第1章_矢量分析与场论

球坐标系的位置矢量可表示为： r ar r 球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手 螺旋法则。（课本P6）

球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：
ax sin cos cos cos sin a sin sin cos sin cos y a z cos sin
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az= 0 在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为
ay
ax a y
az
A B Ax Ay Az B x B y Bz
=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)
一个大小为零的矢量称为空矢（ Null Vector ）或零矢 （ Zero Vector），一个大小为 1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、 ay、az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。
空间的一点 P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线 上的投影唯一地被确定，如图 1-1 所示。从原点指向 点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角 坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZ
a ρ a a z

三个坐标面的面元矢量与体积元：
dS ρ a ρ dl dlz a ρd dz dS a dl dlz a d dz dS z a z dl dl a z d d dV d d dz
2
1.3 矢量场
1.3.1矢量场的矢量线
矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一 个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标 中，可以表示成如下形式：
A ax Ax ( x, y, z) a y Ay ( x, y, z) az Az ( x, y, z)


矢量线：在曲线上的每 一点处，场的矢量都位 于该点处的切线上。如 电力线，磁力线等。 矢量线方程：
z Z az ax X x O r P(X, Y, Z) Y ay y
图1-1 直角坐标系中一点的投影
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三 个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个 分量分别是 Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量 ax、 ay、 az 可以将矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2
A dr 0

A dr 0
直角坐标系中，其表达 式为：
dx dy dz Ax Ay Az
例1-2 求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
从而有
dy dx 2 2 xy x y dx dz xy 2 y 2 z




1785年法国——库仑(1736~1806)定律 1820年丹麦——奥斯特(1777~1851)发现电流的磁场 1820年法国——安培(1775~1836)电流回路间作用力 1831年英国——法拉第—电磁感应定律 变化的磁场产生电场 1873年英国——麦克斯韦(1831~1879) 位移电流时变电场产生磁场— 麦氏方程组 1887年德国——赫兹(1857~1894) 实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
1.2.2球坐标系：

球坐标系中，空间任意一点P可用三个 坐标变量（r , )来表示。

球坐标系也有三个坐标面：
r x2 y 2 z 2
表示一个半径为r的球面。
0r 0 0 2
坐标面 =常数，表示一个以原点为顶点、以z轴 为轴线的圆锥面。
y 坐标面 arctan( ) 表示一个以z轴为界的半平面。 x
空间任一点P的位置 可以用圆柱坐标系 中的三个变量 来表示。


圆柱坐标系中也有三个相互 垂直的坐标面。 平面 x2 y 2 表示一个以z轴为轴线的半径 为 的圆柱面。 平面 y arctan( ) x 表示一个以z为界的半平面。 平面z=常数 表示一个平行于 xy平面的平面。
0 0 2 z


圆柱坐标系中的三个单位矢量为 a ρ , a , az ,分别指 向 增加的方向。三者始终保持正交关系。 （课本P4） 圆柱坐标系的位置矢量 r aρ az z 圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢 量之间的关系：
结论



Hale Waihona Puke 矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边 形法则 任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢 量的叉积是一个矢量 如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两 个矢量必然互相垂直 如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两 个矢量必然互相平行
1.2 圆柱坐标系和球坐标系


1.2.1 圆柱坐标系
1.1.2矢量的加法和减法
矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐 标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法 的结果仍是矢量
1.1.3矢量的乘积
矢量的乘积包括标量积和矢量 积。 1） 标量积 任意两个矢量A与B的标量积 (Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它 们夹角的余弦之乘积，如图 1-2所示， 记为 A· B=AB cosθ

3、高斯散度定理

V
AdV

S
A dS

矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积 的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.
例 :球面S上任意点的位置矢量为r=xax+yay+zaz，求
r dS
s
解： 根据散度定理知
r dS dV
s v
而r的散度为
z c x 1 解之即得矢量方程 2 2 x y c2
c1和c2是积分常数。
1.3.2矢量场的通量及散度
将曲面的一个面元用矢量 dS 来表示，其方向取为面元的法线方
向， 其大小为dS，即
ds nds
n是面元法线方向的单位矢量。
A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量
ar a a

面元矢量和体积元：
dSr ar dl dl ar r sin d d
2
dSθ a dlr dl a r sin drd dSφ a dlr dl a rdrd dV dlr dl dl r sin drd d
2） 矢量积 任意两个矢量 A 与 B 的矢量积（ Vector Product ） 是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大 小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢 量A与B组成的平面， 如图1-3所示，记为 C=A×B=anAB sinθ an=aA×aB （右手螺旋）
C C＝A×B an aA A (a)
哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，引入一个矢性微分算子：
ax ay az x y z
在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子，是一个微 分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函 数 A 的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散 度的表达式可以写为
结论




divA是一标量，表示场中一点处的通量对体 积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说 所穿出的通量，称为该点处源的强度。 它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。 当divA>0，表示矢量场A在该点处有散发通量 的正源，称为源点； divA<0,表示矢量场A在 该点处有吸收通量的负源，称为汇点； divA=0，矢量场A在该点处无源。 divA≡0的场是连续的或无散的矢量场。
B

Bcos
图1-2 标量积
A
例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系 式： ax· ay=ay· az= ax· az=0 ax· ax=ay· ay=az· az=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表 示为 A· B=AxBx+AyBy+AzBz
标量积服从交换律和分配律，即 A· B=B· A A· (B+C)=A· B+A· C
aρ ax cos a y sin
a ax ( sin ) a y cos

矩阵形式：
a x cos sin a sin cos y a 0 0 z
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B (b)
B A

矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不 为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然 相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积 一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服 从分配律，即 A×B= -B×A A×(B+C)=A×B+A×C
x y z r 3 x y z
所以
3 r d S Α dV dV 3 R s v v
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义 设有矢量场A， l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作 A dl A cos dl