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学员姓名: 年级：学科教师:辅导科目:1. 采用课堂提问的方式，提问内容涌盖本节课的基本知识点•2. 学生回答完毕后，老师加以补充，对一些柢念可以举例说明(建议7分钟)授课日期时 间主 «第4讲整式的概念学习目标1. 理解单项式、多项式和整式中的有关概念：2. 知道“指数”与“次数”的联系与区别，能写出单项式中的系数；3. 会把多项式按某一字母进行升麻或降屏排列.教学内容1.观察并思考：(1)2%、-2a 2 . ab\ |x 2y 2 , 〃这些代数式包含哪些运算?>单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式.(单独一个数或者字母也是单项式).>单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.> 单项式的次数：一个单项式中所有字时的指数的和叫做这个单项式的次数.> 注意：单独一个非零数的次数是0，当单项式的系数为1或-1时，这个'T'应省略不写.问题：请说出⑴中的儿个单项式的系数和次数。
(2)2x+3,妒+2々_1, 3亍-垢+&-3这些代数式包含哪些运算>多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.>多项式的项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项.> 常数项：不含字时的项叫做常数项.> 多项式的次数：次数最高项的次数就是这个多项式的次数.问题：清说出(2)中的几个多项式是由哪几个单项式组成的？此中有没有常数项？它们的次数分别是多少？为什么注意：确定多项式的次数时，应先确定每个单项式每个字母的指数：再计算这个单项式中所有字母的指数的和"单项式与多项式的区别：异注意单项式没有加减运算单项式注意系数（包括符号）和次数多项式有加诚运算多项式注意项数和次数I>整式：单项式、多项式统称为整式.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）【知识梳理1】字母表示数例1.用代数式表示：（1）把温度是的水加热到100C,水温升高了 C.（2）—个两位数，个位数字是°,十位数字是切则这个两位数可表示为.（3）用字母表示两个连续奇数为.（4）若正方体的棱长是〃一1,则正方体的表而积为.（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为米2.思路点拨：用字母表示数最关系，关键是理解题意.抓住关抵词句，再用适当的式子表达出来。
讲 义要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数.要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．例：（1） （－4）3 （2）（－2）4 （3）（－32）3归纳：负数的奇次指数幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何整数次幂都是0. 巩固练习： 1计算（－1）10 （－1）7 （－5）3 （－21）42.（1）()4-3（2）4-3（3）33⎛⎫- ⎪2⎝⎭（4）33-2（5）||322112⎛⎫⎛⎫⎛⎫-3⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪323⎝⎭⎝⎭⎝⎭有理数的混合运算时，应注意以下顺序： 1. 先乘方，在乘除，最后加减 2. 同级运算，从左到右进行3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
第4讲 Lingo 软件入门司守奎烟台市，海军航空工程学院数学教研室Email ：sishoukui@4.1 初识Lingo 程序Lingo 程序书写实际上特别简捷，数学模型怎样描述，Lingo 语言就对应地怎样表达。
首先介绍两个简单的Lingo 程序。
例4.1 求解如下的线性规划问题：121212112max726450,128480,s.t.3100,,0z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ Lingo 求解程序如下max =72*x1+64*x2; x1+x2<=50;12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100;说明：Lingo 中默认所有的变量都是非负的，在Lingo 中就不需写出对应的约束。
例4.2 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最短距离。
该问题可以用拉格朗日乘子法求解。
下面我们把问题归结为数学规划模型，用Lingo 软件求解。
设原点到椭圆上点),,(z y x 的距离最短，建立如下的数学规划模型：⎩⎨⎧+==++++.,1s.t.min 22222y x z z y x z y xLingo 求解程序如下： min =(x^2+y^2+z^2)^(1/2); x+y+z=1; z=x^2+y^2;@free (x); @free (y);说明：Lingo 中默认所有变量都是非负的，这里y x ,的取值是可正可负的，所以使用Lingo 函数free 。
例4.3 求解如下的数学规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∑===.,1s.t.min9912100100110012i ii i i ix x x x用Lingo 求解上述数学规划问题，使用集合和函数比较方便，使用集合的目的是为了定义向量，集合使用前，必须先定义；Lingo 程序中的标量不需要定义，直接使用即可。
sets :var/1..100/:x; endsetsmin =@sqrt (@sum (var(i):x(i)^2)); @sum (var(i):x(i))=1;x(100)=@sum (var(i)|i#le#99:x(i)^2); @for (var(i)|i#le#99:@free (x(i)));说明：如果不使用集合和函数，全部使用标量x1,x2,…,x100，最后一个约束就要写99遍，@free(x1); …; @free (x99)。
关系代数第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：2.1 关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类：(1)关系代数语言：如ISBL；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha，Quel)、域关系演算语言(如QBE)；(3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL。
3．关系数据结构及其形式化定义（1）域定义域是一组具有相同数据类型的值的集合。
