平面向量
一. 教学内容：
平面向量
二. 教学重点、难点及教学要求：
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2. 掌握向量的加法和减法。
3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直等问题，掌握向量垂直的条件。
6. 掌握两点间距离公式，以及线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。
三. 知识串讲
（一）向量的基本运算
1. 有关概念
（1）向量—既有大小又有方向的量叫做向量
常用有向线段表示向量
（3）共线向量（平行向量）—方向相同或相反的向量叫做平行向量（即共线向量）。 向量可以在平面（空间）平行移动而不变。
规定：零向量与任一向量平行。
［练习］
2. 向量的加法、减法与数乘。
（1）向量的加法是用三角形法则来定义的。
例如：
如图：向量的多边形
法则：多个向量相加，将它们顺序“头尾相接”，则以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量，即为这多个向量的和向量。
（3）实数与向量的积
（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式） 这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的 所有向量的一组基底。
［练习］
解：在平行四边形ABCD 中
分析：∵点在上，可知与共线，得，再用以为起点P AB AP AB AP t AB O →→→→=→
证明：∵A 、P 、B 三点共线
则存在唯一实数t ，
注意：这是一个充分必要条件命题，可判定三点共线。
_______________
分析：∵与共线平行存在实数，使，即a b m a m b e k e →→⇔→=→→+→
()12
（二）向量的坐标运算
3. 向量平行的坐标表示
（三）平面向量的数量积
1. 数量积的概念
规定：零向量与任一向量的数量积为零。
2. 运算法则：
3. 重要性质
（四）平移
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形F'，这一过程叫做图形的平移。
—平移公式
【典型例题】
例1. 若非零向量，满足，则与所成角的大小为αβαβαβαβ→→→+→=→-→→→
|||| ___________。
解析：由可画出几何图形，如图：||||αβαβ→+→=→-→
得平行四边形OACB 为矩形，
注：本题考查向量的概念，几何意义，向量的几何运算，等基本知识
例2. 化简以下各式：
结果为零向量的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析：对于①AB BC CA AC CA →+→+→=→+→=→
答案：D
例3. 已知是△的重心，求证：G ABC GA GB GC →+→+→=→
分析：由三角形重心的性质，GA ＝2GD ，GB ＝2GE ，GC ＝2GF ，和向量加法的平行四边形法则，不难证明。
证明：延长AG 至H ，使DH ＝DG ，其中D 为BC 中点，
则GBHC 为平行四边形
例4. 设两个非零向量与不共线，a b →→
三点共线。
分析：要证明、、三点共线，只需证明存在实数，使A B D BD AB λλ→=→
即可。
证明：（）∵，，1283AB a b BC a b CD a b →=→+→→=→+→→=→-→
()
又它们有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线。
例5. 若向量，，，，，，则等于a b c c →=→=-→=-→
()()()(
)111112
解析：设，则：c m a n b →=→+→
答案：B 例6. 已知，和，两点，若点在直线上，且，又点0006312()()A P OA OP PA P =
解析：由已知，得，OA →
=()63
∴B 点坐标为（4，2）
答案：（4，2）
注：本题传统上用定比分点公式求解。
若直接用向量的坐标运算，显得思维简捷。
例7. 设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：a b c →→→
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
解析：①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；
由“两边之差小于第三边”，故②真；
所以垂直，故③假；
真。
答：D 。
例8. 已知向量和的夹角为°，且，，则a b a b a b →→→=→=→-→
120252||||()
解析：∵··()222a b a a b a →-→→=→-→→
答案：13
例9. 设，，，，且与有关系a b a b k a b →=→=→→→+→
(cos sin )(cos sin )||ααββ
解：（）∵13||||k a b a k b →+→=→-→
例10. 设，，是互相垂直的单位a m i j b i m j i j →=+→-→→=→+-→→→
()()(131 解析：由题设，得：
答案：－2
例11. 设△的内角满足，若，，ABC B B B BC a CA b 22850cos cos -+=→=→→=→
解：由已知22850cos cos B B -+=
