相似三角形模型分析大全之母子型

相似三角形（2）教学目标：1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用2．能力目标：在复杂的图形中，能够在二次相似或多次相似识别基本图形及其应用3．情感目标：通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。

教学重难点重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用。

难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用。

【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA（2）△ACD∽△CBD中，2CD AD BD=△BDC∽△BCA中，2BC BD AB=△CDA∽△BCA中，2AC AD AB=2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD∽△ABC中，2AC AD AB=【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长.D CBA【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙HG FED C B A【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.BA类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。

相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =}△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.CBA@【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2 A D C B A D CB【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•H G FED C B A【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.】【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是Rt△ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD的长.BA类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD中，BH⊥AC于H，交CD于G，求证：2BC CG CD=•。

母子型相似三角形(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22母子型相似三角形（三）母子型ABCDCAD例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NBACDEB333、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．AB P（第25题图）GMF EH DCBA。

母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = 【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽ 类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长. 类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。

1相似三角形判定母子型平行线分线段成比例定理：= = =一．复习引入：1、相似三角形的定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。

2、相似三角形的预备定理：如果一条直线 于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。

3、判定定理1： 对应相等，两三角形相似。

4、判定定理2： 对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

母子三角形：= = = = =类型一：直角三角形中的母子型1.如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.2.如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.3. 如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型二：四边形中的母子型1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。

FA B CD E a b cDA BCBAHA C22.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：212AD DE DB =•。

3. 如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ，求证：QH ⊥DH ．类型三：圆中的母子型1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2EB DE AE =•。

2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ， 求证：（1）2AM MC MB =• （2）∠MPC=∠MBP 。

3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：2CE AF AE =•。

EACB F DO BCEC OPBM FOBACDE。

九年级数学相似三角形--母子型【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例；那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图；已知△ABC 是直角三角形；CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD ∽△CBD ；△BDC ∽△BCA ；△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中；2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中；2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中；2AC AD AB =2、条件：如图；已知∠ACD=∠ABC （母子） 结论：△ACD ∽△ABC 中；2AC AD AB = 【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图；ΔABC 中；∠A=∠DBC ；BC=；SΔBCD ∶SΔABC=2∶3；则CD=______.【练】如图；D 是 △ABC 的边AB 上一点；连结CD.若AD= 2；BD = 4； ∠ACD =∠B 求AC 的长.CBA【例2】如图；在△ABC 中；AD 为∠A 的平分线；AD 的垂直平分线交AD 于E ；交BC 的延长线于F ；求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高；,DE CA DF CB ⊥⊥；如图3-1；求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图；在△ABC 中；AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高；过D 作AB 的垂线交AB 于F ；交BE 于G ；交AC 的延长于H ；求证：2DF FG FH =∙HGF EDCBA【练】如图5；RtΔABC 中；∠ACB=90°；CD ⊥AB ；AC=8；BC=6；则AD=____；-CD=_______.【例2】如图1；∠ADC=∠ACB=90°；∠1=∠B ；AC=5；AB=6；则AD=______.【练】如图；CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2；BD = 4； 求CD 的长.A类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图；矩形ABCD 中；BH ⊥AC 于H ；交CD 于G ；求证：2BC CG CD =∙。

相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD ADBD =g△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =g△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =g2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =g【例题解析】 类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.D CBA【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2A D CB A D CB【练】已知CD 是ABC∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•HG FED C B A【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长. C BA D类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

模型1.“母子型”模型(共边共角模型)【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子型”模型(共边共角模型)“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。