辅导教案学员姓名：学科教师：年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题幂的运算（一）教学内容《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．幂的运算（一）知识结构模块一：同底数幂的乘法知识精讲内容分析1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘． 例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯，527⎛⎫⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号． （3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．【例1】 下列各式正确吗？不正确的请加以改正． （1）347()()x x x -⋅-=-； （2）246()()x x x --=-； （3）()()121m m m a a a ++--=；（4）5552b b b ⋅=；（5）4610b b b +=； （6）55102x x x ⋅=；（7）5525x x x ⋅=；（8）33c c c ⋅=．【难度】★【例2】 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）567(2)(2)(2)-⨯-⨯-； （2）23a a a ⋅⋅； （3）24()()a b a b +⋅+；（4）235()()()x y x y x y -⋅-⋅-．【难度】★例题解析【例3】 计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）()()334333x x x x x x x x ⋅+⋅⋅+-⋅-⋅；（2）()()()()()3224a a a a a ---+--；（3）12211m n m n m n a a a a a a -++-+⋅+⋅+⋅． 【难度】★【例4】 计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()()()332a a a --⋅--；（2）()()23x y y x --；（3）()()()212222m m x y x y x y -+---．【难度】★★【例5】 简便计算（1）()()16170.1258⨯-；（2）20022001513135⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()315150.1252⨯．【难度】★★【例6】 如果2111m n n x x x -+⋅=，且145m n y y y --⋅=，试求m 、n 的值． 【难度】★★【例7】 求值：（1）已知：29m n n m x x x +-⋅=，求()59n-+的值． （2）已知：()4233x +-=，求x 的值．【难度】★★【例8】 若2216m n ⋅=，求48m n m n ++⋅的值． 【难度】★★★【例9】 解关于x 的方程： （1）21134151294x x x x ++⋅=-⋅； （2）已知351327648x x ++-=． 【难度】★★★【例10】 若312x y z ==，且99xy yz xz ++=，求2222129x y z ++的值． 【难度】★★★1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =（m 、n 都是正整数）【例11】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()42a -；（2）24()a -； （3）2()n n a ； （4）()832；（5）()432⎡⎤-⎣⎦； （6）()33b -；（7）()43x -；（8）323()()x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦．【难度】★【例12】 当正整数n 分别满足什么条件时，()(),nnn n a a a a -=-=-？【难度】★n ()()2223nn 例题解析知识精讲模块二：幂的乘方【难度】★★【例14】计算（1）()2122n n n a a a +++；（2）()()()3834222632x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【例15】计算：（1）()()()22121n n n a b b a a b -+⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦． 【难度】★★【例16】计算：（1）201520152 1.53⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭；（2）()()5562353⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭．【难度】★★【例17】已知23，，m n a a ==求23m n a +的值．【难度】★★【例18】已知2673x x y m m a a a b a b ++⋅⋅⋅=（x 、y 、m 都是正整数），求2x y m +-的值．【难度】★★★【例19】比较大小：（1）比较下列一组数的大小：在552，443，334，225； （2）比较下列一组数的大小：31416181279，，； （3）比较下列一组数的大小：4488，5366，6244． 【难度】★★★【例20】已知()()2222221123451216n n n n ++++++=++L ，求222224650++++L 的值．【难度】★★★【例21】2009201025⨯的积有多少个0？是几位数？【难度】★★★1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘： ()nn n ab a b =（n 是正整数）3、积的乘方的逆用：()n n n a b ab =．【例22】计算：（1）()333m n -；（2）43213a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()32242a b --；（4）541103⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭．【难度】★【例23】计算：（1）342()-a b ；（2）3532()4x y ；（3）23[()]a b -+．【难度】★【例24】计算：（1）()()233232x x +；（2）()()32223332x y x y -；（3）()()433648a b a b -+-；（4）232()[()]a b b a -⋅-．模块三：积的乘方例题解析【难度】★【例25】计算：（1）32332()()y y y ⋅⋅；（2）2323[()]a a a -⋅⋅-；（3）()()3222632x y x y ⎡⎤⎡⎤---+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【例26】用简便方法计算：（1）818139⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）()66720030.1252-⨯；（3）128184⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（4）61245⨯．【难度】★★【例27】已知57,19m n m x x +==，求3n x 的值．【难度】★★★【例28】已知：1123326x x x ++-⋅=，求x 的值．【难度】★★★【例29】计算：()99991111...1123 (98991009998)32⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭．【难度】★★★【习题1】 计算：（1）()3523124m m ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）322373127y y y ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）431()()4x y x y ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．【难度】★【习题2】 计算：（1）()()842263x x x x ⋅+⋅；（2）()()()()224252232a a a a ⋅-⋅；（3）()()()33252352123y yy y y ⎛⎫⋅⋅+-⋅- ⎪⎝⎭． 