2020年华大新高考联盟理科数学模拟试题

2020届华大新高考联盟押题模拟考试（二十）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则A B =I （ ）A. ()2-∞，B. ()1-∞，C. (21)-，D. (12)-， 【答案】D【解析】【分析】 先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交,【详解】本题主要考查集合运算和一元二次不等式的解法．因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=．故选：D【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。

属于基础题.2.复平面内表示复数1212iz i -+＝的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-， 所以复数1212iz i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限．故选：C .【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．3.设两个单位向量a b r r ，的夹角为23π，则34a b +=r r（ ）A. 1 D. 7【答案】B【解析】【分析】 由222349+24+16a b a a b b +=⋅r r r r r r ，然后用数量积的定义，将a b r r ，的模长和夹角代入即可求解. 【详解】2222349+24+16=9+24cos 16133a b a a b b π+=⋅+=r r r r r r ，即34a b +=r r 故选：B【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.4.设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若//a α，//b α，则//a b ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若a α⊥，b α⊥，则//a b ；④若a α⊥，a β⊥，则//αβ．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．【详解】对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误；对于②，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故②错误；对于③，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故③正确；对于④，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立；故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）A. 这14天中有7天空气质量优良B. 这14天中空气质量指数的中位数是103C. 从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D. 连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【解析】【分析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A 正确； 这14天中空气质量指数的中位数是86121103.52+=，故选项B 不正确； 从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C 正确；连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D 正确．故选：B【点睛】本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题.6.已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）A. 甲不是海南人B. 湖南人比甲年龄小C. 湖南人比河南人年龄大D. 海南人年龄最小【答案】D【解析】【分析】通过分析，排除即可．【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄；所以ABC 错，D 对．故选：D ．【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．7.已知数列{}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，若201a =，则2020a =（ ）A. 101B. 1C. 20D. 2020 【答案】A【解析】由m n m n a a a +=+，得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而得到答案.【详解】由m n m n a a a +=+，令1m = 得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而1n a na =．因为201a =，所以1120a =，2020101a =． 故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题. 8.函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出()3sin 3x f x x 骣琪-=-+琪桫，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解．【详解】因()3sin 3x f x x =+，()33sin sin 33x x f x x x 骣-琪-=-=-+琪桫， 所以函数()f x 是奇函数，排除B ，因为函数的解析式为()3sin 3x f x x =+， 所以()2cos f x x x ¢=+， ∴()2sin f x x x ¢¢轾=-臌∴()2cos 0f x x ¢轾¢¢轾=->犏臌臌, ∴()2sin f x x x ¢¢轾=-臌在[)0,+∞递增 又()0sin00f ¢¢轾=-=臌， 所以()2sin 0f x x x ¢¢轾=-?臌在[)0,+∞恒成立 所以()2cos f x x x ¢=+在[)0,+∞递增，又()200cos010f ¢=+=> 所以()0f x '>在[)0,+∞恒成立所以()f x 在[)0,+∞为增函数，排除A 、C ，综上所述，故选D ．【点睛】本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题．9.已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且12FQ QP =u u u r u u u r ，120F P F Q ⋅=u u u r u u u u r ，则C 的离心率为（ ）1 C. 2- D. 6【答案】A【解析】【分析】根据条件在12PF F ∆，可得1F P =，则2F P =，由椭圆的定义有122F P F P a +=+=，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.【详解】因为在12PF F ∆中，212PF F F ⊥，12PF QF ⊥， 所以2211124FQ F P F F c ==，又1123FQ F P =，所以221243F P c =，从而1F P =，进而2F P =．所以122F P F P a +==，椭圆C 的离心率为c e a ==． 故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题.10.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，则（ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. (3)f x +是偶函数D. ()(2)f x f x =+【答案】C【解析】【分析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f （x ）的周期，然后利用所求结论直接判断即可．【详解】f （x +1）与f （x ﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f （x ）的图象关于x ＝1，x ＝﹣1对称，可得f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣4+x ），即有f （x +4）＝f （x ），∴函数的周期T ＝4，∴f （﹣x +3）＝f （﹣x ﹣1）＝f （x +3），则f （x +3）为偶函数，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题． 11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）A. 2640种B. 4800种C. 1560种D. 7200种 【答案】C【解析】【分析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部.【详解】将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部.分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部，此类分配方案种数为3464480C A =；第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部， 此类分配方案种数为221146421422221080C C C C A A A =． 故不同的分配方案共有1560种．故选：C【点睛】本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题.12.已知函数()sin sin2f x x x =⋅，下列结论中错误的是（ ）A. ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称 B. ()y f x =的图像关于直线x π=对称C. ()f xD. ()f x 是周期函数【答案】C【解析】【分析】 根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可．【详解】对于A ，因为f （π﹣x ）+f （x ）＝sin （π﹣x ）sin （2π﹣2x ）+sinxsin 2x ＝0，所以A 正确； 对于B ，f （2π﹣x ）＝sin （2π﹣x ）sin （4π﹣2x ）＝sinxsin 2x ＝f （x ），所以()y f x =的图像关于直线x π=对称，所以B 正确；对于C ，f （x ）＝sinx •sin 2x ＝2sin 2xcosx ＝2（1﹣cos 2x ）cosx ＝2cosx ﹣2cos 3x ，令t ＝cosx ，则t ∈[﹣1，1]，f（x ）＝g （t ）＝2t ﹣2t 3，令g ′（t ）＝2﹣6t 2＝0，得，t 3=±，g ⎛= ⎝⎭，g =⎝⎭(1)0g -=，(1)0g =，所以()g t ，从而()f x 的，故C 错误； 对于D ，因为(2)sin(2)sin(24)sin sin2()f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=，即f （2π+x ）＝f （x ），故2π为函数f （x ）的一个周期，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．【答案】【解析】Q 棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长，即2R =R =则该球的体积343V R π== 14.已知1F ，2F 分别为双曲线:C 22221x y a b－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，则C 的两条渐近线方程为__________．【答案】y ＝±2x 【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF 1⊥PF 2，由三角形的中位线定理可得PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，运用点到直线的距离公式可得F 1（﹣c ，0）到OQ 的距离，结合双曲线的定义可得b ＝2a ，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ， 点P 是以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限内的交点，可得PF 1⊥PF 2，线段PF 1的中点Q 在C 的渐近线，可得OQ ∥PF 2，且PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，可得F 1（﹣c ，0）到OQ=b ，即有|PF 1|＝2b ，|PF 2|＝2|OQ |＝2a ， 由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故答案为：y ＝±2x ． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题．15.若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________． 【答案】11ln 222- 【解析】【分析】分别设出直线y kx b =+与曲线2x y e-=和曲线1x y e =-的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.【详解】设直线y kx b =+与曲线2x y e-=切于点1211(,)x P x e -， 与曲线e 1x y =-切于点222(,1)x P x e -， 则有21122221(e 1)x x x x e k e e x x ----===-， 从而122x x -=，12k =，212x e =，2ln 2x =-． 所以切线方程21111(ln 2)1ln 22222x y x e x =++-=+-， 所以11ln 222b =-． 故答案为：11ln 222-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．16.设等比数列{}n a 满足32a =，10256a =，则数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．【答案】21(23)26n n n +-+-【解析】【分析】 先求出等比数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=，然后分析求和. 【详解】依题意，有23191012256a a q a a q ⎧==⎨==⎩，，解得11,22.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=． 设数列2{4}n n a 的前n 项和为n T则2122212222n n T n =⋅+⋅++L ，(1)222321212222n n T n +=⋅+⋅++L ．(2)用(1)-(2)，得12211232(21)22n n n T n n --=⋅+⋅++--L ，(3)2312221232(21)22n n n T n n ++-=⋅+⋅++--L ．(4)用(3)-(4)，得122121*********(221)2(23)26n n n n n T n n n n n +++=⋅+⋅++⋅-+-+=-+-L ．故答案为：21(23)26n n n +-+-【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法．考查错位相减法求数列的和.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =．(1)求a ；(2)若ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长．【答案】（1）5；（2）11+【解析】【分析】(1)由cos 4a B =，sin 3b A =，两式相除，再用正弦定理得答案.(2)由（1）可求出3sin 5B =，进一步可求出边c ，然后用余弦定理可计算出边b ，得出答案. 【详解】(1)ABC ∆中，cos 4a B =，sin 3b A =． 由正弦定理得sin sin sin 3tan cos sin cos 4b A B A B a B A B ===． 又cos 4a B =，所以cos 0B >，所以cos 45B =． 所以5a =．(2)由(1)知，cos 45B =，所以3sin 5B =． 因为ABC ∆的面积1sin 92ABC S ac B ∆==，所以6c =． 由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =．所以ABC ∆的周长为1113a b c ++=+．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题．18.《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==，60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵；(2)求二面角1A A C B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（215. 【解析】【分析】 (1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可.【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，3AC =，60ABC ︒∠=， 由正弦定理得sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ ,即312sin 23ACB ∠== , 因在ABC V 中，AB AC <则ABC ACB ∠>∠,30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,3,0)C ，1(0,0,3)A ．于是(1,0,0)AB =u u u r ，1(0,3,3)AC =-u u u r ，(1,3,0)BC =-u u u r ． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =r， 则由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 得330,30.y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以可取(3,1,1)n =r．又可取(1,0,0)m AB ==u r u u u r为平面1AA C 的一个法向量，所以cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==r r r r r r ．所以二面角1A A C B --的余弦值为5． 【点睛】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.19.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1． (1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）24(0)y x x =>；（2）1y x =-+或1y x =-.【解析】【分析】(1)1(0)x x -=>化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+，可计算出k ，得到直线方程.【详解】(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(,)P x y 1(0)x x =>．化简得曲线C 的方程为24(0)y x x =>．(2)由题意得，直线l 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 因为216160k ∆=+>，故212224k x x k++=，所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得1k =-或1k =． 因此直线l 的方程为1y x =-+或1y x =-．【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.20.已知函数sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-．(1)求证：()g x 在区间(0,]4π上无零点；(2)求证：()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求出()2cos21g x x '=-，再求出函数()g x 的单调区间，从而分析其图像与x 轴无交点即可.(2)显然0x =是函数()f x 的零点,再分析()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上和在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点,在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，从而得证.【详解】(1)sin )2(g x x x =-，()2cos21g x x '=-． 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 而(0)0g =，04g π⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0>g x ， 所以()g x 在区间0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞．①当(1,0)x ∈-时，sin 20x <，ln(1)0x +<，所以()sin 2ln(1)0f x x x =++<，从而()f x 在(1,0)-上无零点．②当0x =时，()0f x =，从而0x =是()f x 的一个零点． ③当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()0>g x ，所以sin2x x >，又ln(1)x x +…， 所以()sin 2ln(1)0f x x x =-+>，从而()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． ④当3,44x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin 2ln(1)f x x x =-+，1()2cos201f x x x '=-<+， 所以()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 而04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而()f x 在3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点． ⑤当3,4x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点． 综上，()f x 有且仅有2个零点．【点睛】本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题．21.一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．