图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ADAB=ABBC，∴AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD·AB.同理可证：BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4)共边模型条件：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBC，∵∠ADB=∠DCB，∴△ADB∽△DCB，∴ABDB =DBBC，∴BD2=BA⋅BC1.(2024·河北石家庄·二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAE=∠DAC，AB=9，AD =12，则CE长为()A.214B.3 C.9 D.4872.(23-24九年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．3.(2024·湖南长沙·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC=5，CD=6，则BC=．4.(2024·广西南宁·三模)阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有如下结论：①AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．下面是该定理的证明过程(部分)：∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD(依据)．∴BDAD =ADCD．即AD2=BD⋅DC．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C-3,0，点A在y轴上，求顶点A的坐标．5.(2023·山东淄博·九年级统考期末)如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP= 60°，且△ACP∽△PDB．(1)请判定△PCD的形状，并说明理由；(2)若AC=2，BD=3，求△ABP的面积．6.(2024·浙江温州·三模)如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心BC长为半径画弧，交边AB于点D，连接CD．点E是CB延长线上的一点，连接AE，若AB平分∠CAE．(1)求证：△ACD∽△AEB．(2)当AD=BD时，求BCEB的值．7.(2024·河南·二模)三角形的布洛卡点(Brocardpo int)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A．LCrelle1780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠P AB=∠PBC=∠PCA=∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．(1)如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；P A、PB、PC的数量关系是；(2)如图3，点P为等腰直角三角形ABC(其中∠BAC=90°)的布洛卡点，且∠1=∠2=∠3．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若△ABC的面积为52，求△PBC的面积．1.(23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则下列结论中不正确的是()A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△EDCD.△ABC∽△ACD2.(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC 长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG =CGB.∠B =2∠HABC.△CAH ≅△BAGD.BG 2=CG ⋅CB3.(2023·江苏·九年级专题练习)如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠ABC ，若AC =3，AD =1，则DB 的长为．4.(23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =2AC ．以点A 为圆心，以AC 的长为半径作弧交边AB 于点D ．分别以点D ，C 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，则EC BE 的值为．5.(23-24九年级上·陕西汉中·期中)如图，点C 、D 在线段AB 上，且CD 是等腰直角△PCD 的底边．当△PDB ∽△ACP 时(P 与A 、B 与P 分别为对应顶点)，∠APB =°．6.(2024·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =512，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为．如图2，连接AP ，作∠APQ ，使得∠APQ =∠B ，PQ 交AC 于Q ，则当BP =11时，AQ 的长为．7.(2024.广东九年级校级月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AD=8,DB=2，求CD的长8.(22-23九年级上·云南红河·期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．求证：△ABC∽△AEB．9.(2023春·福建福州·八年级校考期末)已知：如图，在△ABC中，D为AB边的中点，连接CD，∠ACD=∠B，AB=6，求AC的长．10.(23-24八年级下·浙江宁波·期末)【证明体验】(1)如图1，在△ABC中，D是AB边上的点，连结CD，若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD⋅AB．【思考探究】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，D是AB边上的点，连结CD，E是CD的中点，连结BE．若∠ACD=∠DBE，求AD的长．11.(23-24九年级下·河南南阳·阶段练习)如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BP A=135°，∠APC=90°．(1)求证：△BP A∽△CPB；(2)求APPC的值．12.(2023·陕西西安·九年级期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、AC于点F，E．(1)求证：ΔCBF∽ΔABE；(2)若AB=10，BC=6，求ΔCBF的面积．13.(2024·四川·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．14.(2024·山东·八年级专题练习)定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．15.(2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD⋅CD；(2)若BC=6，CD=8，求AD的长.16.(2023·广东深圳·一模)【探究发现】(1)如图①所示，在等腰直角△ABC中，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，则有下列命题：①△BDO∽△BCA；②△EDA∽△ECO；③△BDO∽△EDA；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】(2)如图②所示，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，若OB=2，求AE的值；【拓展应用】(3)在等腰△ABC中，AB=AC=a，BC=b，a<b<2a，点D，O分别为射线BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，当△ADO为等腰三角形时，请直接写出OB的长(用a，b表示)．相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD∽△CBD ，△BDC∽△BCA ，△CDA∽△BCA（2）△ACD∽△CBD 中，2CD AD BD =g△BDC∽△BCA 中，2BC BD AB =g △CDA∽△BCA 中，2AC AD AB =g2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD∽△ABC 中，2AC AD AB =g【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.DCBA【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2ADCBAD CB【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =• HGF EDCBA【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.A【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。

母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.DCBA【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙HGF EDCBA【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.A【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。

母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例:1、条件:如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD,△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中,2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件:如图，已知∠ACD=∠ABC结论:△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图，ΔABC 中,∠A=∠DBC ，BC=,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD 。

若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中,AD 为∠A 的平分线,AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2DCBA【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证:CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G,交AC 的延长于H,求证：2DF FG FH =•【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____，CD=_______.【例2】如图1，∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5,AB=6，则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高。

母子型相似三角形【知识要点】 一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD∽△CBD ，△BDC∽△BCA ，△CDA∽△BCA（2）△ACD∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.CBA【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长A DCBA DCB线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•HGF EDCBA【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.A【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。