循环小数化分

循环小数化成分数的原理
一、纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。

怎样把它化为分数呢？看下面例题。

把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。

9的个数与循环节的位数相同。

能约分的要约分。

二、混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。

怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。

（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

分母的头几位数是9，末几位是0。

9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。

再约分。

无限循环小数怎样换算成分数，比如3.1414.。

通过把这个数扩大若干倍,令扩大的数减去原数后,其循环消失.
如3.1414..,将它*100-本身=311,再将311/99.结果就是它的分数形式.
再如1.333...,(1.333...*10-1.333...)/9=4/3.它的分数形式就是4/3.
无限循环小数怎样换算成分数有两种情况：
1、纯循环小数化分数：例如：
3.1414……=3 14/99;读做：3又99分之14。

方法是：整数部分不变，一个循环节数字做分子，分母是9和0组成，9的个数与循环节的位数相同写在前面。

0的个数和不循环位数相同。

分母位数和小数部分位数一样。

最后要化成最后最简分数。

例如：
0.006666……=6/900=1/150。

2、混循环小数，例如：
0.2565656……=（256-2）/990=254/990=127/495
方法是：分子是循环节数字-不循环的数字，分母是9和0组成，9的个数与循环节的位数相同写在前面。

0的个数和不循环位数相同。

分母位数和小数部分位数一样。

最后要化成最后最简分数。

循环小数化成分数的方法圩丰中心小学六（1）施中秋把循环小数化成分数的方法，可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到。

下面我们运用猜想验证的方法来推导。

（一）化纯循环小数为分数大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。

那么，一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。

如：＠①、＠②……化成分数时，它们的分母可以写成几呢？想一想：可能是10吗？不可能。

因为1/10＝0.1〈＠①，3/10＝0.3〉＠②；可能是8吗？不可能。

因为1/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0.375〉＠②；那么，可能是几呢？因为1/10〈＠①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8，所以分母可能是9。

下面我们来验证一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①；3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝＠②。

计算结果说明我们的猜想是对的。

那么，所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗？让我们根据自己的猜想，把＠③、＠④化成分数后再验证一下。

＠③＝4/9 验证：4/9＝4÷9＝0.444…… ＠④＝6/9＝2/3 验证：2/3＝2÷3＝0.666…… 经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用一个循环节组成的数作分子，用9 作分母；然后，能约分的再约分。

循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分数时，它们的分母又可以写成多少呢？想一想：可能是100吗？不可能。

因为12/100＝0.12〈＠⑤，13/100＝0.13〈＠⑥。

可能是98吗？不可能。

因为12/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0.1327〉＠⑥；可能是多少呢？因为12/100〈＠⑤〈12/98，13/100〈＠⑥〈13/98，所以分母可能是99。

循环小数化分数
一、纯循环小数化分数
从小数点后第一位开始循环的小数称为纯循环小数。

怎么把它变成分数？看看下面的例子。

把纯循环小数化分数：
纯循环小数的小数部分可以转换成数字。

这个分数的分子是圆截面表示的数，分母中所有的数都是9。

9的数量与循环部分的位数相同。

提供可以减少的点数。

二、混循环小数化分数
不从第一个小数点开始循环的小数称为混合循环小数。

如何把混合循环小数变成分数？将混合循环小数转换成分数。

（2）先看小数部分0.353
混合循环小数的小数部分可以分成若干个数，这个分数的分子是第二个圆截面前的小数部分组成的数与小数部分中非圆部分组成的数之差。

分母的前几位是9，后几位是0。

9的个数与圆形截面的位数相同，0的个数与非圆形截面的位数相同。

三、循环小数的四则运算
分数循环使用后，可以根据分数的四则运算进行循环小数的四则运算。

从这个意义上说，循环小数的四则运算和有限小数的四则运算一样，也是分数的四则运算。

抽取元件数直接去掉小数点，分母对应1亿等。

重新划分。

例如：0.333.....＝3/9=1/3
0.....=214/999
简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个9 0.3333......循环节为3 0.214.....循环节为214 0.....循环节为52，所以0.525252...＝52/99
0.35....=35/99。