【答案】（1）01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1) 在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第(299)n n 剟站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.(2) 由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证. (3) 该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解.【详解】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=． 棋子跳到第(299)n n 剟站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -． 故211122n n n P P P --=+． (2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--． 又因为1012P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=L 是首项为12-，公比为12-的等比数列． (3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+L99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考查累加法求和，属于难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最大值．【答案】（1）C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．l的直角坐标方程为40x ++=（2）3【解析】【分析】（1）把曲线C 的参数方程平方相加可得普通方程，把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入ρcosθ+4＝0，可得直线l 的直角坐标方程；（2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．【详解】（1）由2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），因为221111t t --<+…，且22222222()14111t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．由ρcosθ+4＝0，得x +4＝0．即直线l 的直角坐标方程为得x +4＝0；（2）由(1)可设C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，παπ-<<)． 则P 到直线得x +4＝0的距离为：C 上的点到l的距离为2cos 4|cos 4|322πααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=． 当3πα=时，2cos 43πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值6，故C 上的点到l 距离的最大值为3． 【点睛】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知a ，b 为正数，且满足1a b +=．(1)求证：11(1)(1)9a b++…； (2)求证：1125()()4a b a b ++…． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）把a +b ＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab 的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．【详解】已知a ，b 为正数，且满足a +b ＝1，（1）（11a +）（11b +）＝111a b a b ab ++++=122a b ++， （22a b+）（a +b ）≥2＝8， 故11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴根据基本不等式1＝a +b0＜ab 14≤，（a1a+）（b1b+）222222111a b a b a ba b ab+++++=⋅=≥ab12ab++，令t＝ab∈（0，14]，y＝t1t+递减，所以117444miny=+=，故（a1a+）（b1b+）≥2172544+=．【点睛】考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．21。

2020届华大新高考联盟押题模拟考试（五）数学理科★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-，{|2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋃=（ ） A. {1,0,1}- B. {2,0,2}-C. {0}D. {2,1,0,1,2}--【答案】D 【解析】 【分析】表示出集合N ，利用并集概念求解．【详解】因为{|2,}N x x a a M ==∈，{}1,0,1M =- 所以{}2,0,2N =-， 所以{}2,1,0,1,2M N ⋃=-- 故选D【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.若复数1z 对应复平面内的点()2,3-，且1212z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.713C. 113-D.113【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出2471313z i =-+，即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意123z i =-， 由1212z z i ⋅=+得212(12)(23)4723(23)(23)1313i i i z i i i i +++===-+--+， ∴复数2z 的虚部为713， 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】B 【解析】 分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：S 605S 1089=黑正，将正方形面积代入运算即可． 【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点， 其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点， 由随机模拟试验可得：S 605S 1089=黑正，又9S =正， 可得605951089S =⨯≈黑，故选B ． 【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解. 4.对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 【此处有视频，请去附件查看】5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，且经过点6,4)P ，则双曲线的方程是（ ） A.221432x y -= B. 22134x y -= C. 22128x y -=D. 2214y x -=【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，可得到2b a =，又点)6,4P在双曲线上，可得到226161a b -=，联立可求出双曲线的方程． 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，则2b a=，又点()6,4P在双曲线上，则226161{2a b b a-==，解得222,8a b ==，故双曲线方程为22128x y -=，故答案为C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于基础题． 6.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i 的值为A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图逐步进行模拟运算即可．【详解】3a =，1a =不满足，a 是奇数满足，10a =，2i =，10a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，5a =，3i =， 5a =，1a =不满足，a 是奇数满足，16a =，4i =，16a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，8a =，5i =，8a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，4a =，6i =，4a =，1a =不满足，a . 是奇数不满足，2a =，7i =，2a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，1a =，8i =，1a =，1a =满足，输出8i =，故选A ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键，属于基础题． 7.已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A. 247-B. 43-C.724D.247【答案】D 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求sin cos αα，，得tan α,再根据二倍角正切公式得结果. 【详解】因为1sin cos 5αα+=，且22sin cos sin cos 2αααα++-=（）（）， 所以249sin cos 25αα-=（），因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5αα-=， 因此43sin cos 55αα==-，，从而4tan 3α=-，22tan 24tan21tan 7ααα==-，选D. 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知21()2n x x-展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为（ ） A. 1516 B. 34C. 34- D. 1516-【答案】A 【解析】 【分析】先由前三项的二项式系数的和等于22，求出n ，再写出二项展开式的通项，即可求出结果.【详解】因为212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中前三项的二项式系数的和等于22，所以01222n n n C C C ++=，整理得()142n n +=，解得6n =，所以二项式6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()6662361661111122kkkkkk kk k k T C x C x x ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令360k -=可得2k =，所以展开式中的常数项为()622261151216C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选A【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.9.已知数列{}n a 满足1(1)n n n a na ++=（*n N ∈），22a =，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，则{}n b 的前6项和为 A. 64- B. 63C. 64D. 126【答案】B 【解析】 【分析】先求1a ，再求等比数列{}n b 公比，最后根据等比数列前n 项和公式求结果.【详解】因为()11n n n a na ++=，所以121221a a a ===，，因此等比数列{}n b 公比21q 2a a ==,所以{}n b 的前6项和为6126312-=-，选B.【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查基本分析求解能力.属基本题. 10.将函数()sin 2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A. 在(0,)4π上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线34x π=对称 C. 在3(,)88ππ-上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3(,0)8π对称【答案】A 【解析】【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数()sin2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数sin 2cos 24g x x x π=-=-（）（） 的图象， 故当x∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，2x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，故函数g （x ）在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数， 故选A ．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．11.点P 在椭圆1C ：22143x y +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆2C ：2268210x y x y ++-+=上，则||||PQ PF -的最小值为（ ）A. B. 4-C. 6-D. 6【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心为2C 3,4)-（，半径为2，设椭圆的左焦点为1F ，要求||||PQ PF -的最小值，即求||||1PQ PF +的最小值，||||1PQ PF +的最小值等于212C F -，即得解.【详解】由题得圆2C ：22(3)(4)4x y ++-=，所以圆心为2C 3,4)-（，半径为2. 设椭圆的左焦点为1F ，则11(2||)4PQ PF PQ a PF PQ PF -=--=+-， 故要求||||PQ PF -的最小值，即求||||1PQ PF +的最小值，圆2C 的半径r 为2，所以||||1PQ PF +的最小值等于21222C F -==，∴||||1PQ PF +的最小值为256-，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆和圆的几何性质，考查最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知函数224,0(),0x x x f x lnx x ⎧-+=⎨>⎩…，若函数2()()3()()g x f x f x m m R =++∈有三个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 94m <B. 28m ≤-C. 9284m -≤<D. 28m >【答案】B 【解析】 【分析】作出()f x 的图象如图，令()t f x =，问题转化为函数2()()3g x h t t t m ==++有两个零点，结合二次抛物线的图象根据根的分布列不等式求解即可. 【详解】作出()f x 的图象如图：设()t f x =，则由图象知当4t …时，()t f x =有两个根， 当4t <时，()t f x =只有一个根，若函数2()()3()()g x f x f x m m R =++∈有三个零点， 等价为函数2()()3g x h t t t m ==++有两个零点， 其中14t <或24t …，当(4)0f =时，28m =-，此时另一个根为7-满足题意； 当(4)0f ≠时，则满足940(4)16120m f m =->⎧⎨=++<⎩V ，得9428m m ⎧<⎪⎨⎪<-⎩，得28m <-， 综上：28m ≤-. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了复合型方程的根的个数问题，进行合理的等价转化是解题的关键，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()(),1,4,,a m b m a b a b ===r r r r r rgg ，则m =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先由题意得到5a b m ⋅=v v ，21a m v =+216b m =+v ，再由a b a b ⋅=⋅v v v v ，即可求出结果.【详解】因为(),1a m =v ，()4,b m =v ，所以5a b m ⋅=v v ，21a m v =+，216b m =+v ，又a b a b ⋅=⋅v v v v ，所以()()22225116m m m =++，0m >，解得2m =.故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为__________． 【答案】1011【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，先求出12a d ==，再求出(1)n S n n ==+，再利用裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵912162a a =+，24a =， ∴1125a d =+，又14a d +=， 解得12a d ==， ∴(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+. ∴1111(1)1n S n n n n ==-++. 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和111111101122310111111=-+-++-=-=L . 故答案为：1011【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等差数列的前n 项和的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知O 为坐标原点，F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C交与点P ，且∆POF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为________.1 【解析】【分析】根据过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，求出点P 坐标，再代入椭圆方程，即可求出结果.【详解】因为F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，所以()0F c ，， 又点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，边长为OF c =，所以2c P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22221x y a b +=可得：22223144c c a b+=，又222a b c =+，所以4224480a a c c -+=，所以42840e e -+=，解得24e =±01e <<，所以24e =-1e =.1【点睛】本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型.16.正四棱锥O ABCD -的体积为2O ABCD -的内切球的表面积为__________．【答案】(4π 【解析】 【分析】先求出正四棱锥的高h 和斜高，再求正四棱锥的内切球的半径，即得内切球的表面积.【详解】正四棱锥O ABCD -的体积1133V Sh h ===，∴2h =，2=， 设正四棱锥O ABCD -的内切球的半径为r ，则11213233433222r ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴2(71)4r -=.∴正四棱锥O ABCD -的内切球的表面积为24(47)r ππ=-.【点睛】本题主要考查几何体的内切球的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是,,a b c 且2222sin sin sin a b c A Cab B+--=. （Ⅰ）求角B .(Ⅱ)若ABC ∆的面积为3，求边b 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3B π=； （Ⅱ）[)2,+∞.【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理，化简整理得222a c b ac +-=，再由余弦定理，即可求解.(Ⅱ)由三角形的面积公式，求得4ac =，再由余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得222a b c 2a cab b +--=， 222a cb ac ∴+-=，所以 222a c b 1cosB 2ac 2+-== 又在ΔABC 中，0B π<<， πB 3∴=. (Ⅱ) ΔABC1πS acsinB 3,B ac 423===∴=Q ，由余弦定理得22222b a c 2accosB a c ac ac 4=+-=+-≥=， 当且仅当a c 2==时，等号成立.b 2∴≥,则实数b 的取值范围为[)2,∞+.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理，及三角形的面积公式求解三角形问题，解答有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理．18.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若60DAB DBF ︒∠=∠=，且FA FC =.（1）求证：FC P 平面EAD ；（2）求直线AF 与平面BCF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 15【解析】 【分析】（1）证明平面FBC P 平面EAD ，即证FC P 平面EAD ；（2）连接FO ，FD ，由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.利用向量法求直线AF 与平面BCF 所成角的余弦值. 【详解】（1）∵四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形， ∴AD BC ∥，DE BF P .∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，BC ⊂平面FBC ，BF ⊂平面FBC ， ∴AD P 平面FBC ，DE P 平面FBC ，又AD DE D ⋂=，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ， ∴平面FBC P 平面EAD ， 又FC ⊂平面FBC ， ∴FC P 平面EAD .