随堂检测【难度】★【习题3】 计算：()()()()213325m m m a b b a a b b a ++⎡⎤⎡⎤-⋅--⋅-⋅--⎣⎦⎣⎦ 【难度】★【习题4】 填空题：（1）n 为自然数，那么()1n -=______；()21n -=_______；()211n +-=________； （2）当n 为____________数时，()()2110n n -+-=；（3）当n 为____________数时，()()2112n n -+-=．【难度】★★【习题5】 若n 是自然数，并且有理数,a b 满足10a b +=，则必有( ) A ．210n n a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；B ．21210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭；C ．2210n n ab ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； D ．212110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【难度】★★【习题6】 填空：（1）计算：()()5333a b b a --=__________；（2）计算：43()()()m n n m n m ---=__________；（3）计算：()()222x y y x ⎡⎤--⋅-⎣⎦=__________． 【难度】★★【习题7】 用简便方法计算：（1）()()2200320030.045⎡⎤⨯-⎣⎦； （3）200720072 1.53⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭；（4）1111127331982⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【习题8】 如果2228162n n ⋅⋅=，求n 的值．【难度】★★【习题9】 已知a 、b 互为负倒数，a 、c 互为相反数，d 的绝对值为1，则()()20152016201412ab a c d ++-=__________． 【难度】★★【习题10】 已知有理数x ，y ，z 满足()2|2|367|334|0x z x y y z --+--++-=，求 3314n n n x y z x --的值．【难度】★★【习题11】 已知23,26,212a b c ===，求，，a b c 之间的一个数量关系．【难度】★★【习题12】 小杰在学习幂的乘法时，发现()32236a a a ⨯==，()23326a a a ⨯==，两者的 结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的，于是他在计算()32a -与()23a -时，认为结果也应是相同的，你同意他的观点吗？说说你的理由． 【难度】★★【习题13】 三个互不相等的有理数，既可表示为1，a b +，a 的形式，又可表示为0，b a ， b 的形式，则19921993a b +=．【难度】★★★【习题14】 已知：3982b a ==，求22211125525a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 【难度】★★★【作业1】 下列计算正确的是（ ）A ．234235a a a +=B ．()32528a a =C ．3252()2a a a -=-D ．226212m m a a a ⋅=【难度】★课后作业【作业2】 计算：（1）22234xy ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）33223a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）()42313x y a b ⎡⎤--⋅⎢⎥⎣⎦．【难度】★【作业3】计算：()()2436234341233a b a b b a ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ 【难度】★【作业4】 简便计算：（1）20021220028113834⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()201120101294313343⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★62k【难度】★★【作业6】 求值：（1）已知102,103m n ==，求3210m n +；（2）已知5,4,n n x y ==求()32nx y ． 【难度】★★【作业7】 求值：（1）若23n a =，求()43n a 的值． （2）如果()23612m n a b a b ⋅=，求,m n 的值． 【难度】★★【作业8】 若a 、b 、c 都是正数，且22a =，33b =，44c =，比较a 、b 、c 的大小．【难度】★★★【作业9】 已知9999909911,99X Y ==，比较X 与Y 的大小． 【难度】★★★【作业10】 已知：252000x =，802000y =，求11x y +的值. 【难度】★★★。
第4讲 物质的量浓度及一定物质的量浓度溶液的配制[考纲解读] 1.能说出物质的量浓度的含义。
2.能按要求配制一定物质的量浓度的溶液，会进行有关误差分析。
3.会根据物质的量与溶液的体积、溶液的物质的量浓度之间的相互关系进行有关计算。
考点一特别提醒 这里V 是溶液的体积，它不是溶剂的体积，也不是溶剂和溶质的体积之和。
1．观察两个试剂瓶上的标签，回答下列问题。
(1)“5%硫酸铜溶液”中的5%是什么含义？(2)0.4 mol ·L-1 NaCl 溶液中的0.4 mol ·L-1表示的含义是什么？(3)从上述两种溶液中分别取出5 mL ，它们的浓度分别是 、 。
2．在一定温度下，某饱和氢氧化钠溶液体积为V mL ，溶液密度为d g·cm －3，质量分数为w ，物质的量浓度为c mol·L －1，溶液中含氢氧化钠的质量为m g 。
(1)用w 来表示该温度下氢氧化钠的溶解度(S )为_________________________________。
(2)用m 、V 表示溶液中溶质的物质的量浓度(c )为_________________________________。
(3)用w 、d 表示溶液中溶质的物质的量浓度(c )为__________________________________。
(4)用c 、d 表示溶液中溶质的质量分数为_________________________________________。
3．有硫酸镁溶液500 mL ，它的密度是1.20 g·cm －3，其中镁离子的质量分数是4.8%，则有关该溶液的说法不正确的是 ( )A ．溶质的质量分数是24.0%B．溶液的物质的量浓度是2.4 mol·L－1C．溶质和溶剂的物质的量之比是1∶40D．硫酸根离子的质量分数是19.2%在复习此知识点时，要紧扣定义，由定义出发，运用守恒(溶质守恒、溶剂守恒等)及公式：c＝nV、质量分数＝溶质的质量溶液的质量×100%进行推理，注意密度的桥梁作用，不要死记公式。
