2020高考数学(文)总复习《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2019考纲考题考情1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。

(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。

②含有全称量词的命题，叫做全称命题。

“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。

③含有存在量词的命题，叫做特称命题。

“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。

(2)含有一个量词的命题的否定1．用“并集”的概念来理解“或”，用“交集”的概念来理解“且”，用“补集”的概念来理解“非”。

2．记忆口诀：(1)“p或q”，有真则真；(2)“p且q”，有假则假；(3)“非p”，真假相反。

3．命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)；命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)。

一、走进教材1．(选修1－1P26A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0解析由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。

故选B。

答案 B2．(选修1－1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数是()A．1B．2 C．3D．4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。

故选B。

答案 B二、走近高考3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2。

下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)解析因为x>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0，故p为真命题。

考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1、已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】[－8，＋∞)【解析】原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．2、若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－22，22]【解析】因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m 的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞m ，解得：m ＜1；命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，则3-m ＞1，解得：m ＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，p 真q 假时：无解， p 假q 真时： ，解得：1≤m＜2， 故答案为：[1，2）．4、现有下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”；②若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则A ∩(∁R B )＝A ；③函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝k π＋π2(k ∈Z)； ④若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a －b 的夹角为60°.其中为真命题的是________．【答案】②③【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B ＝(－1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝A ；命题③真，若φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则f (x )＝sin(ωx ＋k π＋π2)＝±cos ωx 为偶数；命题④假，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以由三角形法则可得|a |， |b |的夹角为60°，b 与(a －b )的夹角为120°.所以填写答案为②③.5、已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[－1,2]【解析】依题意，cos 2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．6、已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题： ①(綈p 1)∧(綈p 2)；②p 1∨(綈p 2)；③(綈p 1)∧p 2；④p 1∧p 2.其中为真命题的是________(填序号)．【答案】③【解析】∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题． 7、设命题p ：函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 【解析】因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52； 若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52， 所以52≤a ≤4. 综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 8、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，n ⊂α，m ⊂β，则m ∥n ；命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q .【答案】①④【解析】∵命题p 是假命题，命题q 是真命题．∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．9、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x 0∈R ，x 20－4＝0；(2)∀T ＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，∃A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .【解析】它们的否定及其真假分别为：(1)∀x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．10、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2.【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.11、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a 不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1. 12、已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】{m |m <12或m ＝32} 【解析】若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3，所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32， 所以当p 为真时，12≤m ≤32； 若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立，所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x成立． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x， 易知g (x )在区间[1，2]上是增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32， 所以当q 为真时，m <32. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}. 13、已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】【解析】命题p ：函数f （x ）=2ax 2﹣x ﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f （0）f （1）=﹣（2a ﹣2）＜0，解得a ＞1；命题q ：函数y=x 2﹣a 在（0，+∞）上是减函数，2﹣a ＜0，解得a ＞2．∴￢q ：a ∈（﹣∞，2]．∵p 且￢q 为真命题，∴p 与￢q 都为真命题，∴ 解得1＜a≤2．则实数a 的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．【答案】(0，1]∪[4，＋∞).【解析】因为函数y ＝a x在R 上单调递增，所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).15、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.16、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a 不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1. 17、已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(－∞，0)∪[1，4)【解析】命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4， 所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．18、设：实数x 满足，：实数x 满足.（1）若，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由得，当时,，即为真时，.由,得,得，即q 为真时，.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)由得,，.由,得,得.设, ,若p 是q 的充分不必要条件，则是的真子集，故，所以实数的取值范围为.19、已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线. (1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2) 若命题“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求k 的取值范围．【答案】(1) (1，＋∞) (2) (－∞，1]∪[3，＋∞)【解析】(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k－1，解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)．(2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3.因为“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k≥3，解得k≥3； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k≤1，k<3，解得k≤1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．。

