备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_四边形_菱形的判定与性质-填空题专训及答案

备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_四边形_平行四边形的判定-单选题专训及答案平行四边形的判定单选题专训1、(2011泰州.中考真卷) 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）A . 1组B . 2组C . 3组D . 4组2、(2012泰州.中考真卷) 下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、(2011扬州.中考真卷) 已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4、(2017河北.中考模拟) 下列判断错误的是（）A . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B . 四个内角都相等的四边形是矩形C . 四条边都相等的四边形是菱形D . 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形5、(2017东丽.中考模拟) 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A . AB∥CD，AD=BCB . ∠A=∠C，∠B=∠DC . AB∥CD，AD∥BCD . AB=CD，AD=BC6、(2019遵义.中考模拟) 下列说法错误的是（）A . 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7、(2017莒.中考模拟) 下列命题中，真命题是（）.A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相平分的四边形是平行四边形D . 对角线互相垂直平分的四边形是正方形8、(2018济南.中考真卷) 下列命题中，真命题是（）A . 两对角线相等的四边形是矩形B . 两对角线互相平分的四边形是平行四边形C . 两对角线互相垂直的四边形是菱形D . 两对角线相等的四边形是等腰梯形9、(2018滨州.中考真卷) 下列命题，其中是真命题的为（）A . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线相等的四边形是矩形D . 一组邻边相等的矩形是正方形10、(2017河南.中考模拟) 用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（）A . 1.2米B . 1.4米C . 1.6米D . 1.8米11、(2018益阳.中考模拟) 下列判断错误的是（）A . 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B . 四个内角都相等的四边形是矩形C . 四条边都相等的四边形是菱形D . 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形12、(2017新化.中考模拟) 下列说法正确的是（）A . 对角线互相垂直的四边形是菱形B . 矩形的对角线互相垂直C . 一组对边平行的四边形是平行四边形D . 四边相等的四边形是菱形13、(2017娄底.中考模拟) 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（）A . 一组对边平行，另一组对边相等B . 一组对边平行且相等C . 两组对边分别平行D . 对角线互相平分14、(2016湖南.中考真卷) 下列说法错误的是（）A . 对角线互相平分的四边形是平行四边形B . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D . 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形15、(2019福田.中考模拟) 下列命题中真命题是（）A . 有一组对边平行的四边形是平行四边形B . 有一个角为90°的四边形为矩形C . （3，﹣2）关于原点的对称点为（﹣3，2）D . 有两边和一角相等的两个三角形全等16、(2019番禺.中考模拟) 如图，在四边形中，分别是，，，边上的点，某同学探索出如下结论，其中错误的是（）A . 当是各边中点且时，四边形为菱形B . 当是各边中点且时，四边形为矩形 C . 当不是各边中点时，四边形不可能为菱形 D . 当不是各边中点时，四边形可以为平行四边形17、(2020宜兴.中考模拟) 下列叙述，错误的是( )A . 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B . 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C . 对角线互相平分的四边形是平行四边形D . 对角线相等的四边形是矩形18、(2016深圳.中考真卷) 下列命题正确的是（）A . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B . 两边及其一角相等的两个三角形全等C . 16的平方根是4D . 一组数据2，0，1，6，6的中位数和众数分别是2和619、(2019北流.中考模拟) 下列命题是真命题的是( )A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D . 对角线互相平分的四边形是平行四边形20、(2019河池.中考真卷) 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A .B .C .D .21、(2018广安.中考真卷) 下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 422、(2013绵阳.中考真卷) 下列说法正确的是（）A . 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B . 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C . 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D . 对角线相等且互相平分的四边形是矩形23、(2016内江.中考真卷) 下列命题中，真命题是（）A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相平分的四边形是平行四边形D . 对角C线互相垂直平分的四边形是正方形24、(2018贵州.中考模拟) 如图，ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则图中有（）个平行四边形．A . 