同解方程

两个方程同解矩阵系数秩相同在线性代数中，方程组是一个重要的研究对象。

当两个方程组有相同的解时，我们称它们为同解方程组。

而矩阵系数秩是描述方程组性质的一个重要指标。

我们来了解一下方程组的概念。

方程组是由一系列方程组成的集合，每个方程都包含未知数和常数项。

我们常用字母x、y、z等表示未知数，常数项用数字表示。

方程组的解就是能够同时满足所有方程的未知数的值。

接下来，我们来了解一下矩阵的概念。

矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的数可以是实数或复数。

矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵的运算，我们可以得到方程组的解。

在解线性方程组的过程中，矩阵系数秩是一个重要的概念。

矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数。

而矩阵系数秩就是指线性方程组的系数矩阵的秩。

矩阵系数秩的大小可以反映方程组的性质。

当两个方程组有相同的解时，它们的系数矩阵秩相同。

这是因为如果两个方程组有相同的解，它们所对应的系数矩阵是等价的，即它们可以通过一系列的行变换互相转化。

而行变换不会改变矩阵的秩，因此原方程组和转化后的方程组的系数矩阵秩相同。

矩阵系数秩的大小对于方程组的解的存在性和唯一性有重要影响。

当矩阵系数秩等于未知数的个数时，方程组有唯一解；当矩阵系数秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解；当矩阵系数秩小于未知数的个数时，方程组无解。