（2）连接FO ，FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒， ∴DBF V 为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又∵O 为AC 中点，且FA FC =，∴AC FO ⊥， 又AC BD O =I ，∴FO ⊥平面ABCD .由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒， 则2BD =，1OB =，3OA OF ==∴()0,0,0O，)3,0,0A ，()0,1,0B ，()3,0,0C -，(3F ，3,0,3)CF =u u u r ，3,1,0)CB =u u u r ，(3,0,3)AF =u u u r，设平面BCF 的一个法向量(),,n x y z =r，则33030n CF x z n CB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得()1,3,1n =--r ， 设直线AF 与平面BCF 所成角为θ，则||2310sin 5||||65AF n AF n θ⋅===⋅⋅u u u r ru u u r r ，∴cos 5θ==，∴直线AF 与平面BCF 所成角的余弦值为5. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有10%或者20%两种可能，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据. （1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X ，求X 的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买. 【答案】(1) 在不开箱检验的情况下，可以购买. (2) ①分布列见解析，0.4 ②不可以购买 【解析】 【分析】（1）求出在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值，即得解；（2）①X 的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率，即得X 的分布列和数学期望；②一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，求出()83608400E η=<即得解.【详解】（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：100(10.2)1000.5100(10.1)1000.585008400E ξ=⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯=>，∴在不开箱检验的情况下，可以购买. （2）①X 的可能取值为0，1，2，0022(0)0.20.80.64P X C ==⨯⨯=， 1112(1)0.20.80.32P X C ==⨯⨯=， 2202(2)C 0.20.80.04P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：()00.6410.3220.040.4E X =⨯+⨯+⨯=.②设事件A ：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品， 则1122()0.20.80.50.10.90.50.25P A C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则8000,9000η=， 事件1B ：抽取的废品率为20%的一箱，则()()11210.20.80.5(8000)|0.64()0.25P AB C P P B A P A η⨯⨯⨯=====， 事件2B ：抽取的废品率为10%的一箱，则()()12220.10.90.5(9000)|0.36()0.25P AB C P P B A P A η⨯⨯⨯=====， ∴()80000.6490000.3683608400E η=⨯+⨯=<，∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的求法，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值.【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）2【解析】 【分析】（Ⅰ）联立l 和C ，利用0∆=即可求得p ，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线m 为1x ty =+，与抛物线联立后可利用韦达定理求得124y y t +=，进而得到12x x +；由中点坐标公式可求得AB 中点()221,2M t t +；利用点,A B 到l 距离之和等于点M 到l 的距离的2倍，可将所求距离变为关于t 的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.【详解】（Ⅰ）将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立得：2220y py p -+=l Q 与C 相切 2480p p ∴∆=-=，解得：2p =∴抛物线C 的方程为：24y x =（Ⅱ）由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：1x ty =+联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得：2440y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t += 212121142x x ty ty t ∴+=+++=+∴线段AB 中点()221,2M t t +设,,A B M 到直线l 距离分别为,,A B M d d d则221322124A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭Q ∴当12t =时，2min133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ,A B ∴两点到直线l的距离之和的最小值为：342=【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果. 21.已知函数1()ln 1f x x x=+-. （1）求函数的单调区间；（2）求证：)*ln(1)!2n n n +>-∈N .【答案】(1) 单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1. (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）先证明ln(1)!22n n +>-+L ，再利用数学+<L ，即得证. 【详解】（1）∵函数1()ln 1f x x x=+-， ∴函数211()f x x x '=-，（0)x >. 由211()0f x x x '=->，解得1x >，由211()0f x x x'=-<，得01x <<.∴函数的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1. （2）证明：由（1）知，()y f x =的最小值为()10f =， ∴()0f x >（0x >且1x ≠），即1ln 1x x>-，∴1>-，1>，…，ln 1>-，累加得：111⎛⎛⎛+>+++ ⎝⎝⎝L L ， 即1ln[234(1)]2n n ⨯⨯⨯⨯+>-L L ， ∴ln(1)!22n n +>-+L ，+<L .当1n =时，左边2=，右边=假设当n k =++<L ，那么，当1n k =++<L .要证<只需证124k <+，也就是证89<，此时显然成立.∴<，++<L ，+<L .∴)*ln(1)!2n n n +>-∈N .【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线2212:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB∆的面积【答案】（1）22221:cos sin 2C ρθρθ-=，2:4cos C ρθ=；（2. 【解析】 【分析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长AB ，再求高，最后求MAB ∆的面积． 【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程为：2222cos sin 2ρθρθ-= ， 因为曲线2C 的普通方程为：()2224x y -+= ，2240.x y x ∴+-=∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2） 由（1）得：点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭， 点B的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴22AB =-=，()3,0M 点到射线()06πθρ=≥的距离为33sin62d π==∴MAB ∆的面积为()1132222AB d ⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数()|||22|(0)f x x m x m x =+--> （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()|3||4|f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）113x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）70,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式解集．（2）不等式()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+-- ，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解()()max max f x g t ≤即可．【详解】因为0m >，所以()3,223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+≥⎩．（1）当12m =时，()31,221113,,22231,22x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以由()12f x ≥，可得31,2212x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩或113,221122x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩ 或312212x x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ ， 解得1132x ≤<或112x ≤≤， 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）因为()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+--，令()43g t t t =+--，则由题设可得()()max max f x g t ≤ ，由()3,3,3,x m x m f x x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，得()()max 2f x f m m ==．因为()()43437t t t t +--≤+--=，所以()77g t -≤≤．故()max 7g t =，从而27m <，即72m <， 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.。

2020届华大新高考联盟押题模拟考试（十七）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合()2{|log 2}A x y x ==-， 2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞【答案】B 【解析】A={x |y=log 2（2﹣x ）}={x |x ＜2}， B={x |x 2﹣3x +2＜0}={x |1＜x ＜2}， 则∁A B={x |x ≤1}， 故选B ．2.设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a =（ ） A.12B. 12- C. 1D. 1-【答案】A 【解析】 【分析】按照复数的代数形式的乘除运算，计算复数z ，再根据复数z 是纯虚数即实部为零，得到方程解得. 【详解】解：()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a z i i i i ---+------====+++-Q 又因为复数z 是纯虚数2105a -∴= 解得12a =故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的相关概念，属于基础题. 3.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D. 该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.4.已知sin()322πα-=-，则2020cos()3πα+=（ ）A.B. C.12D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式将2020cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭变形为212sin 32πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再代入求值即可.【详解】解：2020cos cos 673cos cos 233332ππππααπααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Qcos 232πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭212sin 32πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭sin()32πα-=Q 22112sin 123222πα⎛⎛⎫∴--=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭20201cos 32πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭故选：D5.已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A. 123x x x <<B. 132x x x <<C. 213x x x <<D. 312x x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的化简公式得到11ln 202x ln ==-<,由指数的运算公式得到122x e -=()0,1，由对数的性质得到33ln x ex -=>0,31x ∴>，进而得到结果.【详解】已知11ln202x ln ==-<,122 x e -=()0,1,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A.【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.6.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数(0,)2π内正负情况，即可排除所有错误选项.【详解】21()(1)sin sin 11xx xe f x x x e e-=-=++ 则111()sin()(sin )sin ()111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D . 当(0,)2x π∈时，1,sin 0x e x >>即()0f x <，排除A .故选:C .【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D.4109900- 【答案】B 【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==- 故选B8.函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，且()f x 在()0,π上单调，则下列说法正确的是( ) A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T πω=，∵()f x 在()0,π上单调， ∴2T ππω=≥，解得01ω<≤．∵8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴3842ωππϕωπϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2323ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于选项A ，显然不正确． 对于选项B，227()2sin 2sin 8383122f ππππ⎛⎫-=-⨯+== ⎪⎝⎭，故B 不正确． 对于选项C ，当2x ππ-≤≤-时，220333x ππ≤+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确．对于选项D ，32327()2sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确． 综上选C ．点睛：解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．9.AOB V 中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为（ ）A.B. 2C.D.【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤rr ，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=r r r r ,即2cos ||||AOB a b ∠=r rsin ||||AOB a b ∴∠==||2a b -==r r ，即228||||2||||a b a b =+≥r r r r 所以||||4a b ≤rr所以11||||sin ||||22AOBS a b AOB a b ∆=∠=≤r r r r 故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是（ ） A.2B.3 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】由题意，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设一条渐近线方程为by x a=，则2F 到渐近线的距离为b ，设2F 关于渐近线的对称点为M ，2F M 与渐近线交于A ，则1MF c =，22MF b =，A 为2MF 的中点，又O 是12F F 的中点，1//OA F M ，12F MF ∴∠为直角，12MF F ∴V 为直角三角形，∴由勾股定理得22244c c b =+，()22234c c a ∴=-，224c a ∴=，2c a ∴=，则2e =.故选C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）． ①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ ∥ ②BPQ V 的面积为定值③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥ A. ①②④ B. ①③C. ②④D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】依次判断，每个选项：①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；取特殊位置BPQ V 的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④BC ⊥平面PFGQ ，正确.得到答案. 【详解】①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确； ②当P 与A 重合时：212BPQ S a =V ；当P 与1D 重合时：22BPQ S a =V （a 为正方体边长），错误； ③当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面，矛盾，正确； ④如图所示：,F G 分别为,P Q 在平面内的投影，易证BC ⊥平面PFGQ ，正确. 故选D【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力. 12.若函数12()2log (0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.22)e B. (0,2]C. 222)e + D. 3424(2,2)e +【答案】D 【解析】 【分析】分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出实数a 的取值. 【详解】解：()120x x f x ex a -=+-=Q12log 12x e a x -∴=+在()0,2内有两解，令()112x e f x x -=+则()()1212x e x f x x--'= ()f x ∴在()0,1减函数，在()1,2上为增函数，∴当1x =时，取得最小值()()11min311212e f x f -==+=⨯且当0x →时，()f x →+∞，()21421224e e f -+=+=⨯ 234log 24e a +∴<< 342422e a +∴<<故选：D【点睛】本题考查函数的零点问题，参变分离是解答的关键，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13.若(ax 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2 【解析】试题分析：因为5102552155C ()()C r r rr r rr T ax a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-【考点】二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等. 【此处有视频，请去附件查看】14.在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为_________． 【答案】3. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出等式求解即可．【详解】解：取BD 中点O ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB m =，等边三角形ABD 中心1I ，等边三角形BCD 中心为2I ，外接球球心为I ，则3)A m ，(.0,0)B m ，(,0,0)D m -，3,0)C m ，13)I ，23,0)I ，33)I ，则半径为R IA m ==u u r ， 因为外接球表面积为245S R ππ==，=2m =，所以2AB m ==， 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积计算方法，属于中档题．