初三数学周末辅导(二次函数综合题)

人教版九年级数学上一元二次方程二次函数旋转精选试题周末作业辅导培优训练题1．一元二次方程x （x -3）＝3-x 的根是 （ ）A ．-1B ．3C ．-1和3D ．1和22．二次函数y ＝x 2－x ＋1的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定3．若二次函数y ＝ax 2－x ＋c 的图象上所有的点都在x 轴下方，则a ，c 应满足的关系是( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧<<410ac aB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<410ac aC ．⎪⎩⎪⎨⎧><410ac aD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<410ac a 4．若点M (－2，y 1)，N (－1，y 2)，P (7，y 3)在抛物线y ＝－ax 2＋4ax ＋m (a ＞0)上，则下列结论正确的是A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．如图，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则△ABC 的面积为A ．6B ．4C ．3D ．1第5题图6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图所示，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c －8＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7．二次函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－2时，y 随x 的增大而增大，那么当x ＝1时，函数y 的值为( )A ．－7B ．1C ．17D ．258．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y ＝－x 2＋4x ＋2，则水柱的最大高度是( )A ．2B ．4C ．6D ．89．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，当水面上升1m 时，水面的宽为( )A ．B ．2mCD ．3m10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a ＋b ＋c ＝0；③a －b ＋c ＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是A ．①②③B ．③④⑤C ．①②④D ．①④⑤二、填空题(每题3分，共24分)11．若抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴分别交于A ，B 两点，则AB 的长为 ．12．在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x ＋b 相交于A 、B 两点，若点A 的坐标是(2，4)，则点B 的坐标是 ．13．若二次函数y ＝(m ＋5)x 2＋2(m ＋1)x ＋m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是 ．14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝215则当y ＜5的取值范围是 16．如图，将抛物线C 1：y ＝21x 2＋2x 沿x 轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C 2，若抛物线C 1的顶点为A ，点P 是抛物线C 2上一点，则△POA 的面积的最小值为 ．410三、解答题19．解方程（1）x＋3－x(x＋3)＝0 （2）2(x2－2)＝7x20．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝α，点E在对角线BD上．将线段CE绕点C顺时针旋转α，得到CF，连接DF．（1）求证：BE＝DF；（2）连接AC，若EB＝EC，求证：AC⊥CF．22．根据下列条件，分别求抛物线对应的函数表达式：（1）抛物线的顶点坐标为(1，3)，且过点(2，1)；（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，且过点A(1，5)、B(－1，－3)；（3）当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，函数的最小值为4，且图像经过点(3，6)．23．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．（1）求抛物线y＝x2－2x＋2与x轴的“和谐值”；（2）求抛物线y＝x2－2x＋2与直线y＝x－1的“和谐值”．（3）求抛物线y＝x2－2x＋2在抛物线y＝x2＋c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．24．已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．（1）该函数的图像与x轴公共点的个数是．A．0 B．1 C．2 D．1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图像上．（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．25．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．（1）求证：AE＝C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB＝2，求BF的长．②连结BC，求BC的最小值．1。

重难点专项突破：二次函数综合（5种题型）【题型细目表】 题型一：线段周长问题题型二：面积问题题型三：角度问题题型四：特殊三角形问题题型五：特殊四边形问题【考点剖析】题型一：线段周长问题一、解答题【答案】（1）()1,0B b +；（2）b =【分析】（1）根据A 、B 两点关于二次函数的对称轴对称，求得点B 的坐标；（2）根据A 的坐标，求出,b c 的关系式，根据平移求出B '的坐标，代入二次函数，求得b 值．【详解】解（1）∵2y x bx c =−++∴对称轴：直线22b b x a =−= ∴2122b AB b ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭∵A 点横坐标为－1∴()1,0B b +（2）把()1,0A −代入2y x bx c =−++ 得：10b c −−+=，即1c b =+∵平移线段CB ，使C 与D 重合点∴B 平移后得点31,12b B b ⎛⎫+−− ⎪⎝⎭ ∵点B 在抛物线上 ∴233111122b b b b b ⎛⎫⎛⎫−+++++=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b = ∵0b >∴b =【点睛】涉及到了点的平移变换和一元二次方程，熟练掌握二次函数的有关性质和点的平移规则是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+−经过点A （－1，0），B （5，0）．(1)求抛物线的表达式．(2)过点C （0，m ）作直线l x ∥轴交抛物线于点P ，Q （点P 在点Q 的左侧），若3QC PC =，求m 的值．【答案】(1)2312355y x x =−− (2)215． 【分析】（1）把点A （-1，0），B （5，0）代入抛物线表达式进行计算即可解答；（2）根据已知QC=3PC ，可设点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ），然后代入（1）中二次函数表达式即可解答．【详解】（1）把点A （-1，0），B （5，0）代入抛物线y=ax2+bx-3中可得：3025530a b a b −−⎧⎨+−⎩＝＝，解得：35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：2312355y x x =−−；（2）∵PQ ∥x 轴，QC=3PC ，∴设点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ），把点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ）代入2312355y x x =−−中可得：223123552736355n n m n n m ⎧+−=⎪⎪⎨⎪−−=⎪⎩，解得：2215n m =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴m 的值为215．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．(1)求抛物线1P 的对称轴和点(2)求线段AB 和CD 的长度．【答案】(1)对称轴=1x −；点A 的横坐标是-3(2)7AB =；7CD =【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A ，E 关于对称轴x=-1对称和点E 的横坐标直接求出点A 的横坐标；（2）求出P2的对称轴，再求出点B 的坐标，从而求得AB 的长，把1x =分别代入两个函数表达式，求得7m n −=−，从而求得CD 的长．【详解】（1）抛物线1P 的对称轴12b x a =−=−∵点A 与点E 关于直线=1x −对称，且点E 的横坐标是1∴点A 的横坐标是3−（2）抛物线2P 的对称轴522b x a =−= ∵点B 与点E 关于直线52x =对称，且点E 的横坐标是1 ∴点B 的横坐标是4∴()437AB =−−=把1x =分别代入两个函数表达式，得1215m n ++=−+即7m n −=−由题意，当0x =时，D y n =，C y m =．∴7CD n m =−=【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A 与点E 关于对称轴x=-1对称，点B 与点E 关于对称轴52x =对称． 4．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数l 1：y ＝x 2+6x +5k 和l 2：y ＝kx 2+6kx +5k ，其中k ≠0且k ≠1．(1)分别直接写出关于二次函数l 1和l 2的对称轴及与y 轴的交点坐标；(2)若两条抛物线l 1和l 2相交于点E ，F ，当k 的值发生变化时，判断线段EF 的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在（2）中，若二次函数l 1的顶点为M ，二次函数l 2的顶点为N ；①当k 为何值时，点M 与点N 关于直线EF 对称？②是否存在实数k ，使得MN ＝2EF ？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)l1的对称轴为x ＝﹣3，和y 轴的交点坐标为(0，5k)；l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标(0，5k)(2)不发生变化，见解析(3)①k 为﹣1；②73或﹣13【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x ＝﹣2ba ＝﹣621⨯＝﹣3，令x ＝0，则y ＝5k ，故该抛物线和y 轴的交点坐标为（0，5k ）；同理可得l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标（0，5k ）；（2）可令y1＝y2，求出点E 、F 的横坐标，从而得到点E 、F 的坐标，进行得到EF 的长，就可解决问题；（3）易得点M 、N 的坐标及直线EF 的关系式，然后根据条件建立关于k 的方程，就可解决问题．（1）解：二次函数l1的对称轴为x ＝﹣2ba ＝﹣621⨯＝﹣3，令x ＝0，则y ＝5k ，故该抛物线和y 轴的交点坐标为（0，5k ）；同理可得：l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标（0，5k ）；（2）解：线段EF 的长度不发生变化，理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k ＝kx2+6kx+5k ，整理得：（k ﹣1）（x2+6x ）＝0．∵k≠1，∴x2+6x ＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨设点E 在点F 的左边，则点E 的坐标为（﹣6，5k ），点F 的坐标为（0，5k ），∴EF ＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴线段EF 的长度不发生变化；（3）解：①由y1＝x2+6x+5k ＝（x+3）2+5k ﹣9得M （﹣3，5k ﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k ＝k （x+3）2﹣4k 得N （﹣3，﹣4k ）．∵直线EF 的关系式为y ＝5k ，且点M 与N 关于直线EF 对称，∴﹣4k ﹣5k ＝5k ﹣（5k ﹣9），解得：k ＝﹣1，∴当k 为﹣1时，点M 与N 关于直线EF 对称；②∵MN ＝|（5k ﹣9）﹣（﹣4k ）|＝|9k ﹣9|，MN ＝2EF ＝12，∴|9k ﹣9|＝12，解得k1＝73，k2＝﹣13，∴实数k 为73或﹣13．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值． (1)求抛物线的解析式及顶点(2)判断ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点【答案】(1)抛物线的解析式为：213222y x x =−−；325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (2)ACB △是直角三角形(3)35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，ACM △的最小周长为：(4)存在，()2,3P −【分析】（1）根据点()1,0A −在抛物线2122y x bx =+−上，解出b ，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点D 的坐标；（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点B 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；（3）当点M 在BC 与对称轴的交点上，根据点A ，点B 是对称点，连接AM ，则AM BM =且A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，设BC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，求出BC 的解析式，则得到点M 的坐标，即可；（4）以BC 为底，则12CPB S BC h =，当点P 到BC 的距离最远时，CPB △的面积最大如图所示，作直线l BC ∥,当直线l 与抛物线132222y x x =−−仅有一个交点时，h 最大，交点即为点P ．【详解】（1）∵点()1,0A −在抛物线2122y x bx =+−上， ∴1022b =−−， ∴32b =−， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =−−； ∵顶点坐标公式为：42,24bac b a a −⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭．∴抛物线的解析式为：2122y x =−；325,28D⎛⎫− ⎪⎝⎭．（2）∵抛物线213222y x x =−−与y 轴交于点C ，∴0x =，=2y −，∴2OC =， ∵抛物线213222y x x =−−与x 轴交于点A ，点B ， ∴2130222x x =−−，∴=1x −，4x =，∴点()4,0B ，∴1OA =，4OB =，5AB =，∵2225AC OA OC =+=；222222420BC OC OB =+=+=；225AB =，∴222AC BC AB +=，∴ABC 是直角三角形．（3）∵点A ，点B 是对称点，点M 在BC 与对称轴的交点上，∴AM BM =此时A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，ACM C AC BC =+=设BC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，∴042k b b =+⎧⎨−=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩， ∴122y x =− 当32x =时，1352224y =⨯−=−， ∴点35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭；∴点M 的坐标为35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，ACM △的最小周长为：（4）存在，理由如下：∵以BC 为底， ∴12CPB S BC h =⨯，当点P 到BC 的距离最远时，CPB △的面积最大，作直线l BC ∥，且与213222y x x =−−仅有一个交点，设直线l 的解析式为y kx b =+，∵l BC ∥，∴12k =，即12y x b =+，∵直线l 与213222y x x =−−仅有一个交点， ∴21312222x x x b −−=+仅有一个实数根， ∴()144202b −⨯⨯−−=，解得4b =−，∴直线l 的解析式为：1y x 42=−， 由214213222y x y x x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−−⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=−⎩， ∴点()2,3P −．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离．【答案】(1)证明见详解；（2）交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）；（3）证明见详解【分析】（1）先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；（2）联立二次函数的解析式与一次函数的解析式，求出方程组的解即可；（3）表示出MN 的长度再利用函数最值求出范围即可得出结论【详解】解：（1）证明：二次函数2221(1)1y ax ax a a x =++−=+−， 顶点坐标为()1,1−−，把()1,1−−代入，1y ax a =+−中左边=-1，右边=-1∴左边=右边，∴二次函数图象的顶点必在一次函数1y ax a =+−的图象上；（2）联立解析式得：2211y ax ax a y ax a ⎧=++−⎨=+−⎩，解得x=0 或x=-1当x=0时，y=a-1 坐标为（0，a-1）当x=-1时，y=-1坐标为（-1，-1）∴交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）（3）证明：由题意可知2(,21)M m am am a ++−，(,1)N m am a +−由（2）可知，当a ＞0时，-1＜x ＜0有221ax ax a ++−＜1ax a +−∴221(21)MN am a am am a am am =+−−++−−−= =21()24a a m −++ 当10m −≤≤时，04a MN ≤≤∵02a <≤ ∴102MN ≤≤ 【点睛】二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与一次函数交点确定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B −．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MNy 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1−，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5−−；（2）①(2,3)−；②1或．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B −的坐标分别代入2y x bx c =++，得5,2550.c b c =−⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =−⎧⎨=−⎩,b c ∴的值分别为4,5−−．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B −的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =−⎧⎨+=⎩，解得1,5.k n =⎧⎨=−⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =−．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =−=−．∴点M 的坐标是(2,3)−．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =−+−， //MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m −．∵点P 的横坐标为1,−∴点P 的坐标是()21,6m m −−，设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =−轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m −−．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤52(1)62PQ m m =−−−=−，()22396MN m m =−−−=−，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =−+=−10PE MN +=Q ，∴26610m m −+−=，解得12m =−（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m ≤时，26,6PE m MN m =−=−，10PE MN +=Q ，26610m m ∴−+−=，解得1m =（舍去），2m =（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==−，10PE MN +=Q ，2610m m ∴+−=，解得1m =（舍去），2m =．综上所述，m 的值是1或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线2y x bx c =−++经过()()1,0,3,0A B −两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得BCP 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为OC 的中点，若有一动点P 自点M 处出发，沿直线运动至x 轴上的某点(设为点E )，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点F )，最后又沿直线运动至点C ，则点P 运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)【答案】（1）223y x x =−++；（2）存在，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，得到PH=CH ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a =−++−，求出a 即可；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，求出OB=OR=3，PG=RG ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a −=−−−，求出a 即可；（3）做M 点关于x 轴的对称点M '，做C 点关于对称轴的对称点C '，连接M 'C 交x 轴于E 点，交对称轴于F ，此时点P 运动的总路程最短，由勾股定理求出M C ''=即可求出点P 运动的路径得到答案．【详解】解：（1）将()()1,0,3,0A B −代入2y x bx c =−++，得10930b c b c −−+=⎧⎨−++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴该抛物线的函数表达式是223y x x =−++；（2）存在．①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵OB=OC ，∠BOC=90°，∴△BOC 为等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC 为等腰直角三角形，即PH=CH ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a =−++−，解得121,0a a ==（舍去），此时2234a a −++=，∴P （1,4）；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ， ∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG 为等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a −=−−−，解得122,3a a =−=（舍去），此时2235a a −++=−，∴P （-2，-5）；综上，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）如图3，做M 点关于x 轴的对称点M '，做C 点关于对称轴的对称点C '，连接M 'C 交x 轴于E 点，交对称轴于F∴,ME M E CF C F ='='∵ME EF CF M EF C F M C ++='E++'=''此时点P 运动的总路程最短∵点M 为OC 的中点，C （0，3）∴3(0,)2M ∴3(0,)2M '− ∵2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵C （0,3）∴(2,3)C '9 22MC CC ='=∴∴M C ''===， ∴点P运动的路径，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．题型二：面积问题一、解答题1．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B −，与y 轴交于点C ．【答案】(1)2222y x x =−++(2)存在，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)【分析】（1）用待定系数法解答；（2）设D （x ，y ），根据题意及利用三角形面积列出方程，求出y 的值后代入抛物线的解析式即可解答（3）由勾股定理解得AC 的长，再根据勾股定理逆定理证明ABC 为直角三角形，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由平行线分线段成比例解得FM 的长，求得点F 的坐标，最后根据两点间的距离公式解答．【详解】（1）解：把点()()1040，，，A B −代入抛物线22y ax bx =++得2016420a b a b −+=⎧⎨++=⎩，1232a b ⎧=−⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ ∴213222y x x =−++（2）由题意可知(0,2),(1,0),(4,0)C A B −5,2AB OC ∴==1152522ABC S AB OC ∴=⋅=⨯⨯=23ABC ABD S S =△△ 315522ABD S ∴=⨯= 设D （x ，y ），11155222AB y y ∴⋅=⨯=3y ∴=当y=3时，由2132322x x −++=，解得：1x =或2x =此时点D 的坐标为（1，3）或（2，3）；当y=-3时，由2132322x x −++=−，解得：5x =或2x =−（舍去） 此时点D 的坐标为（5，-3）；综上所述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）1,2,4,5AO OC OB AB ====AC BC ∴===222AC BC AB ∴+=ABC ∴为直角三角形，即BC AC ⊥如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意得：45FBC ∠=︒CF BC ∴==OC FMAO AC OM CF ∴=1OM2OC AC OM FM AF ∴==2FM ∴6FM ∴=(2,6),(4,0)F B ∴BF ∴==【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、平行线分线段成比例、两点间的距离公式等，关键是利用面积关系求出点D 的坐标． (1)求抛物线的解析式；(2)当0<x <3时，直接写出y (3)点P 为抛物线上一点，若【答案】(1)2y x 2x 3=−++(2)04y <≤(3)(4,5)−P 或(2,5)P −−【分析】（1）将A 与B 的坐标代入抛物线的解析式即可求出b 与c 的值，（2）根据图象即可求出y 的取值范围，（3）设P （x ，y ），△PAB 的高为|y|，AB=4，由S △PAB=10列出方程即可求出y 的值，从而可求出P 的坐标．【详解】（1）解：将点A （﹣1，0），B （3，0）两点代入y ＝2x −+bx+c ∴0=1+0=9+3+b c b c −−−⎧⎨⎩，解得=2=3b c ⎧⎨⎩，∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=−++，2y x 2x 3=−++；（2）==−++−−+22y (x 1x 3)x 24，物线的对称轴为=1x ，开口向下，y 的最大值为4，如图，∴0＜x ＜3时，04y <≤；（3）设P （x ，y ），∴△PAB 的高为|y|，A （﹣1，0），B （3，0），4AB ∴=，14102ABP S y ∴=⨯⨯=△，解得5y =±，当=5y 时，2523x x =−++，此时方程无解，当5y =−时，−2523x x =−++，解得124,2x x ==−，(4,5)P ∴−或(2,5)P −−．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知拋物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A −，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，BC ，求ABC S ．(3)拋物线上是否存在一点E ，使得由．