同解方程组的研究对于解决实际问题具有重要意义。

在工程、经济等领域，我们常常需要解决一系列相关的方程组，而这些方程组往往有相同的解。

通过研究同解方程组的性质，我们可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。

总结起来，当两个方程组有相同的解时，它们的系数矩阵秩相同。

矩阵系数秩的大小可以反映方程组的性质，对于解决实际问题具有重要意义。

通过研究同解方程组的性质，我们可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。

同解方程组的研究在线性代数中占据着重要的地位，对于提升我们的数学能力和解决实际问题具有重要意义。

方程组同解的充要条件
方程组同解的充要条件是两矩阵的行向量组等价，即可以互相表示。

齐次线性方程组的全部解构成的集合中包括零解、且对线性运算是封闭的。

该几何的最大无关组称为该方程组的基础解系，可用该基础解系表达该方程组的全部解，即通解。

基础解系的特点：一般存在且不唯一；可通过初等行变换求解基础解系；基础解系的意义在于可使用有限个解表达无穷解。

齐次线性方程组解的性质
1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n。

即系数矩阵A
的秩小于未知量的个数。

推论：齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n。

2、若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

3、若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。

4、对齐次线性方程组，若r(A)=r<n，则存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

1。

6.2.6同解方程完成时间：20min一．选择题（共9小题）1．已知关于x的方程7x+3k=12与7x+3=0的解相同，则k的值为（）A﹣3 B．3C．﹣5 D．52．关于x的方程x+a=2x﹣3与2x﹣b=x有相同的解，则a、b的关系为（）A．a﹣b=3 B．b﹣a=3 C．b+a=3 D．b+a+3=03．已知方程4x=8与x﹣k=1的解相同，则4k2﹣1的值为（）A．1B．3C．8D．174．吴云科和孟家福是七年级四班的两名爱好数学的优等生，在学完第三章《一元一次方程》后，吴云科对孟家福说：“方程与方程的解相同，你能求出k的值吗？”孟家福用笔算了一下给出正确答案，聪明的你知道是哪个吗？（）A．0B．2C．1D．﹣15．如果方程x=1与2x+a=ax的解相同，则a的值是（）A．2B．﹣2 C．3D．﹣36．下列方程中与方程3x=x+1的解相同的是（）A．2x=4 B．2x=4x﹣1 C．5x+3=6 D．6x﹣15x=37．如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（）A．B．C．﹣D．﹣8．在方程：①3x﹣=1；②；③6x﹣5=2x﹣3；④x+=2x中，与方程2x=1的解相同的方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．有4个关于x方程：（1）x﹣2=﹣1 （2）（x﹣2）+（x﹣1）=﹣1+（x﹣1）（3）x=0 （4）其中同解的两个方程是（）A．（1）与（2）B．（1）与（3）C．（1）与（4）D．（2）与（4）二．填空题（共15小题）10．方程x+2=3的解也是方程ax﹣5=8的解时，则a= _________ ．11．已知关于x的方程+3=x与方程3﹣2x=1的解相同，则m2= _________ ．12．若方程2x﹣3=11与关于x的方程4x+5=3k有相同的解，则k的值是_________ ．13．已知关于x的方程5x+3k=24与5x+3=0的解相同，则k的值为_________ ．14．已知方程3（x+3）﹣1=2x的解与关于x的方程的解相同，则m2﹣2m+1的值为_________ ．15．已知关于x的方程=x+与=3x﹣2的解相同，则m= _________ ．16．如果关于x的方程和方程的解相同，那么k的值_________ ．17．如果方程与方程3x﹣2a=0的解相同，则a3= _________ ．18．方程ax2+3x2b﹣1+cy=2是关于x的一元一次方程，则a+b+c= _________ ；如果关于x的方程2x+1=﹣3和方程=0的解相同，那么k= _________ ．19．若3x﹣4=﹣1与ax﹣b+1=﹣c有相同的解，则（a﹣b+c）2009= _________ ．20．若以为未知数的方程3x=5x﹣8和有相同的解，则a= _________ ．21．已知方程2x﹣3=+x的解满足|x|﹣1=0，则m _________ ．22．关于x的方程3x=9与x+4=k的解相同，则代数式1﹣2|k|的值为_________ ．23．关于x的方程3mx+7=0和2 x+3n=0是同解方程，那么（mn）2= _________ ．24．已知：一元一次方程2x﹣2=3的解是方程的解，则m= _________ ．三．解答题（共6小题）25．已知：关于x的方程4x﹣k=2与3（2+x）=2k的解相同，求k的值及相同的解．26．已知关于x的方程2x+1=a和2x+2=0的解相同，求的值．27．若关于x的方程2x﹣3=1和=k﹣3x有相同的解，求k的值．28．如果方程的解与方程4y﹣（3m+1）=6y+2m﹣1的解相同，求式子的值．29．方程4+2（x﹣1）=0的解与关于x的方程的解相同，求k的值．30．当k为何值时，方程与方程有相同的解？6.2.6同解方程参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知关于x的方程7x+3k=12与7x+3=0的解相同，则k的值为（）A．﹣3 B．3C．﹣5 D．5考点：同解方程．专题：计算题．分析：先解方程7x+3=0，可得x=﹣，根据同解的定义可得x=﹣也是7x+3k=12的解，再把x=﹣代入7x+3k=12中即可求k．解答：解：解方程7x+3=0得，x=﹣，∵7x+3k=12与7x+3=0的解相同，∴x=﹣也是7x+3k=12的解，再把x=﹣代入7x+3k=12中，得7×（﹣）+3k=12，解得k=5．故选D．点评：本题考查了同解方程的定义，解题的关键是先求出x．2．关于x的方程x+a=2x﹣3与2x﹣b=x有相同的解，则a、b的关系为（）A．a﹣b=3 B．b﹣a=3 C．b+a=3 D．b+a+3=0考点：同解方程．分析：求出两个方程的解，根据已知得出两个解相等，即可求出答案．解答：解：x+a=2x﹣3，x﹣2x=﹣3﹣a，﹣x=﹣3﹣a，则x=3+a，2x﹣b=x，x=b，∵关于x的方程x+a=2x﹣3与2x﹣b=x有相同的解，∴3+a=b，∴b﹣a=3，故选B．点评：本题考查了对同解方程的理解，关键是求出3+a=b，题目比较好，难度适中．3．已知方程4x=8与x﹣k=1的解相同，则4k2﹣1的值为（）A．1B．3C．8D．17考点：同解方程．专题：计算题．分析：先解出方程4x=8的解，然后代入求出k的值，进而可得出答案．解答：解：解方程4x=8，得：x=2，把x=2代入x﹣k=1，得：k=1，∴4k2﹣1=3．故选B．点评：本题考查同解方程的知识，比较简单，解决本题的关键是理解方程解的定义，注意细心运算．4．吴云科和孟家福是七年级四班的两名爱好数学的优等生，在学完第三章《一元一次方程》后，吴云科对孟家福说：“方程与方程的解相同，你能求出k的值吗？”孟家福用笔算了一下给出正确答案，聪明的你知道是哪个吗？（）A．0B．2C．1D．﹣1考点：同解方程．专题：方程思想．分析：先解方程，得x=1，因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把x代入方程中求出k的值．解答：解：12﹣2（x﹣1）=3（1﹣x）+6（3﹣x）解得：x=1．把x=1代入方程得：4﹣=3k﹣，12﹣k﹣2=9k，解得：k=1．故选C．点评：本题考查了同解方程，解题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．5．如果方程x=1与2x+a=ax的解相同，则a的值是（）A．2B．﹣2 C．3D．﹣3考点：同解方程．专题：计算题．分析：可以分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于a的方程，从而可以求出a的值．解答：解：解第一个方程得：x=3，解第二个方程得：x=∴=3解得：a=3故选C．点评：本题解决的关键是能够求解关于x的方程，要能正确理解方程解的含义．6．下列方程中与方程3x=x+1的解相同的是（）A．2x=4 B．2x=4x﹣1 C．5x+3=6 D．6x﹣15x=3考点：同解方程．专题：计算题．分析：求得题目中各个方程的解，即可作出判断．解答：解：方程3x=x+1的解是x=．A、解是x=2，故错误；B、解是x=，故正确；C、解是x=，故错误；D、解是x=﹣，故错误．故选B．点评：本题主要考查了一元一次方程的解法，正确解方程是解题的关键．7．如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：同解方程．专题：计算题．分析：先通过方程3x+5=11求得x的值，因为方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，把x的值代入方程6x+3a=22，即可求得a的值．解答：解：3x+5=11，移项，得3x=11﹣5，合并同类项，得3x=6，系数化为1，得x=2，把x=2代入6x+3a=22中，得6×2+3a=22，∴a=，故选B．点评：解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，移项时要变号．因为两方程解相同，把求得x的值代入方程，即可求得常数项的值．8．在方程：①3x﹣=1；②；③6x﹣5=2x﹣3；④x+=2x中，与方程2x=1的解相同的方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：同解方程．专题：计算题．分析：求出方程2x=1的解是x=，要判断x=是否是方程的解，就是把它代入方程的左右两边，看是否相等．解答：解：方程2x=1的解是x=A、把x=代入3x﹣=1，左边=﹣=1，左边=右边，因而x=是方程3x﹣=1的解，即与方程2x=1的解相同．B、把x=代入，左边=（+1）=，左边=右边，因而x=是方程的解，即与方程2x=1的解相同．C、把x=代入6x﹣5=2x﹣3，左边=3﹣5=﹣2，右边=1﹣3=﹣2，左边=右边，因而x=是方程6x﹣5=2x﹣3的解，即与方程2x=1的解相同．D、把x=代入x+=2x，左边=+=1，右边=2×=1，因而左边=右边，因而x=是方程6x﹣5=2x﹣3的解，即与方程2x=1的解相同．四个方程都与2x=1的解相同．故选D．点评：本题主要考查判断一个数是否是方程的解的方法．9．有4个关于x方程：（1）x﹣2=﹣1 （2）（x﹣2）+（x﹣1）=﹣1+（x﹣1）（3）x=0 （4）其中同解的两个方程是（）A．（1）与（2）B．（1）与（3）C．（1）与（4）D．（2）与（4）考点：同解方程．分析：（1）移项可解出x的值．（2）先去括号在移项合并可得出x的值．（3）直接可得出x的值．（4）直接移项即可，注意分式有意义的条件．解答：解：（1）方程的解为x=1，（2）方程的解为x=1，（3）方程的解为x=0，（4）方程无解．∴只有（1）（2）是同解方程．故选A．