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（1）满足两个数相同的结果
有6个，则
61
P(两数相同)=
=
36 6
（2）满足两个数之和是9的
结果有4个，则 4 1 P(两数之和为9)= 36 = 9
（3）满足至少有一个数为2
的结果有11个，则
P(至少有一个数为2)=
11 36
变式：在6张卡片上分别写有1－6的整 解：由列表得，随机抽取一张
数，随机地抽取一张后不放回，再随机 后不放回，再随机抽取一张，
正
正 正正
反
正反
变式：随机 反 掷两枚均匀
的硬币,至 反正 少有一次正
面朝上的概 反反 率是多少?
P(至少有一次正面朝上)= 3 4
例2、随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次 正面朝上的概率是多少?
变式：随机抛掷一枚普通的硬币3次，至少有一
次正面朝上的概率是多少?
从上至下每一条路
第
开始
径就是一种可能的
解：画树状图分析如下： 开始
P(全是正面） 1
8
P(两正一反) 3
硬币1 硬币2
正 正反
反 正
8
P(两反一正) 3
反
8
P(全是反面) 1
8
硬币3 正 反 正 反 正 反 正 反
例3、口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中
摸出1个球，会出现哪些等可能的结果？
有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和 摸出白球这两个事件是等可能的。
3
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋 中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装 有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机 地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别
是多少？
（2）取出的3个小球上全是 辅音字母的概率是多少？
在6张卡片上分别写有1－6的整数， 随机地抽取一张后放回，再随机地抽取 一张，计算下列事件的概率：
（1）两个数相同
解：由列表得，随机抽取一张 后放回，再随机抽取一张，可 能出现的结果有36个，它们 出现的可能性相等。
（2）两个数之和是9 （3）至少有一个数为2
1 第第二一个个 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下
P(田忌取胜)=
1 6
中下上 下上中
下中上
田忌赛马
田忌赛马是一个为人熟知的故事。传说战国时期， 齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐 王的马比田忌的马强。有一天，齐王要与田忌赛马，双 方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢 得两局者为胜。看样子田忌似乎没有取胜的希望，但是 田忌的谋士了解到田忌的上、中等马分别比齐王的中、 下等马要强……
田忌赛马
田忌赛马是一个为人熟知的故事。传说战国时期， 齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐 王的马比田忌的马强。有一天，齐王要与田忌赛马，双 方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢 得两局者为胜。看样子田忌似乎没有取胜的希望，但是 田忌的谋士了解到田忌的上、中等马分别比齐王的中、 下等马要强……
开
第
始
正
反
一
第次 正 二
反
正
反
次第 正 反 正 反正 反 正 反 三
次
当一次试验涉及两个因素时，且可能
出现的结果较多时，为不重复不遗漏地
列出所有可能的结果，通常用列表法
当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，
通常用树形图
小结
1 要清楚所有均等可能结果 2 要清楚我们所关注的是发生哪个或哪些结果
(1)如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌 的马如何出阵，田忌才能取胜？
由于田忌上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的 马按上、中、下的顺序出阵，田忌的马按下、上、中的顺序出阵 比赛时，田忌才能取胜。
田忌赛马
田忌赛马是一个为人熟知的故事。传说战国时期， 齐 王王的与马P田比(事忌 田件各 忌)=有 的上 马所、强有事中。机件、有会结下一均果三天等的匹，出发马齐现生，王的数同要结等与果级田数的忌马赛中马，，齐双 方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢 得两局者为胜。看样子田忌似乎没有取胜的希望，但是 田忌的谋士了解到田忌的上、中等马分别比齐王的中、 下等马要强…… (2)如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，而田忌的 马随机出阵比赛，田忌取胜的概率是多少？
(3)如果双方事先均不知道对方三等马出场的顺序，那
么田忌取胜的概率是多少？
？？？
(3)如果双方事先均不知道对方三等马出场的顺序，那
么田忌取胜的概率是多少？P(田忌取胜)= 6 1 36 6
结果 田忌
齐王 的马
上中下 上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
的马
上中下 负
负
负பைடு நூலகம்
胜负
负
上下中 负 负 胜
负负 负
解：由树形图得，所有可能出现的 结果有12个，它们出现的可能性相 等。
甲
A
乙C D E
丙H IH IH I
A AA AA A C CD DE E H IH IH I
B
（ 有15） 个满 ，足 则只P（有一一个个元元音音）字=母的5结果
C
D
E
12 满 则足P（只两有个两元个音元）音=字母的=结4果有4个1，
一
结果，而且每种结
次
正
反 果发生的机会相等.
第
二 次
正
反
正
反
第 三正 反 正 反 正 反 正 反 次
第一次
开始
正
反
第二次 正
反
正
反
第三次 正 反 正 反 正 反 正 反
这幅图好象一棵倒立的树，因此我们常把它 称为树状图，也称树形图、树图。
练习：有的同学认为:抛三枚普通硬币，硬币落地 后只可能出现4种情况（1）全是正面；（2）两 正一反；（3）两反一正；（4）全是反面。因些 这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗?
关注结果数 3 概率的计算公式：
所有等可能的结果数
练一练
有两双手套，形状、大小，完全相同，只有颜
色不同。黑暗中，任意抽出两只配成一双的概率
是多少？ 分 假设两双手套的颜色分别为红黑，如下分析
析：
红1
黑1
红1
黑2
黑1
黑2 红2 黑1 黑1 红1 黑2 红1
红2
黑2
红2
红2
P(配成一双)
=
4 12
=1
（1）满足两个数相同的结果 有0个，则
0 P(两数相同)=
（2）满足两个数之和是9的
结果有4个，则
4
2
P(两数之和为9)= 30 = 15
（3）满足至少有一个数为2
的结果有10个，则 P(至少有一个数为2)=
10
1
30 3
例2、随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次 正面朝上的概率是多少?
结果 第一次 第二次
也有人说，如果给小球编号，就可以说：摸出红球， 摸出白1球，摸出白2球，这三个事件是等可能的。
你认为哪种说法比较有理呢？ 如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两 次摸球就可能出现3种可能：（1）都是红球；（2）都 是白球；（3）一红一白。
这三个事件发生的概率相等吗？
先用树状图的方法看看有哪些等可能的结果 开始
中上下 负
负
负
负负
胜
中下上 负
负
负
负
胜
负
下上中 胜
负
负
负
负
负
下中上 负
胜
负
负负负
当一次试验可能出现的结果较多时，为不重复不 遗漏地列出所有机会均等的结果，通常用列表法。
例1、在6张卡片上分别写有1－6的整数，随 机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，计 算下列事件的概率： （1）两个数相同 （2）两个数之和是9 （3）至少有一个数为2
地抽取一张，计算下列事件的概率： 可能出现的结果有30个，它
（1）两个数相同
们出现的可能性相等。
（2）两个数之和是9 （3）至少有一个数为2
1 第第二一个个 2 3 4 5 6 1 (1,—1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,——2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,—3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4—,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,—5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,—6)
第一次
红
白1
白2
第二次 红 白1 白2 红 白1 白2 红 白1 白2
从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出
现这的个概率相等，两在摸红出“两红”、“两白”1 、“一红一白”