7个B . 8个C . 9个D . 10个25、(2019安徽.中考模拟) 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A . ，B . ，C .， D . ，26、(2020衡阳.中考真卷) 如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A . AB∥DC,AB=DCB . AB=DC,AD=BC C . AB∥DC,AD=BCD . OA=OC,OB=OD27、(2020宁德.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD和BC 上，下列条件不能判定四边形AECF是平行四边形的为（）A . AF＝CEB . DE＝BFC . AF∥CED . ∠AFB＝∠DEC28、(2020南岗.中考模拟) 下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（）A . 个B . 个C . 个D . 个29、(2020重庆.中考模拟) 下列判断中正确的是( )A . 矩形的对角线互相垂直B . 正八边形的每个内角都是145°C . 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等D . 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形30、(2021资阳.中考真卷) 下列命题正确的是（）A . 每个内角都相等的多边形是正多边形B . 对角线互相平分的四边形是平行四边形C . 过线段中点的直线是线段的垂直平分线D . 三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分平行四边形的判定单选题答案1.答案：C2.答案：B3.答案：B4.答案：D5.答案：A6.答案：C7.答案：C8.答案：B9.答案：D10.答案：B11.答案：D12.答案：D13.答案：A14.答案：D15.答案：C16.答案：C17.答案：D18.答案：D19.答案：D20.答案：B21.答案：A22.答案：D23.答案：C24.答案：B25.答案：C26.答案：C27.答案：28.答案：29.答案：30.答案：。

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

菱形【命题趋势】在中考中.菱形主要在选择题.填空题.解答题考查为主.并结合相似.锐角三角函数结合考查。

【中考考查重点】一、菱形的性质及判定二、菱形与折叠综合考点：菱形性质及判定一、菱形的概念和性质1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直.并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．二、菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3. 四条边相等的四边形是菱形（边）1.（2020春•澧县期末）如图.在菱形ABCD中.对角线AC、BD交于点O.E为AD的中点.菱形ABCD的周长为28.则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形.∴AB＝×28＝7.且O为BD的中点.∵E为AD的中点.∴OE为△ABD的中位线.∴OE＝AB＝3.5.故选：A．2.（2019春•西湖区校级月考）如图.菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.E是AD的中点.连接OE．若OE＝3.则菱形ABCD的周长是（）A．6B．12C．18D．24【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD为菱形.∴AC⊥BD.AB＝BC＝CD＝DA.∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3.且点E为线段AD的中点.∴AD＝2OE＝6．C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．故选：D．3.（2021春•泗水县期末）如图.四边形ABCD是菱形.AC＝12.BD＝16.AH⊥BC于H.则AH等于（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形.AC＝12.BD＝16.∴CO＝AC＝6.BO＝BD＝8.AO⊥BO.∴BC＝＝10.∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96.∵S菱形ABCD＝BC×AH.∴BC×AH＝96.∴AH＝＝故选：B4.（2019•安徽模拟）如图.平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E.F分别是OA.OC的中点.下列条件中.不能判断四边形BEDF是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA＝OC.OB＝OD.∵点E.F分别是OA.OC的中点.∴OE＝OF＝＝.∴四边形EBDF是平行四边形.添加AC⊥BD时.∵BO是△BEF的中线.∴BE＝BF.∴四边形EBFD是菱形.选项A正确；添加AC平分∠BAD.∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB.∴AD＝AB＝BC.在△ABE和△ADE中..∴△ABE≌△ADE（SAS）.∴BE＝DE.∴四边形EBFD是菱形.选项C正确；添加AB＝BC时.∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE和△BCF中..∴△BAE≌△BCF（SAS）.∴BE＝BF.∴四边形EBFD是菱形.选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；故选：B．5.（2020春•南平期末）如图.在▱ABCD中.AC与BD交于点O.下列判断中不正确的是（）A．若AB＝BC.则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD.则▱ABCD是菱形C．若AC平分∠BAD.则▱ABCD是菱形D．若AC＝BD.则▱ABCD是菱形【答案】D【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；C、由AC平分∠BAD.可得四边相等.即可判断▱ABCD是菱形；D、由对角线相等的平行四边形是矩形.可判断▱ABCD是矩形．故选：D．6.（2020•兴庆区校级三模）如图.在菱形ABCD中.过点D作DE⊥AB于点E.作DF⊥BC于点F.连接EF.求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）若∠A＝60°.AD＝4.