点评：本题考查同解方程的知识，关键是正确求出4个方程的解，难度不大，注意要细心运算．二．填空题（共15小题）10．方程x+2=3的解也是方程ax﹣5=8的解时，则a= 13 ．考点：同解方程．专题：计算题．分析：首先解出方程x+2=3的解，代入方程ax﹣5=8中求出a的值即可．解答：解：x+2=3，解得x=1；把x=1代入ax﹣5=8中，得a﹣5=8，解得a=13．点评：本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．11．已知关于x的方程+3=x与方程3﹣2x=1的解相同，则m2= 16 ．考点：同解方程．分析：首先解出方程3﹣2x=1的解，然后把方程的解代入方程+3=x求出m，即可求出m2．解答：解：解方程3﹣2x=1得：x=1，把x=1代入方程+3=x得：+3=1，解得：m=﹣4，则m2=16．故答案为：16．点评：本题考查了同解方程的知识，解答本题的关键是理解方程解得定义．12．若方程2x﹣3=11与关于x的方程4x+5=3k有相同的解，则k的值是11 ．考点：同解方程；解一元一次方程．专题：计算题．分析：先解方程2x﹣3=11求出x的值，把解得的值代入方程4x+5=3k，就可以得到一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值．解答：解：解方程2x﹣3=11得：x=7，把x=7代入4x+5=3k，得：28+5=3k，解得：k=11．故答案为：11．点评：本题考查同解方程的知识，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数a 的方程进行求解．13．已知关于x的方程5x+3k=24与5x+3=0的解相同，则k的值为9 ．考点：同解方程．专题：计算题．分析：首先根据5x+3=0得到5x=﹣3，再把5x=﹣3代入5x+3k=24求出k的值即可．解答：解：∵5x+3=0，∴5x=﹣3，∵方程5x+3k=24与5x+3=0的解相同，∴﹣3+3k=34，解得k=9，故答案为9．点评：本题考查了同解方程．解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，移项时要变号．因为两方程解相同，把求得x的值代入方程，即可求得常数项的值．14．已知方程3（x+3）﹣1=2x的解与关于x的方程的解相同，则m2﹣2m+1的值为25 ．考点：同解方程．分析：先求出方程3（x+3）﹣1=2x的解，再根据方程3（x+3）﹣1=2x的解与关于x的方程的解相同，把x的值代入方程中，求出m的值，再把m的值代入要求的式子，即可得出答案．解答：解：3（x+3）﹣1=2x，3x+9﹣1﹣2x=0，x=﹣8，∵方程3（x+3）﹣1=2x的解与关于x的方程的解相同，∴把x=﹣8代入方程得：3×（﹣8）+m=﹣27，解得：m=﹣4，把m=﹣4代入m2﹣2m+1得：（﹣4）2﹣2×（﹣4）+1=16+8+1=25；故答案为：25．点评：此题考查了同解方程，关键是能够求出关于x的方程，根据同解的定义建立方程，求出m的值．15．已知关于x的方程=x+与=3x﹣2的解相同，则m= ﹣．考点：同解方程．分析：先求出方程=3x﹣2的解，然后把x的值代入方程=x+求出m的值．解答：解：解方程=3x﹣2，得：x=1，把x=1代入方程=x+得：=1+，解得：m=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了同解方程，解答本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．16．如果关于x的方程和方程的解相同，那么k的值．考点：同解方程．分析：本题可先根据一元一次方程解出x的值，再根据解相同，将x的值代入二元一次方程中，即可解出k的值．解答：解：解方程得：x=﹣，把x=﹣代入方程得：2﹣=0，解得：k=5；故答案为：5．点评：本题考查了二元一次方程与一元一次方程的综合运用．运用代入法，将解出的x的值代入二元一次方程，可解出k的值．17．如果方程与方程3x﹣2a=0的解相同，则a3= ．考点：同解方程．分析：根据第一个方程即可求得x=﹣；然后根据同解方程的定义，将其代入第二个方程，列出关于a的方程；最后通过解关于a的方程求得a的值后，把a的值代入所求的代数式并求值．解答：解：∵x+=0，∴x=﹣；根据题意得3×（﹣）﹣2a=0，解得a=﹣，∴a3==．故答案是：．点评：本题考查了同解方程．使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解．因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解．18．方程ax2+3x2b﹣1+cy=2是关于x的一元一次方程，则a+b+c= 1 ；如果关于x的方程2x+1=﹣3和方程=0的解相同，那么k= ﹣2 ．考点：同解方程；一元一次方程的定义．专题：计算题．分析：根据一元一次方程的定义可得出a=0，b=1，c=0，然后计算即可a+b+c；先解出2x+1=3的值，然后代入可得出k．解答：解：∵方程ax2+3x2b﹣1+cy=2是关于x的一元一次方程，∴a=0，2b﹣1=1，c=0，解得：a=0，b=1，c=0，故可得a+b+c=1；方程2x+1=﹣3的解为：x=﹣2，代入可得：=0，解得：k=﹣2．故答案为：1、﹣2．点评：此题考查了同解方程的知识，关键是掌握使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解，难度一般．19．若3x﹣4=﹣1与ax﹣b+1=﹣c有相同的解，则（a﹣b+c）2009= ﹣1 ．考点：同解方程．专题：计算题；整体思想．分析：答题时首先解出一元一次方程的解，把一元一次方程的解代入另一个方程中，求得a﹣b+c的值．解答：解：∵3x﹣4=﹣1与ax﹣b+1=﹣c有相同的解，∴x=1也是ax﹣b+1=﹣c的解，∴a﹣b+c=﹣1，∴（a﹣b+c）2009=﹣1．点评：本题主要考查解一元一次方程，利用整体法求值是解答本题的关键．20．若以为未知数的方程3x=5x﹣8和有相同的解，则a= ．考点：同解方程．专题：计算题．分析：解方程3x=5x﹣8就可以求出方程的解，这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把这个解代入就可以求出a的值．解答：解：首先解方程3x=5x﹣8得：x=4；把x=4代入方程，得到2+4a=a﹣5；解得：a=﹣．点评：本题的关键是正确解一元一次方程以及同解方程的意义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．21．已知方程2x﹣3=+x的解满足|x|﹣1=0，则m ﹣6或﹣12 ．考点：同解方程．分析：通过解绝对值方程可以求得x=±1．然后把x的值分别代入方程2x﹣3=+x来求m的值．解答：解：由|x|﹣1=0，得x=±1．．当x=1时，由，得，解得m=﹣6；当x=﹣1时，由，得，解得m=﹣12．综上可知，m=﹣6或﹣12．故答案是：﹣6或﹣12．点评：本题考查了同解方程的定义．如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．22．关于x的方程3x=9与x+4=k的解相同，则代数式1﹣2|k|的值为﹣13 ．考点：同解方程．专题：计算题．分析：根据3x=9与x+4=k的解相同可得出k的值，代入即可得出答案．解答：解：3x=9，解得：x=3，将x=3代入x+4=k可得：3+4=k，k=7，∴1﹣2|k|=﹣13．故填：﹣13．点评：本题考查同解方程的定义，难度不大，理解同解的概念是关键．23．关于x的方程3mx+7=0和2 x+3n=0是同解方程，那么（mn）2= ．考点：同解方程；代数式求值．分析：分别解出两个方程的解，使这两个解相等，即可得出mn的值，从而可得出答案．解答：解：由3mx+7=0与2x+3n=0是关于x的同解方程，可知m≠0，n≠0解得∴，．故填：2．点评：本题考查了同解方程的知识，属于比较简单的题目，注意掌握解答此类题目的方法．24．已知：一元一次方程2x﹣2=3的解是方程的解，则m= ．考点：同解方程．分析：先求出方程2x﹣2=3的解，然后把x的值代入方程，求解m的值．解答：解：解方程2x﹣2=3得：x=，把x=，代入方程，得，m+=4，解得：m=．故答案为：．点评：本题考查了同解方程，解决本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．三．解答题（共6小题）25．已知：关于x的方程4x﹣k=2与3（2+x）=2k的解相同，求k的值及相同的解．考点：同解方程．专题：计算题．分析：由已知关于x的方程4x﹣k=2与3（2+x）=2k的解相同，所以得关于x、k的方程组，解方程组即可．解答：解：已知：关于x的方程4x﹣k=2与3（2+x）=2k的解相同，∴，解得，，所以k的值为6，相同的解为2．点评：此题考查的知识点是同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程组．26．已知关于x的方程2x+1=a和2x+2=0的解相同，求的值．考点：同解方程．专题：计算题．分析：先求出方程2x+2=0的解，代入方程2x+1=a求出a的值，代入代数式即可得出答案．解答：解：2x+2=0，解得：x=﹣1，将x=﹣1代入2x+1=a，得a=﹣1，则=1﹣1=0．点评：本题考查了同解方程的知识，关键是理解方程解得含义，另外在代入计算时要细心，不要出错．27．若关于x的方程2x﹣3=1和=k﹣3x有相同的解，求k的值．考点：同解方程．分析：求出方程2x﹣3=1中x的值，再把k当作已知条件求出方程=k﹣3x中x的值，再根据两方程有相同的解列出关于k的方程，求出k的值即可．解答：解：解方程2x﹣3=1得，x=2，解方程=k﹣3x得，x=k，∵两方成有相同的解，∴k=2，解得k=．点评：本题考查的是同解方程，熟知如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程是解答此题的关键．28．如果方程的解与方程4y﹣（3m+1）=6y+2m﹣1的解相同，求式子的值．考点：同解方程．分析：求出方程的解y=10，代入第二个方程求出m=﹣4，代入求出即可．解答：解：，2（y﹣4）﹣48=﹣3（y+2），2y﹣8﹣48=﹣3y﹣6，5y=50，y=10，即方程4y﹣（3m+1）=6y+2m﹣1的解也是y=10，代入得：40﹣（3m+1）=60+2m﹣1，m=﹣4，所以=4﹣=．点评：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求出代数式的值的应用，关键是求出y、m的值．29．方程4+2（x﹣1）=0的解与关于x的方程的解相同，求k的值．考点：同解方程．专题：方程思想．分析：先求方程4+2（x﹣1）=0的解，再代入，求得k的值．解答：解：解方程4+2（x﹣1）=0，得x=﹣1，把x=﹣1代入，得﹣3k﹣2=﹣2，解得k=﹣．点评：此题主要考查了一元一次方程解的定义．解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力．30．当k为何值时，方程与方程有相同的解？考点：同解方程．分析：先解第二个方程，得x的值，因为这个解也是第一个方程的解，根据方程的解的定义，把x代入第一个方程中求出k的值．解答：解：解方程，得x=1，把x=1代入方程，得4﹣，解得k=﹣13，∴当k=﹣13时，方程与方程有相同的解．点评：此题考查同解方程，关键是正确解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．。

