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高中数学《函数的应用》课件一、引言函数是数学中非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本节课程将重点讲解函数在实际问题中的应用，包括函数的模型建立和解决实际问题的方法等内容。
二、函数的模型建立1. 实际问题的转化实际问题中常常涉及到数量之间的关系，我们需要通过观察和分析将问题转化为函数的形式，建立数学模型。
2. 常见函数模型- 线性函数模型：y = kx + b- 二次函数模型：y = ax^2 + bx + c- 指数函数模型：y = a * b^x- 对数函数模型：y = a + b * log(x)- 正弦函数模型：y = A * sin(Bx)3. 实例分析以小明投掷物体的实例为例，通过观察小明投掷物体的高度与时间之间的关系，建立函数模型并进行求解。
三、实际问题的解决方法1. 方程求解函数应用问题中常常需要通过求解方程来得到结果，我们可以借助数学工具和方法来求解各种类型的方程。
2. 不等式求解有些问题中我们需要求解不等式来满足一定的条件，这时候我们可以利用函数的图像和性质来解决不等式。
3. 极值问题实际问题中，我们常常需要求解函数的最大值或最小值，通过对函数进行分析和求导来解决这类问题。
四、函数图像与应用1. 函数图像的绘制通过确定函数的定义域、值域、特殊点和关键点等，我们可以准确地绘制函数的图像，进一步观察和分析函数的性质。
2. 应用举例通过一些具体的实例，我们可以更好地理解函数图像在实际问题中的应用，如汽车行驶问题、物体运动问题等。
五、函数的应用拓展1. 经济学中的应用函数在经济学中有着广泛的应用，如成本函数、收益函数、供求关系等，通过函数分析和建模，可以对经济问题进行深入研究。
2. 物理学中的应用函数在物理学中也具有重要的地位，如质点的运动、电路中的电流电压关系等，这些都可以通过函数来描述和解决。
3. 生物学中的应用在生物学研究中，也常常使用函数来描述生物体的生长发育、种群数量变化等问题，通过函数模型可以得到一些有价值的结论。
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。
（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。
【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活，又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
解（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：当0<x≤220时，有f（x）=3.45x；当220<x≤300时，有f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83=4.83x-303.6；当x>300时，有f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x，0<x≤220，f（x）=14.83x-303.6，220<x≤300，=5.83x-603.6，x>300.（2）因为220<260≤300，所以f（260）=4.83×260-303.6=952.2，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。
第一节函数与方程第四课时教学设计(三)整体设计三维目标知识与技能：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；2．借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法．过程与方法：1．了解数学上的逼近思想、极限思想；2．体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备．情感、态度与价值观：1．通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；2．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；3．通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．教学重点与难点教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教材分析本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备．教科书不仅希望学生在数学思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解的史料来渗透数学文化，提高数学素养．学情分析学生基础较好，学生学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方法，体验二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．信息技术分析多媒体教室及几何画板4.06中文版、Visual Basic 6.0简体中文版应用程序．教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践．教学过程教学设计流程图创设情境导入——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课，提出二分法的思想↓例题回顾——回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何画板》演示↓合作探究——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解↓师生小结——总结出用二分法求方程近似解的步骤↓学以致用——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解↓数学文化——介绍数学家求方程的近似解的历史↓知识迁移——利用Visual Basic编写程序，渗透算法思想教学设计理念1．倡导积极主动、勇于探索的学习方式．2．鼓励学生自主探究、合作交流．3．注重信息技术与数学课程的整合．4．体现数学的文化价值．教学情境设计一、创设情境，导入新课问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．设计意图1．创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发学生的学习兴趣，并在教师的指导下设计猜价方案．2．在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．师生活动：师：表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你的猜价方案猜手机价格？生：猜价方案区间中点(取整) 高低[500,1 000] 750 低了[750,1 000] 875 高了[750,875] 812 低了[812,875] 843 低了[843,875] 859 高了[843,859] 851 ok师：用几何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想(附图一)．生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间．师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题．二、例题回顾人教A版3.1.1节例1求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数？方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数？问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？问题2：f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点，如何找出？设计意图通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换．师生活动：师：借助几何画板直观演示(附图二)函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让学生思考问题2，提示学生回顾猜价方案的思想．生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路．师：提问学生．生：1.取(2,3)的中点2.5，发现f(2.5)·f(3)<0，所以零点在(2.5,3)内．2．以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小．三、合作探究问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？ 设计意图1．让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想．2．引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想．3．引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用．师生活动：1．师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论．生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解．2．师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.生：分组交流．生：经合作整理，规律如下：每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间．师：实质是根据什么定理？生：零点存在性定理．3．师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度ε，只要将上述步骤进行有限次重复后即区间两端点差的绝对值小于ε，则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．几何画板直观演示(附图四)．四、师生小结你能说出二分法的意义及用二分法求函数y ＝f (x )零点近似值的步骤吗？1．二分法的意义对于在区间[a ，b ]上连续不断且满足f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附图五)．设计意图引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的思想，体验解决问题的成就感．师生活动：师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．师：分析关键词：f (a )·f (b )<0、m ＝a ＋b 2、精确度ε、|a －b |<ε的意义． 生：结合求函数f (x )＝ln(x )＋2x －6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．