第一部分 相似三角形模型分析大全
一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A
字型（斜A 字型）
（平行）
（不平行）
（二）8
字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行） （不平行） （三）母子型
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
B
B
C
B C
B
（五）一线三直角型：
（六）双垂型：
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A 字型旋转得到。 8字
型拓展
B
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第二部分 相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．
求证：（1）DA DE DB ⋅=2
； （2）DAC DCE ∠=∠．
例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC
于E 、F ．
求证：EG EF BE ⋅=2
．
A
C
D
E
B
点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习：
1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2
．
2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：
FC FB FD ⋅=2．
3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
双垂型
1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED
解答：证明：（1）∵CE ⊥AB
于
E ，B
F ⊥AC
于
F ，
（第4题图）
∴∠AFB=∠AEC，∠A为公共角，
∴△ABD∽△ACE（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，∠A为公共角，
∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
(3)∵△ADE∽△ABC
∴AD：AB=DE：BC
又∵∠A=60°∴BC=2ED
共享型相似三角形
120，已知BD=1，CE=3，,求1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=
等边三角形的边长.
如图∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°
又∵DBCE在一条直线上
∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°
∵∠DAE=120°
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°
由上可知∠ADB=∠CAE，∠DAB=∠CAE
∴△DAB∽△AEC
∵三角形相似对应边成比例
∴BD／AC=AB／CE
∵BD=1，CE=3
∴AB=AC=√3
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22
．
解答
：
证
明
：
（
1
）
在
Rt
△
ABC
中
， ∵AB=AC
，
∴∠B=∠C=45°．
（1分） ∵∠BAE=∠BAD+∠
DAE ，
∠DAE=45
°， ∴∠BAE=∠BAD+45°． （1分） 而∠ADC=
∠BAD+∠
B=∠BAD+45
°，
（1分
） ∴∠BAE=∠
CDA
． （1分） ∴
△
ABE
∽△DCA
． （2
分） （2）由△ABE ∽△DCA ，得． （2
分） ∴BE •CD=AB •AC ．
（1
分
） 而AB=AC
，
BC 2
=AB 2
+AC
2
，
∴BC 2
=2AB 2
． （2
分） ∴
BC 2
=2BE
•
CD
．
（
1
分
）
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．
一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD
D C A
