北师大版八年级上册 第一章 勾股定理 培优分类精选精练 讲义(无答案)

勾股定理提高版知识梳理要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）专题一：勾股定理与面积类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积1．如图（16），大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________．2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( )3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )A ．9B ．36C ．27D ．344．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝________．5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S ＝( )A ．25B ．31C ．32D ．40abb 图(16)B6．如图，已知在Rt ABC △中，︒=∠90ACB ，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则12S S +的值等于________7．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A ．2B ．4C ．8D ．16规律与小结：做“勾股树”及其拓展类型的题，把握住以两条直角边为边长或直径延展出来的正方形或圆的面积和，等于以斜边为边长或直径延展出来的正方形或圆的面积。

：如图，在，按图中所示方法将叠，使点
练习1：如图，
重合，折痕为
5
3
练习2：如图，将长方形
BC＝9，则BF的长为
A．4
命题点3　勾股定理的应用
例题2：如图，一根长
练习1：如图，要制作底边
角形木衣架，则腰
练习2：如图，高速公路的同侧有
AA1＝2 km，BB
庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
命题点4　勾股定理与其逆定理的综合运用
例4：如图，在正方形ABCD
拼到如图所示位置(C与
5
A.＋1 B．－
．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖
7．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为
，B
12．将一根长为25 cm
外面的长为h cm，则
三、解答题(共60
13．(10分)如图，在边长为
14．(10分)如图所示，四边形
AC⊥CD.
15．(12分)图1是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图
图1 图2
17．(14分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以
周长．。

北师大版八年级上册第一章勾股定理讲义设计（四）讲义设计（Word版无答案）第一章：勾股定理(四)知识框架勾股定理回顾与思考【基础知识】1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a, b，斜边长为c ，那么a2 +b2 =c2 ；2、勾股定理的证明方法：一般是通过剪拼，借助面积进行证明，其中依据的是图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不变；3、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线-高，构造直角三角形；4、勾股定理的应用：①已知直角三角形的两边，求第三边；②表示长度为无理数的线段；③在数轴上作出表示无理数的点；5、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足a2 +b2 =c2 ，那么这个三角形是直角三角形；点拨：①能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

若a,b,c是一组勾股数，则ak,b k,ck （k 是正整数）也是一组勾股数；②若a,b,c 为一直角三角形的三边长，则以am,b m, cm （m > 0 ）为三边的三角形也是直角三角形；6、互逆命题：一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；点拨：①每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；②原命题有真有假，逆命题也有真有假，它们可能都真，也可能一真一假，还可能都假；【解题方法总结】方法1：矩形折叠问题：利用勾股定理求得相关的边长，从而得到所求结论，求解的基本步骤是：①分析题意，确定相关的等量关系以及可求出的量；②设出未知数，找到其所在的直角三角形，利用勾股定理列出方程；③解方程，求得未知线段，得出结论。

方法2：利用勾股定理证明线段间的关系。

解决三角形中线段平方关系的证明问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化，求解的基本步骤是：①找直角三角形，利用勾股定理列出线段平方的关系式，若没有直角三角形，常常通过作垂线来构造直角三角形；②根据所列线段平方的关系式，寻找关系式中线段与待求结论中的线段之间的等量关系；③将待求线段代入所列线段平方关系式中，化简即可得出结论。

北师大版八年级上册第一章勾股定理的定义和应用辅导讲义（无答案）1 / 5勾股定理勾股定理定义画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为 5 和 12 的直角△ABC ，量AB 的长发现2243+与25的关系， 22125+和213的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。

（即：222c b a =+） 例1、下列说法正确的是( )A. 若a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2B. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2C. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边,∠A=90∘,则a 2+b 2=c 2D. 若a,b,c 是Rt △ABC 的三边,∠C=90∘,则a 2+b 2=c 2变式：在Rt △ABC 中，斜边长BC=3，222BC AC AB ++的值为（ ）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算练习： 1、如图,△ABC 为直角三角形,斜边AB 长为20cm ,阴影部分是正方形,其面积为1442cm ,则AC 边的长为( )A. 256cmB. 8cmC. 16cmD. 32cm2、在直线l 上依次摆放着三个正方形(如图所示).已知斜放置的正方形的面积是1,正放置的两个正方形的面积依次是1S ,2S 则1S ,2S 1之间的关系( )A. 21S S +=1B. 21S S +>1C. 21S S +<1D. 无法确定3、一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方等于( )A.25B.7C.5D.25或74、等腰三角形底边长为6㎝，地边上的中线长为4㎝，则它的腰长为（ ）㎝。

