8.2正项级数敛散性的判别

n =1 ∞
r不存在时, 若 不存在时,比值法也不 . 能 ∞ ∞ un+1 1 1 ( 3)举例 : ∑ , ∑ n2 lim un = 1 n →∞ n =1 n n =1 发散! 收敛! 发散! 收敛! a n 的因子, 一般项中含有 n或 !的因子,宜用比值判别 . 法
例 1 .判定下列级数的敛散性 : ∞ n un+1 ( n + 1) 2n1 1 (1 ) ∑ n 1 lim = <1 = lim n n →∞ n →∞ n =1 2 un 2 n 2
n ∞
∞
π
证明收敛:un < 某一收敛级数. 证明收敛: 某一收敛级数. ∑ 1 n=1 ∞ 收敛. 例3.证明级数 ∑ 收敛. 某一发散级数. 证明发散: 证明发散:un > 某一发散级数. n =1 n! ∑ n=1 ∞ 1 证: 方向: < 某一收敛级数. 方向: 某一收敛级数. ∑ n=1 n ! ∞ ∞ 1 1 1 1 1 1 = < = n1 ∑ n1收敛 ∑ 收敛 n! 1 2 3L n 2 2L 2 2 n =1 2 n =1 n! ∞ 1 的敛散性. 例4.判定级数 ∑ 的敛散性. n=1 n( n + 1) 1 1 1 解: un = > = n( n + 1) ( n + 1)( n + 1) n + 1 ∞ ∞ 1 1 Q∑ 为调和级数少一项, ∴ 发散. 为调和级数少一项, ∑ 发散. n =1 n + 1 n =1 n + 1 ∞ 1 ∴∑ 发散. 发散. n( n + 1) n =1
∞
un+1 2n+1 ( n + 1)! n n 2 2 n! 收敛! ∑ nn lim u = lim ( n + 1)n+1 2n n!= e < 1 收敛! n →∞ n →∞ n=1 n
∞ n
2 5 8L(3n 1) lim un+1 = lim 3n + 2 = 3 < 1 收敛! ∑1 5 9L(4n 3) n→∞ un n→∞ 4n + 1 4 收敛! n=1
( 3) Q tg
π
n
~
π
( n → ∞ ) ∴ tg ~ 2 n n n n
π
π
π2
∑ntg n
n=1
∞
π π
1 n 2π 2 lim tg = lim 2 = π 2 n→∞ n n n2 n→∞ n ∞ ∞ π π ∑ vn收敛 ∑ n tg n收敛 n =1 n =1 ∞ 1 1 1 (4) Q ln(1 + 2 ) ~ 2 ( n → ∞ ) ∑ln(1 + n2 ) n n n=1 1 1 1 取v n = 2 limln(1 + 2 ) 2 = 1 n→∞ n n n ∞ ∞ 1 ∑ vn收敛 ∑ ln(1 + n2 )收敛 n =1 n =1
1 5 p级数, p 例 .∑ p 称为广义调和级数或 级数,其中 > 0, n=1 n
∞
使用比较判别法时,几何级数和p 级数(调和级数) 使用比较判别法时,几何级数和p-级数(调和级数)经常用 来与需要判别敛散性的级数比较,但往往不易选择此级数. 来与需要判别敛散性的级数比较,但往往不易选择此级数. 定理8.3 比较判别法的极限形式) 定理8.3 (比较判别法的极限形式)
1 取v n = 2 n
∞ 1 1 ∑ 2 收敛 , 故∑ 收敛 n =1 n n =1 n( 2 n 1)
∞
n2 例2.讨论级数 ∑ n (a > 0)的敛散性 . n =1 a 收敛 < 1 un+1 ( n + 1)2 a n 1 解: lim 发散 = lim 2 = > 1 n +1 n→ ∞ n→ ∞ un a n a 发散 = 1 收敛 a > 1 ∴ 发散 a ≤ 1 ∞ xn 例3.讨论级数 ∑ ( x > 0)的敛散性 . n =1 n 收敛 < 1 n+1 un+1 x n = lim n = x > 1 解: lim 发散 n→ ∞ n→ ∞ un n+1 x = 1 发散 收敛 x < 1 幂级数 ∴ 发散 x ≥ 1
n! ( 2 )∑ n n =1 n
∞
收敛! 收敛! 收敛! 收敛!
un+1 ( n + 1)! n n lim = lim n +1 n →∞ n →∞ un ( n + 1) n!