【答案】(1)223y x x =−++(2)6(3)()12，()1，()12−或()12−【分析】（1）把()1,0A −，()3,0B 两点坐标代入解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标，即可得到ABC S ， （3）根据23ABE ABC S S =△△求出2E y =，代入解析式即可求解．【详解】（1）解：把()1,0A −，()3,0B 两点代入()230y ax bx a =++≠中，得030933a b a b =−+⎧⎨=++⎩，解得12a b =−⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =−++；（2）解：当0x =时，3y =，即()0,3C ， ∴3OC =，∵()1,0A −，()3,0B ，∴1OA =，3OB =，∴4AB =，∴1143622ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯=△，即所求面积为6；（3）解：∵6ABC S =， ∴226433ABE ABC S S ==⨯=△△， ∵142ABE E S AB y =⋅⋅=△， ∴2E y =，把2y =代入抛物线表达式得：2223x x =−++，解得1x =把=2y −代入抛物线表达式得：2223x x −=−++，解得1x =综述所述，点E 的坐标为()12或()1或()12−或()12−．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用． ，求POA 的面积．【答案】(1)m=3，24y x x =−+ (2)0x <或3x >(3)3【分析】（1）由点A 在一次函数y x =上，可将点A 的坐标代入y x =即可求出m ，然后将求出的点A 坐标代入2y x bx =−+即可求出b 值；（2）观察图象找出二次函数图像在一次函数图像下方部分的自变量取值范围即可；（3）求出点P 的坐标及抛物线与x 轴的另一个交点坐标，先计算由点A 、点P 、点O ，及抛物线与x 轴的另一个交点所构成的四边形面积，然后减去由点A 、点O ，及抛物线与x 轴的另一个交点所构成的三角形面积即可．【详解】（1）解：因为点A 在一次函数y x =上，所以()3m ，满足y x =，即3x =时y m =，可得：3m =；将点A ()33，代入2y x bx =−+得：2333b =−+，解得4b =，故二次函数的表达式为：24y x x =−+， 综上所得，故答案为：m=3，24y x x =−+． （2）解：由图象可知，一次函数与二次函数交于()()0,03,3，两点，观察图象可以看出在0x <或3x >时，2y x bx =−+的图象在y x =图象的下方，所以当0x <或3x >时，2x bx x −+<，故答案为：0x <或3x >．（3）解：方法一：如图1所示，因为点P 为抛物线顶点，所以点P 坐标为：()24，，抛物线与x 轴的另一个交点为点()40B ，，点()33A ，， 则四边形APOB 的面积()11124431139222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ABO 的面积14362=⨯⨯=，∴POA 的面积=四边形APOB 的面积−ABO 的面积96=−3=，∴POA 的面积为3，故答案为：3．方法二：如图2所示，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交OA 于点D ，过点A 作AE PC ⊥，垂足为E ， 224(2)4y x x x =−+=−−+，∴顶点(2,4)P ，把2x =代入直线方程y x =中得：2y =，2()2D ∴,，422PD ∴=−=， POA 的面积OPD =的面积APD +的面积，111()222PD OC PD AE PD OC AE =⋅+⋅=+ 1232=⨯⨯3=.【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，结合图像求几何图形的面积及解对应的一元二次不等式，关键是解题过程要始终运用数形结合的思想方法．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A 、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b 、c 的值，将点A （－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为234m m −++，过点E 作x 轴的垂线l ，交x 轴于点G ，交AD于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T ，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据ΔΔΔAED AEH HED S S S =+，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过作FG ⊥y 轴交AS 于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，根据角平分线的性质可得：FM FN = ，即有11d FE FM FE FN =+−=+−，可知当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C （0，4），A （-1，0）在函数的图象上，∴410c b c =⎧⎨−−+=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =−++， ∵点A （－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =−+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为234m m −++，过点E 作x 轴的垂线l ，交x 轴于点G ，交AD于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T ，将1y x =+与2y 34x x =−++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4）， 所以ΔΔΔ1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT =+=⨯+⨯ ()12EH AG DT =+ ()2134142m m m =−++−−⨯ ()2218m =−−+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为8，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FG ⊥y 轴交AS 于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN = ，∴11d FE FM FE FN =+−=+−显然，当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+−最小，最小值为615d =−=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键． 6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y ＝2x 2﹣8x +6的图象与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求四边形ADBC 的面积．【答案】四边形ADBC 的面积为8．【分析】先把抛物线解析式化成顶点式，求出C 、D 的坐标，然后求出A 、B 的坐标，最后根据=ABC ABD ADBC S S S +△△四边形进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为()()22228624446222y x x x x x =−+=−+−+=−−，∴点C 的坐标为（0，6），点D 的坐标为（2，-2），令0y =，则22860x x −+=，∴2430x x −+=，解得1x =或3x =，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0），∴AB=2，∴=ABC ABD ADBC S S S +△△四边形()11=22C D AB y AB y ⋅+⋅−()11262222=⨯⨯+⨯⨯−8=．【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点坐标，四边形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．把AOB 的面积分成相等的两部分．个单位，使其顶点落在AOB 的内部（不包括边界）【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）①3y x =；m <<． 【分析】（1）将(2,3),(1,0)A B −代入2y x bx c =−++中，列方程组求解即可．（2）直线OP 把AOB 的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB 中点，求出中点坐标求解即可．（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与OP 平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.【详解】（1）将(2,3),(1,0)A B −代入2y x bx c =−++，得42310b c b c −++=⎧⎨−−+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩．（2）①取AB 的中点C ，∵(2,3),(1,0)A B − ∴13,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵P 是第一象限内抛物线上一点，且直线OP 把AOB 的面积分成相等的两部分．∴直线OP 必过AB 的中点C∴直线OP 的表达式为：3y x =②由（1）可得抛物线的一般式为：223y x x =−++，将一般式转化为顶点式如下：2223(1)4y x x x =−++=−−+∴顶点坐标为()1,4D设过抛物线的顶点(1,4)，且与直线OP 平行的直线解析式为：3'y x b =+将顶点()1,4D 代入3'y x b =+，得3'4b +=，解得'1b =∴31y x =+设AB y mx n =+，将(2,3)A ，(1,0)B −代入，得230m n m n +=⎧⎨−+=⎩， 解得11m n =⎧⎨=⎩∴1AB y x =+联立：311y x y x =+⎧⎨=+⎩ ，得：{01x y ==， 设直线31y x =+与直线AB 的交点坐标为点M ，与x 轴的交点坐标为N ，则()0,1M 1,03N ⎛⎫− ⎪⎝⎭ , 抛物线顶点落在AOB 的内部，即顶点在点M ，点N 之间，如图：∴DM ==DN ==m <<【点睛】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．【答案】（1）223y x x =+−；（2）存在，638；（3）点M 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出C 、D 的坐标，设点()2,23(31)H a a a a +−−<<−，即可得到OBH OCHOBHC S S S =+△△四边形21123||22OB a a OC a =⨯+−+⨯，由此求解即可；（3）先求出E 点坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，利用PC PE =求出P 点坐标，设设(,0)M d ，则()2,23G d d d +−，()22,23N d d −+−，利用FM MG =建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B − ∴10930b c b c ++=⎧⎨−+=⎩，∴23b c =⎧⎨=−⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+−；（2）当=1x −时，4y =−，所以点(1,4)D −−，当0x =时3y =−，，所以点(0,3)C − 设点()2,23(31)H a a a a +−−<<−所以OBH OCHOBHC S S S =+△△四边形21123||22OB a a OC a =⨯+−+⨯()2333222a a a =−−−2399222a a =−−+当322b a a =−=−时，638OBHC S =四边形． （3）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =+−；∴(0,3)C −，抛物线的顶点(1,4)D −−，∴(1,0)E −，设直线BD 的解析式为y mx n =+，∴304m n m n −+=⎧⎨−+=−⎩，∴26m n =−⎧⎨=−⎩∴直线BD 的解析式为26y x =−−，设点(,26)P m m −−， ∵(0,3)C −，(1,0)E −，根据勾股定理得，222(1)(26)PE m m =++−−，222(263)PC m m =+−−+，∵PC PE =，∴2222(1)(26)(263)m m m m ++−−=+−−+，∴2m =−，∴2(2)62y =−⨯−−=−，∴(2,2)P −−， 如图，作PF x ⊥轴于F ，∵(2,0)F −，设(,0)M d ，则()2,23G d d d +−，()22,23N d d −+−∴以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM MG =，∴2|2|23d d d +=+−∴d =或d =，∴点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，【答案】（1）（0，2），（4，0），抛物线的解析式是211242y x x =−++；（2）四边形ABCM 面积最大值为8，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）34m −≤≤−或32m −≤≤【分析】（1）对直线122y x =−+，分别令x=0，y=0求出相应的y ，x 的值即得点A 、C 的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B 的坐标；（2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设点M 的横坐标为m ，则MF 的长可用含m 的代数式表示，然后根据S 四边形ABCM=S △ABC+S △AMC 即可得出S 四边形ABCM 关于m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形ABCM 面积的最大值及点M 的坐标；（3）当m ＞0时，分旋转后点A '与点O '落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m 的代数式表示出点A '与点O '的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m 的值，进而可得m 的范围；当m ＜0时，用同样的方法可再求出m 的一个范围，从而可得结果．