同解方程的定义同解方程是指具有相同解的两个或多个方程，这些方程可以有不同的形式和系数，但是它们的解是相同的。

同解方程在数学和应用领域都有重要的应用，例如在物理、工程和经济学中，同解方程可以用来描述不同变量之间的关系和相互作用。

在本文中，我们将详细介绍同解方程的定义、性质和应用。

一、同解方程的定义同解方程是指具有相同解的两个或多个方程。

如果两个方程的解相同，那么它们就是同解方程。

例如，下面的两个方程：x + y = 52x + 2y = 10这两个方程是同解方程，因为它们都有解x=2，y=3。

同解方程可以有不同的形式和系数。

例如，下面的两个方程： 2x + y = 74x + 2y = 14这两个方程也是同解方程，因为它们都有解x=2，y=3。

二、同解方程的性质同解方程具有以下性质：1. 同解方程的系数可以不同。

2. 同解方程的形式可以不同。

3. 同解方程的解是相同的。

4. 同解方程的解可以是有限个或无限个。

5. 同解方程的解可以是实数、复数或无理数。

三、同解方程的应用同解方程在数学和应用领域都有重要的应用。

例如：1. 在物理学中，同解方程可以用来描述物体的运动和相互作用。

例如，牛顿第二定律F=ma可以表示为同解方程F=ma和F-ma=0。

2. 在工程学中，同解方程可以用来描述各种工程问题，例如电路、机械和材料的性质。

例如，欧姆定律V=IR可以表示为同解方程V-IR=0和IR-V=0。

3. 在经济学中，同解方程可以用来描述市场的供求关系和价格变动。

例如，供求关系可以表示为同解方程Qd=a-bP和Qs=c+dP，其中Qd表示需求量，Qs表示供应量，P表示价格，a、b、c和d是常数。

4. 在数学中，同解方程可以用来解决各种数学问题，例如求解方程组、求解二次方程和求解高次方程等。

四、同解方程的解法同解方程的解法有多种，例如：1. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知量。

2. 消元法：通过加减乘除等运算，将一个方程的未知量表示为另一个方程的未知量的函数，从而求解未知量。

标题：两个方程组同解，行向量组等价一、概述上线性代数中，我们经常会遇到方程组和向量组的问题。

其中一个常见的问题就是判断两个方程组是否有相同的解，以及判断两个向量组是否等价。

在本文中，我们将会深入探讨两个方程组同解的概念，以及行向量组等价的相关知识。

二、两个方程组同解的概念1. 方程组的定义方程组是由几个方程组成的集合，通常用于描述多个未知数之间的关系。

一个最简单的方程组可以表示为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中x和y为未知数，a1、b1、c1、a2、b2、c2为系数。