n
5 ( 3 )∑ 5 n =1 n
∞
n
1 1 n = lim = lim <1 n = n →∞ n →∞ 1 e n + 1 1 + n un+1 5 n +1 n 5 lim = lim n 5 n →∞ n →∞ un ( n + 1) 5 5n 5 发散! 发散! = lim 5 = 5 >1 n→∞ ( n + 1)
∞
( 3)∑ tg n n =1 n
∞
π π
∞ 1 1 n+1 (4)∑ ln(1 + 2 ) ( 5 )∑ ln n n n 1 n =1 n =1 1 1 1 n3 / 2 解: (1)取v n = 3 / 2 lim =+ 1) n(n + 1) n ∞ ∞ 1 ∑ vn收敛 ∑ n( n2 + 1)收敛 n =1 n =1 1 1 n2 / 3 1 lim = lim 3 2 = 1 ( 2)取vn = 2 / 3 n→∞ 3 2 2/ 3 n →∞ n 1 n n 1 n ∞ ∞ 1 ∑ vn发散 ∑ 3 n2 1发散 n =1 n =1
1 取v n = 2 n
π
π
∞ n+1 2 2 1 n +1 (5) Q ln = ln(1 + )~ (n → ∞) ∑ n ln n 1 n 1 n 1 n 1 n=1 1 n+1 1 2 ln ~ (n → ∞) ∴ n n1 n n1 1 1 n +1 1 取vn = 3 / 2 lim ln n→∞ n n n 1 n3/ 2 2 2n = lim n ln(1 + ) = lim =2 n→∞ n →∞ n 1 n 1 ∞ ∞ 1 n+1 ∑ vn收敛 ∑ n ln n 1收敛 n =1 n =1 ∞ 1 ∞ n1 vn一般可取 n的同阶无穷小且多为 u , ∑np和∑aq n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ n+1 π π n ( 2 )∑ tg n ( 3 )∑ 2 sin n 练习 : (1)∑ 2 2 3 n =1 n + 1 n=2 n =1 ∞ ∞ 1 1 ( 4 )∑ n ( 5 )∑ n n =1 n n = 2 ln n
n =1
∞
矛盾! ( 2)反证 :假设 ∑ vn收敛 ∑ un收敛 矛盾!
n =1 n =1
∞
由( 1 ) ∞
1 的敛散性. 例1.判定∑ n的敛散性. n =1 n 2 ∞ ∞ 1 1 1 1 ≤ n ( n = 1,2L) Q ∑ 收敛 ∴ ∑ n收敛. 收敛. 解: un = n n2 2 n =1 n 2 2n n =1
un 设 ∑ u n 和 ∑ v n都为正项级数 , 且有 lim = A n →∞ n =1 n =1 vn (1)若0 < A < +∞,则∑ un与∑ vn同敛散 . un与vn为同阶无穷小
n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞
∞
∞
( 2)若A = 0,且 ∑ vn收敛,则∑ un收敛 . 收敛,
∞
un+1 2n + 1 1 2n 1 2n 1 ∑( 2)n lim u = lim 2(2n 1) = 2 < 1 n →∞ n →∞ n=1 n
1.∑un = S limSn = S ∑un发散{Sn }发散 第八章 n→∞ n=1 n=1 a ∞ ∞ q <1 1 n1 2.∑aq 1 q ∑n发散 n=1 n=1 发散 q ≥ 1 ∞ 3.级数的性质,尤其为:un收敛 limun = 0 级数的性质,尤其为: ∑ n→∞
∞
∞
Ch8.2 正项级数敛散性的判别
n =1 n =1
∞
∞
发散, (1)若∑ vn收敛,则∑ un收敛 . ( 2)若∑ un发散,则∑ vn发散. 收敛,
n =1 n =1 n n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
证: (1) S = n
∑ u ≤ ∑ v i ≤ ∑ v = S1
i =1 i
n
∞
i =1
n =1
n
有上界, 即{ S n }有上界,所以∑ un收敛 .
1 ( 4 )∑ n =1 n( 2 n 1)
∞
un+1 1 n( 2n 1) lim = lim n →∞ n →∞ un ( n + 1)( 2n + 1) 1 n( 2n 1) = lim = 1 不确定! 不确定! n→∞ ( n + 1)( 2n + 1)
n2 un 1 / n( 2n 1) = lim lim = lim n→∞ n →∞ n( 2n 1) v n n→∞ 1 / n2 ∞ ∞ 1 = ∑ un与∑ vn同敛散 . 2 n =1 n =1
n =1 n =1
un << vn
( 3)若A = +∞,且 ∑ vn发散,则∑ un发散. 发散,
n =1 n =1
∞
∞
un >> vn
v 运用定理8.2和定理8.3时关键: 运用定理8.2和定理8.3时关键:找恰当的 n . 8.2和定理8.3时关键