【详解】解：（1）对直线122y x =−+，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，∴点A 的坐标是（0，2），点C 的坐标是（4，0），把点A 、C 两点的坐标代入抛物线的解析式，得：2214404c b c =⎧⎪⎨−⨯++=⎪⎩，解得：122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x =−++， ∵抛物线的对称轴是直线1x =，C （4，0）， ∴点B 的坐标为（﹣2，0）；故答案为：A （0，2），C （4，0），抛物线的解析式是211242y x x =−++； （2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设M （m ，211m m 242−++），则F （m ，122m −+），∴221112424122m m m mMF m ⎛⎫⎛⎫=−−+=−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，∴S 四边形ABCM=S △ABC+S △AMC =1122BC AO MF OC⋅+⋅2111624224m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯−+⨯ ⎪⎝⎭21262m m =−++ ()21282m =−−+，∵0＜m ＜4，∴当m=2时，四边形ABCM 面积最大，最大值为8，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）若m ＞0，当旋转后点A '落在抛物线上时，如图2，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点A '的坐标是（m+2，m ），∴()()21122242m m m−++++=，解得：3m =−3m =−；当旋转后点O '落在抛物线上时，如图3，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点O '的坐标是（m ，m ），∴211242m m m−++=，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴当m ＞0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：32m −≤≤；若m ＜0，当旋转后点O '落在抛物线上时，如图4，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点O '的坐标是（m ，m ），∴211242m m m−++=，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；当旋转后点A '落在抛物线上时，如图5，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点A '的坐标是（m+2，m ），∴()()21122242m m m−++++=，解得： 3m =−3m =−；∴当m ＜0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：34m −≤≤−；综上，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：34m −≤≤−或32m −≤≤． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．【答案】（1）224y x x =−−+；（2）点M 的坐标为（2，-4）；（3）n 的值为9．【分析】（1）直接把点B （-3，1）代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由抛物线解析式为()2222y x kx k x x k=−+−=−+−，则当2x =时，4y =−，函数值与k 的取值无关，由此即可得到答案； （3）设直线BM 的解析式为1y k x b=+，直线BM 于y 轴的交点为E ，可求得直线BM 的解析式为2y x =−−，得到E 点坐标为（0，-2），从而求出15ABM S =V ；如图所示，在直线AB 上方作直线1l ∥AB ，且直线1l与抛物线只有一个交点1P ，对应的在直线AB 下方作直线2l ∥AB ，其中直线1l 与直线AB 的距离等于直线2l与直线AB 的距离，则123==ABP ABP ABP S S S △△△（等底等高），根据除去1P ，2P ，3P 这三个位置外，符合21=S nS 的P 点的个数为4个或2个；推出12ABP S nS =△，由此先求出直线AB 的解析式为4y x =+，则可设直线1l的解析式为2y x b =+，联立2224y x b y x x =+⎧⎨=−−+⎩得22340x x b +−+=，求得2254b =，从而求出点1P 的坐标为（32−，194），过点1P作x 轴的垂线交AB 于H ，根据111ABP P BH P AHS S S =+V V V ，求出1ABP S V 即可得到答案．【详解】解：（1）∵抛物线22y x kx k =−+−经过点B （-3，1），∴()21332k k=−−−−，∴2k =−，∴抛物线解析式为224y x x =−−+； （2）∵抛物线解析式为()2222y x kx k x x k=−+−=−+−，当2x =时，4y =−，函数值与k 的取值无关， ∴点M 的坐标为（2，-4）；（3）∵抛物线224y x x =−−+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，4）， 设直线BM 的解析式为1y k x b=+，直线BM 于y 轴的交点为E ，∴113124k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，∴112k b =−⎧⎨=−⎩，∴直线BM 的解析式为2y x =−−， ∴E 点坐标为（0，-2）， ∴()111522ABM ABE AME M B S S S AE x AE x =+=⋅+⋅−=V V V ；如图所示，在直线AB 上方作直线1l ∥AB ，且直线1l 与抛物线只有一个交点1P，对应的在直线AB 下方作直线2l ∥AB ，其中直线1l与直线AB 的距离等于直线2l 与直线AB 的距离， ∴123==ABP ABP ABP S S S △△△（等底等高），∵除去1P ，2P ，3P 这三个位置外，符合21=S nS 的P 点的个数为4个或2个；∴12ABP S nS =△，设直线AB 的解析式为21y k x b =+，∴211314k b b −+=⎧⎨=⎩，∴2114k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为4y x =+， ∴可设直线1l 的解析式为2y x b =+，联立2224y x b y x x =+⎧⎨=−−+⎩得22340x x b +−+=， ∴()22344b ∆=+−=0 ，∴2254b =，∴29304x x ++=，解得32x =−，∴点1P 的坐标为（32−，194），过点1P作x 轴的垂线交AB 于H ， ∴点H 的横坐标为32−，∴点H 的纵坐标为52，∴194PH =，∴111ABP P BH P AHS S S =+V V V ()()111122H B A H PH x x PH x x =⋅−+⋅−()112A B PH x x =⋅−278=，∴27158n =，∴409n =．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．【答案】（1）A 点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）4；（3）（4，﹣8）．【分析】（1）在y ＝﹣x2+2x 中，令y=0，求得x 的值，从而确定A 点坐标，利用对称轴公式2bx a =−求得抛物线对称轴；（2）分别求得B 点和C 点坐标，求得直线OD 的解析式，然后通过求解△OBD 的面积求得平行四边形的面积；（3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B ，点D 及点C 的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解．【详解】解：（1）在y ＝﹣x2+2x 中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2， ∵抛物线y ＝﹣x2+2x 与x 轴正半轴交于点A ， ∴A 点坐标为（2，0），抛物线y ＝﹣x2+2x 的对称轴为直线()221x =−⨯−=1，即A 点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1； （2）设OD 与抛物线对称轴交于点E ，连接BD ，∵点B B 的纵坐标是﹣3， ∴B 点坐标为（1，-3），∵点D 在抛物线上，且点D 的横坐标是52，∴点D 的纵坐标为255222⎛⎫−+⨯ ⎪⎝⎭=54−， ∴D 点坐标为55,24⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线OD 的解析式为OD y kx=，将D 点坐标为55,24⎛⎫− ⎪⎝⎭代入，可得5524k =−，解得：12k =−， ∴直线OD 的解析式为12OD y x=−，当x=1时，12y =−，∴E 点坐标为11,2⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴1522BOD S BE =⨯△=()51342⎡⎤⨯−−−⎢⎥⎣⎦=258， ∴S ▱OBCD ＝2524BOD S =△， 故答案为：254；（3）设OD 与抛物线对称轴交于点E ，连接BD ，设B 点坐标为（1，-b ），D a ，﹣a2+2a ），∵点D 在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C 在抛物线上，四边形OBCD 为平行四边形，∴OB=CD ，OB ∥CD ，∵将点O 向右平移1个单位长度，再向下平移b 个单位长度后得到点B ，∴将点D 向右平移1个单位长度，再向下平移b 个单位长度后可得到点C ，∴C 点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b ），将C 点坐标代入到y ＝﹣x2+2x 中，可得：﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b ，整理，可得：b=2a-1，设直线OD 的解析式为1OD y k x =，将D 点坐标（a ，﹣a2+2a ），代入，可得22ka a a =−+，解得：2k a =−+，∴直线OD 的解析式为()2OD y a x =−+，当x=1时，2y a =−+，。

九年级培优二次函数辅导专题训练含答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为P （2，9），与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C （0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A ，B 的坐标；（Ⅱ）设点Q 在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q 的坐标；（Ⅲ）若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，使得以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，且AC 为其一边，求点M ，N 的坐标．【答案】（1）y=﹣x 2+4x+5，A （﹣1，0），B （5，0）；（2）Q 553）M （1，8），N （2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，K N′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.3．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m .(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴， 解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+∴当0y =时，得15=x ，21x =-∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b-=-，∴12b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k ＝1+52． 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14； （2）∵x 1，x 2是方程两根，∴x 1+x 2＝2k +1x 1x 2＝k 2，又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-，即22111k k k +=+ ，解得：121122k k +==， 又∵k ≥﹣14 ，即：k ＝12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a - ，两根之积等于c a”是解题的关键.6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.7．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．∴设其解析式为y＝kx+b，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得k ＝﹣12，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3，答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x ≤8．【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．8．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：3300m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩； （2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105， ∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000， ∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65， ∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.10．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132+，0）、N1131）；M2（1132+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=3B′D=3m ，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴k=1；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ， ∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ， ∴∠MOQ=∠HQN ， ∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=1132±当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132+，0）， ∴点N 坐标为（113++131-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM ≌△PNH ，∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1， 解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113+0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.11．