高考物理带电粒子在磁场中的运动解题技巧分析及练习题(含答案)含解析

高考物理带电粒子在磁场中的运动解题技巧分析及练习题(含答案)含解析

一、带电粒子在磁场中的运动专项训练

1．如图所示，虚线MN沿竖直方向，其左侧区域内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，虚线MN的右侧区域有方向水平向右的匀强电场．水平线段AP与MN相交于O点．在A点有一质量为m，电量为+q的带电质点，以大小为v0的速度在左侧区域垂直磁场方向射入，恰好在左侧区域内做匀速圆周运动，已知A与O点间的距离为03mvqB，虚线MN右侧电场强度为3mgq，重力加速度为g．求：

（1）MN左侧区域内电场强度的大小和方向；

（2）带电质点在A点的入射方向与AO间的夹角为多大时，质点在磁场中刚好运动到O点，并画出带电质点在磁场中运动的轨迹；

（3）带电质点从O点进入虚线MN右侧区域后运动到P点时速度的大小vp．

【答案】（1）mgq，方向竖直向上；（2）；（3）013v．

【解析】

【详解】

（1）质点在左侧区域受重力、电场力和洛伦兹力作用，根据质点做匀速圆周运动可得：重力和电场力等大反向，洛伦兹力做向心力；所以，电场力qE=mg，方向竖直向上；

所以MN左侧区域内电场强度mgEq左，方向竖直向上；

（2）质点在左侧区域做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：200mvBvqR，

所以轨道半径0mvRqB；

质点经过A、O两点，故质点在左侧区域做匀速圆周运动的圆心在AO的垂直平分线上，且质点从A运动到O的过程O点为最右侧；所以，粒子从A到O的运动轨迹为劣弧；

又有033AOmvdRqB；根据几何关系可得：带电质点在A点的入射方向与AO间的夹角1260AOdarcsinR；

根据左手定则可得：质点做逆时针圆周运动，故带电质点在磁场中运动的轨迹如图所示：

；

（3）根据质点在左侧做匀速圆周运动，由几何关系可得：质点在O点的竖直分速度003602yvvsinv，水平分速度001602xvvcosv；

质点从O运动到P的过程受重力和电场力作用，故水平、竖直方向都做匀变速运动；

质点运动到P点，故竖直位移为零，所以运动时间023yvvtgg；

所以质点在P点的竖直分速度032yPyvvv，

水平分速度000317322xPxvqEvvtvgvmg；

所以带电质点从O点进入虚线MN右侧区域后运动到P点时速度22013PyPxPvvvv；

2．如图所示，在xOy平面内，以O′(0，R)为圆心，R为半径的圆内有垂直平面向外的匀强磁场，x轴下方有垂直平面向里的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等．第四象限有一与x轴成45°角倾斜放置的挡板PQ，P，Q两点在坐标轴上，且O，P两点间的距离大于2R，在圆形磁场的左侧0

(1)磁场的磁感应强度B的大小；

(2)挡板端点P的坐标；

(3)挡板上被粒子打中的区域长度． 【答案】（1）mvqR (2)(21),0R (3)210422R

【解析】

【分析】

【详解】

（1）设一粒子自磁场边界A点进入磁场，该粒子由O点射出圆形磁场，轨迹如图甲所示，过A点做速度的垂线长度为r,C为该轨迹圆的圆心.连接AOˊ、CO，可证得ACOOˊ为菱形，根据图中几何关系可知：粒子在圆形磁场中的轨道半径r=R，

由2vqvBmr

得：mvBqR

（2）有一半粒子打到挡板上需满足从O点射出的沿x轴负方向的粒子、沿y轴负方向的粒子轨迹刚好与挡板相切，如图乙所示，过圆心D做挡板的垂线交于E点

2DPR(21)OPR

P点的坐标为（(21)R，0 ）

（3）设打到挡板最左侧的粒子打在挡板上的F点，如图丙所示，OF=2R ①

过O点做挡板的垂线交于G点，

22(21)(1)22OGRR②

225-22=2FGOFOGR③

22EGR④

挡板上被粒子打中的区域长度l=FE=22R+5-222R=2+10-422R⑤

3．某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示，区域PP′M′M内有竖直向下的匀强电场，电场场强E＝1.0×103V/m，宽度d＝0.05m，长度L＝0.40m；区域MM′N′N内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2.5×10－2T，宽度D＝0.05m，比荷qm＝1.0×108C/kg的带正电的粒子以水平初速度v0从P点射入电场．边界MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力．

(1) 若v0＝8.0×105m/s，求粒子从区域PP′N′N射出的位置；

(2) 若粒子第一次进入磁场后就从M′N′间垂直边界射出，求v0的大小；

(3) 若粒子从M′点射出，求v0满足的条件．

【答案】(1)0.0125m (2) 3.6×105m/s. (3) 第一种情况：v0＝54.00.8()10/21nmsn (其中n＝0、1、2、3、4)第二种情况：v0＝53.20.8()10/21nmsn (其中n＝0、1、2、3)．