2. 同解的定义当两个方程组有相同的解时，我们称这两个方程组为同解方程组。

如果两个方程组中的未知数取值满足一个方程组的所有方程，则也一定满足另一个方程组的所有方程。

3. 判断两个方程组同解的方法要判断两个方程组是否有相同的解，通常会使用消元法和高斯消元法等数学方法进行计算和推导。

通过这些方法，我们可以找到方程组的解，并进而判断两个方程组是否同解。

三、行向量组等价的概念1. 向量组的定义向量组是由若干个向量组成的集合，通常用于表示空间中的几何关系。

一个最简单的向量组可以表示为：v1 = [a1, b1, c1]v2 = [a2, b2, c2]其中v1、v2为向量，a1、b1、c1、a2、b2、c2为分量。

2. 等价的定义当两个向量组具有相同的线性相关性质时，我们称这两个向量组为等价向量组。

如果一个向量组可以由另一个向量组线性表出，那么这两个向量组就是等价的。

3. 判断行向量组等价的方法要判断两个向量组是否等价，通常会使用矩阵的行变换、列变换等方法进行计算和推导。

通过这些方法，我们可以找到向量组的线性相关性质，并进而判断两个向量组是否等价。

四、两个方程组同解的性质1. 唯一解和无穷解当两个方程组同解时，它们可能具有唯一解，也可能具有无穷解。

唯一解意味着方程组只有一个解，无穷解意味着方程组有无穷多个解。

这取决于方程组的系数和常数项的具体取值。

七年级上册数学《第三章一元一次方程》专题一元一次方程的同解、错解、参数等问题【例题1】（2022•江阴市模拟）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a 的值．【解答】解：把x＝1代入方程，得：1+2a＝﹣1，解得：a＝﹣1．故选：A．【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．【变式1-1】（2022秋•秀山县期末）已知x＝1是关于x的方程6﹣（m﹣x）＝5x的解，则代数式m2﹣6m+2＝．【分析】根据一元一次方程的解的定义可知m的值，然后代入求值即可．【解答】解：把x＝1代入6﹣（m﹣x）＝5x，得6﹣（m﹣1）＝5×1．解得m＝2．所以m2﹣6m+2＝22﹣6×2+2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式1-2】（2022秋•张家港市期中）已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a ﹣4的值是（）A．1B．﹣1C．16D．14【分析】把x＝1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0可以求得a的值，然后把x＝2代入所求的代数式进行求值．【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，∴3﹣2+1﹣4+a＝0，解得，a＝2，∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．故选：D．【点评】本题主要考查了方程解的定义，解决本题的关键在于根据方程的解的定义将x＝1代入，从而转化为关于a的一元一次方程．【变式1-3】若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则m的值是（）A．14或134B．14C．54D．−12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因为方程|x−12|＝1，所以x−12=±1，解得x=32或x=−12，因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3r22，当x=32时，m=134，当x=−12时，m=14．所以m的值为：134或14．故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论．【变式1-4】（2022秋•奎屯市校级月考）已知x＝4是关于x的一元一次方程﹣3m﹣x=2+3m的解，则m2020+1的值是．【分析】根据一元一元一次方程的解的定义求得m，再解决此题．【解答】解：由题意得，﹣3m﹣4=42+3．∴﹣3m﹣4＝2+3m．∴﹣6m＝6．∴m＝﹣1．∴m2020+1＝（﹣1）2020+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查一元一次方程的解、有理数的乘方，熟练掌握一元一次方程的解的定义、有理数的乘方是解决本题的关键．【变式1-5】（2022秋•烟台期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．求代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．【分析】根据方程解的定义，把x＝﹣1代入关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx，即可得出代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．【解答】解：当x＝﹣1时，2a+2＝﹣1+b，即2a﹣b＝﹣3，∴5（2a﹣b）﹣2a+b+2＝5（2a﹣b）﹣（2a﹣b）+2＝﹣15+3+2＝﹣10．【点评】本题考查了一元一次方程的解，以及整式的加减，把2a﹣b作为整体，是数学中常用的整体思想．（2023春•长春期中）已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解是x＝0，试求(−2p2021−(−32)2020【变式1-6】的值．【分析】将x＝0代入原方程，可求出m的值，再将m的值代入原式，即可求出结论．【解答】解：将x＝0代入原方程得：2m＝1，解得：m=12，∴原式＝（﹣2×12）2021﹣（12−32）2020，＝（﹣1）2021﹣（﹣1）2020＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．【例题2】（2023秋•东台市期中）如果关于x的方程K43=8−r22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求a的值．【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．【解答】解：解方程K43=8−r22得：x＝10，由题意：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝10，代入得：4×10﹣（3a+1）＝6×10+2a﹣1，解得：a＝﹣4．【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•长沙期末）若关于x的方程r32−=2的解与方程x+1＝m的解相同，求m的值．【分析】先解方程r32−=2可得x＝4﹣m，再根据方程同解的含义可得4﹣m+1＝m，再解关于m 的方程即可．【解答】解：r32−=2，去分母可得：m+3x﹣2x＝4，即x＝4﹣m，∵关于x的方程r32−=2的解与方程x+1＝m的解相同，∴4﹣m+1＝m，解得：=52．【点评】本题考查的是同解方程的含义，选择合适的方程进行变形是解本题的关键．【变式2-2】（2022秋•仙游县校级期末）如果方程2K35=23x﹣2与3a−14=3（x+a）﹣2a的解相同，求（a ﹣3）2的值．【分析】通过解关于x的方程2K35=23x﹣2求得x的值，然后将x的值代入3a−14=3（x+a）﹣2a列出关于a的新方程，通过解该新方程即可求得a的值，再代入计算即可求解．【解答】解：由关于x的方程2K35=23x﹣2，解得x＝5.25∵关于x的方程2K35=23x﹣2与3a−14=3（x+a）﹣2a的解相同，∴3a−14=3（5.25+a）﹣2a，解得a＝8．∴（a﹣3）2＝（8﹣3）2＝25．【点评】本题考查了同解方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式2-3】（2023春•安岳县校级期中）已知关于x的一元一次方程2r13−5K16=1．（1）求这个方程的解；（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；（2）根据题意可知x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，把x＝﹣3代入方程3（x+m）＝﹣（x ﹣1）中得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）2r13−5K16=1去分母得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，去括号得：4x+2﹣5x+1＝6，移项得：4x﹣5x＝6﹣1﹣2，合并同类项得：﹣x＝3，系数化为1得：x＝﹣3；（2）由题意得x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，∴3（﹣3+m）＝﹣（﹣3﹣1），∴3m﹣9＝4，解得=133．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式2-4】如果方程K43−8=−r22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a﹣a2的值．【分析】先求得方程方程K43−8=−r22的解，然后将所求的x的值代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，最后在求代数式的值即可．【解答】解：K43−8=−r22去分母得：2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）去括号得：2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，移项得：2x+3x＝﹣6+8+48，合并同类项得：5x＝50，系数化为1得：x＝10．将x＝10代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，去括号得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，移项得：﹣3a﹣2a＝60﹣1﹣40+1，合并同类项得：﹣5a＝20，系数化为1得：a＝﹣4．a﹣a2＝﹣4﹣（﹣4）2＝﹣4﹣16＝﹣20．【点评】本题主要考查的是同解方程的定义、解一元一次方程、求代数式的值，求得a的值是解题的关键．【变式2-5】（2022秋•巴南区期末）已知方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25（3x+m），求m的值．【分析】根据方程的解相同，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：解方程3K52=5K83，3（3x﹣5）＝2（5x﹣8），9x﹣15＝10x﹣16，9x﹣10x＝﹣16+15，x＝1，∵方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25（3x+m），∴10−3(1−p2=3−4−25×(3+p，2m﹣30（1﹣m）﹣5（3﹣m）﹣8（3+m），2m﹣30+30m＝15﹣5m﹣24﹣8m，2m+30m+8m+5m＝30+15﹣24，45m＝21，解得m=715．【点评】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．【变式2-6】（2022秋•利州区校级期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式（﹣2m）2022−(−32)2021的值．【分析】（1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可；（2）代入求值即可．【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，由3x+2m＝6x+1解得：x=2K13，由题知：1﹣2m=2K13，解得：m=12；（2）当m=12时，（﹣2m）2022﹣（m−32）2021＝（﹣2×12）2022﹣（12−32）2021＝1+1＝2．【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程，列出关于m的方程是解题的关键．【例题3】（202秋•沂源县期末）方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解互为相反数，求k的值【分析】直接解方程得出x=−13，进而得出关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解，求出答案即可．【解答】解：∵2﹣3（x+1）＝0，∴解得：x=−13，∵方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解互为相反数，∴关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解x=13，∴r132−3k﹣2=23，解得：k＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出x的值是解题关键．【变式3-1】（2022秋•高港区校级月考）已知关于x的方程①：x+1﹣2m＝﹣m的解比方程②：32(−p−2=54的解大2．求m的值以及方程②的解．【分析】用含m的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于m的方程，求解可得m的值，将m的值代入方程②中即可解得x的值．【解答】解：解x+1﹣2m＝﹣m得：x＝m﹣1，解32(−p−2=54得：=611−811，∵方程①的解比方程②的解大2，∴−1−(611−811)=2，解得：m＝5，将m＝5代入方程②中得：32(5−p−2=54，解得：x＝2．【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的值．