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72，∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）．设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y=mx+n，得：17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154mn-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ的表达式为y=-x+54．如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．12．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．13．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线2=-++过A、B两点，且与x轴交于另一点C．y x bx c（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG 的最小值为19P 的坐标（﹣919123）． 【解析】试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM AC=NQQC 求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（23-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30k b k b -+=+=，解得：35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或125{5125x y =-=，∴点M 坐标（125-，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，∵AQ=AG，∠QAR=∠GAP，AR=AP，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，33），在RT△QCN中，QN=33，CN=7，∠QNC=90°，∴QC=22QN NC+=219，∵sin∠ACM=AMAC=NQQC，∴AM=65719，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=AMAP，∴AP=1219，PM=RM=61919，∴MC=22AC AM-=1419，∴PC=CM﹣PM=819，∵PK CP CKQN CQ CN==，∴CK=2819，PK=123，∴OK=CK﹣CO=919，∴点P坐标（﹣919，12319），∴PA+PC+PG的最小值为219，此时点P的坐标（﹣919，12319）．考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．14．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析.【解析】【分析】（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．【详解】（1）设AD=x 米，则AB=1002x -米 依题意得，(100)2x x -＝450 解得x 1=10，x 2=90∵a=20，且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米．（2）设AD=x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=2(100)1(50)125022x x x ---+＝，0＜x ＜a ∵0＜a ＜50∴x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大 当x=a 时，S 最大=50a-12a 2②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x ＝+---+++，a≤x ＜50+2a当a ＜25+4a ＜50时，即0＜a ＜1003时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=21000020016a a ++， 当25+4a ≤a ，即1003≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -， 综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2(3100)16a -＞0 21000020016a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米 当1003≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜1003时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米； 当1003≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502a a -）平方米． 【点睛】 本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．15．一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】（1）点C（2，）；（2）①y＝x2－x；②y＝－x2＋2x＋．【解析】试题分析：（1）求得二次函数y＝ax2－4ax＋c对称轴为直线x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得点C的坐标；（2）①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m），根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A 点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x ＝2．当x＝2时，y＝x＝，∴C（2，）．（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－），∴CD＝3.设A（m，m）（m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.∴y＝x2－x.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，AC＝＝（2－m），∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．∴A（－2，－），CD＝5.若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－），由A（－2，－）、D（2，－）得解得∴y＝x2－x－3.若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（－2，－）、D（2，）得解得∴y＝－x2＋2x＋.考点：二次函数与一次函数的综合题.。

中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。

初三培优二次函数辅导专题训练及答案解析一、二次函数1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

2012—2013学年九年级数学（下）周末辅导资料（06）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分:一、选择题：1、（2012湖南郴州）抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是（ ）A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）2、（2012黑龙江牡丹江）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是（ ）A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 33、（2012青海西宁）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是( )A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于04、（2012宜昌）已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限5、（2012山东枣庄）抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为（ ）A ．3B ．9C ．15D ．15-6、（2012甘肃白银）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是（ ）A ．x 1<-B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x 1<-或x ＞3 7、（2012四川巴中） 对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是（ ）A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－1 8、（2012山东泰安）如图，设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >>二、填空题：9、（2012广东深圳）二次函数622+-=x xy 的最小值是 ．10、（2012黑龙江牡丹江）若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ． 11、（2012湖北襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x ﹣1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来． 12、（2012辽宁营口）二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．三、解答题：13、（2012黑龙江牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式；(2)若与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC 与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

浙教版九年级数学周末辅导讲义二次函数综合（讲解，难度较大）一、二次函数的解析式（三种形式）1．已知二次函数23y x bx c =++的图象与x 轴只有一个交点，且经过点(,)A m n 和(6,)B m n +两点，则n 的值为 ．设为顶点式2()y a x m k =-+，可得0k =，代入两点坐标即得；换言之，在一般情况下成立的结论，在特殊情况下一定成立，可用特殊值法得到答案（正确率高）2．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点在第一象限，且经过点(0,1)A 和点(1,0)B -,则设S a b c =++，则S 的取值范围是 ．用几何画析画图，可直观得到答案，或用直线代替抛物线的特殊情况，用不等式求解3．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．观察法得到结果4．在关于x ，y 的二元一次方程组221x y a x y +=⎧⎨-=⎩中， （1）若3a =，求方程组的解；（2）设(3)S a x y =+，当a 为何值时，S 有最小值，并求出最小值．换一种说法，用二次函数的定义及性质解题5．二次函数24y x mx =++的图象与坐标轴交于A,B 两点，且AB =4，求m 的值． 人教版教材中要求有韦达定理，但不用定理的内容，直接用交点式也可求出结果6．已知：二次函数22y x ax a =++-．（1）说明抛物线22y x ax a =++-与x 轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a 的表达式）；（3）a 取何值时，两点间最小．7. 当且仅当a x b <<时，抛物线278y x x =+-在直线26y x =+的上方，求,a b 的值．8．将抛物线2325y x x =-+作如下变换，并求出函数解析式.（1）关于y 轴对称；（2）关于x 轴对称；（3）关于y 轴对称．9．将下列抛物线2325y x x =--+作下列平移：(1)向上平移3个单位；（2）向左平移1个单位；（3）向右平移2个单位．10．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由综合题，平行四边形存在分类11．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．综合题，平行四边形存在分类，在平行四边形中，满足什么条件时是菱形，是正方形？A。

中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，如图，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=6，OB=43点P为x轴下方的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；(3)若点P到AB和AC两边的距离相等，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点D(−52,34)，且顶点P的坐标为(−1,3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方．连接MC，MD求△MCD面积的最大值；(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知点A(3,3)、B(6,0),AC⊥x轴，垂足为点C，直线y=12x与抛物线y=−14x2+2x相交于点O、D过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线PE交射线OA于点E．(1)求点D的坐标；(2)设点P的横坐标为a a≠3求以点A、B、C、E为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式；(3)设直线PE交射线OD于点F交抛物线于点Q以FQ为一边在FQ的右边作矩形FQMN若FN=32且矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形求出a的取值范围．4．在平面直角坐标系中设直线l的解析式为：y=kx+m(k、m为常数且．k≠0) 当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时我们称直线l与这条曲线“相切” 这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l：y=−x+6与双曲线y=9x的切点坐标；(2)已知一次函数y1=2x二次函数y2=x2+1是否存在二次函数y3=ax2+bx+c其图象经过点(−3，2)使得直线y1=2x与y2=x2+1，y3=ax2+bx+c都相切于同一点? 若存在求出y3的解析式；若不存在请说明理由；(3)已知直线l1:y=k1x+m1(k1≠0)直线l2:y2=k2x+m2(k2≠0)是抛物线y=−x2+2x+2的两条切线当l1与l2的交点P的纵坐标为4时试判断k1⋅k2是否为定值并说明理由．