五、学以致用问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例．问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2x ＋3x ＝7的近似解．(精确度0.1)设计意图1．培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系．2．培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使学生的认识不断加深．师生活动：1．师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子．生：电力工人检测电线，找故障．2．(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导．(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六)．六、数学文化阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．设计意图让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养．七、知识迁移问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？设计意图初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．师生活动：师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．它的优点是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如我们可以编写用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一个函数的零点．程序框图及程序(附图七)八、课堂小结问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？设计意图学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力．师生活动：师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：1．要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；2．二分法的意义；3．二分法求方程的近似解的步骤；4．逼近、极限、二分法．教学设计附图：区间中点(取整) 高低[500,1 000] 750 低了[750,1 000] 875 高了[750,875] 812 低了[812,875] 843 低了[843,875] 859 高了[843,859] 851 课题附图一附图二附图三附图四二次法求解方程近似解的基本步骤：(精确度ε)1．利用计算或作图的方法，确定初始区间[a ，b ]；2．验证f (a )·f (b )<0；3．求区间(a ，b )的中点c ＝a ＋b 2； 4．计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c 〔此时零点X 0∈(a ，c )〕；(3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c 〔此时零点X 0∈(c ，b )〕；5．判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点的近似值a (或b )；否则重复3～4.附图五附图六附visual basic 程序Private Sub Command1_Click()Dim a As SingleDim b As SingleDim d As Singlea＝InputBox(“a”，“区间左端点”)b＝Input Box(“b”，“区间右端点”)d＝InputBox(“d”，“精确度”)Text1.Text＝aText2.Text＝bText3.Text＝dfa＝2^a＋3]教学反思1．创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．2．教学中以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高发现和解决问题的能力．3．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间，让学生分组交流、合作探究．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点，还学会了相互接纳、互助与赞赏，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．学生间的多向交流，可以使他们从多角度得出问题解决的途径．4．重视知识的形成过程，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学．这样才能体现“思想方法比知识更重要”这一新的教学价值观．5．在教学中适当介绍数学家的奋斗历史，从而渗透数学文化，增强学生的数学素养．不足之处1．在分组交流，学生合作探究解决问题上显得经验不足，不够老到．2．在使用《几何画板》演示教学内容时，学生学习《几何画板》基本操作的实际水平与本节课知识运用所要求的水平不符．可以在课外花点时间让学生学习数学常用的几种软件，从而提高学生的动手能力．。
§3.1 函数与方程1．函数零点的概念对于函数y ＝f(x) (x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f(x) (x∈D)的零点．注意以下两点：(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点． (2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)＝0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2．函数零点的判断一般地，如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)函数y ＝f(x)如果满足：①函数在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点．(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y ＝x 2有零点x 0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．(4)函数在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a ，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y ＝f(x)在(a ，b)内有且只有一个零点．但要注意：如果函数y ＝f(x)在[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，且x 0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.3．二分法 所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．用二分法求函数零点近似值的注意点 (1)在第一步中要使：①区间[a ，b]的长度尽量小；②f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)<0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根.题型一 判断零点所在区间根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间是________.解析 令f(x)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2.72－3＝－0.28<0，f(2)＝7.39－4＝3.39>0，f(3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f(1)·f(2)<0，所以根所在的区间为(1,2)．答案 (1,2)点评 解题的关键是e x 与x ＋2差的符号，构造函数f(x)＝e x －x －2，将求方程e x－x －2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解．题型二 判断零点个数定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 008x＋log 2 008x ，则函数f (x )的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．2 006 解析 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，因为log 2 00812 008＝－1,2 00812 008>1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008＝2 00812 008＋log2 00812 008>0， 所以，当x >0时，f (x )＝2 008x＋log 2 008x ，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 008内存在零点， 又根据单调函数的定义可证明f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R 上零点的个数为3，故选C.答案 C点评 认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的．注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f (0)＝0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分．题型三 用二分法求方程的近似解求方程x 2＝2x ＋1的一个近似解(精确度0.1)．解 设f (x )＝x 2－2x －1. ∵f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x 2－2x －1＝0有一解，记为x 0. 取2与3的平均数2.5，∵f (2.5)＝0.25>0， ∴2<x 0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f (2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x 0<2.5； 再取2.25与2.5的平均数为2.375， f (2.375)＝－0.109 4<0，∴2.375<x 0<2.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5， f (2.437 5)＝0.066 4>0.∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x 2＝2x ＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. 