循环小数化分数公式的推导及其应用作者：张爱献（中铁十局集团第三建设有限公司，合肥230601）摘要:在基础数学里分数可以化成小数,有限位的小数也可以化成分数.对于循环小数,长长的队伍没有尽头如何化分数？本文从分数化循环小数入手，利用逆向思维和数学归纳法推出循环小数化分数公式。

为循环小数化分数提供了方法和理论依据。

关键词：循环小数、分数、公式一、纯循环小数化分数公式的推导及其应用由95=0.·5,把1、2、3、4、5、6、7、8被9除，经运算我们得到：91=0.·192=0.·293=0.·394=0.·495=0.·596=0.·697=0.·798=0.·8从以上结果可以得知：当9作除数，被除数是小于9的自然数时，其商全部是循环小数，且正好是以被除数为循环节，循环节为一位的循环小数。

如何把纯循环小数化成分数？把循环节为两位的纯循环小数化成分数1、把0.·1·1化成分数解：0.·1·1⨯100=11.·1·1①0.·1·1⨯1=0.·1·1②由①式－②得0.·1·1（100－1）=11所以0.·1·1=99112、把0.·2·8化成分数解：0.·2·8⨯100=28.·2·8①0.·2·8⨯1=0.·2·8②由①式－②得0.·2·8（100－1）=28所以0.·2·8=99283、把0.·7·4化成分数解：0.·7·4⨯100=74.·7·4①0.·7·4⨯1=0.·7·4②由①式－②得0.·7·4（100－1）=74所以0.·7·4=9974把循环节为三位的纯循环小数化成分数1、把0.·74·7化成分数解：0.·74·7⨯100=747.·74·7①0.·74·7⨯1=0.·74·7②由①式－②得0.·74·7（100－1）=747所以0.·74·7=9997472、把0.·74·7化成分数解：0.·74·7⨯100=747.·74·7①0.·74·7⨯1=0.·74·7②由①式－②得0.·74·7（100－1）=747所以0.·74·7=999747我们看循环节为四位的纯循环小数2、把0.·513·9化成分数解：0.·513·9⨯1000=5139.·513·9①0.·513·9⨯1=0.·513·9②由①式－②得0.·513·9（100－1）=5139所以0.·513·9=99995139由以上推导以此类推我们用归纳法得到纯循环小数化分数的定理：任何一个纯循环小数都可以化成分子是以纯循环小数的一个循环节表示的自然数，分母全是由9组成且9的位数与循环节的位数相同的分数。

循环小数化分数的方法循环小数是指小数部分有重复数字的小数，例如1.3333……，这种小数在书写时通常会用上横线或者括号来表示循环节，但有时候我们需要将循环小数化成分数形式，那么该如何进行呢？接下来我们就来探讨一下循环小数化分数的方法。

首先，我们需要明确循环小数的含义。

循环小数是指小数部分有一段数字不断重复出现，这段数字称为循环节。

比如0.3333……中的3就是循环节。

化循环小数为分数的方法有两种，一种是直接利用循环节的性质进行推导，另一种是利用代数方法进行转化。

接下来我们将分别介绍这两种方法。

首先是直接利用循环节的性质进行推导。

对于一个循环小数a.bc(def)…，其中括号内的def为循环节，我们可以利用10的倍数关系进行转化。

具体来说，我们将循环小数表示为x，然后乘以一个适当的倍数10^n，将结果减去x，再进行因式分解，就可以得到一个关于x的方程。

通过解这个方程，我们就可以得到循环小数对应的分数形式。

这种方法需要一定的代数知识和计算技巧，但对于一些简单的循环小数来说，是比较直接有效的。

其次是利用代数方法进行转化。

对于循环小数a.bc(def)…，我们可以将其表示为x=(a.bc(def)…)，然后再乘以一个适当的倍数10^n，将结果减去x，再进行因式分解，就可以得到一个关于x的方程。

