数学_2014年上海市崇明区高考数学一模试卷_(含答案)

2014年上海市崇明区高考数学一模试卷

一、填空题（每题4分，共56分）

1. 已知复数𝑧满足等式：2𝑧−𝑧¯=1+6𝑖，则𝑧=________．

2. 若关于𝑥，𝑦的线性方程组的增广矩阵为[𝑚0603𝑛]，方程组的解为{𝑥=−3𝑦=4.则𝑚𝑛的值为________．

3. 直线𝑥=2𝑦+1的一个法向量可以是________．

4. 已知全集𝑈=𝑅，𝐴={𝑥|𝑥2−2𝑥<0}，𝐵={𝑥|log2𝑥+1≥0}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=________．

5. 某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．

6. 函数𝑦=2−𝑥+1，𝑥>0的反函数是________．

7. 已知△𝐴𝐵𝐶，𝐷为𝐴𝐵边上一点，若𝐴𝐷→=2𝐷𝐵→，𝐶𝐷→=13𝐶𝐴→+𝜆𝐶𝐵→，则𝜆=________．

8. 若tan(𝜋4−𝜃)=12，则sin𝜃cos𝜃=________．

9. 已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎2𝑚−1−𝑚𝑥𝑥+1(𝑎>0, 𝑎≠1)是奇函数，则函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为________．

10. （理）将𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四本不同的书分给甲、乙、丙三个人，每个人至少分到一本书，则不同分法的种数为________．

11. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为6的概率是________．

12. （理）(1+√3)6=𝑎+𝑏√3（其中𝑎、𝑏为有理数），则𝑎+𝑏=________．

13. 在二项式(𝑥−1√𝑥)8的展开式中，含𝑥5的项的系数是________（用数字作答）

14. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的左右焦点分别是𝐹1，𝐹2，设𝑃是双曲线右支上一点，𝐹1𝐹2→在𝐹1𝑃→上的投影的大小恰好为|𝐹1𝑃→|，且它们的夹角为arccos45，则双曲线的渐近线方程为________．

15. 在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数𝑧1=𝑎1+𝑏1𝑖，𝑧2=𝑎2+𝑏2𝑖（𝑎1，𝑏1，𝑎2，𝑏2∈R，𝑖为虚数单位），“𝑧1>𝑧2”当且仅当“𝑎1>𝑎2”或“𝑎1=𝑎2且𝑏1>𝑏2”．

下面命题：

①1>𝑖>0；

②若𝑧1>𝑧2，𝑧2>𝑧3，则𝑧1>𝑧3；

③若𝑧1>𝑧2，则对于任意𝑧∈C，𝑧1+𝑧>𝑧2+𝑧；

④对于复数𝑧>0，若𝑧1>𝑧2，则𝑧⋅𝑧1>𝑧⋅𝑧2．

其中真命题是________．（写出所有真命题的序号） 16. 已知𝑡>−1，当𝑥∈[−𝑡, 𝑡+2]时，函数𝑦=|𝑥|𝑥|4|𝑥||的最小值为−4，则𝑡的取值范围是________．

二、选择题（每题5分，共20分）

17. 设𝑎∈𝑅．则“𝑎−1𝑎2−𝑎+1<0”是“|𝑎|<1”成立的（ ）

A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既非充分也非必要条件

18. 已知数列{𝑎𝑛}是无穷等比数列，其前𝑛项和是𝑆𝑛，若𝑎2+𝑎3=2，𝑎3+𝑎4=1，则lim𝑛→∞𝑆𝑛的值为（ ）

A 23 B 43 C 83 D 163

19. 对于函数𝑓(𝑥)=cos2(𝑥−𝜋12)+sin2(𝑥+𝜋12)−1，下列选项中正确的是（ ）

A 𝑓(𝑥)在(𝜋4,𝜋2)内是递增的 B 𝑓(𝑥)的图象关于原点对称 C 𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋 D 𝑓(𝑥)的最大值为1

