几何概型与古典概型的区别

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探究2 解与面积相关的几何概型问题的三个关键点． (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几 何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
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思考题2
(1)(高考真题·北京卷)设不等式组
0≤x≤2， 0≤y≤2
①求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； ②求候车时间不超过10分钟的概率； ②求乘客到达车站立即上车的概率．
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【思路】 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 结果 【解析】 ①如下图所示，设相邻两班车的发出时间为 T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分 钟”为事件A.
【解析】 ∵区间[－1，2]的区间长度为3，随机数x的取值区
间[0，1]的区间长度为1，
∴由几何概型知x∈[0，1]的概率为13.
【答案】
1 3
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(2)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求 AM的长大于AC的长的概率．
【思路】 点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的 区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上 时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′.
思考题1 某人向平面区域|x|＋|y|≤ 2 内任意投掷一枚飞 镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为________．
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【解析】 区域|x|＋|y|≤ 2是边长为2的一个正方形区域(如 图)，由图知所求概率为π4.
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自助餐
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与线性规划有关的几何概型问题 (仅供先学必修五的学校使用)

3.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B 相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 6 1 D. 8 ( B )
( C)
5 A. 18
Hale Waihona Puke 4 B. 9解析：A，B，C，D 4名同学排成一排有A 4 4 ＝24种排法.当A，C 之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排 4＋2 1 法，所以所求概率P＝ ＝ . 24 4
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(2)(2019· 武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数 依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是 7 A. 36 1 B. 2 19 C. 36 5 D. 18 ( C )
[解析]投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为 1≤a≤6，a∈N *， 所以a和b的组合有36种. * 1 ≤ b ≤ 6 ， b ∈ N ， 若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a. 当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可 取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6； 当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2 19 ＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝ . 36
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①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只 有有限个不同的基本事件； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A； ②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件 个数m； m ③利用古典概型的概率公式P(A)＝ n ，求出事件A的概率.

k n k n
种取法.
摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从 袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球}, 基本事件总数为 6×5 A 所包含基本事件的个数为 4 × 3 4×3 2 故 P( A) = = . 6×5 5
5 8 1 4 6 9 3 10 7
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中事件概率的计算
摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=?
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 某城市每周发生7次车祸， 某城市每周发生 次车祸，假设每天发生 次车ห้องสมุดไป่ตู้ 车祸的概率相同. 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 的概率 车祸 天
几何概型 (等可能概型的推广)
如果一个随机试验的样本空间 Ω 是一个大小 可以度量的几何区域。向区域内任意投一点， 落在区域内任意点处都是“等可能的”，则 称这类随机试验为几何概型。
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个人， 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 个人 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 率为 求这 个人的生日互不相 同的概率. 同的概率 人 任一天
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个旅客， 个车站 有n个旅客，乘火车途经 个车站，设每 个旅客 乘火车途经N个车 个人在每站下车的概率为1/ 个人在每站下车的概率为 N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率 定的 个站各有一人下车的概率. 个站各有一人下车的概率 旅客 车站

即
P({ei })
1 n
,
i 1, 2,
,n.
若事件 A 包含其样本空间 S 中 k 个基本事件,即 A {ei1} {ei2 } {eik },
则事件 A 发生的概率
k
k
P( A) P eij P eij
j1
j1
k n
A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
例 1.10 将1, 2, 3, 4 四个数随意地排成一行,求下列各事件的概
设试验的样本空间为 S {e1, e2 , , en} .在古典概型的假设下,
试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1}) P({e2}) P({en}) . 又由于基本事件是两两互不相容的.因而
1 P(S) P({e1} {e2}
{en})
P({e1}) P({e2}) P({en}) nP({ei}) ,
(1)事件 A 中共有 2 种排法,因而
P( A) 2 1 . 24 12
(2)事件 B 中有 2 (3!) 12 种排法,故有
P(B) 12 1 . 24 2
(3)先将数字1和 2 排在任意相邻两个位置,共有 23种排法, 其余两个数可在其余两个位置任意排放,共有 2!种排法,因而事件 C 有 23 2 12种排法,即
出的 n 只球中至少有 m 只红球} , Bm { 取出的 n 只球中恰有 m 只红球
} ,求 P( Am ) 及 P(Bm ) m min(n, M ) .
解 （i）放回抽样
在放回抽样的情况下,从 N 只球中取 n 只,共有 N n 种取法.
事件 Am 相当于从 n 次取球中先选取 m 次,使得这 m 次都取红球, 剩下的 n m 次可以任意取,因而 Am 中总的取法有 Cmn M m N nm 种.