15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -=________， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑_____________.【答案】 (1). 32n -. (2). 293322n n--. 【解析】 【分析】（1）将已知等式中的n 换为1n -，作差即求得；（2）将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（1）11a =，135n n a a n ++=+①， 当1n =时，27a =可得132n n a a n -+=+，2n …②， ①-②得113n n a a +--=，2n …； {}21n a -∴为以11a =为首项，3d =的等差数列，2132n a n -=-∴（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+⋯-21343522121242()()()(3)()n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=-++⋯+由（1）得2{}n a 为公差为3的等差数列，又由128a a +=可得27a =，则2 12233445212221(1)933(3)(73)22n n n nn n n na a a a a a a a a a a a n-+-+-+-+⋯+-=-+=-g．故答案为：32n-；29332n n+-【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16.如图，哈尔滨市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点,P Q分别在公路,l m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ 长最短时，OQ的长为________千米.3【解析】【分析】设PQ为y kx b=+,联立2214y kx bxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b⎛⎫+++-=⎪⎝⎭,利用0∆=可得()22114k b=-,则()2222222114b bPQ b bk b=+=+-,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得OQ即可【详解】由题,设PQ为y kx b=+,由图易得1,2bbk>->,联立2214y kx bxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b⎛⎫+++-=⎪⎝⎭,则()()222124104kb k b⎛⎫∆=-+-=⎪⎝⎭,即()22114k b=-,因为P为,0bk⎛⎫-⎪⎝⎭,Q为()0,b,则()22222222222244411114b b b PQ b b b b k b b b =+=+=+=++--- ()22451591b b =++-≥+=-,当且仅当22411b b -=-,即b =,即OQ=【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．【答案】（1）23B π=；（2. 【解析】 【分析】 （1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，利用向量的模和基本不等式可求BD u u u r的取值范围，即可得到BD 的最小值.【详解】解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=， 即(cos cos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠， 所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==， 所以1cos (0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=. （2）由△ABC 的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当23a c ==时取“=”，所以3BD u u u r≥，即线段BD 长的最小值为3.【点睛】本题考查了三角恒等变换，面积公式和基本不等式，考查了转化思想和方程思想，属于中档题． 18.已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为()0θθπ<<.（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）15sin θ=. 【解析】 【分析】（1）过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD ．证明G 在CD 的垂直平分线上，则点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，（2）以G 点为坐标原点，以GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过G 点作平行于DC 的向量为x 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为2a ，分别求出平面DEC 与平面ADE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角θ的正弦值．【详解】（1）证明：过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD. 因为△ACD 为等边三角形，所以AC=AD ，所以点G 在CD 的垂直平分线上. 又因为EF 是CD 的垂直平线，所以点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 另证：过点A 作AG ⊥EF ，再证AG ⊥CD ，从而证得AG ⊥平面BCDE ， 即点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上（2）解：以G 为坐标原点，GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过点G 作平行于DC 的直线为x 轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ， 则3AF a =，AE a =，2EF a =所以333(0,0,0),),(,,0),(,,0),(0,,0)222aG A C a a D a a E -- 设平面ADE 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，则33022·20m AD ax ay az m DE ax ay ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪=+=⎩u u u v v u u u v v ， 令1y =，得32,1,m u r 骣ç=--ççç桫，又平面CDE 的一个法向量()0,0,1n =r 所以1cos 4m n m n u r r g u r r q==，15sin θ∴=.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，属于中档题．19.如图，已知椭圆2222:1x y P a b+=(0)a b >>的长轴12A A ，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （0k ≠）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线1BA ，2BA 的斜率之积为34-.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线1A B ，1A C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ⊥.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由长轴长为4可得a ，设出点B ，C 的坐标，利用斜率之积为34-，可得2234b a -=-，即可得到b 2，可得椭圆方程；（2）设直线BC 的方程为：y ＝k （x ﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线1A B 的方程为：y 112y x =+（x +2）与x=4联立，可得点M ，N 的坐标，可得线段MN 的中点E ．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得EF k ，只要证明EF k k ⋅=-1即可．【详解】（1）设()11,B x y ，()22,C x y ，因点B 在椭圆上，所以2211221x y a b+=，故()2222112b y a x a=-.又()1,0A a -，()2,0A a ，所以12211211BA BA y y b k k x a x a a ⋅=⋅=-+-，即2234b a =，又2a =，所以3b =故椭圆P 的方程为22143x y +=.（2）设直线BC 的方程为：()1y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，联立方程组()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 并整理得， ()22224384120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+.直线1A B 的方程为()1122y y x x =++，令4x =得1162M yy x =+， 同理，2262N y y x =+； 所以()()()12121212121263121322224E M N kx x k x x k y y y y y x x x x x x ++-⎛⎫=+=+=⎪+++++⎝⎭， 代入化简得3E y k =-，即点34,E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F ，所以313EF BCk k k k -=⋅=-，所以BC EF ⊥.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.已知函数()()e sin 2R 2xf x ax x a π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[],ππ-上的值域. （2）对于任意120x x π<<<，都有()()21212e e2x x f x f x a π->---，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(2) 1a π≥ 【解析】试题分析：（1）先求导数，再求()sin cos 12g x x x x π=++--导数，得()02g x g π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而确定()0f x '≤，再根据()f x 单调性得值域（2）先整理不等式得()()21212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫⎛⎫--->--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，转化为函数()()2e 2x G x f x a π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在区间()0,π为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得sin cos x xa x+-≤最小值，最后利用导数求函数()sin cos x xh x x+=单调性，得最值，即得实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当1a =时，()e sin 22xf x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， ()e sin cos 12x f x x x x π⎛⎫=++-- ⎝'⎪⎭，令()sin cos 12g x x x x π=++--，有()1cos sin 14g x x x x π⎛⎫=+-=-' ⎪⎝⎭，当x ππ-≤≤时，53444x πππ-≤-≤，当()0g x '<时sin 42x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 得3444x πππ≤-≤，解得：2x ππ≤≤， 故当2x ππ≤≤时，函数()g x 单调递减，当2x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递增，所以当x ππ-≤≤时，()02g x g π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，可得()0f x '≤，函数()f x 在区间[],ππ-上单调递减，()()()min 4ee 222f x f πππππ-⎛⎫==-=⎪⎝⎭， ()()()max34e 3e 222f x f πππππ--+⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间[],ππ-上的值域为()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦. （2）由120x x π<<<，有21e e 0x x ->，故()()21212e e2x x f x f x a π->---可化为()()()21212e e 2x x f x f x a π⎛⎫->--- ⎪⎝⎭，整理为：()()21212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫⎛⎫--->--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即函数()()2e 2xG x f x a π⎛⎫=---⎪⎝⎭在区间()0,π为增函数， ()e sin 22x G x ax x π⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭()2e e sin 2x xa ax x a π⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，()()e sin cos x G x ax x x ='++，故当[]0,x π∈时，()0G x '≥，即sin cos 0ax x x ++≥， ①当0x =时，R a ∈； ②当0x π<≤时，整理为：sin cos x x a x+-≤， 令()sin cos x x h x x +=，有()()()2cos sin sin cos x x x x x h x x --+=' ()()21cos 1sin x x x x x --+=，当01x <<，()1cos 0x x -<，()1sin 0x x +>，有()0h x '<，当1x π≤≤时，由cos sin x x ≤，有()()1cos 1sin x x x x --+≤ ()()1sin 1sin 2sin 0x x x x x --+=-<，可得()0h x '<，由上知0x π<≤时，函数()h x 单调递减， 故()()min sin cos 1h x h πππππ+===-，故有：1a π-≤-，可得1a π≥.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21.随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

2020届华大新高考联盟原创仿真试卷（一）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数（）A. 1B.C. -1D.【答案】B【解析】【分析】根据复数运算的除法运算法则，分子分母同乘以，进行运算.【详解】,故本题选B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，掌握运算法则是关键.本题还有一种巧解方法是.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过解不等式，把集合化简，然后求出.【详解】因为，所以；又因为，所以，因此，故本题选C.【点睛】本题考查了集合的运算、正确求解不等式是本题的关键.3.函数的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数值f(0)=1排除选项C,D;再根据指数函数图像的性质可得f(x)>0恒成立，即可得到答案.【详解】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.我市高三年级第二次质量检测的数学成绩近似服从正态分布，且.已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A. 64B. 81C. 100D. 121【答案】A【解析】【分析】通过数学成绩近似服从正态分布，可以看出数学成绩关于对称，通过，可以计算出，这样可以求出，这样就可以估计出我市某校有800人参加此次考试，该校数学成绩不低于90分的人数.【详解】因为数学成绩近似服从正态分布，所以数学成绩关于对称，已知，所以，，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为，故本题选A.【点睛】本题考查了正态分布的应用、重点掌握的是当时，关于对称这个重要性质.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，由题意可知：点在上，这样得到一个等式；因为以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为，所以有,这样又得到一个等式，再结合，可以求出的值.【详解】设，，由题意可知：点在上，所以，由题意可知在以为直径的圆上，所以有，即，而，，解得，所以双曲线方程为，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线标准方程，解题的关键是应用向量构造等式.6.执行如图程序框图所示的程序，若输出的的值为9，则输入的为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x值，当i=4时退出循环，即可得到答案.【详解】执行程序框图，输入x,当i=1时，得到2x-1；当i=2时，得到2（2x-1）-1=4x-3,当i=3时，得到4（2x-1）-3=8x-7,当i=4时，退出循环,输出8x-7=9,解得x=2,故选：B【点睛】本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题.7.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可.【详解】通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，因此，故本题选A.【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状.8.若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项，化简，令的指数为零，对照选项，求出答案.【详解】二项式的第项为：，由题意可知含有常数项，所以只需，对照选项当时，，故本题选C. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，解题的关键是应用二项式的展开式的通项公式.9.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像.若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，可以求出周期，进而可以求出的值，函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，因此，函数为偶函数，有，结合已知，求出，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的值域.【详解】因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以,而，，又因为函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，所以，由函数为偶函数，可得，而，所以，因此，，所以函数在区间上的值域是，故本题选D.【点睛】本题综合考查了正弦型函数的图象和单调性.解决本题的关键是对函数为偶函数的理解，写出等式.10.如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】与平面交于点，设，所以到平面的距离是到平面的距离的倍，利用等积性质，可得出，根据，，可得，最后求得.【详解】与平面交于点，设，所以有:,因为，，所以，因此，故本题选B.【点睛】本题考查了利用三棱锥体积公式，求点分线段的比问题.11.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（）A. 2B. 2或4C. 8D. 8或16 【答案】A【解析】【分析】设出的坐标为，，由抛物线的定义，根据可得到①，再由以为直径的圆过点，可以得到，进而可以求出的值，代入①，求出，而就是抛物线的焦点到准线距离.【详解】设点的坐标为，,抛物线的焦点，抛物线的准线为，由抛物线的定义可知：①，因为以为直径的圆过点，所以有，代入①中得，，抛物线的焦点到准线距离为2，故本题选A.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及的几何意义.重点是由以为直径的圆过点，想到这个向量等式.12.已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，，其中.若在区间中存在唯一整数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，然后求出过点作曲线的两条切线，把，代入两条切线方程，得到①，②，所以可以把看成的两个根，因为，所以有，解出的取值范围③，可以证明出，在区间中存在唯一整数，必须要满足，解出的取值范围，结合③，最后求出的取值范围.【详解】，切点为的切线的斜率为，所以切点为的切线方程为：，同理可求得切点为的切线方程为：，两条切线过点，把，代入两条切线方程得：①，②，所以可以把看成的两个根，因为，所以有③，即，因为，所以，在区间中存在唯一整数必须满足：，结合③，的取值范围是，故本题选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线方程的切线.本题重点考查了在区间上方程有唯一整数解问题，考查了转化思想、方程思想.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则的值为__________．【答案】2【解析】【分析】运用向量的坐标运算公式，分别求出，再求出它们的模，根据已知，得到一个方程，解方程，求得的值.【详解】因为，，所以因为，所以有.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、求模.本题也可从向量的加减法的几何意义上入手，设，以邻边作平行四边形,显然,,所以平行四边形是矩形，因此有：.14.在中，角所对的边分别为，若，且的面积.则角__________．【答案】【解析】【分析】的面积,结合面积公式，可得，代入已知等式中，得到，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角的值.