求△EDF的周长．【答案】（1）略（2）6．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝CD.∠A＝∠C.∵DE⊥BA.DF⊥CB.∴∠AED＝∠CFD＝90°.在△ADE和△CDF.∵.∴△ADE≌△CDF；（2）∵△ADE≌△CDF.∴DE＝DF.∠ADE＝∠CDF.∵菱形ABCD.DE⊥AB于点E.∠A＝60°.∴∠ADC＝120°.∠ADE＝30°.∴∠EDF＝60°.∴△DEF是等边三角形.在Rt△AED中.∵AD＝4.∠A＝60°.∴DE＝2.∴△EDF的周长＝3DE＝6．7.（2021春•平舆县期中）如图.▱ABCD的对角线AC.BD相交于点O.且AB＝5.AC＝8.BD＝6.求证：▱ABCD是菱形．【答案】略【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.且AC＝8.BD＝6.∴AO＝4.BO＝3.∵AB＝5.∴AB2＝AO2+BO2．∴△OAB是直角三角形．∴AC⊥BD．又∵四边形ABCD为平行四边形.∴四边形ABCD为菱形．8.（2020秋•会宁县期中）如图.在四边形ABCD中.BD为一条对角线.AD∥BC.AD＝2BC.∠ABD＝90°.E为AD的中点.连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC.若AC平分∠BAD.AB＝2.求菱形BCDE的面积．【答案】（1）略（2）2．【解答】（1）证明：∵E为AD的中点.∴AD＝2DE＝2AE.∵AD＝2BC.∴DE＝BC.又∵AD∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形.∵∠ABD＝90°.E为AD中点.∴在Rt△ABD中.AD＝2BE.∴BE＝DE.∴四边形BCDE为菱形；（2）解：过点BF⊥AD于点F.如图所示：∵AC平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC.又∵AD∥BC.∴∠BCA＝∠DAC.∴∠BCA＝∠BAC.∴AB＝BC.∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2.∴△ABE为等边三角形.∴∠BAE＝60°.∠BDA＝30°∴在Rt△ABD中.BD＝AB＝2∴在Rt△BDF中.BF＝BD＝.∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2．1．（2019春•江岸区期中）菱形的边长为5.它的一条对角线的长为6.则菱形的另一条对角线的长为（）A．8B．6C．5D．4【答案】A【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝5.AC⊥BD.AO＝CO＝AC＝3.BO＝DO＝BD.∴BO＝＝＝4.∴BD＝8故选：A．2．（2019秋•莲湖区期末）菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等【答案】D【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分.且每一条对角线平分一组对角.∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．3．（2019•长春模拟）如图.在菱形ABCD中.E.F分别是AC.AD的中点.若EF＝2.则菱形ABCD的周长是（）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解答】解：∵E.F分别是AC.AD的中点.∴EF为△ACD的中位线.∴CD＝2EF＝4.∵四边形ABCD为菱形.∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：C．4．（2019春•滨海新区期末）如图.菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.E、F分别是AD、AB边上的中点.连接EF．若EF＝.OC＝2.则菱形ABCD的面积为（）A．B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵E、F分别是AD、AB边上的中点.∴BD＝2EF＝2.∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD.AO＝CO＝2∴AC＝4∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4故选：B．5．如图.点B.C分别是锐角∠A两边上的点.AB＝AC.分别以点B.C为圆心.以AB的长为半径画弧.两弧相交于点D.连接BD.CD.则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线平分一组对角的四边形是菱形C．一组邻边相等的四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形【答案】D【解答】解：由作图得：BA＝BD.CA＝CD.∵AB＝AC.∴AB＝AC＝BD＝CD.∴四边形ACDB是菱形.故选：D．6.（2021春•长春期末）如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.添加一个条件：使平行四边形ABCD是菱形．【答案】AB＝AD（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：AB＝AD.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形.AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形.故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．7.（2021春•上城区校级期中）如图.在△ABC中.点D、E、F分别在边BC、AB、CA上.且DE∥CA.DF∥BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°.那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC.那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC.那么四边形AEDF是菱形．其中.正确的有．（只填写序号）【答案】①③【解答】解：∵DE∥CA.DF∥BA.∴四边形AEDF是平行四边形.故①正确；∵∠BAC＝90°.四边形AEDF是平行四边形.∴四边形AEDF是矩形.故②错误；∵AD平分∠BAC.四边形AEDF是平行四边形.∴四边形AEDF是菱形.故③正确；∵AB＝AC.四边形AEDF是平行四边形.不能得出AE＝AF.故四边形AEDF不一定是菱形.