A.7B.8C.5D.4验证勾股定理⎪⎩⎪⎨⎧→→→→推导出勾股定理恒等变形建立等量关系找出图形面积的表达式步骤：拼出图形定理通过面积转化验证勾股拼图法验证勾股定理 例1、将图①沿中间的小正方形的对角线剪开，得到图②所示的梯形，请利用图②面积的两种表示式验证勾股定理。

1.1探索勾股定理勾股定理的证明知识精讲定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。

如∠C=90°时，公式为222a b c +=，∠A=90°时，公式为222c b a +=，∠B=90°时，公式为222a c b +=。

2. 1212化简不完全 3. 注意隐含条件。

如已知直角三角形的两边长为3cm,4cm ，求第三边长。

不能理所当然的认为3cm,4cm 为直角边，应考虑多种情况，3cm 一定为直角边，但4cm 可能为直角边，也可能为斜边4. 忽视判断三角形形状。

不确定该三角形是否为直角三角形时，不可以使用勾股定理三点剖析一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c +=”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．二．勾股数1．满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数． 2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41．证明例题1、 下列说法中正确的是（ ）A.已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2D.在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2 【答案】 C【解析】 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A 、不确定c 是斜边，故本命题错误，即A 选项错误；B 、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B 选项错误；C 、∠C ＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C 选项正确；abcabccbD、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2＋c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误．例题2、我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A.49B.25C.12D.1【答案】C【解析】如图，∵大正方形的面积是25，∴c2=25，∴a2+b2=c2=25，∵直角三角形的面积是（25﹣1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是12ab=6，∴ab=12．故选：C．例题3、如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD的和EFGH都是正方形．根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD=c，AE=a，DE=b，c=10，a﹣b=2．（1）正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求（a+b）2的值．（3）a+b=，a=，b=．【答案】（1）4，96（2）196（3）14，8，6．【解析】（1）正方形EFGH的面积为（a﹣b）2=22=4，四个直角三角的面积和为102﹣4=100﹣4=96．（2）（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=100+96=196．（3）a+b=196=14①，∵（a﹣b）2=22=4，∴a﹣b=2②，联立142a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得86a b =⎧⎨=⎩．故答案为： 14，8，6．例题4、 阅读下列解题过程已知a 、b 、c 为△ABC 为三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状 解∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4① ∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2﹣b 2）（a 2+b 2） ② ∴c 2=a 2+b 2③∴△ABC 是直角三角形 回答下列问题（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号___． （2）错误原因为________．（3）本题正确结论是什么，并说明理由． 【答案】 （1）③；（2）除式可能为零（3）见解析 【解析】 （1）③； （2）除式可能为零；（3）∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， ∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）， ∴a 2﹣b 2=0或c 2=a 2+b 2， 当a 2﹣b 2=0时，a=b ； 当c 2=a 2+b 2时，∠C=90°，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形随练1、 以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形的是（ ） A.a ＝2，b ＝3，c ＝4 B.a ＝1，3b =，c ＝2 C.a ＝4，b ＝5，c ＝6 D.a ＝2，b ＝2，6c = 【答案】 B【解析】 A 、32＋22≠42，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、2212(3)2+=，故是直角三角形，故本选项符合题意；C 、42＋52≠62，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；D 、22222(2)+≠，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．随练2、 已知直角三角形的两边长为3cm 、5cm ，则它的第三边长为 ． 【答案】 4或34① 【解析】 当5是直角边时，斜边=223534+=，此时第三边为34；② 当5为斜边时，此时第三边=22534-=，综上可得第三边的长度为4或34．故答案为：4或34．随练3、 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为S 3，S 2，S 1，若S 1+S 2+S 3=18，则正方形EFGH 的面积为（ ）A.9B.6C.5D.9 2【答案】B【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故选：B．随练4、如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4= ．【答案】 3.65【解析】∵斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，∴AC=CF=1，FH=LH=1.1，PR=SR=1.2．∠ACD=∠FHL=∠PRS=90°，∴∠ACB=∠CED，∠FHG=∠HLM，∠PRN=∠RST，∴△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，∴AB=CD，BC=DE，FG=HM，GH=ML，PN=RT，NR=ST，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，FG2+GH2=FH2，NP2+NR2=PR2，∴S1+S2=1.0，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+1.21+1.44=3.65，∴S1+2S2+2S3+S4=3.65．故答案为：3.65．随练5、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．∠S四边形ADCB=S∠ ACD+S∠ ABC=12b2+12ab．又∠S四边形ADCB=S∠ ADB+S∠ DCB=12c2+12a（b-a）∠1 2b2+12ab=12c2+12a（b-a）∠a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°． 