点评 对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．函数f (x )＝x ＋1x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 错解 因为f (－1)＝－2，f (1)＝2，且x <0时，f (x )<0，x >0时，f (x )>0，所以y ＝f (x )有一个零点，故选B.错因分析 函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域．通过作图可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用．正解 函数的定义域为x ∈R ，且x ≠0，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点，故选A.本节在高考中充分地体现了函数与方程的思想，即在研究函数的零点时，利用图象来研究函数的零点或方程的根．1．(山东高考)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 解析 数形结合可知，交点横坐标在(1,2)内．答案 B2．(2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则使ax 2解析 由表中数据可知f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的零点有两个是－2和3.这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2]，(－2,3]，(3，＋∞)．在区间(－∞，－2]中取特殊值－3，表中数据有f (－3)＝6>0，因此根据二次函数零点的性质得：当x ∈(－∞，－2)时，都有f (x )>0；同理可得：当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0.故使f (x )>0的自变量x 的取值范围是x ∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x 答案 C解析 对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0， 即函数f (x )＝|x |存在零点；当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>0，∴f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．2．若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )<0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0 答案 D解析 由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B 可通过反例“f (x )＝x (x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)f (2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C 可通过反例“f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)f (2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．3．方程2x＋x ＝0在下列哪个区间内有实数根( ) A ．(－2，－1) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(－1,0) 答案 D解析 设函数f (x )x由于f (－1)f (0)<04．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是__________．答案 －2解析 本题易认为零点有两个，即由x 2－4＝0求出x ＝±2，事实上x ＝2不在函数的定义域内．5．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，求正整数k .解 设f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )＝ln x ＋x －4在正数范围内是单调递增的，故函数f (x )＝ln x ＋x －4仅有一个零点，∵f (1)＝ln1＋1－4<0，f (2)＝ln2＋2－4<0， f (3)＝ln3＋3－4>0，∴f (2)·f (3)<0，即k ＝2.6．求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度0.1)．解 设f (x )＝2x 3＋3x －3，经试算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5，0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625) <0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5) <0所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.687 5.7．如果函数f(x)＝a x－x－a (a>0且a≠1)有两个不同的零点，求a的取值范围．解研究函数f(x)＝a x－x－a(a>0且a≠1)的零点，即相当于研究方程a x＝x＋a的根．(1)当a>1时，分别画出y＝a x与y＝x＋a的图象，如图(1)所示，由于y＝a x恒过M(0,1)点，直线y＝x＋a过点N(0，a)，而a>1，所以点N在点M的上方，此时两者有两个交点，即方程a x＝x＋a有两个根，函数f(x)＝a x－x－a (a>0且a≠1)有两个不同的零点；(2)当0<a<1时，分别画出y＝a x与y＝x＋a的图象，如图(2)所示，指数函数y＝a x在0<a<1时是单调递减的，而一次函数y＝x＋a单调递增，两者仅有一个交点，即方程a x＝x＋a仅有一个根，函数f(x)＝a x－x－a (a>0且a≠1)有一个零点；综上所述，a的取值范围是(1，＋∞)．3．1.1 方程的根与函数的零点学习目标1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方法．自学导引1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．4．函数零点的存在性的判定方法：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.一、求函数的零点例1 求下列函数的零点：(1)f (x )＝－x 2－2x ＋3；(2)f (x )＝x 4－1；(3)f (x )＝x 3－4x .解 (1)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)．所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.(2)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1， 故函数的零点是－1,1.(3)令f (x )＝0，即x 3－4x ＝0，∴x (x 2－4)＝0，即x (x ＋2)(x －2)＝0. 解得：x 1＝0，x 2＝－2，x 3＝2，所以函数f (x )＝x 3－4x 有3个零点，分别是：－2,0,2.点评 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值． 解 ∵2，－4是函数f (x )的零点． ∴f (2)＝0，f (－4)＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8.二、判断函数在某个区间内是否有零点例2 (1)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞) (2)f (x )＝ln x －2x在x >0上共有________个零点．分析 由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间．解答本题可从已知区间求f (a )和f (b )，判断是否有f (a )·f (b )<0，且注意该函数在定义域上为增函数．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln2－1<0， ∴在(1,2)内f (x )无零点，A 不对；又f (3)＝ln3－23>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在(2,3)内有一个零点．(2)∵f (x )＝ln x －2x在x >0上是增函数，故f (x )有且只有一个零点．点评 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 答案 B解析 令f (x )＝x 2－3x ＋1，则f (2)·f (3)<0， ∴(2,3)内仅有一个根．三、已知函数零点的特征，求参数范围例3 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．分析 由题目可获取以下主要信息：已知函数f (x )零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手，进行求解．解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．图(1)(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图(1)所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图(2)若m >0，f (x )的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94.1．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不说明函数y＝f(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0,3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．一、选择题1．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点B．函数f(x)在(3,5)内无零点C．函数f(x)在(2,5)内有零点D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点答案 C2．