§1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，¬p：真假相反．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和¬p不可能都是真命题．(√)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(√)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P16例1]命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是____________．答案∀x∈N，x2>04．[P23测试T6]命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三易错自纠5．命题“¬p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由¬p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而¬p为假．故“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(¬p )∧(¬q )；④p ∨(¬q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则下列命题中是真命题的为________．(填序号) ①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④¬q .答案②解析函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(¬q)为假命题，¬q为假命题．3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(¬p)∨(¬q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“¬p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题： ①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，1123log log x x >；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1112331111log log log 232==>成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，12log x >1>⎝⎛⎭⎫12x ，故③是假命题； 对于④，∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <1<13log x ，故④是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)命题：“∃x ∈R ，sin x ＋cos x >2”的否定是________________． 答案 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2(2)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则¬p 是__________． 答案 ∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ；命题q ：∃x ∈(－∞，0)，3x >2x ，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(¬q )；③(¬p )∧q ；④(¬p )∧(¬q )． 答案 ②解析 ∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，所以命题p 为真命题；∀x ∈(－∞，0)，3x <2x ，所以命题q 为假命题，因此p ∧q ，(¬p )∧q ，(¬p )∧(¬q )为假命题，p ∧(¬q )为真命题，故填②. (2)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是______________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．(3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题， 所以e x ＋a ≥0恒成立， 所以a ≥(－e x )max 的最大值． ∵－e x <0，∴a ≥0.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.思维升华(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案 1解析由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，即由命题q 为真，知c >12.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝12x 是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①p ∨(¬q )；②p ∧q ；③(¬p )∨q ；④(¬p )∧(¬q )． 答案 ①解析 命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此¬p 为假命题；命题q ：y ＝12x 在定义域上是增函数，故命题q 是假命题，¬q 是真命题．因此①是真命题，②③④均为假命题． 二、充要条件的判断例2 (1)“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的________条件． 答案 充分不必要解析 由题意，函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增， 则f ′(x )≥0恒成立，即f ′(x )＝a －sin x ≥0，即a ≥sin x ， 因为－1≤sin x ≤1，即a ≥1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为____________．答案(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2<m<2，因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为________． 答案 ∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0解析 ∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题， 命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为__________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是¬p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) ①锐角三角形有一个内角是钝角； ②至少有一个实数x ，使x 2≤0； ③两个无理数的和必是无理数； ④存在一个负数x ，1x >2.答案 ②解析 ①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以④是假命题．5．设命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋1x >3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是________．(填序号)①p ∧(¬q )；②(¬p )∧q ；③p ∧q ；④(¬p )∨q . 答案 ①解析 命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋1x >3，当x ＝3时，x ＋1x ＝103>3，命题p 为真；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假．所以p ∧(¬q )为真．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(¬p )∧(¬q )；②(¬p )∨(¬q )；③p ∨(¬q )；④p ∧q . 答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质可知， 当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故¬p 是真命题，¬q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题，(¬p )∨(¬q )为真命题． 7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.9．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，22]解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤22，92，当且仅当x ＝22时，f (x )min ＝22，所以λ≤2 2. 10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0， 解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.12．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，¬p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题．13．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且¬q ”是假命题； ③命题“¬p 或q ”是真命题； ④命题“¬p 或¬q ”是假命题． 其中正确结论的序号为____________． 答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且¬q ”是假命题，“¬p 或q ”是真命题，“¬p 或¬q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(¬q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0，可得m ＝e xx，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(¬q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________．答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ＝174， ∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817，∴由p 真得m <817. 设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1.又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1. 故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。