求证：a 2+b 2=c 2 证明：连结____． ∠S 五边形ACBED =____． 又∠S 五边形ACBED =____． ∠____． ∠a 2+b 2=c 2．【答案】 （1）BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b -a （2）S ∠ ACB +S ∠ ABE +S ∠ ADE =12ab+12b 2+12ab ，（3）S ∠ ACB +S ∠ ABD +S ∠ BDE =12ab+12c 2+12a （b -a ）（4）12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b -a ） 【解析】证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b -a ，∠S 五边形ACBED =S ∠ ACB +S ∠ ABE +S ∠ ADE =12ab+12b 2+12ab ， 又∠S 五边形ACBED =S ∠ ACB +S ∠ ABD +S ∠ BDE =12ab+12c 2+12a （b -a ），∠12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b -a ）， ∠a 2+b 2=c 2．勾股定理例题1、 下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.3，5，7 C.7，24，25 D.6，8，10【答案】 B【解析】 A 、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意； B 、32+52≠72，不能组成直角三角形，符合题意； C 、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意； D 、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意．例题2、 若直角三角形的两条边长为a 、b ，且满足269|4|0a a b -++-=，则该直角三角形的斜边长为________ 【答案】 5或4【解析】 由题意得，当边长为4的边是直角边，根据勾股定理得斜边为5；边长为4的边也可作为斜边， 例题3、 如图，数轴上的点A 表示的数是－1，点B 表示的数是1，CB ⊥AB 于点B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A.2.8B.C.1D.1【答案】 C【解析】 由题意可得， AB ＝2，BC ＝2，AB ⊥BC ，∴AC =∴AD =∴点D 表示数为：1．例题4、 如图，字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A.12 cm 2B.15 cm 2C.144 cm 2D.306 cm 2【答案】 C【解析】 如图，∵a 2+b 2=c 2， 而a 2=81，c 2=225， ∴b 2=225﹣81=144，∴字母B 所代表的正方形的面积为144cm 2．例题5、 若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长为________cm ． 【答案】 12【解析】 设直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 则162ab =，即ab ＝12， 由勾股定理得，a 2＋b 2＝25， 则（a ＋b ）2－2ab ＝25， 解得，a ＋b ＝7，∴该直角三角形的周长＝a ＋b ＋c ＝12．例题6、 如图，OP ＝1，过P 作PP 1⊥OP ，得1OP =P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得2OP =；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2；…依此法继续作下去，得OP 2012＝________．【答案】【解析】 由勾股定理得：24215OP =+=，∵12OP =；得23OP =； 依此类推可得1n OP n =+， ∴20122013OP =．随练1、 如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的周长为=_____，面积为_____【答案】 62610+；36【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算． 由勾股定理得：2239310AB =+=，226662BC =+=，2239310AC =+=，所以△ABC 的周长为62610AB AC BC ++=+，1199662393622ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=△随练2、 已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB c =，BC a =，AC b =．如果26c =，:5:12a b =，求a 、b 的值． 【答案】 10a =，24b =【解析】 ∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，26c =，:5:12a b =，可设5a x =，则12b x =，∴()()22251226x x +=，解得2x =，∴10a =，24b =．拓展1、 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理【答案】 C【解析】 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明． “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明． “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：C ．2、 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b 的比值为_____．【答案】2 3【解析】∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，∴设大正方形的面积是13，边长为c，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面积是1314-=3，又∵直角三角形的面积是12ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，∴a+b=5．∵小正方形的面积为（b﹣a）2=1，∴b=3，a=2，∴23ab=．3、如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A.76B.72C.68D.52【答案】A【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：A．4、阅读材料：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C＝90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．请回答：下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有________．（直接填写图序号）【答案】③④【解析】暂无解析5、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt △ADB中，AD2=c2﹣（a﹣x）2∴a2+b2=c2+2ax∵a＞0，x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＞c2∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．【答案】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，（3）证明见解析【解析】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2∴a2+b2=c2﹣2ax∵a＞0，x＞011 ∴2ax ＞0∴a 2+b 2＜c 2∴当△ABC 为钝角三角形时，a 2+b 2＜c 2．6、 如图，点E 在正方形ABCD 内，满足90AEB ∠=︒，6AE =，8BE =，则阴影部分的面积是（ ）A.48B.60C.76D.80【答案】 C【解析】 211100687622ABE ABCD S S S AB AE BE ∆=-=-⨯⨯=-⨯⨯=正方形阴影部分．故选C ．E A CB D。