故④错误；故答案为：①③．8.（2021秋•长沙期末）如图.将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长.分别至点E和点F.且使AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10.EF＝24.求菱形EBFD的面积．【答案】（1）略（2）120【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BC.AO＝CO.BO＝DO.∵AE＝CF.∴AO+AE＝CO+CF.即EO＝FO.∵BO＝DO.EO＝FO.∴四边形EBFD是菱形；（2）解：∵四边形EBFD是菱形.BD＝10.EF＝24.∴菱形EBFD的面积＝BD•EF＝×10×24＝1209.（2020秋•龙泉驿区期末）如图1.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D是AB边上任意一点.E是BC边上的中点.过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F.连接BF.CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2.若D为AB中点.求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°.∠ABC＝45°.BE＝4.求的△BDE面积．【答案】（1）略（2）略（3）4+4【解答】（1）证明：∵CF∥AB.∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点.∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED.∴△CEF≌△BED（ASA）.∴CF＝BD.且CF∥AB.∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点.∠ACB＝90°.∴AD＝CD＝BD.且四边形CDBF是平行四边形.∴四边形CDBF是菱形.（3）如图.作EM⊥DB于点M.在Rt△EMB中.EM＝BE•sin∠ABC＝2.∴BM＝2在Rt△EMD中.∵∠EDM＝30°.∴DM＝ME＝2.∴BD＝2+2∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+41．（2021•河南）关于菱形的性质.以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等.正确.不符合题意.B．菱形的对角线互相垂直且平分.对角线不一定相等.不正确.符合题意.C．菱形的对角线互相垂直且平分.正确.不符合题意.D．菱形是轴对称图形.正确.不符合题意.故选：B．2．（2021•烟台）如图.在直角坐标系中.菱形ABCD的顶点A.B.C在坐标轴上.若点B的坐标为（﹣1.0）.∠BCD＝120°.则点D的坐标为（）A．（2.2）B．（.2）C．（3.）D．（2.）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD.∠BCD＝120°.∴∠ABC＝60°.∵B（﹣1.0）.∴OB＝1.OA＝.AB＝2.∴A（0.）.∴BC＝AD＝2.∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1.∴C（1.0）.D（2.）.故选：D．3．（2021•陕西）如图.在菱形ABCD中.∠ABC＝60°.连接AC、BD.则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形.∴AO＝CO.BO＝DO.AC⊥BD.∠ABD＝∠ABC＝30°.∵tan∠ABD＝.∴.故选：D．4．（2021•绍兴）如图.菱形ABCD中.∠B＝60°.点P从点B出发.沿折线BC﹣CD方向移动.移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中.依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°.故菱形由两个等边三角形组合而成.当AP⊥BC时.此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时.此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时.△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时.此时△ABP为等腰三角形.故选：C．5．（2021•朝阳）如图.在菱形ABCD中.点E.F分别在AB.CD上.且BE＝2AE.DF＝2CF.点G.H分别是AC的三等分点.则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE.DF＝2FC.∴.∵G、H分别是AC的三等分点.∴..∴.∴EG∥BC∴.同理可得HF∥AD..∴.故选：A．6．（2021•南充）如图.在菱形ABCD中.∠A＝60°.点E.F分别在边AB.BC上.AE＝BF ＝2.△DEF的周长为3.则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图.连结BD.作DH⊥AB.垂足为H.∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD.AD∥BC.∵∠A＝60°.∴△ABD是等边三角形.∠ABC＝180°﹣∠A＝120°.∴AD＝BD.∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°.∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°.∵AE＝BF.∴△ADE≌△BDF（SAS）.∴DE＝DF.∠ADE＝∠FDB.∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°.∴△DEF是等边三角形.∵△DEF的周长是3.∴DE＝.设AH＝x.则HE＝2﹣x.∵AD＝BD.DH⊥AB.∴∠ADH＝∠ADB＝30°.∴AD＝2x.DH＝x.在Rt△DHE中.DH²+HE²＝DE².∴（x）²+（2﹣x）²＝（）².解得：x＝（负值舍去）.∴AD＝2x＝1+.故选：C．7．（2021•北京）如图.在矩形ABCD中.点E.F分别在BC.AD上.AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形.这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF.理由：∵四边形ABCD是矩形.∴AD∥BC.即AF∥CE.∵AF＝EC.∴四边形AECF是平行四边形.∵AE＝AF.∴四边形AECF是菱形.