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)答案 B解析f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( ) A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有答案 C解析若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为( )A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 007答案 D解析因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f(x)的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．5．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断答案 D解析考查下列各种图象上面各种函数y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点， 但是(1)中，f(0)·f(4)>0， (2)中f(0)·f(4)<0， (3)中f (0)·f (4)＝0. 二、填空题6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点有________个． 答案 2解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，即函数f (x )有2个零点．7．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是__________．答案 0，－12解析 由2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，g (x )＝bx 2－ax＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12，∴g (x )＝bx 2－ax 的零点为0，－12.8．方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (1，＋∞)解析 令f (x )＝2ax 2－x －1，a ＝0时不符合题意；a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能f (0)·f (1)<0，解得a >1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ 分析 函数f (x )只要满足①f (－1)·f (0)<0；②在[－1，0]内连续，则f (x )＝0在[－1,0]内必有实数解．解 ∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0.且函数f (x )＝3x －x 2的图象是连续曲线，∴f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．10．若函数y ＝3x 2－5x ＋a 的两个零点分别为x 1，x 2，且有－2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围．解由已知得：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-03010002f f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+012020022a a a a . 解得：-12<a<0.3．1.2 用二分法求方程的近似解学习目标理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．自学导引 1．二分法的概念 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．2．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤(给定精确度ε) (1)确定区间[a ，b ]，使f (a )·f (b )<0.(2)求区间(a ，b )的中点，x 1＝a ＋b2.(3)计算f (x 1)．①若f (x 1)＝0，则x 1就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1(此时零点x 0∈(a ，x 1))； ③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点x 0∈(x 1，b ))．(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f (x )的近似零点满足给定的精确度.一、能用二分法求零点的条件例1 下列函数中能用二分法求零点的是( )答案 C解析在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点，故选C.点评判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．变式迁移1 下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )答案 B二、求函数的零点例2 判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解．解因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．解由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于|1.75－所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．三、二分法的综合运用例3 证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f(x)＝2x＋3x－6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3 求32的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．解设x＝32，则x3－2＝0.令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 81<0.01，所以函数f(x)零点的近似值是1.26，即32的近似值是1.26.1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为12n.3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．一、选择题1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1答案 C解析因为f(x)＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]，不满足f(a)·f(b)<0.2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定答案 B解析 1.5为区间(1,2)的中点，且f(1)<0，f(1.5)>0，∴方程的根x0∈(1,1.5)，又 1.25是(1,1.5)的中点且f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴x0∈(1.25,1.5)．3．函数f(x)＝x2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是( )A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.3答案 C4．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125) 答案 A解析 ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0， 故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．二、填空题 6．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．答案 0.75或0.687 5解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1， 所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．7．用二分法求方程x 2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.答案 7解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为 127＝1128<1100＝0.01. 8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ] (n ∈N )上，当|a n －b n |<m时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过______．答案 m2解析 假设a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ，a n ＋b n 2， 因为|x 0－a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋b n 2－a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋b n 2－a n＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －a n 2<m 2. 三、解答题9．求函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确度为0.1)． 解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝6>0， 所以函数在(1,2)内存在零点．取(1,2)的中点1.5，经计算f (1.5)＝0.625>0，(1.375，1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.11.437 5)10．利用计算器，求方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)．解作出y=lgx，y=2-x的图象，可以发现，方程lgx=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)=lgx+x-2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x∈(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒x∈(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0⇒x∈(1.75,2)；f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x∈(1.75,1.875)；f(1.75)<0，f(1.812 5)>0⇒x∈(1.75,1.812 5)∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，所以方程的近似解可取为1.812 5.。