探索勾股定理讲义★【目标要求】◆1、探索直角三角形的性质———勾股定理；◆2、勾股定理的运用举例★ 知识重点：勾股定理及其运用；难点：勾股定理的运用★ 【知识要点及典型例题精讲】◆【知识要点1】直角三角形的性质：①、若90=∠C °，则90=∠+∠B A °；（直角三角形两锐角互余）②、若90=∠C °，30=∠A °，则c a 21=；（直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半）。

◆目标训练1：（1）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若///354137︒=∠A ，则______=∠B ；（2）如图：在ABC Rt ∆中，90=∠C °，30=∠A °，试说明：c a 21= ◆【知识要点2】勾股定理：在90=∠∆C ABC 中，若°，则222c b a =+ 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；问题探究：如图：用4个全等的直角三角形拼成一个正方形，分别用不同的代数式表示中间的正方形的面积： ;得到的结论是： ;【知识要点3】勾股定理应用举例 应用1运用勾股定理求直角三角形中未知的边长 【例1】在90=∠∆C ABC Rt 中，°。

（1）、若3,4a b ==，求ca （3）若4:3:,10==b a cmc ，求ABC ∆的周长；（4）若cm b 8=，cm c a 32=+，求c a ,的长；注：直角三角形三边均为正整数时，称这组数为勾股数。

◆目标训练2：1、在ABC ∆中，如果23A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形 2、将一个直角三角形两直角边都扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（ ） A 、4倍 B 、2倍 C 、不变 D 、无法确定 3、一个三角形三个内角之比为1:2:1，则其相对的三边平方之比为（ ）4、在中，ABC Rt ∆90=∠C °， （1）若,25,7==c a 则______=b ；（2）若212,2==c b ，则_________=∆ABC S ; a a b b（3）如cm c b a 10,3==，则________;______;22==b a（4）若2,,2+==-=m c m b m a ，则_________;=∆ABC C【例2】直角三角形的两直角边分别为6，8，求斜边上的高。