5．如图在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=512x2−136x−2与x轴的交点分别为点A B与y轴的交点为点C．(1)求直线BC解析式；(2)点P为第四象限的抛物线上一点连接PB、PC当PB=PC时求点P的坐标；(3)在（2）的条件下连接OP点M在y轴的负半轴上连接MP∠OMP=∠CBP N为OM的中点点Q 在OP上连接MQ、NQ，MQ交抛物线于点R当MQ=2NQ时求R点的横坐标．6．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若抛物线与x轴交于B(4，0)C(−2，0)两点与y轴交于点A(0，−2)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1 若点E是直线CA下方的抛物线上一点过点E作EF∥AB交x轴于点F且EF=√5求点E的横坐标；(3)如图2 点M在点B的正下方连接CM交抛物线于点N直线BN交对称轴于点P作PQ∥CM交射线BM于点Q求BQ的大小．7．如图在平面直角坐标系xOy中已知直线y=−x−3与x轴交于点A与y轴交于点C过A C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点当△MAC的面积最大时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的点过点P作l的垂线垂足为D E是l上的点．要使得以P D E为顶点的三角形与△BOC全等请求出点P点E的坐标；8．如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A B两点与y轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A(−1,0),C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P使得|PB−PC|的值最大求此点P的坐标；(3)点M为该抛物线的顶点直线MD⊥x轴于点D在直线MD上是否存在点N使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在求出点N的坐标；若不存在请说明理由；9．在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=ax2+x+6交x轴负半轴于A交正半轴于B交y 轴于C OB=OC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1 点P是第三象限抛物线上一点连接BP交y轴于点D设点P横坐标为t线段CD长为d求d与t的函数关系；(3)如图2 在（2）的条件下过点C作BP的垂线交x轴于点F垂足为点G E为CF上一点连接BE 若BE=BD∠BEG=2∠PBA求点P坐标．10．如图1 在平面直角坐标系中O为坐标原点AD为等腰直角△ABC底边BC上的高抛物线y=a(x−2)2+4的顶点为点A且经过B C两点B C两点在x轴上．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2 点E为抛物线上位于直线AC上方的一点过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标；(3)如图2 点M(5，b)是抛物线上的一点点P为对称轴上一动点在(2)的条件下当线段EN的长度最大时求PE+PM的最小值．11．抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C．(1)求抛物线的对称轴；(2)求证：不论a取何值函数图象必过两个定点；(3)如图若OB=OC点P是直线BC（不与B C重合）上一动点过点P作x轴的垂线交抛物线于M点连接CM将△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上求此时点P的坐标．12．已知抛物线y=a(x+6)(x−2)经过点(0，2)交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧）抛物线的顶点为D对称轴DE交x轴于点E连接EC．(1)直接写出a的值点A的坐标；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点当△MCE是等腰三角形时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点连接PC、PE将△PCE沿CE所在的直线对折点P落在坐标平面内的点P′处．直接写出点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．13．综合与探究如图1 抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−4,0)B(3,0)两点与y轴交于点C连接AC BC现将△ABC沿x轴向右平移至△A′B′C′线段A′C′与线段BC交于点E与抛物线交于点F．(1)求出抛物线和直线BC的函数表达式；(2)当线段FE的长度最大时求此时点F的坐标；(3)如图2 连接OC′将△OA′C′沿着A′C′翻折得到△O′A′C′是否存在某一时刻使得点O′恰好在抛物线上若存在请直接写出此时平移的距离；若不存在请说明理由．14．如图1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a≠0）的图像与x轴交于A B两点（A 点在B点左侧）与y轴交于点C(0,3)且其函数表达式可以变形为y=a(x+1)(x−3)的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点设其横坐标为m．(1)求出点A点B的坐标和该二次函数的表达式；(2)连接BC过点P作PQ⊥x轴于点Q交BC于点N直线AP交y轴于点M连接MN．①求出直线AP的函数表达式（用含有m的代数式表示）；②设四边形MNQO的面积为S求S关于m的函数关系式并求S的最大值；(3)如图2 若直线l为该二次函数图像的对称轴交x轴于点H直线AP BP分别交直线l于点E F．在点P运动的过程中HF+HE是否为定值？若是请求出该定值；若不是请说明理由．15．在平面直角坐标系中关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a<0）与x轴交于两个不同的点A(x1,0)B(x2,0)(x1<x2)与y轴交于点C抛物线的顶点为M．(1)如图1 已知a=−1b=2c=3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②点E是x轴正半轴上的一个动点过点E作直线PE⊥x轴交抛物线于点P交直线BC于点F．当点E在线EF求此时点P的坐标．段OB上运动时（不与点O B重合）恰有线段PF=12(2)如图2 当c=0时点P是抛物线对称轴左侧图像上任意一点过点P作PE⊥x轴于点E连接MP交y轴于点Q连接EQ MB．则EQ MB有怎样的位置关系?说明理由．16．如图抛物线的顶点坐标为(2,−3)与y轴交于点C(0,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A B的坐标及线段AB的长；(3)求△ABC的外接圆⊙D的半径；(4)若（3）中的⊙D交抛物线的对称轴于M N两点（点M在点N的上方）在对称轴右边的抛物线上有一动点P连接PM PN PC线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN（指圆弧MCN和线段PM PN组成的图形）分成两部分当这两部分面积之差等于4时求出点P的坐标．17．如图在平面直角坐标系中抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于点A点B与y轴交于点C．(1)如图1 连接AC直接写出sin∠ACO的值；(2)如图2 连接BC．点G(1,a)在抛物线上连接CG、BG若异于点G的点H也在抛物线上且S△BCH= S△BCG求点H的坐标；(3)如图3 若直线y=mx+n与抛物线交于点P Q连接AP交y轴正半轴于点M连接AQ交y轴负半轴于点N若OM⋅ON=32求4m+n的值．18．如图1 已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3)其顶点为D(1,2)．(1)求二次函数的表达式；(2)直线CD与x轴交于M现将线段CM上下移动若线段CM与二次函数的图象有交点求CM向上和向下平移的最大距离；(3)若将（1）中二次函数图象平移使其顶点与原点重合然后将其图象绕O点顺时针旋转90°得到抛物线G如图2所示直线y=−x+2与G交于A B两点P为G上位于直线AB左侧一点求ΔABP面积最大值及此时点P的坐标．19．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)与x轴交于点A(−4,0)B 两点与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点过点P作PD∥y轴交AC于点D求PD的最大值及此时点P的坐标；个单位长度得到新抛物线y′新抛物线y′的对称轴交x轴于点M点N是直(3)将该抛物线沿x轴向右平移52线AC上一点在平面内确定一点K使得以C，M，N，K为顶点的四边形是以CN为边的菱形写出所有符合条件的点K的坐标并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．20．如图抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)B两点与y轴交于点C(0,3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1）点P是线段BC上的一动点过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q连接CQ若CQ平分∠OCB求点P的坐标；(3)如图（2）过A B C三点作⊙I直线y=t(t>3)交⊙I于点M N交抛物线于点E F．若EM+FN=MN求t的值参考答案：1．(1)y =x 2+143x −8 (2)51(3)P (56,−4112)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 先求出直线AC 的解析式 设P (t,t 2+143t −8) 则D (t,−43t −8) 则PD =−t 2−6t 求出S △APC 的最大值 再由S 四边形AOCP =S △ACP +S △AOC 可知当S △APC最大时 S 四边形AOCP 最大 由此即可得到答案；（3）如图所示 取点E 使其坐标为(4，0) 连接AC 、CE 取CE 中点F 连接AF 先证明AE =AC 进而得到AF 平分∠CAE 则直线AF 上的点到AC AB 的距离相等 由此即可知点P 即为直线AF 与抛物线的交点 据此求解即可．【详解】（1）解：∵OA =6∵A (−6,0)∵可设抛物线解析式为y =a (x +6)(x −43)又∵当x =0时 y =−8 即C (0,−8)∵6×(−43)a =−8 ∵a =1∵抛物线解析式为y =(x +6)(x −43)=x 2+143x −8；（2）解：如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 设直线AC 的解析式为y =kx +b 1∵{−6k +b 1=0b 1=−8∵{k =−43b 1=−8∵直线AC 的解析式为y =−43x −8设P(t,t2+143t−8)则D(t,−43t−8)∵PD=−43t−8−(t2+143t−8)=−t2−6t∵S△APC=S△APD+S△CPD=12PD⋅(x P−x A)+12PD⋅(x C−x P)=12PD⋅(x C−x A)=3PD=−3(t+3)2+27∵−3<0∵当t=−3时S△APC最大最大为27∵S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC∵S四边形AOCP=S△ACP+24∵当S△APC最大时S四边形AOCP最大最大为27+24=51；（3）解：如图所示取点E使其坐标为(4，0)连接AC、CE取CE中点F连接AF∵A(−6,0)C(0,−8)∠AOC=90°∵AE=10，AC=√OA2+OC2=10∵AC=AE∵F是CE的中点∵AF平分∠CAE∵直线AF上的点到AC AB的距离相等设直线AF的解析式为y=k1x+b2∵{−6k1+b2=0 2k1+b2=−4∵{k1=−12 b2=−3∵直线AF的解析式为y=−12x−3联立{y=−12x−3y=x2+14x3−8得6x2+31x−30=0解得{x=56y=−4112或{x=−6y=0（舍去）∵点P的坐标为(56,−4112)．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合一次函数与几何综合角平分线的性质等腰三角形的性质与判定勾股定理等等正确作出辅助线是解题的关键．2．(1)y=−x2−2x+2(2)12564(3)(−2,2)或(−1,3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△MCD面积=S△MHD+S△MHC即可求解；（3）①当点Q在点C的下方时证明△QNF≌△CQH(AAS)得到CG=2−t=QN QH=1=FN则点F(t−3,t+1)求出直线PF的表达式进而求解；②当点Q在点C的上方时同理可得：点F′的坐标为(t−3,t−1)进而求解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−ℎ)2+k则y=a(x+1)2+3将点C的坐标代入上式并得：34=a(−52+1)2+3解得：a=−1故抛物线的表达式为：y =−(x +1)2+3=−x 2−2x +2 即y =−x 2−2x +2；（2）解：由抛物线的表达式知 点C (0,2)如图1 过点M 作MH∥y 轴交CD 于点H设直线CD 的表达式为：y =sx +t则{34=−52s +t t =2解得{s =12t =2 故直线CD 的表达式为：y =12x +2 设点M(m,−m 2−2m +2) 点H(m,12m +2) 则△MCD 面积=S △MHD +S △MHC =12MH ×(x C −x D )=12×[(−m 2−2m +2)−(12m +2)]×52 =−54(m 2+52m) ∵ −54<0 故函数由最大值当m =−54时 △MCD 面积的最大值为12564；（3）设点Q(−1,t) 如图2①当点Q 在点C 的下方时过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点H 交过点F 与y 轴的平行线于点N∵∠FQN +∠QFN =90°∴∠QFF =∠CQH∵∠N =∠CHQ =90°∴△QNF ≌△CQH (AAS )∴CH =2−t =QN∴点F(t −3,t +1)设直线FP 的表达式为：y =px +q则{3=−p +q t +1=p(t −3)+q解得{p =1q =4 故直线PF 的表达式为：y =x +4②联立直线PE 与抛物线的：{y =x +4y =−x 2−2x +2解得：{x =−2y =2（不合题意的值已舍去） 即点E(−2,2)；②当点Q 在点C 的上方时同理可得：点F′的坐标为(t −3,t +1)由点P F ′的坐标得：直线PF ′的表达式为y =x +4 同情况①故点E(−2,2)；当点F 与点E 重合时 也符合题意综上 点E 的坐标为(−2,2)或(−1,3)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．3．