【详解】，代入中，得，由正弦定理,可将上式化简为，，由余弦定理可知：,所以有，又因为，所以角.【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.15.回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约__________吨．【答案】9000【解析】【分析】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，由题意列出不等式组及目标函数，转化成求目标函数的最值问题.【详解】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，可节约用水z吨，由已知条件可得 ，即，z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域，如图所示，,平移直线可得当直线过点A 时，在y 轴的截距最大，即z 最大，由图可得点A(90,0)，此时z 取得最大值为9000. 故答案为：9000【点睛】本题考查简单线性规划的应用，属于基础题解决线性规划的应用题时，其一般步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；由约束条件画出可行域；分析目标函数与直线截距之间的关系；使用平移直线法求出最优解；还原到现实问题中．16.已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若点是弦的中点，则四边形的面积的最大值为__________．【答案】2 【解析】 【分析】利用球的性质可以推出，这样可以得到,同理，这样求出四边形的面积的最大值.【详解】如下图所示：点是弦的中点，，又因为,当且仅当时，等号成立，同理当且仅当时，等号成立，因此四边形的面积的最大值为2. 【点睛】本题考查了球的性质.重点考查了重要不等式，关键是构造直角三角形，得到两线段长度的平方和是定值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知数列中，，且，其中.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：由，可以变形为，应用累和公式，进行求和，最后求出数列的通项公式；方法二：由，可以变形为：，根据等差数列的定义可以求出数列的通项公式；（2）方法一：根据（1）可以求出，根据错位相减法，求出数列的前项和；方法二：根据（1）可以求出是，应用裂相消法求出数列的前项和.【详解】解：（方法一）由题意知，，，，…，，相加得：，其中.又，∴而符合上式，故，.（方法二）由题意知，，，进而，.（2）（方法一）由（1），，，于是，∴，，相减得：故.（方法二）由（1），，，于是，.【点睛】本题考查了用累和法和递推公式求出等差数列的通项公式.重点考查了裂相相消法和错位相减法求数列的前项和.18.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由是圆的直径，与圆切于点，可得,由底面圆，可得，利用线面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，，可推出，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面平面.（2）由，，可知为二面角的平面角，即，建立空间直角坐标系，易知，求得点的坐标如下；，，，，，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，通过，，∴，，可求出平面的一个法向量为，∴.∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【详解】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，底面圆，∴，平面，∴.又∵在中，，∴∵，∴平面，从而平面平面.（2）∵ ，，∴为二面角的平面角，∴ ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，，，，，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，∵ ，，∴，，∴ ，即故平面的一个法向量为，∴..∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查了通过线面垂直证明面面垂直.重点考查了利用空间向量法求二面角的问题.19.已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当与点不重合时，根据直线与的斜率之积为，直接可求出动点的轨迹方程；当与点重合时，或，最后写出动点的轨迹方程；（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，，综上：.【详解】解：（1）当与点不重合时，，得，即，当与点重合时，或.综上，动点的轨迹方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，，综上：.【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.20.某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为3.90元/公斤的可能性为，变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如图②.（1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：，，，，附：线性回归方程，.【答案】（1）3.9；（2）0.104；（3）①；②选择种杂交稻收入更高.【解析】【分析】（1）设明年常规稻的单价为，列出的分布列，计算;（2）根据频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，所以可以求出杂交稻的亩产平均值；根据以频率作为概率，可以预计出将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率；（3）① 根据题中给的数据和分式，可以求出线性回归方程；②估计明年杂交稻的单价，进而可以估计明年杂交稻的每亩平均收入，估计明年常规稻的每亩平均收入，两者进行比较，可以得出明年选择种杂交稻收入更高.【详解】解：（1）设明年常规稻的单价为，则的分布列为，估计明年常规稻的单价平均值为3.9（元/公斤）；（2）杂交稻的亩产平均值为：.依题意知杂交稻的亩产超过795公斤的概率，则将来三年中至少二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率为：.（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，∴可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关，由题中提供的数据得：，由得，∴线性回归方程为，② 估计明年杂交稻的单价元/公斤；估计明年杂交稻每亩平均收入为元/亩，估计明年常规稻的每亩平均收入为元/亩，∵，∴明年选择种杂交稻收入更高.【点睛】本题考查了求离散型随机变量的分布列及均值、求线性回归方程并依据线性回归方程做出预测.21.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求导，让导函数为零，解出方程，根据根之间的大小关系，进行分类讨论，求出函数的单调区间；（2）（）由（1）知，当时，单调递增，可以判断有一个零点；（）当或时，,结合（1）中的结论，对作如下分类，利用单调性，判断零点的个数.① 当时，可以判断有二个零点；② 当时，可以判断有一个零点；③ 当时，∴当时，可以判断有1个零点；当时，可以判断有2个零点；当时，可以判断有3个零点；【详解】解：（1），令得，，①当，即时，恒成立，∴在上增；②当，即时，令，得或，令，得，∴在上增，在上减，在上增；③当即时，令，得或，令，得，∴在上增，在上减，在上增；综上，当时，函数的减区间为，增区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，，单调减区间为；当时，的单调增区间为，，单调减区间为.（2）（方法一）（）由（1）知，当时，单调递增，又，故1个零点；（）当或时，，① 当时，在上增，在上减，在上增，∵，，，此时2个零点；② 当时，在上增，在上减，在上增；，又，此时1个零点；③ 当时，在上增，在上减，在上增；，，，∵，∴当时，，有1个零点；当时，，有2个零点；当时，，有3个零点；综上所述：当时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点问题，解题的关键是根据单调性，求出极值点，而后分类讨论，求出函数零点的个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线与曲线相交于两点，且，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用平方和为1消去参数α得普通方程，利用,x=ρcosθ，将直角坐标方程转为极坐标方程．（2）将直线l和曲线C的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得，即可得结果．【详解】（1）由曲线的参数方程可得普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由直线的参数方程可得直线的极坐标方程为，因直线与曲线相交于两点，所以设，，联立，可得，因为，即，所以，解得，所以或.【点睛】本题考查极坐标方程，直角坐标方程以及参数方程之间的转化，考查极径几何意义的应用，属于中档题.23.已知：，其中.（1）求证：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】(1) 所证不等式等价于，两边平方后分解因式即可得到证明；（2）将所求式子展开然后利用基本不等式从而可求得最值.【详解】（1）所证不等式等价于，即，也就是，∵，∴，∴，故原不等式成立.（2）当且仅当或时，取到最小值1.【点睛】本题考查不等式的证明方法，考查比较法的应用，考查利用基本不等式求最值问题,属于中档题.。

2020届华大新高考联盟押题仿真模拟（十）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23A x x =>，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I （ ）A. {}1,0,1-B. {}2,2,3-C. {}2,3D. {}3【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，再求交集，即可得出结果.【详解】因为{}{23A x x x x =>=<x >，{}2,1,0,1,2,3B =--，所以{}2,2,3A B =-I . 故选：B .【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知复数1z i =-，则z z=（ ）A.22- B.22+ C. 1i + D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】先求出共轭复数，以及复数的模，再由复数的除法，即可得出结果.【详解】因为1z i =-，所以1z i =+，z =所以)()())1i 1i 1i 1i 1i 222z z--====-++-. 故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记共轭复数的概念，复数模的计算公式，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多（ ） A. 6个 B. 8个C. 10个D. 12个【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果. 【详解】由题意，抽样比为：60160010=； 因此丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多()1180120610-⨯=. 故选：A .【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，熟记分层抽样的概念即可，属于基础题型.4.已知向量(),3a m =r ，()2,b m =r ，则“m =是“a r 与b r共线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由向量共线，得到6m =±，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】当a r 与b r共线时，260m -=，即6m =±，由6m =可以推出a r 与b r 共线，但a r 与b r共线不能推出6m =，因此，“6m =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，以及充分不必要条件的判定，熟记向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.5.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A. 成本最大的企业是丙企业B. 费用支出最高的企业是丙企业C. 支付工资最少的企业是乙企业D. 材料成本最高的企业是丙企业【答案】ABD 【解析】 【分析】分别计算出甲、乙、丙三家企业产品的成本、材料成本、支付工资、费用支出即可.【详解】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD.【点睛】本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.6.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 3sin b A B =，222b c a bc +-=，则ABC V 外接圆的面积为（ ） A. 23π B. 3πC. 6πD. 12π【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，再由sin 3sin b A B =，求出3a =；再根据余弦定理，求出3A π=，进而可求出外接圆半径，得出外接圆面积.【详解】因为sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=，即sin sin b A a B =， 所以3a =，2221cos 22b c a A bc +-==，故3A π=. ABC V 外接圆的半径为132sin 32a A⨯==⨯，所以ABC V 外接圆的面积为3π.故选：B .【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 7.执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的x 为（ ）A. 199B. 366C. 699D. 769【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】输入4x =，第一步，44313198x =⨯-=≤，进入循环； 第二步，413349198x =⨯-=≤，进入循环；第三步，4493193198x =⨯-=≤，进入循环；第四步，41933769198x =⨯-=>，结束循环，输出结果769x =. 故选：D .【点睛】本题主要考查求循环程序框图的输出值，逐步执行框图，即可求解，属于基础题型. 8.设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. ()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B. ()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C. ()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D. ()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先得到()f x x =，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出()y f x =的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果.【详解】因为()3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；所以()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈； 因此其图象关于直线2x π=对称.故选：B .【点睛】本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可，属于常考题型.9.在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆()222x a y a ++=的位置可能为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到20a >，直线2y ax a =+过点()20,a，进而可得出结果.【详解】由题意，可得：20a >，直线2y ax a =+显然过点()20,a，排除ABD 选项；故选：C .【点睛】本题主要考查直线与圆的位置的判定，会根据圆的方程判断参数的范围，以及会求直线与坐标轴的交点即可，属于基础题型. 10.已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A. 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (1,10)D. 1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U . 因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面边长为6，则此球表面积的最小值为（ ） A. 47π B. 48πC. 49πD. 50π【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，得到球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆的半径，再求出正三棱锥的高，进而可得出当球心为正三棱锥底面三角形的外接圆圆心时，球的半径最小，从而可求出结果.【详解】由题可知，球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆的半径62sin3=π3=<为使此球的表面积最小，只需球的半径最小，因此，当球心为正三棱锥底面三角形的外接圆圆心时，球的半径最小，为所以(2min 448=π⨯=πS .故选：B .【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.12.已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A.()()sin sin sin sin e e B Af A f B < B.()()sin sin sin sin e e B Af A f B > C. ()()sin cos cos sin e eB Af A f B < D.()()sin cos cos sin e eB Af A f B > 【答案】C 【解析】 【分析】 先令()()=xg x ef x ，求导，根据题意，得到()()=xg x e f x 在区间[]0,1上单调递增，再由题意，得到cos sin A B <，进而可得出结果.【详解】令()()=xg x ef x ，则()()()()e ''=+xg x f x f x ，因为()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，所以()0g x '>对[]0,1x ∈恒成立， ∴()()=xg x ef x 在区间[]0,1上单调递增；又∵A ，B 是锐角三角形的两个内角，∴2A B π+>，∴2A B π>-，∴cos sin A B <， 因此(cos )(sin )<g A g B ，即()()cos sin ecos e sin AB f A f B <，∴()()sin cos cos sin e eB Af A f B <. 故选：C .【点睛】本题考查由导数的方法研究函数单调性，以及由函数单调性比较大小，解决此类问题，通常需要构造函数，结合题中条件，用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡中的横线上.13.圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为______.【解析】 【分析】先设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，根据题意，求出1r =，进而可求出圆锥的高. 【详解】设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，由题意，4rl π=π，解得1r =，所以h =.【点睛】本题主要考查圆锥的相关计算，熟记圆锥的侧面积公式，以及圆锥的结构特征即可，属于基础题型.14.已知角α的始边与x 轴正半轴重合且终边过点()4,5，则3cos sin 22cos sin 2ππααπαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.【答案】45- 【解析】 【分析】先由题意，求出5tan 4α=，再根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，化简所求式子，即可得出结果. 【详解】因为角α的始边与x 轴正半轴重合且终边过点()4,5， 所以5tan 4α=， 因此3cos sin sin cos cos 1422sin sin sin tan 5cos sin 2ππαααααπαααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：45-. 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.15.海伦公式亦叫海伦—秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为S =其中a ，b ，c 分别是三角形的三边长，2a b cp ++=.已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为______.【答案】【解析】 【分析】先根据题意，得到4p =，设2a =，则6b c +=，根据=S ，由基本不等式，即可求出结果.【详解】由海伦公式可知842==p ， 不妨设2a =，则6b c +=，则442b cS -+-=≤=当且仅当44-=-b c ，即3==b c 时，等号成立.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.16.设1F ，2F 是椭圆22:14x y C m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是______.【答案】(][)0,28,+∞U 【解析】 【分析】根据椭圆的特征，分类讨论椭圆焦点在x 轴上，椭圆焦点在y 轴上两种情况，根据题中条件，即可求出结果.【详解】若椭圆焦点在x 轴上，则04m <<，当点P 位于短轴端点时，12F PF ∠取最大值，要使C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则41mm-≥，解得02m <≤； 当椭圆焦点在y 轴上时，4m >，同上则需412m -≥，解得8m ≥. 