第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆【题型目录】【题型目录】题型一： 建坐标系求向量值题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一： 建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．-15B ．-13C ．13D ．14 利用向量坐标运算法则求出95EB ⎛= ⎝，，515EA ⎛=- ⎝1010则(7610BE BF FE BF FC +==+=-，(776,1010EA EF FA CF FA =+=+=-则92855EB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，515EA EB ⋅=-⨯故选：C ．【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（ ）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（ ）A 20OB OE OG ++=B ．2OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：36045= OM AM =2AM ==，22(0,2)(2,2)(2,2)(0,0)0OB OE OG ++=-++-==，选项：()()222022OA OD ⋅=-⨯+-⨯=-，故B 正确，选项：(0,22),(22,2)AG EH ==---所以(0,22)(22,AG EH +=+---22(22)(2)AG EH +=--+选项：(2,2),(2,0)AO OH ==-所以AO 在OH 方向上的投影向量为：222242AO OH OH OH OH OH ⎛⎫-==- ⎪⎭，故D 故选：C.【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（ ）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺 【答案】C【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺）， 5AD =（尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴=，()10,12DE =-，5014494AC DE ∴⋅=-+=（平方尺）． 故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB ，2AD =，3DM MC =，BP PC =，则AM AP ⋅=（ ） A ．6B ．10C ．14D ．38 【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM 的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A , ()2,4,D ()2,0C由BP PC =，则()1,0P , 由3DM MC =，则()2,1M所以()1,4AP =-, ()2,3AM =-所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=故选：C2．（多选题）已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，下列结论正确的是（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【详解】因为ABC 是边长为的等边三角形，AE EB =，的中点，且为原点建立平面直角坐标系，如图所示：，(1,AC =由2AD DC =得22,33AD AC ⎛== ⎝123,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BD 的中点G ，连接GE ，易得GE AD 且GE CO ，⎭，0OC EO EC +=≠，故A 错误；，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故，31,2OA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,OB ⎛=-⎝，0,OC ⎛= ⎝，13OD ⎛=- ⎝所以13,33OA OB OC OD ⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭，23OA OB OC OD +++=，故C 错误；D ，()1,3BC =-，13ED ⎛=- ⎝所以ED 在BC 方向上的投影为132BC ED BC+⋅=故选：BD.3．已知矩形ABCD ，3AB =，4=AD ．P 为矩形ABCD 所在平面内一点，1PA =， PC =则PB PD ⋅=______．【答案】0【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果.【详解】以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：则()()()()0,0,3,0,0,4,3,4A B D C ，设点P 的坐标为(),x y ，则()(3,,,4PB x y PD x =--=-上述两式相减可得：则PB PD ⋅=2x +故答案为：0.4．如图，四边形ABCD 是边长为8的正方形，若14DE DC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=___________.【答案】20 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来EA ，EF 的坐标，然后利用坐标求数量积即可.【详解】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,8E ，()8,4F ，则()2,8EA =--，()6,4EF =-，所以()()268420EA EF ⋅=-⨯+-⨯-=. 故答案为：20.5．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，则a b ⋅=___________.【答案】6-【分析】根据向量的坐标运算求解即可【详解】由图可得()()2,1,3,0a b ==-，故6a b ⋅=- 故答案为：6-题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题【例1】已知在边长为2的正三角形ABC 中，M ､N 分别为边BC ､AC 上的动点，且CN BM =，则AM MN ⋅的最大值为（ ）A ．73-B ．43-C ．13D ．34则(20)BC =，，(1CA =-，，设BM tBC =(0t ≤则t CN CA =(01t ≤≤)，则10)-，，(1N t -，∴(213)AM t =--，，(233)MN t t =-，，∴(21)(23)(3)(3)6MN t t t A M ⋅=-⨯-+-⨯=-当13t =时AM MN ⋅取最大值43-故选：B.【例2】已知OAB △是边长为1的正三角形，若点P 满足()()2OP t OA tOB t =-+∈R ，则AP 的最小值为 AB ．1 CD【答案】C【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立坐标系，∴OAB △为边长为1的正三角形，()1,1,02A B ⎛∴ ⎝⎭，∴()2OP t OA tOB =-+1122t t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，11,2222AP OP OA t ⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴12AP⎛===≥ 故选C ．【例3】在Rt ∴ABC 中，∴C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP ·BP 的最小值为（ ） A ．－12B ．0C ．4D ．－1【答案】A【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.