【解析】

【详解】

(1)

粒子以水平初速度从P点射入电场后，在电场中做类平抛运动，假设粒子能够进入磁场，则

竖直方向21··2Eqdtm＝

得2mdtqE

代入数据解得t＝1.0×10－6s

水平位移x＝v0t

代入数据解得x＝0.80m

因为x大于L，所以粒子不能进入磁场，而是从P′M′间射出，

则运动时间t0＝0Lv＝0.5×10－6s，

竖直位移201··2Eqytm＝＝0.0125m

所以粒子从P′点下方0.0125m处射出．

(2) 由第一问可以求得粒子在电场中做类平抛运动的水平位移x＝v0 2mdqE

粒子进入磁场时，垂直边界的速度

v1＝qEm·t＝2qEdm

设粒子与磁场边界之间的夹角为α，则粒子进入磁场时的速度为v＝1vsin

在磁场中由qvB＝m2vR得R＝mvqB

粒子第一次进入磁场后，垂直边界M′N′射出磁场，必须满足x＋Rsinα＝L

把x＝v02mdqE、R＝mvqB、v＝1vsin、12qEdvm＝ 代入解得 v0＝L·2Eqmd－EB

v0＝3.6×105m/s.

(3) 由第二问解答的图可知粒子离MM′的最远距离Δy＝R－Rcosα＝R(1－cosα)

把R＝mvqB、v＝1vsin、12qEdvm＝代入解得

12(1cos)12tansin2mEdmEdyBqBq

可以看出当α＝90°时，Δy有最大值，(α＝90°即粒子从P点射入电场的速度为零，直接在电场中加速后以v1的速度垂直MM′进入磁场运动半个圆周回到电场)

1max212mvmqEdmEdyqBqBmBq

Δymax＝0.04m，Δymax小于磁场宽度D，所以不管粒子的水平射入速度是多少，粒子都不会从边界NN′射出磁场．

若粒子速度较小，周期性运动的轨迹如下图所示：

粒子要从M′点射出边界有两种情况，

第一种情况：

L＝n(2v0t＋2Rsinα)＋v0t

把2mdtqE、R＝mvqB 、v1＝vsinα、12qEdvm＝ 代入解得

0221221LqEnEvnmdnB

v0＝4.00.821nn×105m/s(其中n＝0、1、2、3、4)

第二种情况：

L＝n(2v0t＋2Rsinα)＋v0t＋2Rsinα

把2mdtqE 、R＝mvqB、v1＝vsinα、12qEdvm＝代入解得

02(1)21221LqEnEvnmdnB

v0＝3.20.821nn×105m/s(其中n＝0、1、2、3)．

4．如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m、带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，此时速度方向与x轴正方向的夹角为30°．不考虑电子所受的重力．

（1）求电子进入圆形区域时的速度大小和匀强电场场强E的大小；

（2）若在圆形区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴．求所加磁场磁感应强度B的大小和电子刚穿出圆形区域时的位置坐标；

（3）若在电子刚进入圆形区域时，在圆形区域内加上图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子从N点处飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同．请写出磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的关系表达式．

【答案】（1） （2） （3） （n=1，2，3…）

（n=1，2，3…）

【解析】

（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，速度分解图如图1中所示．

由速度关系可得：

解得：

由速度关系得：vy=v0tanθ=v0

在竖直方向：

而水平方向: 解得：

（2）根据题意作图如图1所示，电子做匀速圆周运动的半径R=L

根据牛顿第二定律：

解得：

根据几何关系得电子穿出圆形区域时位置坐标为（ ，-）

（3）电子在在磁场中最简单的情景如图2所示．

在磁场变化的前三分之一个周期内，电子的偏转角为60°，设电子运动的轨道半径为r，运动的T0，粒子在x轴方向上的位移恰好等于r1；

在磁场变化的后三分之二个周期内，因磁感应强度减半，电子运动周期T′=2T0，故粒子的偏转角度仍为60°，电子运动的轨道半径变为2r，粒子在x轴方向上的位移恰好等于2r．

综合上述分析，则电子能到达N点且速度符合要求的空间条件是：3rn=2L（n=1，2，3…）

而：

解得： （n=1，2，3…）

应满足的时间条件为： (T0+T′)=T

而：

解得 （n=1，2，3…）

点睛：本题的靓点在于第三问，综合题目要求及带电粒子运动的半径和周期关系，则符合要求的粒子轨迹必定是粒子先在正B0中偏转60°，而后又在− B0中再次偏转60°，经过n次这样的循环后恰恰从N点穿出．先从半径关系求出磁感应强度的大小，再从周期关系求出交变磁场周期的大小.

5．如图所示，在第一象限内存在匀强电场，电场方向与x轴成45°角斜向左下，在第四象