解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ，∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ，所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD .所以PB ＝BA ＝30 m.同理可得PC ＝BC ＝10 3 m.在△BPC 中，由余弦定理，得cos 2θ＝32＋302－322×103×30＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 9．解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2， 得tan A ＝13. 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2A＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)， 得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4 得sin C ＝255， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 10．解 (1)因为g (x )＝2sin[(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)， 所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1. (2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)， 所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ∈π3＋2k π(k ∈Z )时，g (x )取得最大值． 因为x ＝B 时g (x )取得最大值，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.而b 2＝a 2＋c 2－2ac cosπ3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4， 所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4，所以b 的取值范围是[2,4)．11.12解析 ∵α∈(0，π2)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12. 12．100 6解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.13．2 3解析 在△ABC 中，因为∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°，因为向量AB →，BC →的夹角为120°，所以∠B ＝60°，所以△ADB 为等边三角形．因为AD ＝2，所以AB ＝BD ＝2.因为BC →＝2BD →，所以点D 为BC 的中点，所以BC ＝4，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×4×sin 60°＝2 3. 14．(1)证明 tan A 2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos Asin A .(2)解 由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B ， 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A－A ＋错误! ＝2sin A ＋2sin B .连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ， 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD＝62＋52－32－42＋＝37，于是sin A ＝1－cos 2A＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.。