【详解】依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2， 因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )(0≤t ≤2)， 所以CP ＝(t ，2－t )，BP ＝(t ，－t )，所以CP ·BP ＝t 2－＝12时，CP ·BP 取得最小值－故选：A.【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题【例4】已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．22a - B ．232a -C ．243a -D ．2a -()PA PB PC ⋅+；利用平方为非负数的特性求得最小值．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系则()()(,3,,,,PA x a y PB a x y PC a x =--=---=-所以()PA PB PC ⋅+()()(),3,,x a y a x y a x y --⋅---+--⎡⎤⎣⎦ ()(),32,2x a y x y --⋅-- 22223y ay +-【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 【例5】在直角∴ABC 中，90,1BCA CA CB ∠=︒==,P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．1[,1]2B ．12[,22C ．22[]22D ．2[2【答案】D【详解】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围． 详解：∴直角∴ABC 中，∴BCA=90°，CA=CB=1，∴以C 为坐标原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，如图：C （0，0），A （1，0），B （0，1），()11AB =-，， ∴AP =λAB ， ∴λ∴[0，1]()11AP λ=-，，()1CP ，λλ=-，()11PB ，λλ=--． CP •AB ≥PA •PB ，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0，点睛：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想． 【例6】已知AB AC ⊥， 1AB t=， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t--17-≤= 13（当且仅当14t t =，即12t 时取等号），所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．，则(,PA x =-，(1PB =--，(1PC x =-则22()222[(PA PB PC x x y +=-+-当0x =，32y =时，取得最小值32(4⨯-故选：B ．2．在ABC 中，满足AB AC ⊥，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则()OA OB OC ⋅+的最小值为（ ）A ．0B ．C ．12-D ．2【分析】由已知可得ABC 为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得【详解】由AB AC ⊥，2AB AC ==ABC ∴为等腰直角三角形，以A 为原点，AB ，AC 为x 轴和y 轴建立直角坐标系，如图所示，M 是BC O 是线段∴可设O 2(2OB ∴=，(,OC x =-，(,OA x =-()222OB OC x ∴+=-，()()()2224OA OB OC x x x ∴⋅+=---=故当24x =时，()OA OB OC ⋅+的最小值为1故选：C ．3．在Rt ABC 中90,2,4C CB CA ∠=︒==，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP ⋅的值可以为（ ） A ．12-B ．0C ．5D ．1-【答案】AB【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得CP ·BP 的最值得选项.【详解】解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，所以CP ＝(t ，，BP ＝(t ，－所以CP ·BP ＝t 2－－t )＝2t 2＝12时，CP ·BP 取得最小值－时，CP ·BP 取得最大值故选：AB.4．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．28 可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得【详解】以A 为原点，则(,),(2,2),(32MA x y MB x y MC =--=---=-(MA MB MB MC MC MA x =⋅+⋅+⋅=5．如图，在∴ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，A ＝60°．若D 为BC 边上的任意一点，M 为线段AD 的中点，则()MB MC AD +⋅的最大值是_____．()MB MC AD +⋅，再利用二次函数的最值，142122⨯⨯⨯=，(232,2),(2,MB MC x AD x +=--=-()2(232)4MB MC AD x x +⋅=-+=当32x =时，()MB MC AD +⋅的最大值，最大值是故答案为：7.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题. 6．已知0AB AC ⋅=，M 是BC 的中点(1)若2AB AC =，求向量AB AC -与向量AB AC +的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上的任意一点，且22AB AC ==，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值．）建立直角坐标系，设出数据，写出向量AB AC -与向量AB AC +的坐标，代入夹角公式，计算的坐标，写出各个向量的坐标，代入⋅+⋅OA OB OC OA 计算得关于x ）因为0AB AC ⋅=，所以为原点，AB y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．AC a =，则，所以()(2,,2,AB AC a a AB AC a -=-+=设向量AB AC -与向量AB AC +的夹角为θ，所以()()2243cos 555AB AC AB AC a a a a AB AC AB ACθ-⋅+-===⋅-⋅+；22AB AC ==，所以[],,0,12x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，⋅+⋅OA OB OC OA()2OA OB OC OA OM =⋅+=⋅ 12,1,222x x x x ⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244x x x x ⎫⎛-+-⎪ ⎝⎭当且仅当12x =时，⋅+⋅OA OB OC OA 取得最小值58-． 题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题 【例1】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅ 1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∴3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛ ⎝⎭,∴又∴16AD BC =,则5,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.