综上，(][)0,28,m ∈+∞U . 故答案为：(][)0,28,m ∈+∞U .【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A ⊥平面ABCD ； （2）求二面角1B CD A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 6【解析】 【分析】（1）证明1AA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥.又AD AB A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）（法—）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，则(2,1,0)CD =-u u u r，1(0,1,2)CB =-u u u r .设(,,)m a b c =u r 为平面1B CD 的法向量，则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v 令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =u r.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =u u u r为平面ABCD 的一个法向量. 所以16cos ,626m AA 〈〉==u r u u u r 因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --6（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H .由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BH BB B =I ，所以CD ⊥平面1BB H 所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角. 512BH =⨯，即5BH =.所以221226255B H⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故116cos6BHBHBB H∠==.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18.为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,1007组，得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间()2,2x s x s-+之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x，s分别为样本平均和样本标准差，计算可得15s≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm的概率.【答案】（1）该零件属于“不合格”的零件；（2）35.【解析】【分析】（1）先由频率分布直方图中的数据，求出样本平均值，得到2,2x s x s-+，根据题意，即可得出结果；（2）根据分层抽样的方法得到第一组抽1个，记为A；第二组抽2个，记为B，C；第三组抽3个，记为D，E，F，用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得，该批零件的样本平均值为：35100.00545100.01055100.01565100.0307510x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.02085100.01595100.00566.5+⨯⨯+⨯⨯=；则266.53096.5x s+=+=，266.53036.5x x-=-=，10096.5>，所以该零件属于“不合格”的零件；（2）按照分层抽样抽6个零件时，第一组抽1个，记为A ；第二组抽2个，记为B ，C ；第三组抽3个，记为D ，E ，F ，从这6个零件中抽取2个零件共有15种情况，分别为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F .其中再抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm 的有9种，分别为(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F .根据古典概型概率公式，可得93155P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，以及分层抽样与古典概型的问题，会根据频率分布直方图求样本平均值，熟记分层抽样的概念，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型. 19.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，其前n 项和为n S ，1231111n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+.若113S T -，33S T ，55S T 成等差数列. （1）求q 的值；（2）若数列{}n a 单调递增，且首项为q ，求数列221n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .【答案】（1）q =2）()1113nn H n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先由题意，根据等比数列的求和公式，得到211n nnS a q T -=，再由题中条件，列出方程求解，即可得出结果；（2）由（1）的结果，得到23nn a =，根据错位相减法即可得出结果.【详解】（1）由条件易得()1111111111n n n n a q q T a q q q-⎛⎫-⎪-⎝⎭==--，()111n n a q S q -=-，所以211n n n S a q T -=.所以211133Sa T -=-，22313S a q T =，24515S a q T =， 所以42230q q --=，解得q = （2）由题意可知2123n n n a -==，()231111135213333nn H n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2341111111352133333n n H n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()234121111112222213333333nn n H n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111122113332113313nn n +⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭- ()1111113213333n n n ++⎛⎫⎛⎫=+-⨯--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭， 故()1113nn H n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，以及数列的求和，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.20.已知抛物线21:4C y x =和22:4C x y =的焦点分别为1F ，2F ，且1C 与2C 相交于O ，P 两点，O 为坐标原点.（1）证明：12F F OP ⊥.（2）过点O 的直线l 交1C 的下半部分于点M ，交2C 的左半部分于点N ，是否存在直线l ，使得以MN 为直径的圆过点P ？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；:l y x =-【解析】 【分析】（1）先由题意，得到()4,4P ，()11,0F ，()20,1F ，求出12F F u u u u r 与OP uuu r的坐标，计算向数量积，即可得出结果；（2）先设过点O 的直线为()0y kx k =<，分别联立直线与两抛物线的方程，得到244,M k k ⎛⎫⎪⎝⎭，()24,4N k k，根据以MN 为直径的圆过点P ，得到()()22444444440PM PN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，进而看得出结果.【详解】（1）证明：联立224,4,y x x y ⎧=⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩所以点()4,4P ，()11,0F ，()20,1F ，∴()121,1F F =-u u u u r ，()()121,14,4440F F OP ==-⋅=-+=u u u u r u u u r， ∴12F F OP ⊥；（2）解：设过点O 的直线为()0y kx k =<，联立24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩得()24kx x =，求得244,M k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立24,,x y y kx ⎧=⎨=⎩得()24,4N k k ，所以2444,4PM k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()244,44PN k k =--u u u r .若以MN 为直径的圆过点P ，则()()22444444440PM PN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，2212k k+=，解得1k =-，即直线l 的方程为y x =-. 所以存在直线:l y x =-，使得以MN 为直径的圆过点P .【点睛】本题主要考查抛物线中直线与直线垂直的证明，以及抛物线中存在某直线满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 21.已知函数()2122ln 2f x x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()222e24ln 2x a g x a x x a x+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭在[]1,x e ∈时总有()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()()2x a x a f x x⎛⎫--⎪⎝⎭'=，分别讨论0a <，a >a =0a <<四种情况，即可求出结果；（2）先构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--，分别讨论0a <，0a >两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围. 【详解】（1）因为()()2122ln 02f x x a x x x a ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭， 所以()()222222x a x x a x a a f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-++-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'=-++== ⎪⎝⎭. （ⅰ）若0a <，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.（ⅱ）若a >2a a >，当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x (),a +∞上单调递增；当20,x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在2,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（ⅲ）若a =()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.（ⅳ）若0a <<2a a <，当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当()0,x a ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()0,a 上单调递增.综上，当0a <或a =()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x 在(),a +∞和20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <<时，()f x 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和()0,a 上单调递增，在2,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减（2）构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--， 当0a <时，由[]1,x e ∈，得0a ax x -≤，2e2ln 0x x--<，∴()0F x <. 当0a >时，()2222eax x a F x x -++'=，因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20ax a +>所以()0F x '>在[]1,e 上恒成立，故()F x 在[]1,x e ∈上单调递增.()max e 40e a F x a =--≤，解得24e e 1a ≤-，又0a >，所以24e0e 1a <≤-. 故a 的取值范围是()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U . 【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C参数方程为,2x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0θαα=≤≤π.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与圆C 交于A ，B两点，若OA OB +=l 的直角坐标方程. 【答案】（1）24sin 10ρρθ-+=（2）y = 【解析】 【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）将直线l 的极坐标方程代入圆C的极坐标方程，根据题意，得到4sin OA OB α+==可求出结果.【详解】（1）由圆C的参数方程,2x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），得圆C 的普通方程为()2223x y +-=，得22410x y y +-+=，圆C 的极坐标方程为24sin 10ρρθ-+=；（2）将直线l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程，得24sin 10ρρα-+=， 又1210ρρ⋅=>，0απ≤≤，216sin 40x ∆=->，得1sin 2α>，所以4sin OA OB α+==3πα=或23π.所以直线l的直角坐标方程为y =.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.设函数()21f x x a x a =++--.（1）当0a =时，求不等式()3f x x <的解集；（2）若0a >，且关于x 的不等式()7f x ≤有解，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）(]0,4 【解析】【分析】（1）先由0a =得213x x x +-<，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，求出()min 312af x =+，根据题意只需()min 7f x ≤，求解，即可得出结果.【详解】（1）当0a =时，解不等式213x x x +-<，即1x x -<， 所以2221x x x -+<，解得12x >. 所以不等式()3f x x <的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当2a x =-时，()min 312af x =+. 因为()7f x ≤有解，所以()min 7f x ≤，即3172a+≤， 所以312a ≤，所以04a <≤， 所以a 的取值范围为(]0,4.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式中的参数问题，熟记绝对值不等式的解法即可，属于常考题型.21。

2020届华大新高考联盟原创仿真试卷（十六）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为13.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(04.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A. B. C. D. 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

2020届湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={1,2}，B ={1,2，3，4，5}，则满足A ∪X =B 的集合X 的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 82. 若复数(为虚数单位)是纯虚数，则实数的值为( )A.B.C.D.3. 设函数的导函数为，若的图像在点处的切线方程为，则A. 4B. 3C. 2D. 14. 某次数学测试6位同学成绩的茎叶图如下，将这6位同学成绩作为总体，从总体中任取两位同学成绩作为一个样本，则样本平均数大于总体平均数的概率是( )A. B.C. D.5. 已知{}为等差数列，，{}的前n 项和，则使得达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 186. 已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则57是数列中的( )A. 第58项B. 第59项C. 第60项D. 第61项7. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(c,0)(c >0)，且离心率等于√5，若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2−2cx =0截得的弦长为2√5，则该双曲线的标准方程为( )A. x 220−y25=1 B. x 225−y2100=1 C. x 25−y 220=1 D. x 25−y 225=18. 在底面是正方形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD上，平面CEF 与PA 交于点K ，且PA =AB =3，AF =2，则四棱锥K −ABCD 的外接球的表面积为( )A.454π25B.466π25C. 19πD.486π259. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )A. 4πB. 4(π+1)C. 5πD. 6π10. 若x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤1y ≥0.，则z =x +2y 的最大值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3211. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是2x ±y =0，则该双曲线的离心率是( )A. √6B. √5C. 2D. √312. 已知函数y =f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且f(7)=3f(3)+3，则f(5)=( )A. 16B. 8C. 6D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若函数f(x)={x +1(x <0)cosx(0≤x ≤π2)，则f(x)与x 轴围成封闭图形的面积为______．14. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 15. √3−1与√3+1的等比中项是______ ．16. 设函数f(x)=sin(ωx −π4)(ω>0)的一个零点为−π4，且f(x)在区间(0,5π36)上单调，则ω=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tanA =3，cosC =√55，c =4．(1)求角B ； (2)求△ABC 的面积．18.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=4．(1)求证：EF⊥AC；(2)求几何体EFABCD的体积．19.某校从参加高二年级省学业水平模拟考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，成绩的频率分布直方图如图3所示，其中成绩分组区间是：[40,50)[50，60)[60,70)[70，80)[80,90)[90，100]．(Ⅰ)求图中m的值，估计此次考试成绩的众数；(Ⅱ)为了帮助成绩弱的学生能顺利通过省学业水平考试，学校决定成立“二帮一”学习小组．在样本中从[90,100]分数段的同学中选两位共同帮助[40,50)分数段的同学中的某一位，已知甲同学的成绩为45分，乙同学成绩96分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．20.设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．21.在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形，做成一个无盖的盒子．问剪去的正方形边长为多少时，盒子的容积最大，并求出最大容积．22.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1：p2−4psinθ+3=0，曲线C2：psin(θ−π4)+√22=0．(1)求C1，C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与y轴交于A，B两点，P为C2上任一点，求|PA|+|PB|的最小值．23.已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值为M．(Ⅰ)求M的值；(Ⅱ)解关于x的不等式|x+4|−|x−1|≥M．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A∪X=B，且A={1,2}，B={1,2，3，4，5}，∴X一定含元素3，4，5，可能含元素1，2，∴X的个数为22=4个．故选：C．根据条件即可得出，集合X一定含有元素3，4，5，可能含有元素1，2，从而可得出集合X的个数．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，集合个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：试题分析：由是纯虚数可得，所以，故选D．考点：本小题主要考查复数的基本运算．3.答案：A解析：解析：根据题中所给出的已知条件，利用导数的几何意义即可求得的值，利用切点在切线上，即可求得f(1)，从而得到答案。