20. 已知圆𝑂的半径为1，𝑃𝐴，𝑃𝐵为该圆的两条切线，𝐴，𝐵为两切点，那么𝑃𝐴→⋅𝑃𝐵→的最小值为( )

A −4+√2 B −3+√2 C −4+2√2 D −3+2√2

三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）

21. 解方程：log3(𝑥2−3)=1+log3(𝑥−53)．

22. （理）已知命题𝛼:2≤𝑥，命题𝛽:|𝑥−𝑚|≤1，且命题𝛼是𝛽的必要条件，求实数𝑚的取值范围．

23. （文）已知集合𝐴=(−1, 3)，集合𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0}，集合𝐶={𝑥|𝑎−1≤𝑥≤𝑎+1, 𝑎∈𝑅}，并且𝐶⊆𝐴∩𝐵，求𝑎的取值范围．

24. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，𝑆是该三角形的面积．

（1）若𝑎→=(sin𝐵2−cos𝐵2, −12)，𝑏→=(1, sin𝐵2+cos𝐵2)，𝑎→ // 𝑏→，求角𝐵的度数；

（2）若𝑎=8，𝐵=2𝜋3，𝑆=8√3，求𝑏的值．

25. 已知圆𝐶1的圆心在坐标原点𝑂，且恰好与直线𝑙1:𝑥−𝑦−2√2=0相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）设点𝐴为圆上一动点，𝐴𝑁⊥𝑥轴于𝑁，若动点𝑄满足：𝑂𝑄→=𝑚𝑂𝐴→+(1−𝑚)𝑂𝑁→，（其中𝑚为非零常数），试求动点𝑄的轨迹方程𝐶2；

（3）在（2）的结论下，当𝑚=√32时，得到曲线𝐶，与𝑙1垂直的直线𝑙与曲线𝐶交于𝐵、𝐷两点，求△𝑂𝐵𝐷面积的最大值．

26. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1=12，𝑎𝑛+1=𝑛+12𝑛𝑎𝑛．

（1）证明数列{𝑎𝑛𝑛}是等比数列；

（2）求通项𝑎𝑛与前𝑛项和𝑆𝑛；

（3）设𝑏𝑛=𝑛(2−𝑆𝑛)，𝑛∈𝑁∗，若集合𝑀={𝑛|𝑏𝑛≥𝜆，𝑛∈𝑁∗}恰有4个元素，求实数𝜆的取值范围．

27. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑏，𝑔(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏, 𝑐∈𝑅)，对任意的𝑥∈𝑅恒有𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥)成立．

（文1）记ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)，如果ℎ(𝑥)为奇函数，求𝑏，𝑐满足的条件；

(1)当𝑏=0时，记ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)，若ℎ(𝑥)在[2, +∞)上为增函数，求𝑐的取值范围；

(2)证明：当𝑥≥0时，𝑔(𝑥)≤(𝑥+𝑐)2成立；

(3)（理3）若对满足条件的任意实数𝑏，𝑐，不等式𝑔(𝑐)−𝑔(𝑏)≤𝑀(𝑐2−𝑏2)恒成立，求𝑀的最小值．

2014年上海市崇明区高考数学一模试卷答案

1. 1+2𝑖

2. −24

3. (1, −2)

4. (0, 12)

5. 18

6. 𝑦=−log2(𝑥−1)，𝑥∈(1, 2)

7. 23

8. 310

9. (−1, 1)

10. 36

11. 15

12. 328

13. 28

14. 𝑦=±2√6𝑥

15. ①②③

16. [0, 2√2−2]

