绳子拉船问题

绳子拉船问题的理解与求解、绳子拉船问题的理解 1 •绳子拉船问题如图1所示，在水面上方h 高的岸上，某人利用绕过定 滑轮0的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动 绳子的速度大小为 V ，则当绳子0A 与水平面的夹角为B 时， 小船运动的速度为多大。

2 •常见错误及原因分析对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率 V 沿竖直和水平两个方向分解， 如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的 速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即 V 船=Vcos 0(1)造成上述错误的原因， 就是没有分清楚合运动与分运动, 收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。

实际上，绳子 动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。

3 •常规解法如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边 的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面， 绳子绕定滑轮 0顺时针转动。

因此，可将绳 A 端(或小船)水平 向左的实际运动(合运动)分解成上述两个方向的分运动，如图 3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V ，故小船运动的速度为^(2)1 •功能原理法设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计, 中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即 间相同，则有：：，即P 人=P 船设人对绳子的拉力为 F ,则绳对船的拉力大小也为 F ,根据功率的计算公式 P=FVcos a,S3错误地认为与船相连的绳子沿 A 端与船相连，它的实际运则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程 W 人=W 船，由于人拉绳与绳拉船的时 (3)(4)联立（3 ）、（4 ）、（5）式可得出COS©■题■绳联物体的速度分解问题【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度V o拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成B角时，求物体A的速度。

★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。

物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。

绳长缩短的速度即等于V i V o ;二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度B的值。

这样就可以将V A按图示方向进行分解。

所以V i及V实际上就是V A的两个分速度，如图所示，由此可得V i V oV Acos cos解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在B角位置经△ t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△ L,如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，A ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有Lxcos ，两边同除以△ t得：t即收绳速率V o V A COS，因此船的速率为:x -cos tV0V oV ACOS总结：微元法”可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。

人对绳子的拉力为F,则对绳子做功的功率为R Fv0;绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ,则绳子对物体做功的功率为P2F V A COS，因为P1P2所以V oV ACOS评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出v A v0 COS的错误结果；②当物体A向左移动，B将逐渐变大，v A逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。

总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。

【例题】如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体•用绳子跨过定滑轮C,由地面上的人以均匀的速度v o向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离S到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？★解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。

［全解］设人运动到B点时，绳与地面的夹角为&人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：V o COS 。

物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度,v v o COS_V o S_:厂h .. s 2 h 2 h 。

答案：v命,八sh h［小结］分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人 向前的运动是实际的运动， 是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向， 这两个运动的物理意义是明确的， 从滑轮所在的位置来看， 沿绳的方向的运动是绳伸长的运动， 垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动， 人同时参与了这两个运动， 其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动 M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 m 沿斜面升高•问：当 B 角，且重物下滑的速率为 v 时，小车的速度为多少？★解析：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个 v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率V 运动，如图所示，由图可知， v'= v cos 0.【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 分别为V A ,V B ,则（BD ）A . V A VB B . V A V BC . V A V BD .重物B 的速度逐渐增大【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质 点）。

将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成 a 角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ,求此时B 球的速度V B ?★解析：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速【例题】如图所示，重物 滑轮右侧的绳与竖直方向成B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小度为V AI ; —个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。

而B 球沿斜槽上滑的运动为合 运动，设其速度为 V B ,可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为 V BI ，V BI =V AI ；个使杆摆动的分运动设其速度为 V B2；由图可知： V B 1 V B sin V A 1 V A cosV B V A COt【例题】如图所示，临界角C 为45°的液面上有一点光源 S 发出一束光垂直入射到水平 放置于液体中且距液面为 d 的平面镜M 上，当平面镜M 绕垂直过中心 0的轴以角速度3做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？故Vcos 2液体的临界角为 C ,当20 =C=45°时，V达到最大速度vmax求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向， 然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向★解析：设平面镜转过B 角时，光线反射到水面上的P 点，光斑速度为 V ，由图可知:且V 丄 ，而Vcos2L.2- 2cos2的速度相等即可求出【例题】一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V o 匀速运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为 0,求竖直杆运动的速度。

★解析：设竖直杆运动的速度为 V i ，方向竖直向上，由于弹力方向沿 V o 、V i 在OP 方向的投影相等，即有 V o SinV i cos ，解得V i =V o 。

tan 0【例题】一根长为L 的杆OA , O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球 A ，靠在一个质 量为M ,高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计， 试求当物块以速度 v 向右运动时，小球A 的线速度V A （此时杆与水平方向夹角为 0）。

★解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点 B 为连结点。

（不直接选 A 点，因为A点与物块速度的V 的关系不明显）。

因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方 向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度 V ; B点又在棒上，参与沿棒向 A 点滑动的速度V i 和绕O 点转动的线速度 V 2。

因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向 分解，由速度矢量分解图得：V 2=vsin 0设此时OB 长度为a ，贝U a=h/sin 0。

令棒绕O 点转动角速度为 3,贝 w =v 2/a=vsin 2 0h 。

故 A 的线速度 V A = wL =vLsin 20h 。

浅谈“运动速度的分解”中隐形的知识点李泽龙高中物理力学、电学、光学部分，速度的正交分解这一知识点常常“隐形”的渗透到不 同运动方向的两个或多个连结体运动的情景中，或者运动物体的速度瞬间发生突变时的情景中。

如果解题者稍有不慎， 就会因不能辩识出或者不能正确的应用速度分解， 而造成对整道 题的解答错误。

下面例举几道常出现速度分解的典型例题加以讨论分析， 把握此知识点出现的规律性，以便灵活、准确的应用。

OP 方向，所以.速度投影类的速度分解1.速度分解“隐形”在力学的超重、失重物理情景中例1.如图1，在不计滑轮摩擦和绳质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（）A.绳的拉力大于A的重力B.绳的拉力等于A的重力C.绳的拉力小于A的重力D.拉力先大于A的重力，后小于重力图1分析与点拨：此类问题通常是通过定滑轮造成绳子两端的连接体运动方向不一致，导致主动运动物体和被动运动物体的加速、减速的不一致性。

解答时必须运用两物体的速度在各自连接处绳子方向投影相同的规律。

解析：把小车的速度为合速度进行分解，即根据运动效果向沿绳的方向和与绳垂直的方向进行正交分解，分别是V2、V1。

如图1所示，题中物体A的运动方向与连结处绳子的方向相同，不必分解。

A的速度等于V2，v2 VCOS，小车向右运动时，逐渐变小，可知V A V2逐渐变大，故A向上做加速运动，处于超重状态，绳子对A的拉力大于重力，故选项A正确。

2.速度分解“隐形”在杆的各点运动速度不同的情景中例2.如图2所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面，滑到图示位置时，B点的速度为v，则A点的速度是_____________ （为已知）。

图2分析与点拨：由于杆 AB 下滑时各点的速度不同，但各点速度沿杆方向的投影相同，即 沿杆方向的速度效果相同，所以把两端点的速度必须向沿杆方向上和杆垂直的方向上正交分 解。