【例2】如图，四边形ABCD 满足：1,2,3AB AD BD BC C π====∠=．若点M 为线段BD 上的动点，则AM CM ⋅的最小值为（ ）A ．54-B ．2516-C ．58-D ．158-【答案】B∴(AM CM x x ⋅=当58x =时，AM CM ⋅的最小值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设【例3】已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]- B ．(2,4)- C ．[2,2]- D ．(2,2)-，则可得AP AB ⋅的表达式，根据(13)D -，.，故(,AP AB x y ⋅=即AP AB ⋅的取值范围是4]，. 故选：A【例4】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中CD DE ⋅的最大值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【答案】A【分析】以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出C 、D 、E 点坐标，然后分类讨论E 在线段DA ，AB ，BC 时，并结合数量积的坐标公式求DE CD →→⋅的最大值即可求解. 【详解】以BC 、BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图:可得(0,1)A ，(0,0)B ，(1,0)C ，(1,1)D ， ∴当E 在DA 上，设1(,1)E x ，其中101x ≤≤， 此时1(1,0)DE x →=-，(0,1)CD →=， 故0DE CD →→⋅=；∴当E 在AB 上，设1(0,)E y ，101y ≤≤， 此时1(1,1)DE y →=--，(0,1)CD →= 110DE CD y →→⋅=-≤此时DE CD →→⋅最大值为0；∴当E 在BC 上，设2(,0)E x ，其中201x ≤≤， 2(1,1)DE x →=--，(0,1)CD →=，此时1DE CD →→⋅=-，综上所述，DE CD →→⋅的最大值是0. 故选：A ．【例5】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（ ）A ．83B ．214C ．114-D ．133-(AM DM a ⋅=-【详解】以B 点为原点，以所示，过点D 作因为,AB BC ⊥，则(2,),(3,AM a DM =-=-所以36(3)(2AM DM a a a ⋅=+-=-所以AM DM ⋅的最小值为214. 故答案为：B.【题型专练】1．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为__________．点坐标，求出各点及()AP PB PD ⋅+的坐标，代入所(,AP x x =，(1PB =-，(,1PD x =-()2(1AP PB PD x ∴⋅+=2114(044x x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭当14x =时，函数有最大值为()AP PB PD ∴⋅+的取值范围是4⎣⎦2．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为______. 【详解】则(32,PA PB +=-325PA PB +=+故答案为：5【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，求：(1)DE CB ⋅的值； (2)DE DC ⋅的最大值． 【答案】(1)1，(2)1【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. (1)解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()()0,0,0,1,1,1D C B ，设()()1,,01E x x ≤≤， 所以()()1,,1,0DE x CB ==， 所以1101DE CB x ⋅=⨯+⨯=； (2)因为()()1,,0,1DE x DC ==， 所以101DE CB x x ⋅=⨯+⨯=， 因为01x ≤≤，所以DE DC ⋅的最大值是1.4．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==.（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅.（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅的最大值. （3）若45EAF ∠=︒，求AE AF ⋅的最小值. ）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求EF AC ⋅.由EN EF λ=求N 关于应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求AN NB ⋅，则45DAE ∠=︒-，可得cos AF AE θ⋅=，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求AE AF ⋅的最小值【详解】1,1(1,EF =-,(2,1)AC =∴32EF AC ⋅=. （2）由（1）知，设1),(1,(,1,22EN EF x y λλλλ===---1(1,12N λλ+-，1(1,1),(1,2AN NB λλλ=+-+=-+∴2115(1)(1)224AN NB λλλλλ⋅=+-+-=-+=-时，AN NB ⋅最大值∴cos 45AF AE AF AE ⋅=21cos 2sin 22222θθ=++当且仅当24590θ+︒=︒时，等号成立，故AF AE ⋅最小值是5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，2CD =，60DAB ∠=︒，（1）AD DC ⋅=________．（2）P 是AB 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为___________．）根据图形，应用数量积的定义求AD DC ⋅即可.）令PA BA λ=且0≤，将PC PD ⋅转化为()()PA AD DC PA AD ++⋅+，结合数量积的运算律得到关的函数，即可求最小值【详解】（1）由题设知：1||||cos604242AD DC AD DC ⋅=︒=⨯⨯=.（2）若PA BA λ=且01λ≤≤，∴PD PA AD =+，PC PD DC PA AD DC =+=++，∴2()()PC PD PA AD DC PA AD PA AD PA DC PA ⋅=++⋅+=+⋅+⋅2PA AD AD DC AD +⋅++⋅，∴22325302025()115PC PD λλλ⋅=-+=-+，故当35λ=时，PC PD ⋅的最小值为11.故答案为：4，11. 题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．由正八边形的性质可得轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，A 、C 、E 点坐标及AE 、AF 、AC 坐标，根据AE AC AF λμ=+的坐标运算可得答案.