故答案为：AE＝AF．8．（2021•云南）如图.四边形ABCD是矩形.E、F分别是线段AD、BC上的点.点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠.则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE.AB•AD＝3.求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠.使E.F重合.∴OE＝OF.EF⊥BD.∵四边形ABCD是矩形.∴∠C＝90°.AD∥BC.∴∠ODE＝∠OBF.在△OBF和△ODE中..∴△OBF≌△ODE（AAS）.∴OB＝OD.∵OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD.∴四边形BFDE是菱形．（2）如图.∵AB•AD＝3.∴S△ABD＝AB•AD＝.∵ED＝2AE.∴ED＝AD.∴S△BDE：S△ABD＝2：3.∴S△BDE＝.∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2.∴EF•BD＝4．1．（2022•大渡口区模拟）若菱形的周长为8.高为2.则菱形的面积为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解答】解：∵菱形的周长为8.∴边长＝2.∴菱形的面积＝2×2＝4.故选：B．2．（2021•安徽二模）四边形ABCD中.AD∥BC.点P.Q是对角线BD上不同的两点.若四边形APCQ是菱形.则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP 【答案】D【解答】解：如图.连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴AP＝PC＝CQ＝AQ.AQ∥PC.AC⊥BD.∴∠AQP＝∠CPQ.∴∠AQD＝∠BPC.∵AD∥BC.∴∠ADQ＝∠CBP.在△ADQ和△CBP中..∴△ADQ≌△CBP（AAS）.∴AD＝BC.BP＝DQ.故选项A不合题意；又∵AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB＝CD.AB∥CD.故选项C不合题意；∵AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB.故选项B不合题意；故选：D．3．（2021•肇源县模拟）如图.两张等宽的纸条交叉重叠在一起.重叠的部分为四边形ABCD.若测得A.C之间的距离为3cm.点B.D之间的距离为4cm.则线段AB的长为（）A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm【答案】A【解答】解：如图.过A作AR⊥BC于R.AS⊥CD于S.连接AC.BD交于点O.由题意知.AD∥BC.AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽.∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD.∴BC＝CD.∴平行四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm）.OB＝OD＝BD＝2（cm）.在Rt△AOB中.由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm）.故选：A．4．（2021•柳南区校级模拟）如图.平行四边形ABCD中.∠A＝110°.AD＝DC．E.F分别是边AB和BC的中点.EP⊥CD于点P.则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°【答案】A【解答】解：∵平行四边形ABCD中.AD＝DC.∴四边形ABCD为菱形.∴AB＝BC.∠ABC＝180°﹣∠A＝70°.∵E.F分别为AB.BC的中点.∴BE＝BF.∠BEF＝∠BFE＝55°.∵PE⊥CD.AB∥CD.∴PE⊥AB.∴∠PEB＝90°.∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°.故选：A．5．（2021•海阳市一模）如图.在∠MON的两边上分别截取OA、OB.使OA＝OB；分别以点A、B为圆心.OA长为半径作弧.两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB ＝2cm.四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：根据作图.AC＝BC＝OA.∵OA＝OB.∴OA＝OB＝BC＝AC.∴四边形OACB是菱形.∵AB＝2cm.四边形OACB的面积为4cm2.∴AB•OC＝×2×OC＝4.解得OC＝4cm．故选：C．6．（2022•郑州一模）如图.菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.点P为AB边上一动点（不与点A.B重合）.PE⊥OA于点E.PF⊥OB于点F.若AC＝20.BD＝10.则EF 的最小值为．【答案】（1）略（2）2【解答】解：连接OP.∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.AO＝AC＝10.BD＝BD＝5.∴AB＝＝5.∵PE⊥OA于点E.PF⊥OB于点F.∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°.∴四边形OEPF是矩形.∴EF＝OP.∵当OP取最小值时.EF的值最小.∴当OP⊥AB时.OP最小.∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP.∴OP＝＝2.∴EF的最小值为2.故答案为：2．7．（2021•广东模拟）如图.点F.H是菱形ABCD的对角线BD上的两点.以FH为对角线作矩形EFGH.使点E.G分别在菱形ABCD的边AD.BC上．（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点.FH＝2.求菱形ABCD的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形.∴EH＝FG.EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠DHE+∠EHF＝180°.∠BFG+∠GFH＝180°.∴∠BFG＝∠DHE.∵四边形ABCD是菱形.∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.在△BGF和△DEH中..∴△BGF≌△DEH（AAS）.∴∠AEF＝∠CGH；（2）解：连接EG.∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝BC.AD∥BC.∵E为AD中点.∴AE＝ED.∵△BGF≌△DEH.∴BG＝DE.∴AE＝BG.AE∥BG.∴四边形ABGE是平行四边形.∴AB＝EG.∵四边形EFGH是矩形.FH＝2.∴EG＝FH＝2.∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC＝4AB＝4×2＝8．8．（2021•昆明模拟）如图.在平行四边形ABCD中.CE⊥AB于E.CF⊥AD于F.且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC.若AB＝5.AC＝6.求四边形ABCD的面积．【答案】（1）略（2）24【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.∵CE⊥AB于E.CF⊥AD于F.∴∠BEC＝∠DFC＝90°.在△BEC和△DFC中..∴△BEC≌△DFC（ASA）.∴BC＝CD.∴平行四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O.如图所示：∵四边形ABCD是菱形.AC＝6.∴AC⊥BD.AO＝OC＝AC＝3.BO＝DO.∵AB＝5.AO＝3.∴BO＝.∴BD＝2BO＝8.∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24．9．（2021•朝阳区一模）如图.BD是▱ABCD的对角线.且BD⊥BC.DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB＝9.sin A＝.则点E、F之间的距离为．【答案】（1）略（2）3【解答】（1）证明：∵DE、BF分别是△ABD、△BCD的中线.∴BE＝AB.DF＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD.AB＝CD.∴DF∥BE.DF＝BE.∴四边形DEBF是平行四边形.∵BD⊥BC.∴∠DBC＝90°.∵BF是△BCD的中线.∴BF＝CD＝DF.∴平行四边形DEBF是菱形；（2）解：连接EF交BD于O.如图所示：由（1）得：四边形DEBF是菱形.∴OE＝OF.OB＝OD.EF⊥BD.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CD＝AB＝9.∠C＝∠A.∴sin C＝sin A＝.在Rt△BCD中.sin C＝＝.∴BD＝CD＝×9＝6.∴OB＝BD＝3.由（1）得：BF＝CD＝.∴OF＝＝＝.∴EF＝2OF＝3.故答案为：3．10．（2021•沈阳模拟）如图.在四边形ABCD中.AB∥DC.AB＝AD.对角线AC.BD交于点O.AC平分∠BAD.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F.连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝.BD＝2.请直接写出△OBE的面积为．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：∵AB∥CD.AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∠CAB＝∠DCA.∵AC为∠DAB的平分线.∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形.∴OA＝OC.BD⊥AC.OB＝BD＝1.∴∠AOB＝90°.∴OA＝＝＝3.∴AC＝2OA＝6.∵CE⊥AB.∴∠AEC＝90°＝∠AOB.又∵∠OAB＝∠EAC.∴△AOB∽△AEC.∴＝.即＝.解得：EA＝.∴BE＝EA﹣AB＝﹣＝.过O作OP⊥AE于P.则OP＝＝＝.∴△OBE的面积＝××＝.故答案为：．。

自学资料一、菱形及其性质【知识探索】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【说明】菱形的面积还可用对角线乘积除以2求得．2．菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【说明】（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；2条对称轴，对称轴是其对角线所在的直线．【错题精练】第1页共16页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．（2002•杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【解答】C【答案】C【举一反三】1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则点的坐标是__________。

【解答】二、菱形的判定【知识探索】1．菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形．第2页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【错题精练】例1．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD【解答】C【答案】C例2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．第3页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】例4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；第4页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．【解答】此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．（3分）②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．（5分）又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）（2）①②都成立．（8分）（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD（10分）又∵CD=CB，∴BE=CB．（11分）由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．（12分）方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．（9分）又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB（11分）∴CD=CB．