(1)D(6,3)(2)S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)(3)a =3−√3或a =94或3≤a <4【分析】（1）联立两个函数解析式解方程组即可；（2）先求解直线OA 的解析式为y =x 可得点E(a,a) 再分两种情况讨论即可；（3）分情况讨论：①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ②如图 当AC 为矩形FQMN 的对称轴时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ③如图 当PQ 与AC 重合时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 ④如图 当点F 为直线OD 与AB 的交点时 可得当3≤a <4时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 从而可得答案．【详解】（1）解：联立y =12x 和y =−14x 2+2x 得{x =0,y =0 或{x =6y =3∵点D(6,3)．（2）设直线OA 的解析式为y =kx∵点A(3,3)∴3k =3 解得k =1∴直线OA 的解析式为y =x ．∵点P 的横坐标为a,PE ∥y 轴 且交射线OA 于点E∴点E(a,a)．当0<a <3时 如图S =S △OAB −S △OCE =12×6×3−12×3a =9−32a ． 当a >3时 如图S =S △OBE −S △OAC =12×6a −12×3×3=3a −92． 综上 S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)； （3）①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形∵FQ=FN∴−14a2+2a−12a=32解得a=3±√3其中a=3+√3不满足a<3∴a=3−√3．②如图当AC为矩形FQMN的对称轴时矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形此时∴32=2(3−a)解得a=94．③如图当PQ与AC重合时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形此时a=3．④如图当点F为直线OD与AB的交点时∵点A(3,3),B(6,0)∵AB所在的直线方程为y=−x+6联立y=−x+6和y=12x解得x=4．∴当3≤a<4时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形综上 a 的取值范围是a =3−√3或a =94或3≤a <4． 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象与性质 列二次函数关系式 矩形的性质 轴对称图形的性质 一元二次方程的解法 清晰的分类讨论 熟练的运用数形结合的方法解题是关键．4．(1)切点坐标为(3，3)(2)y 3=12x 2+x +12(3)k 1⋅k 2是定值【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于x 的一元二次方程 由相切的定义得出x 的值 解之可得；（2）联立{y =2x y =x 2+1可得切点为(1，2) 从而得出y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2) (1，2) 利用待定系数法得出y 3=ax 2+2ax +2−3a 联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x 得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 利用Δ=0得出a =12 b =1 c =12 即可得解；（3）由l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4 可令P(t ，4) 则直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4 联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 由直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线 可得Δ=k 12+(4t −4)k 1−4=0 同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0 从而得出k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根 最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．【详解】（1）解：联立{y =−x +6y =9x得：x 2−6x +9=0 解得：x =3∴切点坐标为(3，3)；（2）解：∵直线y 1=2x 与二次函数y 2=x 2+1相切∴联立{y =2x y =x 2+1得：x 2−2x +1=0 解得：x =1∴切点为(1，2)∵ y 1=2x 与y 2=x 2+1，y 3=ax 2+bx +c 都相切于同一点∴ y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2)∴{a +b +c =29a −3b +c =2解得：{b =2a c =2−3a∴y 3=ax 2+2ax +2−3a联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 ∴Δ=(2a −2)2−4×a ×(2−3a )=4a 2−8a +4−8a +12a 2=16a 2−16a +4=(4a −2)2=0 解得：a =12 ∴b =2a =1∴ y 3的解析式为：y 3=12x 2+x +12； （3）解：k 1⋅k 2是定值理由如下：∵ l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4∴令P(t ，4)∴直线l 1:y =k 1x +m 1=k 1t +m 1=4 直线 l 2:y 2=k 2x +m 2=k 2t +m 2=4∴m 1=4−k 1t∴直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 ∵直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线∴Δ=(k 1−2)2−4×1×(2−k 1t )=k 12−4k 1+4−8+4k 1t =k 12+(4t −4)k 1−4=0同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0∴ k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根∴k 1⋅k 2=−4．【点睛】本题是二次函数综合题 考查了新定义 二次函数的性质 一元二次方程的根与系数的关系等知识 解题的关键是理解题意 学会构建方程组解决问题 属于中考压轴题．5．(1)y =13x −2(2)P (4,−4)(3)0或5−√2655【分析】（1）令抛物线y =0 x =0 求出点B C 的坐标 设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 即可求解；（2）由题意得△PBC 是等腰三角形 即点P 在过点B C 的BC 中点且垂直于直线BC 的直线上 求出点B C的中点坐标 设点P (a,512a 2−136a −2) 利用勾股定理即可求出a 的值 求出符合点点P 特征的点即可；（3）过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F 根据（2）的结论结合已知分别证明△PFO,△PBC,△OPM 是等腰直角三角形 利用等腰直角三角形的性质求出点M 的坐标 进而得到N 点的坐标 求出直线OP 的解析式 设点Q (b,−b ) 利用两点间距离公式结合MQ =2NQ 求出点Q 的坐标 再求出直线MQ 的解析式 联立抛物线即可求解．【详解】（1）解：在抛物线y =512x 2−136x −2中 令x =0 则y=−2∴C (0,−2)令y =0 则512x 2−136x −2=0 即5x 2−26x −24=0解得：x 1=6,x 2=−45 ∵点B 在x 轴的正半轴∴B (6,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 得{−2=b 0=6k +b解得：{b =−2k =13∴直线BC 的解析式为y =13x −2；（2）解：设点P (a,512a 2−136a −2) ∵ PB =PC ∴PB 2=PC 2 即(a −6)2+(512a 2−136a −2)2=a 2+(512a 2−136a −2+2)2整理得：a 2+2a −24=0解得：a =4或a =−6（舍去 不符合题意）当a =4时∴P (4,−4)；（3）解：如图 过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F由（2）知点P(4,−4)∴PF=OF=4∴△PFO是等腰直角三角形∴∠POF=∠POM=45°∵PC=√(4−0)2+[(−4)−(−2)]2=2√5,BC=√(0−6)2+(−2−0)2=2√10又PC2+PB2=BC2∴△PBC是等腰直角三角形∴∠BPC=90°,∠CBP=∠PCB=45°∵∠OMP=∠CBP∴∠OMP=45°∴△OPM是等腰直角三角形∴OP=MP∴OP=√42+(−4)2=4√2=MP∴OM=√OP2+MP2=8∵点M在y轴的负半轴上∴点M(0,−8)∵N为OM的中点∴N(0,−4)设直线OP的解析式为y=k′x(k′≠0)将P(4,−4)代入得−4=4k′解得k′=−1∴直线OP的解析式为y=−x设Q(b,−b)∵MQ=2NQ∴√b2+(−b+8)2=2√b2+(−b+4)2∴b=0或b=83当b=0时此时点Q与点O重合∴MQ与抛物线交点在y轴上∴点R的横坐标为0当b=83时设直线MQ的解析式为y=sx+t将点Q(83,−83)M(0,−8)代入得{−8=t−83=83s+t解得{s=2t=−8∵直线MQ的解析式为y=2x−8联立直线MQ与抛物线y=512x2−136x−2得{y=2x−8y=512x2−136x−2解得{x=5+√2655y=2√2655+2（舍去不符合题意）或{x=5−√2655y=2−2√2655∵此时MQ交抛物线于点R的横坐标为5−√2655综上点R的横坐标为0或5−√2655．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质一次函数解析式熟练掌握二次函数的图象及性质等腰直角三角形的判定及性质直角三角形的性质用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．6．(1)y=14x2−12x−2(2)点E的横坐标为1−√5(3)BQ=92【分析】（1）将B(4，0)C(−2，0)A(0，−2)代入抛物线解析式得到{16a+4b+c=04a−2b+c=0c=−2求出a、b、c的值即可得出答案；（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式为：y =12x −2 设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0) 从而求出直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2 进而得出F (2e +4−12e 2，0) 表示出EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2=√5 解方程即可得出答案；（3）设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 待定系数法求出直线CM 的解析式为：y =m6x +m3 联立{y =m6x +m 3y =14x 2−12x −2得出N (12+2m 3，m2+9m9) 再利用待定系数法求出直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183 从而得出P (1，−m−92) 利用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y =m 6x −4m+276从而得出Q (4，−92) 即可得解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于B(4，0) C(−2，0)两点 与y 轴交于点A(0，−2)∴{16a +4b +c =04a −2b +c =0c =−2解得：{a =14b =−12c =−2∴抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2； （2）解：设直线AB 的解析式为：y =k 1x +b 1 将A(0，−2) B(4，0)代入直线得：{0=4k 1+b 1b 1=−2解得：{k 1=12b 1=−2∴直线AB 的解析式为：y =12x −2 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0)∵EF ∥AB∴设直线EF 的解析式为：y =12x +b 2∴14e 2−12e −2=12e +b 2∴b 2=14e 2−e −2∴直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2令y =0 则12x +14e 2−e −2=0 解得：x =2e +4−12e 2∴F (2e +4−12e 2，0)∴EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√(e −2e −4+12e 2)2+(14e 2−12e −2)2=√(12e 2−e −4)2+(14e 2−12e −2)2=√[2(14e 2−12e −2)]2+(14e 2−12e −2)2=√4(14e 2−12e −2)2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2∵EF =√5∴√5(14e 2−12e −2)2=√5∴(14e 2−12e −2)2=1 ∴14e 2−12e −2=1或14e 2−12e −2=−1 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴14e 2−12e −2<0 ∴14e 2−12e −2=−1 ∴e 2−2e −4=0解得：e =1+√5或e =1−√5∵−2<e <0 ∴e =1−√5∴点E 的横坐标为1−√5； （3）解：∵点M 在点B 的正下方 ∴设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 设直线CM 的解析式为y =k 2x +b 2将C(−2，0) M(4，m)代入解析式得：{0=−2k 2+b 2m =4k 2+b 2解得：{k 2=m6b 2=m 3∴直线CM 的解析式为：y =m 6x +m3联立{y =m 6x +m 3y =14x 2−12x −2整理得：3x 2−(6+2m )x −(24+4m )=0∴(x +2)(3x −12−2m )=0解得：x 1=−2 ∴点N 的横坐标为12+2m 3纵坐标为y =12+2m36⋅m +m 3=12+2m 18⋅m +m 3=18m+2m 218=m 2+9m9∴N (12+2m 3，m 2+9m 9)设直线BN 的解析式为：y =k 3x +b 3 将B(4，0) N (12+2m 3，m 2+9m9)代入解析式得：{0=4k 3+b 3m 2+9m9=12+2m 3k 3+b 3解得：{k 3=m+96b 3=−2m+183∴直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183∵抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2 ∴对称轴为直线x =−−122×14=1∴点P 的横坐标为1 纵坐标为y =m+96×1−2m+183=−3m−276=−m−92∴P (1，−m −92) ∵PQ ∥CM∴设直线PQ 的解析式为y =m 6x +b 4∴−m −92=m6×1+b 4 解得：b 4=−4m−276∴直线PQ 的解析式为y =m6x −4m+276∵作PQ ∥CM 交射线BM 于点Q ∴点Q 的横坐标为4 纵坐标为y =m 6×4−4m+276=−92∴Q (4，−92)∴BQ =0−(−92)=92．