【详解】45⎫=⎪， 18045135-=，所以22.5，13522.5112.5-∠=-=HAB CAB ，所以180∠=AHO ，轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2=====OD OF OE OA OC ，(0,2F 2=MC ，所以(22,2=AE ，(2,2=AF ，(22,0=AC 由AE AC AF λμ=+得()22,22,0μ+即()222222222λμμ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得22-， 所以2222λμ+=-+-【例2】设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． (2221288PA PA PA x +++=22.5|OP ≤【详解】以圆心为原点，所在直线为于是(2221288PA PA PA x +++=cos 22.5||1OP ≤≤，所以245x ≤+，故222128PA PA PA +++的取值范围是故答案为：[1222,16]+．【题型专练】 1.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ）A. ()2,6-B. (6,2)-C. (2,4)-D. (4,6)-【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【例1】（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值 ()30,090α<<，所以)30),sin(30)α+， ()2sin ,2cos BC αα=-.由2OA OC +化简为30)根据；由OA OC ⋅化简为1sin(230)2α++根据α的范围可判断B ；由2OA BC +化简为60)+根据α的范围可判断C ；由OA BC ⋅化简为214sin α-根据α的范围可判断D.【详解】由题意30BCA ∠=，2,90BC A =∠=，所以3,1AC AB ==，设OCB α∠=，的补角即AB 与x 轴正半轴的夹角()30,090ABx αα∠=+<<，)30),sin(30)α+，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，(2sin BC α=-所以()3sin(30),sin(30)2cos OA OC ααα+=+++()()2223sin(30)sin(30)2cos OA OC ααα+=+++224sin (30)4cos 4sin(30)cos αααα=++++54sin(230)α=++，由于090α<<，所以30230210α<+<，3090+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为2OA OC +有最大值为459+=，无最小值， 故||OA OC +有最大值无最小值，即错误；所以12cos 30)sin(230)2OA OC α⋅==++， 由于090α<<，所以30230210α<+<，23090α+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为1130)2α++的最大值为131+=，无最小值，故OA OC ⋅有最大值()()22230)2sin sin(30)2cos OA BC ααα+=-+++22223sin (30)4sin 43sin(30)sin sin (30)4cos 4sin(30)cos αααααααα=++-++++++24sin (30)443sin(30)sin 4sin(30)cos ααααα=++-+++423sin(260)α=++，090α<<，所以60260240α<+<，6090+=得15α=时，sin(260)α+取最大值2OA BC +有最大值423+，无最小值，||OA BC +有最大值3+无最小值，故C 错误；23sin 30)2cos sin(30)OA BC ααα+⋅-=+ 33123sin sin 2cos sin cos 222ααααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭23sin α--=090α<<，所以0sin 1α<<，2314sin 1α-<-<，OA BC ⋅既无最大值也无最小值，故选：BD.【例2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，∴ABE ，∴BEC ，∴ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．3+C ．3D ．所以1cos 2AP ⎛ =⎝．3,2BD =⎛ ⎝故331sin 22AP BD α⎛⋅=⨯⨯ 所以AP BD ⋅的最大值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题【例3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ．若BC =2AC =，E 为半圆1O 弧的中点，F 为半圆2O弧上的任一点，则⋅BE AF 的最大值为（ ）A ．BC ．D ．4 点坐标，用坐标法计算⋅BE AF ，利用三角函数性质求得最大值．轴建立平面直角坐标系，则2(3,3),(cos BE AF θ=--=3cos 3BE AF θ⋅=-+-322ππθ≤≤，则344ππθ≤+所以⋅BE AF 取得最大值3故选：B.【题型专练】1.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）A．1B C．2D．故(cosOB=同理可求得，即(sin=OCθ所以(cos sin,cos)(sin,cos sin⋅=+⋅+OB OCθθθθ所以当sin21θ=时，OB OC⋅取得最大值为2，故选：C．2．如图，在半径为4的扇形AOB中，=120∠，点P是AB上的一点，则·AOBAP BP的最小值为（）A．8-B．3-C．2-D．4-，建系，写出各点的坐标，将·AP BP表示为关于所在的直线为2π则(4cos AP =，(4cos BP =所以，()(4cos 234cos ·AP BP =⋅因为，203πθ≤≤，所以56π≤. 则，当62ππθ+=，即时，该式子有最小值为A. 3．（多选题）已知扇形AOB 的半径为1，120AOB ∠=︒，点C 在弧AB 上运动，12OC xOA yOB =+，下列说法正确的有（ ）A ．当C 位于A 点时，x y +的值最小B ．当C 位于B 点时，x y +的值最大 C ．CA CB ⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．OC BA ⋅的取值范围33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π03θ，A 因为12OC xOA yOB =+，而(1CA=-，12CB⎛=-⎝所以1(cos cos2CA CBθ⋅=---113cos222θ--sinθ⎛-+⎝2π3θ，所以ππ5π666θ+,故12≤所以CA CB⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()(cosOC OA OB⋅-=，sin)θ，3,2⎛-⎝因为2π3θ，所以ππ5π666θ+,故-⎝π3cos6θ⎛⎫⎡⎤∴+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴3()2OC OA OB⎡⋅-∈-⎢⎣故选：ACD4．如图，点C是半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB上的点．(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+的最小值：(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅的取值范围．，则OC OD t ⎛+=- ⎝222222OC OD t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22时，min 22OC OD +=，即OC OD +的最小值为2.11⎛⎫⎛⎫3⎡⎤所以cos CE CD ⎛⋅= ⎝30,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则所以1,12CE CD ⎡⋅∈⎢⎣。