2020届华大新高考联盟押题模拟考试（九）理科数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}240A x x =- ，124xB x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭＜，则A B =I （ ）A. {|2}x x >B. {|2}x x <-C. {|2x x <-或2}x >D. 1{|}2x x <【答案】B 【解析】 【分析】先根据不等式的性质，化简集合A 、B ，再根据交集的定义求出A∩B． 详解】∵A={x|x 2﹣4＞0}={x|x ＞2或x ＜﹣2} B={x|124x＜}={x|x ＜﹣2} ∴A∩B={x|x＜﹣2} 故选B ．【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．2.下列函数()f x 中，满足“对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >”的是（ ） A. 2()(1)f x x =+ B. ()ln(1)f x x =- C. 1()f x x=D. ()xf x e =【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给条件，说明函数f （x ）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A 是二次函数，C 是反比例函数，D 是指数函数，图象情况易于判断，B 是对数型的，从定义域上就可以排除．【详解】函数满足“对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＞f （x 2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．f （x ）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．函数f （x ）=ln （x ﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义．对于函数f （x ）=1x，设x 1＜x 2＜0，则f （x 1）﹣f （x 2）=21121211x x x x x x --=，因为x 1，x 2∈（﹣∞，0），且x 1＜x 20，x 2﹣x 1＞0，则21120x x x x ->，所以f （x 1）＞f （x 2），故函数f （x ）=1x在（﹣∞，0）上为减函数．函数f （x ）=e x 在（﹣∞，+∞）上为增函数． 故选C ．【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性. 3.函数212log (32)y x x =-+的单调递增区间是（ ）A (,1)-∞B (2,)+∞C 3(,)2-∞ D 3(,)2+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论． 【详解】由题可得x 2-3x+2＞0，解得x ＜1或x ＞2， 由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为：（-∞，1）故选A ．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．4.函数2ln 2(0),()21(0),x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件：“函数()()22(0),210,lnx x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩的零点个数”转化为方程lnx=x 2-2x 的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x 2-2x 左右两式表示的函数图象即得．【详解】∵对于函数f （x ）=lnx-x 2+2x 的零点个数∴转化为方程lnx=x 2-2x 的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图． 由图象可得两个函数有两个交点． 又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数()()22(0),210,lnx x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩的零点个数为3故选D ．【点睛】本题考查函数的零点个数的藕断．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想． 5.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a ＝ （ ） A. 2- B. 12- C. 12D. 2【答案】A 【解析】试题分析：因为12111x y x x +==+--，所以222(1)1(1)y x x ''=+=---，在点(3,2)处的切线斜率3221|(31)2x k y ='==-=--，直线10ax y ++=的斜率a -，与直线10ax y ++=垂直的斜率1a ，所以112a =-，解得2a =-． 考点：导数的几何意义．6.在△ABC 中，“A＞30°”是“sinA＞12”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解题时注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提． 【详解】：∵在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° ∵A＞30°∴30°＜A ＜180° ∴0＜sin A ＜1 ∴可判读它是sinA ＞12的必要而不充分条件 故选B ．【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7.已知,0,a b ab >≠下列不等式①22a b > ②22a b > ③11a b < ④1133a b > ⑤1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C 【解析】【详解】取2,3a b ==-，则22a b >不成立；由指数函数的单调性可知22a b >成立；取2,3a b ==-，则11a b <不成立；对于任意的,0a b ab >≠，都有1133a b >成立；由于底数11101333a b⎛⎫⎛⎫<<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，故五个命题中有三个是正确的，应选答案C ．8.52log 1)log 1)a +=，则52log 1)log 1)-+=（ ） A. 1-a B.1aC. a-1D. -a【答案】A 【解析】 【详解】1)611)211,∴=-==-=1111)11);--====又52log 1)log 1)a +=，所以115252log 1)log 1)log 1)log 1)--+=+.11)1)1.a =--=-故选A本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.9.如果方程2lg x +(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） A. lg5·lg7 B. lg35C. 35D.135【答案】D 【解析】lg 2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=011111(lg lg5)(lg lg 7)0==575735x x x αβ⇒++=⇒=∴⋅⨯或 ,选D. 10.若函数2()log (1)=+f x x ，且a ＞b ＞c ＞0，则()f a a 、()f b b 、()f c c的大小关系是 （ ）A. ()f a a ＞()f b b ＞()f c c B.()f c c ＞()f b b ＞()f a a C. ()f b b＞()f a a ＞()f c c D. ()f a a ＞()f c c ＞()f b b【答案】B 【解析】 【分析】 把()f a a,()f b b,()f c c分别看作函数f （x ）=log 2（x+1）图象上的点（a ，f （a ）），（b ，f （b ）），（c ，f（b ））与原点连线的斜率，对照图象可得答案．【详解】由题意可得，()f a a,()f b b,()f c c分别看作函数f （x ）=log 2（x+1）图象上的点（a ，f （a ）），（b ，f （b ）），（c ，f （b ））与原点连线的斜率， 结合图象可知当a ＞b ＞c ＞0时，()f c c>()f b b>()f a a．故选B ．【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．11.已知函数f (x )＝x －4＋91x +，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( ) A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得到a ＝2，b ＝1，得到g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象可看做y ＝2|x |的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.【详解】因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1， 所以f (x )＝x －4＋91x +＝x ＋1＋91x +－9(1)1x x ⋅++5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝1121112x x x x ++⎧≥-⎪⎨⎛⎫<-⎪ ⎪⎝⎭⎩，，此函数图象可以看作由函数y ＝20102x x x x ⎧≥⎪⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a ＝2，b ＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-且在[1,)+∞上是增函数，不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. []3,1--B. []2,0-C. []5,1--D. []2,1-【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解 【详解】()()11f x f x +=-Q ，则函数()f x 关于 1x =对称Q 函数()f x 在[)1+∞，上是增函数∴函数()f x 在](1，-∞是减函数，即()f x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数 当0a =时，不等式()()21f ax f x +≤-变为()()21f f x ≤-， 根据函数()f x 的图象特征可得出：2111x -≤--，解得3x ≥或1x ≤，满足不等式()()21f ax f x +≤-对任意112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，由此排除A C ，两个选项 当1a =时，不等式()()21f ax f x +≤-变为()()21f x f x +≤-， 根据函数()f x 的图象特征可得出：2111x x +-≤--，解得12x ≤，不满足不等式()()21f ax f x +≤-对任意112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，由此排除D 综上所述，B 选项是正确的 故选B【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2sin ,[,0]4f x x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______． 【答案】[,0]4π-【解析】【详解】试题分析：∵[,0]x π∈-，∴5[,]444x πππ-∈，令4z x π=-，则5[,]44z ππ∈，∵正弦函数sin y z =在[,]42ππ上单调递增，∴由442x πππ≤-≤得：04x π-≤≤．∴函数()2sin()4f x x π=-在[,0]x π∈-的单调递增区间为[,0]4π-．考点：正弦函数的单调性．14.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式 f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,5]-∞- 【解析】试题分析：易知()f x 单调递增，所以31,21x a x a x +≥+≥+恒成立.因为[,2]x a a ∈+，所以212(2)125,25,5x a a a a a +≤++=+∴≥+≤-.考点：函数的单调性奇偶性；不等式恒成立问题.15.定义在R 上的函数()1y f x =-的图像关于()1,0对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅ 3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是________．【答案】c a b >> 【解析】 【分析】由“当x ∈（﹣∞，0）时不等式f （x ）+xf′（x ）＜0成立”知xf （x ）是减函数，要得到a ，b ，c 的大小关系，只要比较0.3313,log 3,log 9π的大小即可． 【详解】∵当x ∈（﹣∞，0）时不等式f （x ）+xf′（x ）＜0成立 即：（xf （x ））′＜0，∴xf（x ）在 （﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y=f （x ）的图象关于点（0，0）对称， ∴函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数∴xf（x ）是定义在R 上的偶函数 ∴xf（x ）在 （0，+∞）上是增函数． 又∵0.33131log 30log 2.9π>>>>=- 0.3312=-log 31log 309π>>>>, ∴3311log log 99f ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>30.3•f（30.3）>（log π3）•f（log π3）即3311log log 99f ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>30.3•f（30.3）>（log π3）•f（log π3）即：c ＞a ＞b 故答案为c ＞a ＞b.【点睛】本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv ）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出h （x ）是正确解答的关键所在．16.已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x ='的图象如图所示.下列关于函数()f x 的命题： ①函数()f x 的值域为[1,2]； ②函数()f x 在[0,2]上是减函数；③如果当[1,]x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点.其中真命题为 .【答案】②【解析】试题分析：由函数()f x 导函数知，函数()f x 在[1,0]-单增，[0,2]单减，[2,4]单增，[4,5]单减；故①错，②正确；对于③，当4t >，()f x 依然是2，故③不正确；对于④，当(2)1f >时，函数()y f x a =-不确定有4个，故真命题的个数是1.考点：1.函数与导函数的关系；2.函数零点的应用.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（1）已知tan 2α=,求224sin 3sin cos 5cos αααα--值;（2）若22lg(1)lg(4)lg(8)lg x y x y +++=+，求2log x y值. 【答案】（1）1 ； （2）1-.【解析】【分析】（1）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值． （2）由已知条件推导出220,014024x y x y lg lg x y ⎧⎪++⎨+=⎪⎩＞＞，求出,,x y 由此能求出2log x y 的值． 【详解】（1）∵tan 2α=，2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+ 2243516651141tan tan tan ，ααα----===++ （2）()()()()()2222lg 1lg 4lg 8lg lg 1lg 4lg4lg2lg x y x y x y x y +++=+⇔+++=++ ()()22lg 1lg2lg 4-lg40x x y y ⇔+-++= 2222220,01414,1, 1.lg 0,lg 0,140242424x y x y x y x y lg lg x y x y x y ⎧++++⎪⇔≥≥∴≥≥++⎨+=⎪⎩Q ＞＞ 而2214lg lg 024x y x y +++=，2214lg 0,lg 0,1,224x y x y x y++∴==∴== 2214lg 0,lg 0,24x y x y++∴≥≥由此可得221log log 1.2x y ==- 【点睛】本题考查齐次式的求法，考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．18.已知：△ABC 中，三边,,a b c 的对角为A ，B ，C ，且cos 3cos C a c B b -=， （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若b =a c =，求△ABC 的面积．【答案】(1)sin 3B =.(2)S =【解析】分析：（1）先正弦定理化边为角，解得1cos 3B =，再根据平方关系求结果，（2）由余弦定理以及a c =，解得224a =，再根据三角形面积公式求结果.详解：（1）由正弦定理及cos 3cos C a c B b -=，有cos 3sin sin cos sin C A C B B-=， 即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，所以()sin 3sin cos B C A B +=，又因为(),sin sin A B C B C A π++=+=，所以sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以1cos 3B =，又0B π<<，所以sin 3B ==． （2）在△ABC 中，由余弦定理可得222323a c ac +-=，又a c =，所以有24323a =，即224a =，所以△ABC 的面积为1sin 2S ac B ==点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(1x y xy ++),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）令x=y=0可得f （0）=0，令y=-x ，可得f （-x ）=-f （x ），故得证；（2）由单调性的定义，任取x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，由性质可得可得f(x 2)－f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(21121x x x x --，由已知可判f(21121x x x x --)<0，进而得证． 【详解】证明：(1)由f(x)+f(y)=f(1x y xy++)可令x=y=0,得f(0)=0, 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x x x --)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f(x 2)－f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(21121x x x x --) ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21211x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<21211x x x x --<1,由题意知f(21121x x x x --)<0， 即 f(x 2)<f(x 1) ∴f (x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0∴f(x)在(－1，1)上为减函数【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给x ，y 赋值是解决问题的关键，属基础题． 20.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++(1)若()f x 的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的值域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围【答案】（1）53a >或1a ≤-； （2）513a ≤≤.【解析】【分析】 （1）因为f （x ）的定义域为R ，所以对数的真数一定大于0恒成立，讨论二次项系数为0不成立，系数不为0时，得到系数大于0且根的判别式小于0求出a 的范围即可；（2）因为函数值域为R ，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a 的范围即可． 【详解】（1）设的定义域为R ，()()221110a x a x -+++>恒成立， 当210a -=时，即1a =或1a =-，1a =-满足题意，1a =（舍去）当()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩，解得53a >或1a <- 综上53a >或1a ≤-. （2）①当210a -=时，即1a =或1a =-，1a =满足题意②()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，得513a <≤ 综上513a ≤≤. 【点睛】本题考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．21.已知函数()222[(1)(1)]x f x ax a x a a e =+-+--⋅ (其中a R ∈)．若0x =为()f x 的极值点，解不等式()21(1)(1)2f x x x x >-++ ． 【答案】{|0x x <或1}x >.【解析】【分析】由于x=0为f （x ）的极值点，可得f′（0）=0，得到a=0．当a=0时，()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭,整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，利用导数研究其单调性极值即可得出． 【详解】因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⋅⎣⎦， 所以()()221x f x ax a x a e ⎡⎤=+++⋅⎣⎦'， 因为0x =为()f x 的极值点,所以由()00f ae a '== ,解得0a =， 检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时, ()0f x '<,当0x >时,()0f x '>. 