【点睛】本题考查了二次函数综合题 待定系数法求二次函数解析式 一次函数解析式 二次函数综合—线段问题 勾股定理求两点之间的距离等知识点 熟练掌握以上知识点并灵活运用 采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．(1)y =x 2+2x −3 (2)M (−32,−154)(3)P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)【分析】（1）先求出A,C 的坐标 进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x 由S △AMC =12MF ×|x C −x A |即可求解；（3）抛物线对称轴为直线x=−1．∠PDE =∠BOC OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 分两种情况当PD =OC DE =OB 时 △PDE ≌△COB 此时|−1−x |=3 当PD =OB DE =OC 时 △EDP ≌△COB 此时|−1−x |=1 求解即可． 【详解】（1）解：把x =0代入y =−x −3得y=−3； 把y =0代入y =−x −3得x =−3． ∴A(−3,0) C(0,−3)．∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A,C,B 三点∴{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3解得{a =1b =2c =−3．∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) 则F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3xS △AMC =12MF ×|x C −x A |= 12(−x 2−3x )×3=−32(x +32)2+278∴当x =−32时 S △AMC 最大 此时y =x 2+2x −3=−154． ∴当M 坐标为(−32,−154)时 S △AMC 取得最大值．（3）∵y =x 2+2x −3=(x +1)2−4 ∵抛物线对称轴为直线x=−1． ∵过点P 作l 的垂线 垂足为D ∵∠PDE =∠BOC =90° ∵C(0,−3)，A (−3,0) ∵B (1,0)∵OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 当PD =OC DE =OB 时 此时|−1−x |=3 解得x =−4或x =2． ∵P 点坐标为(−4,5)或(2,5)∵DE =OB =1∴E(−1,6)或(−1,4)． 当PD =OB DE =OC 时 此时|−1−x |=1 解得x =−2或x =0． ∵P 点坐标为(−2,−3)或(0,−3)∵DE =3∴E(−1,−6)或(−1,0)．综上：P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)．【点睛】本题考查了二次函数求解析式 二次函数的性质 三角形全等的性质 最值问题等 熟练掌握各知识点 能准确作出辅助线 并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 8．(1)y =−x 2+2x +3 (2)P (1,6)(3)存在点N 满足要求 点N 坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式 二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合 （1）用待定系数法求二次函数表达式；（2）根据抛物线特征得出当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大 求出直线AC 的解析式为y =3x +3 即可求出结论；（3）设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q 先求出直线MC 的解析式为y =x +3 证出MQ =NQ =√22MN 设点N (1,n ) 根据NQ 2=AN 2列方程并解方程即可解决．【详解】（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (−1,0),C (0,3)两点∴{−1−b +c =0c =3解得：{b =2c =3∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；（2）解：由抛物线的对称性得 点B 关于抛物线对称轴的对称点是点A∴PA =PB∴|PB −PC |=|PA −PC |∴当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大如图 连接AC 并延长AC 交抛物线的对称轴于点P设直线AC 的解析式为y =kx +d 把A (−1,0),C (0,3)代入得：{−k +d =0d =3解得：{k =3d =3∴直线AC 的解析式为y =3x +3 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2−2=1当x =1时 ∴点P (1,6)；（3）存在N 满足条件 理由如下：∵抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点 ∴点A (−1,0)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4∴顶点M 为(1,4) ∵点M 为(1,4) 点C (0,3) ∴直线MC 的解析式为：y =x +3如图 设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q∴点E (−3,0)∴DE =4=MD ∴∠NMQ =45°∵NQ⊥MC∴∠NMQ=∠MNQ=45°∴MQ=NQ∴MQ=NQ=√22MN设点N(1,n)∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离∴NQ=AN∴NQ2=AN2∴(√22MN)2=AN2即(√22|4−n|)2=4+n2∴n2+8n−8=0∴n=−4±2√6∴存在点N满足要求点N坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)．9．(1)y=−13x2+x+6(2)d=−2t(3)P(−4,−103)【分析】（1）先令x=0求出点C坐标再根据已知可得点B的坐标运用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由（1）可得点B的坐标设P(t,−13t2+t+6)运用待定系数法求得直线PB的解析式为y=−13(t+3)x+2(t+3)进而求出D(0,2t+6)即可求得答案；（3）找点F关于原点的对称点F′连接CF′过点F′作F′K⊥GE于K根据已知先证△COF≌△BOD得OF= OD再证∠F′CK=2∠PBA进而证得△CF′K≌△EBG得F′K=BG再证△F′FK≌△BFG可得F′F=BF OB=3OF进而求出点D的坐标运用待定系数法求出直线BD的解析式再求出直线BD与抛物线的交点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+x+6交y轴于点C∴C(0,6)∴OC=6∵OB=OC∴B(6,0)∵ B (6,0)在抛物线y =ax 2+x +6上∴ 0=36a +6+6∴ a =−13∴ y =−13x 2+x +6．（2）∵点P 是第三象限抛物线上一点∴ P (t,−13t 2+t +6)设直线PB 的解析式为y =kx +b (k ≠0)∴ {6k +b =0kt +b =−13t 2+t +6∴ {k =−13(t +3)b =2(t +3)∴直线PB 的解析式为y =−13(t +3)x +2(t +3)．令x =0 得y =2(t +3)=2t +6∴ D (0,2t +6)∴ CD =6−(2t +6)=−2t∵线段 CD 长为 d∴ d =−2t ；（3）解：找点F 关于原点的对称点F ′ 连接CF ′ 过点F ′作F ′K ⊥GE 于K∵ CG ⊥BP OB ⊥OC∴ ∠COF =∠BOD =90°∵ OC =OB∴ △COF ≌△BOD∴ CF =BD∵点F 关于原点的对称点F ′∴∠FCO=∠F′CO OF=OF′∴∠F′CK=2∠PBA∵∠BEG=2∠PBA∴∠F′CK=∠BEG∵F′K⊥CG∴△CF′K≌△EBG∴F′K=BG∵F′K⊥CG∴∠FKF′=∠FGB=90°∵∠F′FK=∠BFG∴△F′FK≌△BFG∴F′F=BF∴OB=3OF∴OD=OF=13OB=2∴D(0,−2)设直线BD的解析式是y=mx+n∴{−2=0×m+n0=8m+n∴{m=1 3n=−2∴直线BD的解析式是y=13x−2∵点P在直线BD上也在抛物线y=−13x2+x+6上∴{y=13x−2y=−13x2+x+6∴{x=−4y=−103∴P(−4,−103)；【点睛】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征二次函数的性质中心对称的性质全等三角形的判定和性质等知识添加正确的辅助线是解题的关键．10．(1)y=−14x2+x+3(2)1(3)5√174【分析】（1）先确定点A的坐标为(2，4)再结合等腰直角三角形的性质可得C(6，0)然后运用待定系数法即可解答；（2）先用待定系数法可得AC的函数解析式为y=−x+6设E(t,−14t2+t+3)N（t，−t+6）则EN=−14t2+2t−3然后化成顶点式求最值即可；（3）先确定点M(5,74)过点E作AD的对称点E′(0,3)连接E′M交AD于点P此时PE+PM最短时M(5,74)最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高y=a(x−2)2+4的顶点为点A ∵A的坐标为(2，4)∵AD=4∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高∵CD=AD=4∵C(6，0)．把C(6，0)代入y=a(x−2)2+4解得：a=−14∵抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+4即y=−14x2+x+3．（2）解：设直线AC的函数解析式为y=kx+b ∵A(2，4)，C(6，0)∵AC的函数解析式为y=−x+6．设E(t,−14t2+t+3)EN=−14t2+t+3−(−t+6)=−14t2+2t−3=−14(t−4)2+1∵当t=4时EN最大为1∵E(4，3)．（3）解：∵M(5，b)在抛物线y =−14(x −2)2+4上∵M (5,74)．∵AD 是此抛物线的对称轴∵过点E 作AD 的对称点E ′(0,3) 连接E ′M 交AD 于点P 此时PE +PM 最短 M (5,74);∵PE +PM 最短=E ′M =√(0−5)2+(3−74)2=5√174． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合 求函数解析 求函数最值等知识点 灵活运用相关知识成为解题的关键．11．(1)x =1； (2)(3,0) (−1,0)；(3)点P 的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【分析】（1）本题根据抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴公式为x =−b2a 即可解题．（2）本题根据抛物线公式可整理为y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1) 即可解题．（3）本题由（2）得到点B 的坐标 利用OB =OC 求得点C 的坐标 推出a 值 得到抛物线解析式 设直线BC 的解析式为y =kx −3 利用待定系数法求出直线BC 的解析式 设点P (m,m −3) 则M (m,m 2−2m −3) 根据过点P 作x 轴的垂线交抛物线于M 点 分以下两种情况讨论 当P 在M 的上方时 当P 在M 的下方时 根据这两种情况分析得到PM = CP 并对应的建立等式求解 即可解题．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)∴抛物线的对称轴为x =−−2a2a =1；（2）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)整理可得y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1)∴不论a 取何值 函数图象必过(3,0) (−1,0)；（3）解：由（2）可知 点B 的坐标为(3,0)∴OB =3∵ OB =OC∴OC =3∴点C 的坐标为(0,−3) 且−3a =−3 即a =1∴抛物线解析式为y=x2−2x−3设直线BC的解析式为y=kx−3将(3,0)代入解析式有3k−3=0解得k=1∴直线BC的解析式为y=x−3设点P(m,m−3)则M(m,m2−2m−3)当P在M的上方时则PM=−m2+3m∵△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上∴∠PCM=∠NCM∵PM∥y轴∴∠NCM=∠PMC∴∠PCM=∠PMC∴PC=PM∴√2m=−m2+3m整理得：m2+(√2−3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3−√2,−√2)；当P在M的下方时则PM=m2−3m同理可得：√2m=m2−3m整理得：m2−(√2+3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3+√2,√2)；综上所述点P的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合折叠的性质二次函数的图象和性质待定系数法求函数解析式 勾股定理表示两点间的距离 等腰三角形性质 熟练掌握折叠的性质 结合分类讨论的数学思想 即可解题．12．(1)a =−16(2)(−2，−2)或(−2，4)或(−2，2√2)或(−2，−2√2)(3)−13−√2412或−13+√2412．【分析】本题主要考查了二次函数的应用 等腰三角形 全等三角形等几何图形等知识点 熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．（1）将点C 坐标代入抛物线解析式即可解答；（2）分三种情况：当ME =MC 、CE =CM 、EM =CE 时 然后利用等腰三角形的性质即可解答；（3）先判断出△PQE≌△P ′Q ′E (AAS )得出PQ =P ′Q ′、EQ =EQ ′ 进而得出P ′Q ′=n ，EQ ′=QE =m +2 确定出点P ′(n −2，2+m) 将点P ′的坐标代入直线AD 的解析式中和点P 代入抛物线解析式中 联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y =a (x +6)(x −2)过点(0，2)∵2=a (0+6)(0−2) a =−16．（2）解：∵a =−16 ∵抛物线的解析式为y =−16(x +6)(x −2)=−16(x +2)2+83 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2；∵E(−2，0)∵C(0，2)∵OC =OE =2∵CE =√2OC =2√2∵△CME 是等腰三角形∵①当ME =MC 时∵∠ECM =∠CED =45°∵∠CME =90°∵M(−2，2)；②当CE =CM 时。