【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a＝0的解和方程a+8x＝2+4x的解，然后根据已知条件“关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程12x﹣a＝0，得x=12，由方程a+8x＝2+4x，得x=2−4，又∵关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，∴12−2−4=1，去分母，得a﹣3（2﹣a）＝12，去括号，得a﹣6+3a＝12，移项，得a+3a＝6+12，合并同类项，得4a＝18，化系数为1，得a＝4.5．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【变式3-3】（2022秋•太仓市期末）已知关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数，求代数式92m﹣4n﹣1的值．【分析】分别解方程，进而用m，n分别表示出x，再结合相反数的定义得出等式，将原式变形求出答案．【解答】解：2x+10﹣3m＝0，则2x＝3m﹣10，解得：x=3K102，r12+2(r1)3=1，则3（x+1）+4（n+1）＝6，故3x+3+4n+4＝6，3x＝﹣1﹣4n，解得：x=−1+43，∵关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数，∴3K102−1+43=0，去分母得：3（3m﹣10）﹣2（1+4n）＝0，则9m﹣30﹣2﹣8n＝0，故9m﹣8n＝32，则92m﹣4n﹣1=12（9m﹣8n）﹣1=12×32﹣1＝16﹣1＝15．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．【变式3-4】（2022秋•亭湖区校级月考）已知关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比r2=2K3的解小52，求2a﹣3的值．【分析】先分别求出两个方程的解，根据题意得出关于a的一元一次方程，再求出方程的解，最后求出答案即可．【解答】解：解方程3（x﹣2）＝x﹣a得：x=6−2，解方程r2=2K3得：x＝5a，∵关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比r2=2K3的解小52，∴6−2=5a−52，解得：a＝1，∴2a﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式3-5】（2022秋•常州期中）已知关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数，求m的值．【分析】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．【解答】解：解方程r12=3x﹣2得，x＝1，解方程K2=x+3得，x=−53，∵关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数，−53×1＝1，解得m=−35．【点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键．【变式3-6】（2022秋•武城县期末）已知（|a|﹣1）x2﹣（a+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；（2）若上述方程的解是方程5x﹣2k＝2x解的2倍，求k的值．【分析】（1）根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可；（2）根据解析（1）得出的方程解，得出方程5x﹣2k＝2x解为x＝2，然后代入求出k的值即可．【解答】解：（1）由题意得：|a|﹣1＝0，﹣（a+1）≠0，∴a＝±1且a≠﹣1，∴a＝1，将a＝1代入方程得：﹣2x+8＝0，解得：x＝4．答：a的值是1，方程的解是x＝4．（2）由题意得：x＝4÷2＝2，将x＝2代入方程得：5×2﹣2k﹣2×2，解得：k＝3．答：k的值是3．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，方程解的定义，一元一次方程的定义，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的方法．【例题4】（2023•平桥区校级开学）王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2【分析】把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，解得：a＝2，即原方程为14+x＝18，解得：x＝4．故选：A．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式4-1】（2022秋•椒江区校级期中）小明解方程2K15+1=r2，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），2（2x﹣1）+1＝5（x+a），把x＝4代入得：a＝﹣1，将a＝﹣1代入原方程得：2K15+1=K12，去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，移项合并得：﹣x＝﹣13，解得x＝13．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．【变式4-2】（2022秋•前郭县期末）某同学在解关于y的方程3K4−5K76=1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正确的解．【分析】（1）根据题意得3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，将y＝10代入方程即可求a的值；（2）当a＝1代入原方程再求解即可．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，则原方程变为3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，∵方程的解为y＝10，代入得3（30﹣a）﹣2（50﹣7a）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程3K4−5K76=1，得3K14−5K76=1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．【变式4-3】（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程2K13=r2−1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2．（1）请你帮助米老鼠求出a的值；（2）正确地解这个方程．【分析】（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得出2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，再求出方程的解即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得：2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，解得：a=13；（2）方程为2K13=r132−1，2（2x﹣1）＝3（x+13）﹣6，4x﹣2＝3x+1﹣6，4x﹣3x＝1﹣6+2，x＝﹣3．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．【变式4-4】（2022秋•道里区校级月考）小明同学在解方程2K13=r3−2，去分母时，方程右边的﹣2没有乘3，因而求得方程的解为x＝3．试求a的值，并正确地解出方程．【分析】先根据题意，得x＝3是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，然后根据方程解的定义将x＝2代入这个方程，从而求出a的值；再把所求得的a的值代入原方程，最后解一元一次方程即可．【解答】解：依题意，x＝3是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，∴2×3﹣1＝3+a﹣2，∴a＝4．∴原方程为2K13=r43−2，解方程，得2x﹣1＝x+4﹣6，解得x＝﹣1．故a＝4，原方程的正确的解是x＝﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握相关的定义和解一元一次方程的一般步骤．【变式4-5】小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解．【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，解得：a＝3；（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，解得：x＝﹣3；（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，则27m+3n＝4，当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．【变式4-6】（2022秋•大余县期末）聪聪在对方程r33−B−16=5−2①去分母时，错误地得到了方程：2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）②，因而求得的解是=52．（1）求m的值；（2）求原方程的解．【分析】（1）将x=52代入方程②，整理即可求出m的值，（2）将m的值代入方程①即可求出正确的解．【解答】（1）把x=52代入2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）中，得：2×（52+3）−52m﹣1＝3×（5−52），解得：m＝1．（2）当m＝1时原方程为r33−K16=5−2，2（x+3）﹣（x﹣1）＝3（5﹣x），4x＝8，x＝2．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【例题5】（2022秋•兴隆县期末）方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx+2x﹣12＝0，得=12r2，∵方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数，∴m+2＝3或4或6或12，解得m＝1或2或4或10，∴正整数m的值有4个．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2＝3或4或6或12是关键．【变式5-1】已知关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，则整数k的值为．【分析】根据方程的解是正整数，可得5的约数．【解答】解：由kx＝5﹣x，得x=5r1．由关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，得5是（k+1）的倍数，得k+1＝1或k+1＝5．解得k＝0或k＝4，故答案为：0或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键．【变式5-2】已知关于x的一元一次方程mx﹣1＝2（x+32）的解是正整数，则整数m的值为．【分析】根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx﹣1＝2（x+32），得x=4K2，因为关于x的方程mx﹣1＝2（x+32）的解是正整数，得m﹣2＝1，m﹣2＝2，或m﹣2＝4．解得m＝3，m＝4，或m＝6．故答案为：3或4或6．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．【变式5-3】（2022秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程−2−B6=r13的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为（）A．﹣5B．﹣16C．﹣24D．18【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．【解答】解：解方程−2−B6=r13，得：=44+，根据题意可知=44+为整数，m是整数，当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时，44+为整数，∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24，故选：C．【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键．【变式5-4】（2022秋•邗江区校级期末）若关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，求整数a的值．【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可．【解答】解：2ax＝（a+1）x+6，移项得：2ax﹣（a+1）x＝6，合并同类项得：（a﹣1）x＝6，系数化为1得：=6K1，∵关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，∴=6K1为正整数，∴a﹣1＝1或a﹣1＝2或a﹣1＝3或a﹣1＝6∴a＝2或a＝3或a＝4或a＝7．【点评】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式5-5】设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．【分析】（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的几个一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，=−13，（2）当m≠5时，方程有解，=3−K5=−1−2K5，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．【点评】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤．。

