高三理科数学模拟试卷Ⅰ卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设全集U ＝[－2，2]，若集合A 满足C U A ＝[1，2），则A ＝__________. 【答案】[){}21,2U -【解析】在数轴上分别作出集合A C U U 与，根据补集的概念，可得[){}21,2U -=A . 2．在复平面内，复数20161i i iz +-=对应的点所在第 象限. 【答案】一 【解析】22112)1(11i i i i i z +=++=+-=∴z 表示的点所在的象限是第一象限． 3．某校有甲、乙、丙3个高三理科班. 其中甲班有47人，乙班51人、丙班49人.现分析3个班的一次数学考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校3个理科班的数学平均成绩是 分． 【答案】89【解析】3个理科班的数学平均成绩是8987319032=⨯+⨯=x . 4.分别从集合{}4,3,2,1=A 和集合{}9,8,7,6,5=B 中各取一个数,则两个数之积为奇数的概率为 . 【答案】103【解析】从集合A 和集合B 中各取一个数共有:)9,1(),8,1(),7,1(),6,1(),5,1(, )9,2(),8,2(),7,2(),6,2(),5,2(,),8,3(),7,3(),6,3(),5,3()8,4(),7,4(),6,4(),5,4(),9,3(,)9,4(共20个,其中满足条件的有:)9,3(),7,3((),5,3(),9,1(),7,1(),5,1(共6个,故所求概率为103206==p .5. 已知，则．【答案】1- 【解析】cos cos()cos()cos()2cos()cos2(13666666x x x x x πππππππ+-=-++--=-=⨯⨯=- 6.右图是一个算法的流程图，该算法中若输出y 的值为16，则输入x 的值为__________； 【答案】4或—1【解析】 输出值,16=y 当4=x 时,不满足3<x ,则代入;1624==y 又由43=-x 推得1-=x 时,再则代入1624==y ,综上x 的值为4或—1.7.设21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点,若在双曲线C上存在一点P,使21PF PF ⊥,且︒=∠3021F PF ,则双曲线C 的离心率为 . 【答案】13+【解析】由 a PF PF 221=-,由题意得c a PF c PF +=∴=2,12,222)2()2(c c c a =++∴,即,0222=--e e .13,1+=∴>e e Θ8. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 【答案】a 或2a【解析】由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得ACA1F ＝AFA1D ，即2ax ＝3a －xa ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .9.已知周期为4的函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=]3,1(,21]1,1(,1)(2x x x x x f ，则方程x x f =)(3的解的个数为个.【答案】3 数)(x f y =的图象及3x y =【解析】作出函的图象,则两个图象的交点个数为3，即方程的解的个数为 3.10.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 则b＝ 【答案】4【解析】ABC ∆中 sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=g g 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 11.点P 是函数xx y 4+=图象上任意一点,过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线, 垂足分别为A,B,则=⋅PB PA .【答案】 2-【解析】设)4,(000x x x P +为函数xx y 4+=图象上任意一点,结合图象知0002224x x x x PA =--=,0x PB =,由O,A,P,B 四点共圆得︒=∠135APB , 2)22(2213500-=-⋅=︒=⋅∴x x PB PA .12．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00 (a 为常数)，表示的平面区域的面积为4，则y x +2的最小值为 .【答案】41-【解析】由题意画出如图1可行域,因为平面区域的面积为4，易得)0,0(),2,2(),2,2(O B A -，用“角点法”，把A ，B ，O 三点的坐标分别代入目标函数y x +2得其最小值为0.由题意画出可行域如图2，令02=+y x ，即2x y -=，由一阶导数x y 2-='，当抛物线2x y -=与直线x y -=相切时，即,12-=-='x y 得21=x ，即得切点),21,21(-P 代入目标函数得：4121412-=-=+y x ，所以y x +2的最小值为41-.13. 已知ABC ∆的面积为1,点D 在AC 上,AB DE //,连结BD,设BDE ABD DCE ∆∆∆,,中面积最大值为y ,则y 的最小值为 . 【答案】253- 【解析】如图:,//AB DE Θ设)1(<<==λθλCACDCB CE , ∴又1=∆ABC S2λ=∆∴∆ABCECD S S ，即2λ=∆CDE S ，又BED ∆与DCE ∆等高，面积之比为λλ=-=)1(:EC BE即：λλ)1(-=∆∆DCE BDE S S λλλλλ+-=⋅-=∴∆221BDE S ,则CDE BDE ABC ABD S S S S ∆∆∆∆--=λλλλ-=-+-=1122,xyO )2,2(A)2,2(-BC图1OC图2O M记：21λ==∆CDE S y)10(22<<+-==∆λλλBDE S yλ-==∆13ABD S y在同一个坐标系中画出图象, 取三个图象的上边沿，如图，由⎩⎨⎧=-=21λλy y 得λλ-=12，012=-+λλ求得:251±-=λ,即215-=λ时 y 取最大值25321511-=--=-=λ. 14.关于x 的不等式x 2－ax －a 2＋1＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】]16,1()1,61[-⋃--.【解析】因为不等式0122<+--a ax x 的解集为A ,且集合中恰好有两个整数,则表明方程0122=+--a ax x 有两个不相等的实数根,即：045)1(4)(222>-=---=∆a a a ,可得：542>a . 设1)(22+--=a ax x x f 的两根为22121211,.,a x x a x x x x -=⋅=+.当012<-a 时,得：1-<a 或1>a .① 当1>a 时,由01,022121<-=⋅>=+a x x a x x （一正一负两实数根）. 结合图象,解集A 中恰好有两个整数,且这两个整数必为1,0.