专题03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.基础知识融会贯通1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)【知识拓展】1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3) p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则q”，否命题是“若⌝p，则⌝q”．重点难点突破【题型一】含有逻辑联结词的命题的真假判断【典型例题】已知命题p：函数y＝sin（2x）和y＝cos（2x）的图象关于原点对称；命题q：若平行线6x+8y+a＝0与3x+by+22＝0之间的距离为a，则a＝b＝4．则下列四个判断：“p∨q是假命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题”中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：y＝cos（2x）＝sin[（2x）]＝sin（2x）＝﹣sin（2x）则函数y＝sin（2x）关于原点对称的函数为﹣y＝sin（﹣2x），即y＝﹣sin（2x），即命题p 是真命题，若两直线平行则得b＝4，∴两平行直线为6x+8y+a＝0与6x+8y+44＝0，平行直线的距离为═a，即|a﹣44|＝10a，a＞0，则a﹣44＝10a或a﹣44＝﹣10a，得a＝4或（舍），则a＝b＝4，即命题q是真命题，则“p∨q是真命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题，正确的命题有3个，故选：C．【再练一题】已知命题p：函数f（x）是定义在实数集上的奇函数；命题q：直线x＝0是g（x）＝x的切线，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢q C．（￢p）∧q D．￢p【解答】解：f（﹣x）f（x），即f（x）是奇函数，故命题p是真命题，函数的导数g′（x），当x＝0时，g′（x）不存在，此时切线为y轴，即x＝0，故命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．思维升华“p∨q”“p∧q”“⌝p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“⌝p”等形式命题的真假．【题型二】含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假【典型例题】已知命题p：∀x∈（0，π），tan x＞sin x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢（p∨q）C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q【解答】解：命题p：∀x∈（0，π），tan x＞sin x；当x时，命题不成立．故命题p为假命题．命题q：∃x＞0，x2＞2x，当x＝3时，命题为真命题．故￢p∧q为真命题．故选：D．【再练一题】下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p4【解答】解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x）2，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．命题点2 含一个量词的命题的否定【典型例题】设命题，则￢p为（）A．B．C．D．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢p：∃x0∈[0，），sin x0≥cos x0，故选：A．【再练一题】命题“∃x0∈R，”的否定形式是（）A．∀x∈R，B．∃x∈R，C．∃x∈R，D．∀x∈R，【解答】解：命题是特称命题，则否定是：∀x∈R，，故选：D．思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．【题型三】含参命题中参数的取值范围【典型例题】已知函数f（x）＝lg[（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+1]，设命题p：“f（x）的定义城为R”；命题q：“f（x）的值域为R”．（Ⅰ）若命题p为真，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）命题p为真，即f（x）的定义城为R，等价于（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+1＞0恒成立，等价于a＝1或解得或a≥1．故实数a的取值范围为．（Ⅱ）命题q为真，即f（x）的值域是R，等价于g（x）＝（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+1取遍所有的正数，即值域为包含（0，+∞），等价于a＝﹣1或解得a≤﹣1．若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则“p真q假”或“p假q真”，即或，解得a≤﹣1或a≥1．故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【再练一题】已知两函数f（x）＝8x2+16x﹣m，g（x）＝2x3+5x2+4x，（m∈R）若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，求m的取值范围．【解答】解：若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，只需在∈[﹣3，3]上f （x）min＞g（x）min即可．f（x）＝8x2+16x﹣m＝8（x+1）2﹣m﹣8，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣m﹣8g（x）＝2x3+5x2+4x，g′（x）＝6x2+10x+4＝（x+1）（6x+4），在x∈（﹣3，﹣1）∪（，3]，g′（x）＞0，（﹣3，﹣1）与（，3]是g（x）单调递增区间．在x∈（﹣1，），g′（x）＜0，（﹣1，，]是g（x）单调递减区间．g（x）的极小值为g（），又g（﹣3）＝﹣21，所以g（x）min＝﹣21所以﹣m﹣8＞﹣21，解得m的范围为m＜13．思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．基础知识训练1．已知曲线的方程为，给定下列两个命题：，则曲线为双曲线；若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，其中是真命题的是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线，即命题p是真命题，由4﹣k＝k﹣3时，2k＝7，得k＝时，方程不表示椭圆，即命题是假命题，则为真命题，其余为假命题，故选：B．