第二讲：函数的单调性
一、定义：
1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 的某个区间D 的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间.
注意：增函数的等价式子：0)
()(0)]()()[(2
1212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;
难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？
（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？
2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 的某个区间D 的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.
注意：(1)减函数的等价式子：0)
()(0)]()()[(21212121<--⇔
<--x x x f x f x f x f x x ；
(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明
例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有
.0)
()(2
121>--x x x f x f 则（ ）
A.)(x f 在这个区间上为增函数
B.)(x f 在这个区间上为减函数
C.)(x f 在这个区间上的增减性不变
D.)(x f 在这个区间上为常函数
变式训练：定义在R 上的函数)(x f 对任意120x x <<都有
1)
()(2
121<--x x x f x f ，且函
数)(x f y =的图象关于原点对称，若,2)2(=f 则不等式0)(>-x x f 的解集为___.
例3.证明：函数x x x f +=3)(在R 上是增函数.
变式训练：讨论)0()(>+=a x
a
x x f 的单调性.并作出当1=a 时函数的图象.
变式训练：已知上的单调性，
在判断函数)1,0()
()(,2)1(2x
x f x g x x x f =-=+并用定义证明.
题型二：函数的单调区间
难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？ （2）函数x x f 1
)(=的单调减区间是),0()0,(+∞-∞Y 上吗？
例1.（图像法）求下列函数的单调区间
（1）|2||1|)(-++=x x x f . (2)3||2)(2++-=x x x f .
（3）|54|)(2+--=x x x f .
例2.（直接法）求函数x
x
x f +-=
11)(的单调区间.
例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( )
A.)2,(--∞
B. )1,(--∞
C.),1(+∞
D. ),4(+∞
变式训练：求下列函数的单调区间.
（1）3
1
2+-=x x y （2）652+-=x x y
（3）2
2311x
x y ---
=
题型三：抽象函数的单调性问题
例1.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. (1) 证明：)(x F 是R 上的增函数； (2) 若,0)()(21>+x F x F 求证：221>+x x .
例2定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对任意正数b a ,，都有)()()(ab f b f a f =+； ②当1>x 时，0)(（2）使用单调性的定义证明：函数)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）求满足2)13(>+x f 的x 的取值集合.
题型四：函数单调性的应用
（1）利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. ①正向应用：
②逆向应用：
例1.()x f 在()+∞,0上单调递减，那么()12+-a a f 与⎪⎭
⎫
⎝⎛43f 的大小关系是__________.
变式训练：已知函数),1()1()(x f x f x f -=+满足且对任意的)(1,2121x x x x ≠>，有
.0)()(2121>--x x x f x f 设),3(),2(),2
1
(f c f b f a ==-=则c b a ,,的大小关系_________.
（2）利用函数的单调性解不等式
例2.设)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-成立，求x 的取值围.
变式训练.①设)(x f 是定义在]3,3[-上的偶函数，当30≤≤x 时，)(x f 单调递减，若)()21(m f m f <-成立，求m 的取值围.
②（2015全国二）设函数)12()(,11
)1ln()(2
->+-
+=x f x f x x x f 则使得成立的x 的取值围是（ ）
A. )1,31(
B. ),1()31,(+∞-∞Y
C. )31,31(-
D. ),31
()31,(+∞--∞Y
③（2018全国一）设函数()20
1 0
x x f x x -⎧=⎨
>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值围 是（ ） A ．(]1-∞-，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
（3）根据函数的单调性求参数的取值围
例1.如果函数1)1(42)(2+--=x a x x f 在区间),3[+∞上是增函数，则实数a 的取值围是（ ）
A.（1,2）
B.（0，2）
C.（0，1）
D.[)+∞-,2
变式训练：如果函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在区间)4,[-∞上是减函数，求实数a 的取值围.
例2.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,
0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值围是
__________.