17. C

18. D

19. B 20. D

21. 解：由原方程化简得log3(𝑥2−3)=log33(𝑥−53)，

∴ {𝑥2−3>03(𝑥−53)>0𝑥2−3=3(𝑥−53)，

解得𝑥=2．

经检验𝑥=2是原方程的实数根．

∴ 原方程的实数根是𝑥=2．

22. 解：∵ |𝑥−𝑚|≤1，

∴ 𝑚−1≤𝑥≤𝑚+1，

即𝛽:𝑚−1≤𝑥≤𝑚+1，

∵ 𝛼是𝛽的必要条件，

∴ 𝑚−1≥2，

即𝑚≥3．

23. 解：由𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0}=[0, 3]，

∵ 𝐴=(−1, 3)

∴ 𝐴∩𝐵=[0, 3)，

要使𝐶⊆𝐴∩𝐵，

则𝑎+1<3且𝑎−1≥0，

那么𝑎∈[1, 2)．

24. 解：（1）角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，

由𝑎→ // 𝑏→，可得(sin𝐵2−cos𝐵2)(sin𝐵2+cos𝐵2)=−12，

∴ sin2𝐵2−cos2𝐵2=−12，得cos𝐵=−(sin2𝐵2−cos2𝐵2)=12．

结合𝐵为三角形的内角，可得𝐵=60∘．

（2）由𝑎=8，𝐵=2𝜋3，𝑆=8√3，

可得12𝑎𝑐sin𝐵=12×8×𝑐×sin2𝜋3=8√3，解得𝑐=4．

根据余弦定理，可得

𝑏=√𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=√64+16−2×8×4×(−12)=4√7．

25. 解：（1）设圆的半径为𝑟，圆心到直线𝑙1距离为𝑑，则𝑑=|−2√2|√12+12=2，2分

圆𝐶1的方程为𝑥2+𝑦2=4，2分

（2）设动点𝑄(𝑥, 𝑦)，𝐴(𝑥0, 𝑦0)，𝐴𝑁⊥𝑥轴于𝑁，𝑁(𝑥0, 0)

由题意，(𝑥, 𝑦)=𝑚(𝑥0, 𝑦0)+(1−𝑚)(𝑥0, 0)，所以{𝑥=𝑥0𝑦=𝑚𝑦0，2分

即：{𝑥0=𝑥𝑦0=1𝑚𝑦，将𝐴(𝑥,1𝑚𝑦)代入𝑥2+𝑦2=4，得𝑥24+𝑦24𝑚2=1，3分

（3）𝑚=√32时，曲线𝐶方程为𝑥24+𝑦23=1，设直线𝑙的方程为𝑦=−𝑥+𝑏 设直线𝑙与椭圆𝑥24+𝑦23=1交点𝐵(𝑥1, 𝑦1)，𝐷(𝑥2, 𝑦2)

联立方程{𝑦=−𝑥+𝑏3𝑥2+4𝑦2=12得7𝑥2−8𝑏𝑥+4𝑏2−12=0，1分

因为△=48(7−𝑏2)>0，解得𝑏2<7，且𝑥1+𝑥2=8𝑏7，𝑥1𝑥2=4𝑏2−127，2分

∵ 点𝑂到直线𝑙的距离𝑑=|𝑏|√2，𝐵𝐷=√2√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=4√67√7−𝑏2．

∴ 𝑆△𝑂𝐵𝐷=12⋅|𝑏|√2⋅4√67√7−𝑏2=2√37√𝑏2(7−𝑏2)≤√3，2分

（当且仅当𝑏2=7−𝑏2即𝑏2=72<7时取到最大值），1分

∴ △𝑂𝐵𝐷面积的最大值为√3．1分．

26. 解：（1）∵ 𝑎1=12，𝑎𝑛+1=𝑛+12𝑛𝑎𝑛．

∴ 当𝑛∈𝑁⋅时，𝑎𝑛𝑛≠0．

又𝑎11=12，𝑎𝑛+1𝑛+1：𝑎𝑛𝑛=12为常数，

∴ {𝑎𝑛𝑛}是以12为首项，12为公比的等比数列．

（2）由{𝑎𝑛𝑛}是以12为首项，12为公比的等比数列得，