2．“为真”是“为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“为真”可能p假q真，不一定有“为真”，充分性不成立；若“为真”，则一定有“为真”，必要性成立，综上可得：“为真”是“为真”的必要不充分条件.本题选择B选项.3．已知命题；命题：若，则.下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则命题p为真命题；取，满足，不满足，命题q为假命题；据此可得：是假命题；是真命题；是假命题；是假命题.本题选择B选项.4．在一次数学测试中，成绩在区间［125,150］上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”,是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】“甲测试成绩不优秀”可表示为，“乙测试成绩不优秀”可表示为，“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为：.本题选择A选项.5．已知命题：“”，命题：“”.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：当命题为p真时，即：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，即当x∈[1，2]时，（x2﹣a）min≥0，又当x＝1时，x2﹣a取最小值1﹣a，所以1﹣a≥0，即a≤1，当命题q为真时，即：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，所以△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，所以a≤﹣2，或a≥1，又命题“￢p且q”是真命题，所以p假q真，即，即实数a的取值范围是：a＞1，故选：D．6．已知命题；命题.则以下是真命题的为A． B． C． D．【答案】B【解析】判断命题p的正误：，显然是假命题；判断命题q的正误：，显然是真命题；∴是真命题故选：B7．已知命题：若，则，命题，则下列命题为真命题的是( )A． B． C． D．【答案】A【解析】命题：若，则，是真命题.命题：∵，则，因此不，是假命题.则下列命题为真命题的是.故选：A.8．已知命题：函数的图像恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象可看作把y＝的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，而y＝的图象恒过（1，0），所以函数y＝恒过（2，1）点，所以命题p假，则￢p真；函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x＝0，而函数f（x）的图象是把y＝f（x﹣1）向左平移了1个单位，所以f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，四个选项只有命题为真命题．故选：B．9．命题“，使得”的否定形式是A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】D【解析】由题意可知；全称命题“，使得”的否定形式为特称命题“，使得”故选：D．10．设命题p：，则A． B．C． D．【答案】C【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，故选：C．11．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是无理数【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，答案为B12．命题“，5－3x0≥0”的否定是( )A．不存在x0∈R，5－3x0＜0 B．，5－3x0＜0 C．，5－3x≤0 D．，5－3x＜0 【答案】D【解析】题干中的是特称命题，它的否定是全称命题，换量词，否结论，条件不变即可，即：，5－3x＜0.故答案为：D.13．已知命题p：，则A． B．C． D．【答案】A【解析】命题“”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，则.故选：A．14．已知集合A是奇函数集，B是偶函数集若命题p：，则A． B．C． D．【答案】C【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题是全称命题，则命题的否定为：，故选：C．15．已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率．是真命题，求m的取值范围；是真命题，是假命题，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】解：方程表示椭圆；则，则，得，得，即p：；双曲线的离心率．则，得，则，即，则q：，是真命题，则都是真命题，则，得．是真命题，是假命题，则一个为真命题，一个为假命题，若假，则，得，若真，则，此时，综上．16．已知p：复数所对应的点在复平面的第四象限内其中，q：其中．如果“p或q”为真，求实数a的取值范围；如果“p且”为真，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】若复数所对应的点在复平面的第四象限内，为真命题则，即若，则，即（1）如果“”为真，则至少一个为真；求出均为假的的范围，取补集正确结果：（2）如果“”为真，则假即正确结果：17．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数上单调递增.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由函数上单调递增得恒成立，因为，即，即上恒成立，所以，即，因为命题为真命题，所以.（2）由已知命题为假命题，为真命题，故假，由（1）知，命题为假命题，可得.由为真命题，得，即.故，得.所以实数的取值范围.18．(1)已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围．(2)设命题p：；命题q：，若的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】命题p：，即；命题，即；由于“”为真命题，则p真q假，从而由q假得，，所以x的取值范围是．命题p：，即命题q：，即由于的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．即有19．已知方程表示焦点在轴上的椭圆；方程表示双曲线．若“”为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围．【答案】【解析】若为真，即方程表示焦点在轴上的椭圆，可得；若为真，即方程表示双曲线，可得解得若“”为假命题，且“”为真命题，则一真一假，若假，则，解得；若真，则，解得，综上．