所以0x =为()f x 的极值点,故0a =．当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭ ()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩， 令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()()()1x h x g x e x ==-+',()1x h x e '=-， 当0x >时,()10x h x e ='->；当0x <时,()10x h x e ='-<，所以()h x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >=，即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭， 所以原不等式的解集为{|0x x <或1}x >．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.设0a >，函数()2ln 1f x x a x =+-. （1）当1a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; （2）当[1,)x ∈+∞时,求函数()f x 的最小值.【答案】（1）10x y -+=； （2）① 2e ；②2min 221,023ln ,22222,2a a a a a y a e e a e +<≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎩. 【解析】【分析】（1）将a=1代入，对函数f （x ）进行求导得到切线的斜率=f'（1），切点为（1，2），从而得到切线方程．（2）分x≥e 和x ＜e 两种情况讨论．分别对函数f （x ）进行求导，根据导函数的正负判断出函数f （x ）的单调性后可得到答案．【详解】（1）当1a =时，()2ln 1f x x x =+- 令1x = 得 ()()12,11f f '==所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：10x y -+= .（2）①当x e ≥ 时，()2ln f x x a x a =+-，()()2a f x x x e x=+≥， 因为0a >，所以()0f x >恒成立，所以()f x 在[),e +∞上增函数.故当x e = 时，()2min y f e e ==. ② 当时，，（）…………5分 （i ）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数. 故当时，，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数.所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，，且此时(iii)当；即时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，.综上所述，当时，在时和时的最小值都是.所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为.当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为.【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。

2020届华大新高考联盟押题仿真模拟（十八）数学试卷(理科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是( ) A. ln y x = B. 2y x =-C. x y e =D. cos y x =【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，可得A ，B ，D 是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论．【详解】根据偶函数的定义()()f x f x =-，可得A ，B ，D 是偶函数，B 在()0,+∞上单调递减，D 在()0,+∞上有增有减，A 在()0,+∞上单调递增， 故选A ．【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知175100,5770a S S =--=.则101S 等于（ ） A. 100B. 50C. 0D. 50-【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，又1100a =-，所以757654575(700)7(500)7022S S d d ⨯⨯-=-+--+=，解得2d =， 所以101101100101(100)202S ⨯=⨯-+⨯=，故选C. 3.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值.【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a-⨯=-，解得1a =. 故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =u u u r u u u r，且23CD AC CB λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ的值为（ ）A. 14B. 14-C. 13D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】根据2AD DB =u u u r u u u r，用基向量,AC CB u u u r u u u r 表示CD uuu r ，然后与题目条件对照，即可求出．【详解】由在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =u u u r u u u r， 则1112()3333CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB =+=+=+-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，即13λ=-，故选D ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算．5.已知双曲线离心率2e =,与椭圆221248x y +=有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()A. 13y x =±B. y x =C. y =D. y =±【答案】C 【解析】 【分析】先求出椭圆221248x y +=的焦点()4,0和()4,0-，所以双曲线方程可设为22221x y a b-=，所以其渐近线方程为by x a=±，由题意得双曲线的4c =，再根据其离心率2e =，求出a ，根据222c a b =+，得到b ，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.【详解】因为椭圆221248x y +=，其焦点为()4,0和()4,0-，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线的方程为22221x y a b-=，则其渐近线方程为b y x a =±，且双曲线中4c = 因为双曲线的离心率2ce a==，所以2a =， 又因双曲线中222c a b =+所以22212b c a =-=，即b =所以双曲线的渐近线方程为y = 故选C 项.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,,a b c ，双曲线的渐近线，属于简单题. 6.已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A. 429-B.429C. 79-D.79【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果．【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ， 2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 7.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx A πϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4f π=（ ）A. 22-B. 12-C. 1-D.22【答案】C 【解析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π,,212⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x解析式得2sin7π2sin212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin21443f⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.8.已知各项不为0的等差数列{}n a满足2578220a a a-+=，数列{}n b是等比数列且77b a=，则212b b等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a-+=--++=-=，7730,2a a≠∴=Q，则：222127794b b b a===.本题选择C选项.9.已知点P为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF FS S S-≥V V V成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A. （1） B. （1，）C. （1，] D. （1]【解析】 【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案． 【详解】设12PF F ∆的内切圆的半径为r ，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥, 由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==， 所以a ≥，即c a ≤又由1ce a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 10.函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（） A. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π B. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求ϕ的取值范围.【详解】()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,令2222232k x k ππππϕπ-+≤-+≤+解得51212k x k ππϕπϕπ-++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x ,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 126{5126k k ππϕπππϕπ++≥-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈Q0k ∴=时，124ππϕ≤≤.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.11.已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ） A. 1m £ B. 1m <- C. 1m >- D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)e x f x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解．【详解】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示， 又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ， 由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离，即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题13.已知向量1)a =-r，b =r ，则a r 在b r 方向上的投影为___________.【答案】1 【解析】 【分析】根据||||cos a b a b a ⋅=<r r r r r ，b >r ，得a r 在b r 上的投影为||cos a a <r r ，||a b b b ⋅>=r r r r ，求出a b ⋅r r ，代入投影的公式计算即可．【详解】Q 向量a =r1)-，b =r ，1)，∴312a b ⋅=-=r r ，||2b =r ，∴a r 在b r方向上的投影为||cos a a <r r ，212||a b b b ⋅>===r r r r ．故答案为：1．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．14.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为___________.【答案】[0,]e 【解析】 【分析】利用函数求导函数2()(2)2(2)()x xf x e x kx kx x e kx '=--+=--，只有一个极值点时()0f x '=只有一个实数解有0x e kx -≥，设新函数设()xu x e =，()h x kx =，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，2()(2)2(2)()x x f x e x kx kx x e kx '=--+=--，若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，()0f x '=只有一个实数解，则：0x e kx -≥， 从而得到：x e kx ≥， 当0k = 时，成立．当0k ≠时，设()xu x e =，()h x kx =，当两函数相切时，k e =，此时得到k 的最大值，但k 0<时不成立． 故k 的取值范围为：(0，]e 综上：k 的取值范围为：[0,]e . 故答案为：[0,]e ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．15.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案． 【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=． 则10A B x x +=，||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题． 16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______.【答案】1【解析】【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n n k k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -=即：()21121n n k k a a k -+=≤<- 201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.已知ABC ∆的面积为3，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r 且AB AC >. (1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且3AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度. 【答案】（1）23π；（2）23. 【解析】【分析】 （1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；（2）先根据条件求出b ，c ，a ；再借助于面积之间的关系求出CN ，BN 之间的比例关系，结合题中条件即可求解．【详解】（1）1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ||||cos cos 1AB AC A bc A ⇒⋅⋅==-u u u r u u u r ，又13sin 22ABC S bc A ∆==，即sin 3bc A =， ∴sin sin tan 3cos cos bc A A A bc A A===-， 又(0,)A π∈，∴23A π=. （2）如下图所示：在ABC ∆中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r， ∴2222224||()||2||AM AB AC AB AB AC AC c b =+=+⋅+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴225b c +=.由（1）知：sin bc A =2bc ⇒=，又c b >， ∴2c =，1b =，由余弦定理可得：2222cos 527a b c bc A =+-=+=⇒a =11sin sin 22ANC S AN b CAN AN CAN =⋅∠=⨯∠， 1csin sin 2BAN S AN BAN AN BAN =⨯∠=⨯∠， 又CAN BAN ∠=∠， ∴12BAN ANC S CN S BN ==，又CN BN a +==3CN =， 在ACN ∆中，有：2222cos AN b CN b CN ACB =+-⨯⨯∠712193=+-⨯⨯7441939=+-=， 所以23AN =. 【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若313T =，求5S【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =，即232p +=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，所以()G 0213k A ==--，()G 12k B ==--所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等，故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】20.已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【答案】（1）32n a n =-，*n ∈N （2）2186n n --【解析】【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，利用临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代入递推关系求1a ； （2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前2n 项和.【详解】（1）Q 对任意*n ∈N ，有()()1126n n n S a a =++，① ∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=.而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成立；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去. 32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L()2426n a a a =-+++L()246261862n n n n +-=-⨯=--. 【点睛】已知n S 与n a 的递推关系，利用临差法求n a 时，要注意对下标与n 分两种情况，即1,2n n =≥；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln e g x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明【解析】【分析】 （Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间； （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e =-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x =+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e =-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增； 即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点； 当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点． （1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在直线8:3l y x =-满足题设条件,详见解析 【解析】分析】（1）由已知列出关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c ，写出结果即可；（2）由已知可得，(0,2)B ，(2,0)F ．所以1BF k =-，因为BF l ⊥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．【详解】（1）由已知可得，2222224421c ab a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 解得28a =，24b =，2c =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由已知可得，(02)(20)B F ，，，，∴1BF k =-.∵BF l ⊥，∴可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=.设()()1122M x y N x y ，，，，则2121242833m m x x x x -+=-=，，∵1212212y y BN MF x x -⊥∴⋅=--，.即121212220y y x x y x +--=∵()()()1122121212,220y x m y x m x m x m x x x m x =+=+∴+++-+-=，即()212122(2)20x x m x x m m +-++-=，∵222842(2)2033m mm m m --⋅+-⋅+-=∴28321603m m m +-=∴=-，或2m =.由()222(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m <又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴83m =-，故存在直线8:3l y x =-满足题设条件.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用．意在考查学生的数学运算能力．21。