通过解这个方程，我们就可以得到循环小数对应的分数形式。

这种方法需要一定的代数知识和计算技巧，但对于一些简单的循环小数来说，是比较直接有效的。

总结一下，化循环小数为分数的方法有两种，一种是直接利用循环节的性质进行推导，另一种是利用代数方法进行转化。

无论采用哪种方法，都需要一定的代数知识和计算技巧。

希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地理解循环小数化分数的方法，从而在实际问题中灵活运用。

各种循环小数化成分数的方法归纳对于循环小数，即小数部分有固定的重复数字序列的数，我们可以运用不同的方法将其转化为分数形式。

以下将归纳各种循环小数化分数的常用方法。

1. 考虑公式法对于纯循环小数（循环数字序列位于小数点之后的情况），可以通过观察循环数字的位置和位数，利用公式法进行转化。

例如，对于纯循环小数0.3333...，我们可以设该数为x，将小数部分的数字序列乘以适当的倍数，使其与原数的小数部分相等，即10x=3.3333...。

然后，通过相减操作，我们可以得到9x=3，进而解得x=1/3。

因此，0.3333...可以化为1/3。

类似地，其他的纯循环小数也可以通过类似的公式法进行转化。

需要注意的是，求解分数的过程中，必须保证数字序列对齐，并且乘以的倍数要恰好使得序列对齐。

2. 借用十进制转分数法对于混循环小数（循环数字序列位于小数点之中），我们可以运用十进制转分数法转化。

例如，对于混循环小数0.2(345)，我们可以设该数为x，从小数点之后的第一个重复数字开始到最后一个数字所构成的数字记为y。

接着，我们可以得到两个方程：1000x = 2345.345... 和 10x = 2.345...。

通过两个方程相减，我们可以得到990x = 2343，进而解得x = 2343/990，最后化简得x = 13/5。

因此，0.2(345)可以转化为13/5。

同理，其他的混循环小数也可以通过十进制转分数法进行转化，只需根据循环数字序列的长度和位置定义适当的方程。

3. 利用凑整法对于一些特殊的循环小数，我们可以运用凑整法进行化分。

例如，对于0.3(40)，我们可以将该数设为x，对于小数点之后的重复部分0.3(40)，我们可以将它记为y。

接着，我们可以得到两个方程：10x = 3.404... 和 100x = 34.044...。

通过两个方程相减，我们可以得到90x = 34.044 - 3.404 = 30.64，进而解得x = 30.64/90，最后化简得x = 382/1125。

循环小数如何化分数众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。

那么无限小数能否化成分数?首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。

无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。

那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。

其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。

所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。

策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子：⑴把0.4747……和0.33……化成分数。

想1：0.4747……×100=47.4747……0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747…… =47那么0.4747……=47/99想2：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几(即一个循环节的位数是几)，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。

想1：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以, 0.4777……=43/90想2：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32 所以, 0.325656……=3224/9900不是所有无限小数都可以化分数，只有循环小数可以化成分数。

小学奥数：循环小数化分数概念无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。

循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。

混循环小数可以*10^n(n为小数点后非循环位数)，所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。

方法1.无限循环小数，先找其循环节(即循环的那几位数字)，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时(0.1)^(n)=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。

方法2：设0.3333......，三的循环为x，10x=3.3333.......10x-x=3.3333.......-0.3333......(注意：循环节被抵消了)9x=33x=1x=1/3第二种：如，将3.305030503050.................(3050为循环节)化为分数。

解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a10000a-a=30509999a=3050a=3050/9999算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。

再把整数部分乘分母加进去就是(3×9999+3050)/9999=33047/9999还有混循环小数转分数如0.1555.....循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0分子为非循环节+循环节(连接)-非循环节+15-1=1414/90约分后为7/45。