计算机图形学第七章

1 0 Rx ( ) 0 0
0 1 0 0
三维几何变换
0 cos sin 0
0 0 0 1
0 sin cos 0
0 0 0 1
cos 0 R y ( ) sin 0
sin 0 cos 0
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任 意一点P(x,y)在x轴方向y轴方 向分别平移距离tx,ty，则变 换后的新坐标 x’=x+tx y’=y+ty • 用矩阵表示
ty
p
P’
1 0 [ x' , y' ] [ x, y] tx, ty 0 1
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆 P’ 点旋转。图形上任意一点 y’ P(x,y)旋转后的位置为P’(x’,y’)。 p • 若|OP|=R,由图可知： y α • x=Rcosθ,y=Rsinθ θ x’ x O • x’=Rcos(θ+α) 用矩阵表示： =Rcosθcosα-Rsinθsinα cos sin x' , y' x, y =x cosα-y sinα sin cos • y’=Rsin (θ+α) R =x sinα+ y cosα
α
(X0,y0) (X0,y0)
(X0,y0)
α
(X0,y0)
(X0,y0)
绕任意点的旋转
• 用矩阵表示各个过程
x1
x2
y1 1 x
y2 1 x1
y 1 T1
y1 1 T2
1 T1 0 x0
0 1 y0
0 0 1
x' x'

Chapter 7三维变换及三维观察
33
平行投影
C A B A′
投影平面
投影面A′B′C ′在XOY面上 AA′ ⊥ 面A′B′C ′
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦
34
C′ B′
Chapter 7三维变换及三维观察
平行投影
Z
A C A′
Chapter 7三维变换及三维观察
⎛a⎞ α = tg ⎜ ⎟ ⎝b⎠
−1
⎛ c ⎞ β = cos ⎜ ⎟ a 2 + b2 + c2 ⎠ ⎝
−1
24
对称变换
关于面对称：
XOY平面 YOZ平面 ZOX平面
P ′ ( x′ P(x y z) y′ z′)
关于线对称：
X轴 Y轴 Z轴
关于点对称：
原点
根据数学意义进行求 解； 按几何意义进行求 解；
1 * A = A A
−1
26
Chapter 7三维变换及三维观察
逆变换
平移的逆变换 比例的逆变换 整体比例的逆变换 旋转的逆变换
⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ −Tx ⎣
0 1 0 −Ty
0 0 1 −Tz
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦
Y O X
Chapter 7三维变换及三维观察
11
Y
旋转变换：绕Z轴
P′
θ
Z
P
X
⎡ cos θ ⎢ − sin θ ⎢ ⎢ 0 ⎣
⎡ cos θ ⎢ − sin θ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
sin θ cos θ 0

然后实行对称变换：
最后，把坐标恢复至原坐标原点（0，0，0）处，即做逆 变换为：

所以，最后所得齐次坐标的表达式为：
第四节 投影变换

将三维坐标的几何体变换成二维表示的图形就是投影 变换。 投影：将n维的点变换成小于n维的点。 注：以下所讲的概念均是指在三维空间中。 在三维空间中，选择一个点，可称该点为投影中心，不经 过该点再定义一个平面，称该平面为投影面，从投影中心 向投影面引出任意条射线，称这些射线为投影线，穿过物 体的投影线将于投影面相交，在投影面上形成物体的像， 称这个像为三维物体在二维投影面上的投影。 根据投影中心与投影平面之间的距离不同，投影可分 为平行投影和透视投影。平行投影的投影中心与投影平面 之间的距离为无穷大，而对透视投影，该距离是有限的。 投影可分为以下几类：

1.平行投影 平行投影根据投影方向与投影面的夹角分为两类， 即正投影与斜投影，当投影方向垂直与投影平面 时称为正投影，否则为斜投影。如下图：
（1）正投影与三视图 通常所说的三视图（正视图、俯视图、侧视图）均是正投 影
三视图的生成就是把x，y，z坐标系下的形体投影到z＝0 的 平面，变换到u，v，w坐标系。一般情况下还需要将三 个 视图在一个平面上画出。 1）将一个点（X，Y，Z）变成XOZ平面上的投影点（X， 0，Z），得到主视图。
中心思想是先用折线生成圆弧或椭圆弧，然后再对折线进 行变换。此时要考虑： （i）原来逼近的误差在变换后的变化； 简单说明一下变换前后的误差关系。 （ii）折线的段数越多，变换折线的计算量就越大
2）利用“先变换，再生成”的方法变换圆弧、椭圆弧
由解析几何知识可知，椭圆在线形变换下仍为椭圆，而 且中心仍为中心。

此外，我们还可以相对于某一点或某一直线进行对称， 其方法是：先进行适当的平移、旋转再进行平移变换。 例：写出相对于X＝Xa，Z＝Za进行对称的变换。 解：进行对称变换的对称轴是一条平行于y轴的直线，利 用复合变换则有： 首先：把坐标原点移到点（ Xa ，0， Za ）则变换矩阵为：

显示器的设计方案，以后经过改进，成为IBM 2250显示器。它预示着交互式计算机图形学的诞 生。洛克希德飞机公司利用IBM 2250开发了CAD绘 图加工系统，从1974年起向外界转让，成为IBM主 机上目前应用最广的CAD／CAM软件。
DAC-1, 世界上首个用于汽车发动 机设计的CAD系统，1959年由IBM开 发
CAD领域另一个非常重要的研究领域是基于工程图 纸的三维形体重建。三维形体重建就是从二维信 息中提取三维信息，通过对这些信息进行分类、 综合等一系列处理，在三维空间中重新构造出二 维信息所对应的三维形体，恢复形体的点、线、 面及其拓扑关系，从而实现形体的重建。
图形化的用户接口
目前正在研究下一代用户界面，开发面向主流应用 的自然、高效多通道的用户界面。研究多通道语 义模型、多通道整合算法及其软件结构和界面范 式是当前用户界面和接口方面研究的主流方向， 而图形学在其中起主导作用。
（图a）。交互式变形工具可以同时对多个矢量对象进 行变
形（图b）。
(a)交互式调和工具效果
(b)交互式变形工具效果（注 意变形前后两个图形的不同）
图 交互式工具的使用
– 智能绘图工具自动对涂鸦的线条进行识别、判断并组 织成 最接近的几何形状，如图6-10所示。
图 智能绘图工具能将手绘草图 转换成最接近的几何形状
二维矢量绘图与编辑
• 矢量图形对象与绘图工具
– 1.矢量图形对象 – 2.绘图工具
图6-8 矢量绘图软件提供的工具箱
– 交互式工具是矢量绘图软件中的一个非常重要的功能， 通过
一系列的交互工具的使用，可以创建出令人惊叹的效 果。使
用“调和工具”，可以将两个对象通过调和平滑的组 合在一
起，在矢量图形对象之间产生形状、颜色的连续变化