第4讲 匀变速直线运动常用公式本节公式较多，基本公式选择要注意以下几点： 公式ax v v at t v x at v v t 2,21,202200=-+=+=中包含五个物理量，它们分别为：初速度 v 0 和加速度 a ，运动时间 t ，位移 x 和末速度 v ，在解题过程中选用公式的基本方法为：1．如果题目中无位移 x ，也不让求位移，一般选用速度公式at v v +=0；2．如果题中无末速度 v ，也不让求末速度，一般选用位移公式2021at t v x +=； 3．如果题中无运动时间 t ，也不让求运动时间，一般选用导出公式v 2-v 02=2ax ； 注 ①对以上公式中加速度 a 有：当物体做加速运动时，a 为正；当物体做减速运动时，a 为负。
②如果物体做初速度为零的匀加速运动，那以上公式中的v 0=0。
③匀变速运动中的各公式均是矢量式，注意各量的符号。
1．会用“面积法”推导匀变速直线运动的位移与时间的关系公式。
2．会用at v v +=0和2021at v x +=推导位移和速度的关系公式。
3．会用匀变速直线运动的规律求解有关问题。
例1．关于匀变速直线运动的位移的下列说法中正确的是（ ）A ．加速度大的物体通过的位移一定大B ．初速度大的物体通过的位移一定大C ．加速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大D ．平均速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大答案：D解析：由位移公式2021at t v s ＋＝可知，三个自变量决定一个因变量，必须都大才能确保因变量大，所以A 、B 、C 均错；根据t v s ＝知，D 正确．例2．下图中，哪些图象表示物体做匀变速直线运动（ ）答案：ABC 解析：匀变速直线运动的位移图线应为抛物线，速度图线应为倾斜直线，而加速度恒定，不随时间变化，所以加速度图线应为平行于t 轴的直线．例3．赛车在直道上加速启动，将进入弯道前的加速过程近似看作匀变速，加速度为10m ／s 2，历时3s ，速度可达（ ）A ．36km ／hB ．30km ／hC ．108km ／hD ．其他值答案：C解析：根据v t ＝v 0＋at 可知车速达到30m ／s ，换算后为C例4．公交车进站时的刹车过程可近似看作匀减速直线运动，进站时的速度为5m ／s ，加速度大小为1m ／s 2．则下列判断正确的是（ ）A ．进站所需时间为5sB ．6s 时的位移为12mC ．进站过程的平均速度为2.5m ／sD ．前2s 的位移是m 9m 2245＝＋＝＝ t v s 答案：AC解析：代数运算时应注意加速度应取为－1m ／s 2，利用速度公式及平均速度公式可判定A 、C 正确．因5s 时车已停下，不再做匀变速直线运动，因此5s 后的运动情况不能确定，不能将时间直接代人位移公式中求解，B 错；前2s 的位移可用平均速度求，但所用的平均速度实为第1s 内的平均速度，对时刻的理解错误，故D 错．例5．图3—7为某物体做直线运动的速度—时间图象，请根据该图象判断下列说法正确的是（ ）图3—7A ．物体第3s 初的速度为零B ．物体的加速度为－4m ／s 2C ．物体做的是单向直线运动D ．物体运动的前5s 内的位移为26m答案：B解析：第3s 初应为2s 时，其速度应为4m ／s ，故A 错；由图线的斜率可知物体的加速度为－4m ／s 2，故B 正确；图线在t 轴下方表示物体的速度方向与设定的正方向相反，即物体从3s 开始返回，故C 错；图线与t 轴围成的面积表示的位移应为t 轴上下面积之差，而路程则用上下面积之和表示，所以实际位移为10m ，而路程为26m ，故D 错．例6.子弹在枪膛内的运动可近似看作匀变速直线运动，步枪的枪膛长约0.80m ，子弹出枪口的速度为800m ／s ，求子弹在枪膛中的加速度及运动时间．答案：a 25m/s 104⨯＝ t ＝2×10－3s解析：子弹的初速度为零，应为已知信息，还有末速度、位移两个已知信息，待求的信息是加速度，各量的方向均相同，均设为正值．选择方程v t 2－v 02＝2as 计算． 加速度25222202m/s 104m/s 80.0208002⨯⨯＝－＝－＝s v v a t 有多个基本方程涉及运动时间信息，分别是速度公式v t ＝v 0＋at 、位移公式2021at t v s ＋＝和平均速度公式2)(0t v v s v s t ＋＝＝，因此可选择的余地很大． 运动时间t ＝（v t —v 0）/a ＝（800—0）／4×105s ＝2×10－3sA1．一物体运动的位移与时间关系)(462为单位以s t t t x -=则（）A ．这个物体的初速度为12 m/sB ．这个物体的初速度为6 m/sC ．这个物体的加速度为8 m/s 2D ．这个物体的加速度为-8 m/s2 答案：BD2．根据匀变速运动的位移公式2/20at t v x +=和t v x =，则做匀加速直线运动的物体，在 t 秒内的位移说法正确的是（ ）A ．加速度大的物体位移大B ．初速度大的物体位移大C ．末速度大的物体位移大D ．平均速度大的物体位移大答案：D3．质点做直线运动的 v-t 图象如图所示，则（ ）A ．3 ~ 4 s 内质点做匀减速直线运动B ．3 s 末质点的速度为零，且运动方向改变C ．0 ~ 2 s 内质点做匀加速直线运动，4 ~ 6 s 内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s 2D ．6 s 内质点发生的位移为8 m答案：BC4．物体从静止开始以 2 m/s 2 的加速度做匀加速运动，则前 6 s 的平均速度是____________，第6 s 内的平均速度是_____________，第6 s 内的位移是___________。
1 七年级数学自招班·第4讲·教师版 关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算． 长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用0补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 总结的说，长除法要求做到：同次对齐，缺项补零，没有退位。
【例1】 用长除法求下列各式的商式与余式： ⑴ 3(234)(3)xxx
⑵ 322(3451)(31)xxxxx
⑶ 4234242xxxx
【分析】 ⑴ 26213203426636182142163592323222xxxxxxxxxxxxxx ⑵
2323222
31331345139313811339134714xxxxxxxxxxxxxx
商式：22621xx，余式：59 商式：313x，余式：4714x
经典例题 知识导航 板块一 长除法与综合除法 4 高次多项式的分解 2 七年级数学自招班·第4讲·教师版 ⑶ 3243243323222
36818230424366461282816184183640xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
商式：3236818xxx；余式：40． 【例2】 ⑴已知2210xx，求5328851xxxx的值． ⑵已知353xx，求7654322496132913xxxxxxx的值．
【分析】 ⑴长除法得5322328851212345xxxxxxxxx， 故当2210xx时，原式5． ⑵由已知有3530xx，长除法得 原式3432532278xxxxxx，故原式8．