则限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<<0)2(0)1(0)1(0)0(f f f f ，可得a 的解集为]16,1(-；②当1-<a 时,由01,022121<-=⋅<=+a x x a x x （一正一负两实数根）.结合图象：解集A 中恰好有两个整数,且这两个整数必为0,1-，则限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<<-0)1(0)2(0)0(0)1(f f f f ,可得a 的解集为)1,61[--，③当012≥-a 时,即1542≤<a ,得：5521<≤-a 或1552≤<a . （1） 当1=a 时,不等式02<-x x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （2） 当1-=a 时,不等式02<+x x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （3） 当1552<<a 时,221211,a x x a x x -=⋅=+. 由145)1(44)(22221221221<-=--=-+=-a a a x x x x x x .即121<-x x ,所以不等式0122<+--a ax x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （4） 当5521<<-a 时,221211,a x x a x x -=⋅=+. 由145)1(44)(22221221221<-=--=-+=-a a a x x x x x x .即121<-x x ,所以,不等式0122<+--a ax x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. 综上所述,a 的取值范围为]16,1()1,61[-⋃--.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题14分）已知为坐标原点，，．（1）求的最小正周期；（2）将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且 O 2(2sin ,1),(1,23sin cos 1)OA x OB x x ==-+u u u r u u u r 1()12f x OA OB =-⋅+u u ur u u u r )(x f y =()f x 6π()g x ()π2π5π,,,,6363παβ⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦B CA 1B 1C 1M N A，求的值．【解析】（1）由题设有， ，∴函数的最小正周期为．（2）由题设有，又，即，因为所以，∴∴所以16．（本小题14分）如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【解析】 (1)由题意，平面ABC //平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面A 1B 1C 1交于直线A 1B 1，所以MN // A 1B 1． 因为AB // A 1B 1，所以MN //AB ，所以CNAN ＝CMBM ．因为M 为AB 的中点，所以CNAN ＝1，所以N 为AC 中点． (2)因为四边形A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o．在三角形A 1AN 中，AN ＝1，AA 1＝2，由余弦定理得A 1N ＝3， 故A 1A 2＝AN 2＋A 1N 2，从而可得∠A 1NA ＝90o，即A 1N ⊥AC ． 在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ． 又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．34(),()55g g αβ==-cos2()1αβ--21()sin 3sin cos 2f x x x x =-++cos23sin 21sin(2)26x x x π+==+)(x f y =22ππ=()sin()3g x x π=+34(),()55g g αβ==-()()π3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ()π2π5π,,,,6363⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦παβ()ππππ,π,,03232⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎣⎦αβ()()π4π3cos ,cos .3535+=-+=αβ()()()ππsin sin 33⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦αβαβ()()()()ππππsin cos cos sin 3333=++-++αβαβ()()33447,555525=⋅--⋅-=-()22798cos2()12sin ()2.25625--=--=-⨯-=-αβαβ17.（本小题满分14分）如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD ，m ， m ，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？【解析】（1）设钢丝绳长为y m ，，则（其中，）， 当时，即时，.（2）设钢丝绳长为y m ，，则（其中，）.令得，当时，即时.答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短.18. （本小题满分16分）已知椭圆C;221(04)4x y b b+=<<的左右顶点分别为A 、B ，M 为椭圆上的任意一点，A 关于M 的对称点为P ，如图所示，（1）若M 的横坐标为12，且点P 在椭圆的右准线上，求b 的值； （2）若以PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，求b 的取值范围. 【解析】（1）Q M 是AP 的中点， 1,22M A x x ==-，3P x ∴=103AB =33CD =33CFD θ∠=331331tan cos sin cos y θθθθ+==+002πθθ<<<0tan 7θ=2233cos sin sin cos y θθθθ-'=+tan 3θ=34=BE min 8y =CFD θ∠=()33331cos sin sin cos y θθθθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭00θθ<<012333tan 333θ-==()()223333cos sin 331sin cos cos sin sin cos sin cos y θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-'=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y '=sin cos θθ=π4θ=36=BE ()min 6322y =+34=BE 36=BE A ED C B F AE D C BF 图1 图2Q P在椭圆的右准线上，3=，解得209b =. （2）设点P 的坐标为（00,x y ），点M 的坐标为（11,x y ）， 又因为P 关于M 的对称点为A ，所以00112,22x yx y -== 即010122,2x x y y =+=Q PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，∴OM OP ⊥，∴0=*OP OM ，即01010x x y y +=，所以1111(22)20x x y y ++=，即22111y x x =--又因为点M 在椭圆221(04)4x y b b+=<<上，所以221114x y b +=，即221122114414y y b x x ==--， 所以2111122211111144144[1]4[1]4[1]1244(4)8(4)12(4)84x x x x b x x x x x x +++==+=+=+--+-++++-+，因为122x -<<，所以1246x <+<， 所以1112484x x ≤++<+， 所以11112(4)84x x ≤++-+111(12(4)84x x ∈-∞++-+所以(,4(1b ∈-∞+，即(,2b ∈-∞-又因为04b <<，所以(0,2b ∈-19. （本小题满分16分）已知数列}{,32}{2n n n b n n S n a 数列项和的前-=是正项等比数列，满足.)(,112311b a a b b a =--=（1）求数列}{}{n n b a 和的通项公式；（2）记M c N n M b a c n n n n ≤∈⋅=,,,*使得对一切是否存在正整数恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）数列{a n }的前n 项和n n S n 322-=，)2,(541≥∈-=-=∴-n N n n S S a n n n …2分又11-==S a n ，)(54}{*N n n a a n n ∈-=∴的通项公式为数列}{n b 数列Θ是正项等比数列，41,4,131211=∴=-=-=b a a a b ， 公比21=q ，数列)(21}{*1N n b b n n n ∈=-的通项公式为（2）解法一：1254--=⋅=n n n n n b a c ， 由2,024925421411≤≥-=---=--+n nn n c c nn n n n 得123c c c >>∴，当Λ>>><≥+5431,,3c c c c c n n n 即时，又473=c 故存在正整数M ，使得对一切,,*恒成立M c N n n ≤∈M 的最小值为2. （2）解法二：1254--=⋅=n n n n n b a c ，令21ln )21()54()21(4)(,254)(111⋅⋅-+⋅='-=---x x x x x f x x f ，由69.22ln 1450)(≈+<>'x x f 得，函数.),2ln 145(;)2ln 145,()(上单调递减在上单调递增在+∞++-∞x f对于.}{,,47)3(;23)2(,33232*c c c c f c f c N n n 的最大项是即数列<∴====∈故存在正整数M ，使得对一切M c N n n ≤∈,*恒成立，M 的最小值为2.20、（本小题满分16分） 设函数b a x x x f +-=||)((1) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是022=+b a ；(2) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（I ）充分性：若.||)(,0,022x x x f b a b a ====+所以即时)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ，对一切x ∈R 恒成立，)(x f ∴是奇函数 必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即.||||b a x x b a x x ---=+---令.0,,0=-==b b b x 所以得 再令.0,0,0||2,22=+=∴==b a a a a a x 即得（II ）a x b ,0,0322时当=∴<-<Θ取任意实数不等式恒成立， 故考虑(].,||,1,0xbx a x b x x b a x x -<<+-<-∈即原不等式变为时(]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+>∈∴)2(.)()1(,)(,1,0min max x b x a xb x a x 满足只需对对（1）式，由b < 0时，在(]xbx x f +=)(,1,0上为增函数， .1)1()(max b f xbx +==+∴ .1b a +>∴ （3）对（2）式，当(].2,1,0,01b xbx x b x b -≥-+=-<≤-上在时当min ,()b bx x x x x =-=∴-= .2b a -<∴ （4）由（3）、（4），要使a 存在，必须有.2231.01,21+-<≤-⎩⎨⎧<≤--<+b b b b 即∴当.21,2231b a b b -<<++-<≤-时 当(]xbx x f b -=-<)(,1,0,1上在时为减函数，（证明略）min ()(1)1.1,11.bx f b b b a b x∴-==-∴<-+<<-当时综上所述，当a b ,3221时-<≤-的取值范围是)2,1(b b -+； 当a b ,1时-<的取值范围是).1,1(b b -+解法二：.||,322],1,0[,0||)(b a x x b x b a x x x f -<--<∈<+-=即恒成立 由于b 是负数，故.,22b ax x b ax x >--<-且（1）b ax x x g b x b ax x +-=-<∈-<-22)(,322],1,0[设恒成立在，则⎪⎩⎪⎨⎧><+-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<)3(.4)2(,01)1(,0.044,0)1(,0)0(22b a b a b a b g g 即，其中（1），（3）显然成立，由（2），得.1b a +>（*）…10分 （2）b ax x x h b x b ax x --=-<∈>--22)(,322],1,0[0设恒成立在，①.0,0)0(,02<⎪⎩⎪⎨⎧><a h a 即 综合（*），得a b a b b ,3221;01,1时时-<≤-<<+-<值不存在②.22,20.044,1202⎩⎨⎧-<<--≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤b a b a a b a 即 综合（*），得.21,3221;20,1b a b b a b -<<+-<≤-≤<-<时时③⎩⎨⎧-<>⎪⎩⎪⎨⎧>>.1,2.0)1(,12b a a h a即综合（*），得a b b a b ,3221;12,1时时-<≤--<<-<不存在 . 综上，得.11,1;21,3221b a b b b a b b -<<+-<-<<+-<≤-时时数学Ⅱ附加题21.选做题，本题包括A,B,C 三小题，请选其中两小题作答。