第一章勾股定理培优训练一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC23．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或85．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．176．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或167．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.58．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．1289．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2二．填空题10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 ；方法2 ．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c220．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、（）2+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意．故选：C．2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC2【分析】根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：A、∵∠C﹣∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故本选项正确，不符合题意．B、∵∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2＝b2，故本选项正确，不符合题意．C、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴∠A＝90°，故本选项正确，不符合题意．D、∠A＝30°，不能推出AC2＝3BC2，故本选项错误，符合题意．故选：D．3．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③【分析】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项，即可得出结论．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或8【分析】因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为＝4，∴等腰三角形的面积＝×＝8；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4＝6，∴不能构成三角形，故舍去．∴底边上的高为＝＝，∴等腰三角形的面积＝×6＝3．故选：D．5．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．17【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H′E＝＝，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E＝＝17，故选：C．6．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，﹣4|＝0，∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5【分析】连接DF，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CE＝DE，由线段垂直平分线的性质得出CF＝DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF＝∠ACF＝∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．8．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．128【分析】根据勾股定理可求AC2+BC2的值，再根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得2x2+x﹣21＝0∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30故选：B．二．填空题（共7小题）10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】解直角三角形求出AC，再证明AC＝CF即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6cm，∠B＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAF＝45°，∴∠AFC＝∠CAF＝45°，∴AC＝CF＝3cm，∴S阴＝•CF＝cm2，故答案为11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝ 4.8 ．【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5，∴BF＝CF＝BC＝3，由勾股定理得：AF＝＝4，由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴+，＝×5PE，24＝5（PD+PE），∴PD+PE＝4.8，故答案为：4.8．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为45°．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 6 ．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．【分析】“有趣中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．另一个为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为 5 ．【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴AC•BF＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为5或t＝8或t＝．【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 a2+b2；方法2 c2．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．【分析】（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积＝1个正方形的面积+4个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积＝边长2；（2）根据（1）写出a、b、c之间的等量关系；（3）直接用（2）的结论求出结果．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积＝（a﹣b）2+4×ab＝a2+b2，方法2：大正方形的面积＝c2；故答案为：a2+b2，c2；（2）因为大正方形的面积相等，所以a2+b2＝c2；（3）由（2）知，a2+b2＝c2．又（a+b）2＝49，所以 2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24．所以小正方形的面积＝25﹣24＝1．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积即可求解；（2）确定题中各式在实数范围内有意义，根据二次根式的意义，列不等式组，列方程组求解．【解答】（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．20．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？【分析】（1）根据题意得到结果判断即可；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，②AB＝BQ2＝5或AB＝B5＝5时，③当AQ3＝BQ3时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：AM+BM＝A′B＝＝，∵6＜，∴方案1更合适；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，CQ1＝CQ4＝＝2，∴QG＝2+2（舍去）或2﹣2（舍去）；②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，DQ＝＝3，∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1（舍去），③G为CD中点时，当AQ3＝BQ3时，（GQ3+2）2+12＝（2﹣GQ3）2+42，解得：GQ3＝，DQ＝．故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．【分析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；【解答】解：（1）△APQ是等边三角形，理由是：∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ，∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5，此时AP＝PC时，∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm，∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ，在△APQ和△CPQ中，，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝45°．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根据勾股定理即可求出答案；（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；。

第一讲：勾股定理及其运用◆【知识考点梳理】1、勾股定理，又称商高定理、毕达哥拉斯定理或毕氏定理。

据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

定理：在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边的平方；在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222a b c +=；注意：（1）运用勾股定理的条件是在直角三角形中；（2）认准斜边；2、勾股定理的逆定理----运用定理判断三角形为直角三角形在ABC ∆中，若222a b c +=，则90C ∠=︒；注意体会：公式的变形式。

若222a c b =+，则90A ∠=︒补充公式：ch ab =（b a ,是直角三角形的直角边边长，c 是斜边边长，h 是斜边上的高）3、勾股定理的应用：注意体会建立直角三角形模型，运用勾股定理建立方程求解。

4、思想方法归纳：（1）方程思想；（2）数学建模思想；（3）转化类比思想；（4）分类讨论思想； ◆【考点聚焦、方法导航】【考点题型1】-----直角三角形中由已知的边长求未知边的长度【例1】在ABC ∆中，90C ∠=，直角边为a 、b ，斜边为c 。

1、（1）若5a =，12b =，则c = ；（2）若25c =，15b =，则a = ；2、若:3:4a b =，20c =，则a = ，b = ；【例2】在Rt ABC ∆中，090C ∠=，030A ∠=。

（1）若10AB =，则BC = ，2AC = ；（2）若1BC =，则2AC = ；【例3】在Rt ABC ∆中，090C ∠=，045A ∠=。

（1）若10AB =，则2BC = ；（2）若22AC =，则AB = 。

◆方法点拨：认清斜边，运用直角三角形三边的关系建立方程求线段的长；【考点题型2】---利用勾股定理解决实际问题【例4】如图所示：若将长方形纸片沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，小河10 4020 40出发点 70 终止点展开后得到一个等腰三角形，则展开后的三角形的周长是（ ）【例5】（最短距离问题）1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ； 1题图 2题图 训练1题图2、如图：等边ABC ∆的边长为4，AD 是BC 边上的中线，M 上一点，且1AE =，则2()EM CM +的最小值为 ；◆目标训练1：1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，他位于小屋B 的西8km 北7km 处，他把马牵到小河边去饮水，然后回家。