两个方程组同解的充分必要条件
有些数学问题，比如两个或多个方程组能否具有同解这样的问题，为科学工作者提供了巨大的挑战和困难。

解决这个问题十分关键，因为从科学和技术到计算机程序，几乎所有工作者都有时必须假设有一个强有力的解决方案存在。

为此，研究者们利用这一概念来确定两个方程组是否可以同解。

共解的充分必要条件是：两个方程组必须具有相同的系数矩阵，即系数矩阵的值须完全相等；其次，它们必须具有相同的常数项向量，即常数项向量的值也要完全相等。

只有当两个方程组都满足这两个要求时，它们才能具有同解。

换句话说，两个方程组具有相同的系数矩阵和常量项向量，这样一来，它们可以用一组有效的参数解释同一类问题，从而得出同一组解，使用这一理念的技术有很多应用，不仅能更好地处理问题，而且能够推广到广泛的研究领域。

正是基于此，出现了大量的算法和技术，来验证两个或多个方程组之间的同解性。

例如通过构建一个同类问题一致性检查模型，以及通过建立一个模型来比较两个方程组之间的解以及系数，我们可以判断这两个方程组是否具有相同的解，或者说具有相同的充分必要条件，这种方法极大地拓展了研究者们对方程组问题的研究范围。

总之，验证两个方程组之间共解性的充分必要条件，即具有相同的系数矩阵和常量向量，是解决大量科学和技术上的问题的关键所在，这些技术允许科研人员建立模型，以验证两个方程组问题之间的充分必要条件，并进行进一步的研究。