∴实数的取值范围为．20．命题：指数函数是减函数；命题，使关于的方程有实数解，其中.(1)当时，若为真命题，求的取值范围；(2)当时，若为假命题，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，指数函数化为因为指数函数是减函数，所以即所以实数的取值范围为.(2)当时，指数函数化为若命题为真命题，则，即所以为假命题时的取值范围是命题为真命题时，即关于的方程有实数解，所以，解得，所以命题为假命题时的取值范围为因为为假命题，所以为假命题或者为假命题所以实数满足，即所以实数的取值范围为能力提升训练1．己知命题：“关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是( ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由命题有实数根，则则所以非是非为真命题的充分不必要条件，所以，则m的取值范围为所以选A2．已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数的最小值为52，下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(p⌝)∧q C．⌝(p∨q) D．p∧(⌝q)【答案】B【解析】p 中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4，0)，故p 为假命题；q 中f (x )＝，设t ＝≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)，则f (t )＝t ＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f (x )m i n ＝52，故q 为真命题．所以(⌝p )∧q 为真命题，故选B. 3．已知.命题:p 对1a ∀≥， ()y f x =有三个零点， 命题:q a R ∃∈，使得()0f x ≤恒成立. 则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ． C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝【答案】B 【解析】已知.当1a =时，只有一个根，即函数只有一个极值点，则函数最多有2个零点，故命题p 为假; ()01f =Q ，命题q 显然为假命题 故为真选B 4．已知，并设：至少有3个实根；：当时，方程有9个实根；：当时，方程有5个实根，则下列命题为真命题的是（ ）A ．B ．C ．仅有D ．【答案】A 【解析】的导数为，当时，递增；当时，递减，可得取得极大值，取得极小值，作出的图象（如图）：令，对于至少有3个实根，即有，若，则，此时只有一解，故为假命题；对于：当时，方程有9个实根，由内有三个解，在轴上方不妨设，由图象可得共有9个实根，故为真命题；对于：当时，方程有5个实根，由，可得和2，由图象可得有3个实根，有2个实根，共有5个实根．故为真命题，则为真命题；，仅有均为假命题，故选A.5．已知命题，命题，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】将化为，即，因为的一个充分不必要条件是，所以的一个充分不必要条件是，则，故选A.6．已知命题p ：直线与直线之间的距离不大于1，命题q ：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．D ．p q ∧【答案】B【解析】试题分析：对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为，联立方程组，消去y 得.由0∆=得，所以2m =±，椭圆上的点到直线l 最近距离为直线与l 的距离，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆与双曲线有相同的焦点()5,0±，故q为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题，故选B.7．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】(Ⅰ)对于命题：由，又，∴，当时，，即为真时实数x 的取值范围是.由已知为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，∴实数的取值范围是. (Ⅱ)的充分不必要条件，即，且， 设，则，又，则，∴实数的取值范围是.8．已知，命题对任意，不等式恒成立，命题存在，使不等式成立．(1)若为真命题，求的取值范围； (2)若为假，为真，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）【解析】 (1)令，则上为减函数， 因为，所以当时，不等式恒成立，等价于，解得．(2)不等式即，∵，∴，所以，∵，∴即命题． 若为假，为真，则中有且只有一个是真的 若为真，为假，那么，则无解；若为假，为真，那么，则．综上所述，．9．已知p ：方程有两个不等的正根； q ：方程表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围 【答案】（1）3m <-.；（2）21m -<<-或3m <-. 【解析】（1）由已知方程表示焦点在y 轴上的双曲线，所以，解得3m <-，即:3q m <-.（2）若方程有两个不等的正根，则解得21m -<<-，即.因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真.又p 且q 为假，所以p q 、至少有一个为假.因此， p q 、两命题应一真一假，当p 为真， q 为假时，，解得21m -<<-；当p 为假， q 为真时，，解得3m <-.综上， 21m -<<-或3m <-. 10．已知0≠m ，向量)3,(m m a =，向量，集合.（1）判断“b a //”是“10||=a ”的什么条件；（2）设命题p ：若b a ⊥，则19-=m . 命题q ：若集合A 的子集个数为2，则1=m . 判断q p ∨，q p ∧，q ⌝的真假，并说明理由.【答案】(1)充分不必要条件；(2)q p ∨真,q p ∧假,q ⌝真. 【解析】解：（1）若b a //，则，∴1=m （0=m 舍去），此时)3,1(=a ，10||=a .若10||=a ，则1±=m . 故“b a //”是“10||=a ”的充分不必要条件. （2）若b a ⊥，则，∴19-=m （0=m 舍去），∴p 为真命题.由得2m x =或m x -=2，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素，则m m -=22，∴1=m 或2-=m ，故q 为假命题. ∴q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，q ⌝为真命题.。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。