线性代数之同解方程题型-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12例1 设A 为n 阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ). (A)若0Ax =有解时0T A Ax =也有解,则A 必可逆; (B)若0T A Ax =有解时0Ax =也有解, 则A 必可逆;(C) 0T A Ax =的解必是0Ax =的解; (D) 0T A Ax =的解与0Ax =的解无任何关系.解 0Ax =与0T A Ax =同解.例2 设两个四元齐次线性方程组:12240,()0x x x x +=⎧I ⎨-=⎩与1232340,()0x x x x x x -+=⎧II ⎨-+=⎩问方程组()I 与()II 是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.（两个方程型）解 讨论方程组12241232340,0,0,0x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩是否有非零解.110010101010101111000120111000r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11,021x k k -⎛⎫ ⎪⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭为所有公共的非零解.3例3 设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为12240,0.x x x x +=⎧⎨-=⎩又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)k k +-;（1个方程1个通解型）（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解系;（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.解 (1)线性方程组（Ⅰ）的解为14243344x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得所求基础解系()()120,0,1,0,1,1,0,1ξξ==-.(2)将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）,得1212120k k k k k k +=⎧⇒=-⎨+=⎩.当120k k =-≠时, 方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解,且为222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)x k k k k =-+-=-=-4其中k 为不为零的任意常数.例4 已知齐次线性方程组（Ⅰ）的通解为()()120,0,1,01,1,0,1x l l =+-,又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)k k +-.求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解. （2个通解型）解 令()()1212(0,1,1,0)(1,2,2,1)0,0,1,01,1,0,1k k l l +-=+-,解得12k k =-. 当120k k =-≠时, 方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解为 222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)x k k k k =-+-=-=- 其中k 为不为零的任意常数.5【注意】求两个线性方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解的方法. (1)若已知两个方程组1Ax b =和2Bx b =,则求它们的公共解就是求12Ax b Bx b =⎧⎨=⎩的解;(2)若已知一个方程组1Ax b =和另一个方程组2Bx b =的通解(方程组2Bx b =未知),则求它们的公共解的方法是:将2Bx b =的通解代入到已知方程组1Ax b =中,解出2Bx b =的通解中任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入2Bx b =的通解中,从而得到方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解;(3)若已知两个方程组1Ax b =和2Bx b =的通解(两个方程组未知),则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等,只要解出一个方程组(不妨设为1Ax b =)的通解中的任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入1Ax b =的通解中,从而得到方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解.(4)对于两个齐次线性方程组,由于它们总有公共的零解,因此关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的非零解.。

方程组同解和向量组等价的关系引言在线性代数中，方程组和向量组是两个重要的概念。

方程组是由一组线性方程组成的集合，而向量组是由一组向量组成的集合。

在某些情况下，方程组和向量组之间存在着一种特殊的关系，即方程组的解和向量组的线性组合是等价的。

本文将详细介绍方程组同解和向量组等价的关系，并对其进行深入探讨。

方程组同解和向量组等价的定义方程组同解方程组同解指的是两个或多个方程组具有相同的解集。

当两个或多个方程组的解集完全相同时，我们可以说它们是同解的。

具体而言，对于两个方程组：{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =b 2⋯a m1x 1+a m2x 2+⋯+a mn x n =bm 和{a 11′x 1+a 12′x 2+⋯+a 1n ′x n =b 1′a 21′x 1+a 22′x 2+⋯+a 2n ′x n =b 2′⋯a m′1′x 1+a m′2′x 2+⋯+a m′n ′x n =b m ′如果它们的解集相等，即对于所有的x 1,x 2,⋯,x n ，第一个方程组中的方程均成立当且仅当第二个方程组中的方程均成立，那么这两个方程组就是同解的。

向量组等价向量组等价指的是两个或多个向量组具有相同的线性组合集合。

当两个或多个向量组的线性组合集合完全相同时，我们可以说它们是等价的。

具体而言，对于两个向量组：{a 1a 2⋯a m 和{b 1b 2⋯b n 如果对于任意的标量k 1,k 2,⋯,k m ，存在标量c 1,c 2,⋯,c n 使得k 1a 1+k 2a 2+⋯+k m a m =c 1b 1+c 2b 2+⋯+c n b n那么这两个向量组就是等价的。

方程组同解与向量组等价的关系方程组同解和向量组等价之间存在着密切的关系。

事实上，方程组同解的本质就是向量组等价的结果。

下面我们将从两个方面来证明这一关系。

方程组同解推导向量组等价 假设有一个方程组：{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =b 2⋯a m1x 1+a m2x 2+⋯+a mn x n =bm 我们可以将其写成矩阵形式：AX =B其中，A =[a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋯a m1a m2⋯a mn ]X =[ x 1x 2⋯x n ]B =[ b 1b 2⋯b m ]我们可以将A的列向量表示为：a1=[a11a21⋯a m1],a2=[a12a22⋯a m2],⋯,a n=[a1na2n⋯a mn]那么方程组可以表示为：x1a1+x2a2+⋯+x n a n=B这就是一个向量组的线性组合形式。

关于方程组同解与向量组等价的探讨一、介绍在代数学中，方程组是一组由变量和常数构成的方程集合。

解方程组的过程是找到可以同时满足这组方程的变量和常数的值。

方程组的解有多种形式，包括无解、有唯一解或者有无穷多解。

本文将介绍方程组同解与向量组等价的概念，探讨它们之间的关系和意义。

二、方程组同解的定义与特点方程组同解是指有相同解集的两个或多个方程组。

具体来说，如果两个方程组具有完全相同的解集，那么我们称它们为同解方程组。

同解方程组有以下几个特点：1. 相同的解集：同解方程组的解集完全相同，即其中任何一个方程组的解集都包含在另一个方程组的解集中。

2. 相同的基础解系：同解方程组的基础解系相同，即它们的基础解系向量完全相同。

三、向量组的定义与特点向量组由一组向量构成，可以表示为矩阵的列向量。

在线性代数中，向量组的等价意味着它们具有相同的线性组合关系。

向量组的等价有以下几个特点：1. 相同的线性组合关系：等价的向量组可以通过相同的线性组合关系表示。

2. 相同的秩：等价的向量组具有相同的秩，即它们所张成的向量空间的维度相同。

四、方程组同解与向量组等价的关系方程组同解与向量组等价是代数学中的基本定理之一，也是线性代数理论的重要内容。

具体来说，对于一个方程组，如果可以将它的系数矩阵和增广矩阵进行等价变换，得到一个新的方程组，那么这两个方程组就是同解方程组。

而这个等价变换实际上就是线性组合的运算。

也就是说，两个具有相同线性组合关系的向量组可以构成同解方程组。

反之亦成立，如果两个方程组是同解方程组，那么它们所对应的向量组也是等价的。

这意味着，我们可以通过解方程组的方法来确定向量组的线性组合关系，进而得到向量组的等价关系。

方程组同解与向量组等价是相互关联的概念，通过它们之间的等价关系，我们可以更加灵活地使用代数学中的方法和技巧来解决问题。

五、观点与理解方程组同解与向量组等价的理论在代数学和线性代数中有着广泛的应用。

通过对方程组和向量组的等价关系的研究，我们可以更深入地理解线性代数的基本概念和原理。