（12分）方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）第5页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG（11分）∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30度．（12分）例5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF=DE．【解答】（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，AD和BC既平行又相等，所以四边形ABCD为平行四边形，而AD=DC=BC，所以平行四边形ABCD为菱形；（2）要证BF=DE，而在原题中已知AE=DE，所以证明的方向就变为证BF=AE，而证BF=AE则可以通过证△FBM≌△EAM来实现．证明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．又邻边AD=DC，∴四边形ABCD为菱形；（3分）（2）证法一：如图：记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．由（1）证得四边形ABCD为菱形，所以对角线AC平分∠A，即∠BAC=∠DAC．又∵EF⊥AC，AG=AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．又∵∠BMF=∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF=AE．第6页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴BF=DE．（8分）证法二：如图：连接BD∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四边形BDEF是平行四边形∴BF=DE（8分）【举一反三】1．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③【答案】A2．（2002•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个第7页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训D. 0个【解答】C【答案】C3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是__________．【解答】首先根据BD⊥CD，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．4．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．5．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．第8页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S平行四边形ABFE；（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，进而可得AC的长度．6．如图，在∠ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．（1）求证：四边形BDEF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．【解答】（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可．（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了．（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，又∵DE=AB，EF=BC，且AB=BC，∴DE=EF，∴四边形BDEF是菱形；（2）7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．第9页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．【解答】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA 判定所求的三角形全等；（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF（2分），∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）（2）1．如图，在菱形ABCD中，BC=3，点是BD的中点，延长BD到点E，使得BD=DE=2，连结CE，点M是CE的中点，则OM=．【答案】√17．22．如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，DF∥BE交BC于点F．第10页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（1）求证：四边形BEDF是菱形．（2）若AB=4，AD=8，请求出菱形BEDF的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90∘，AD∥BC，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，由折叠，得∠Capos;=∠C，DCapos;=DC，∴∠A=∠Capos;，AB=DCapos;，又∵∠AEB=∠Capos;ED，∴△AEB≌△C′ED（AAS），∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：设AE=x，则BE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得42+x2=(8−x)2，解得x=3，∴BE=8−3=5，即菱形BEDF的边长为5．【答案】（1）略；（2）5．3．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABC沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：①若∠A=70∘，则∠ABC=35∘；②若点F是CD的中点，则S△ABE=1S ABCD3下列判断正确的是（）A. ①，②都对；B. ①，②都错；C. ①对，②错；D. ①错，②对．【答案】A4．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上．（1）若BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）请在图2中用圆规和直尺画出四边形AECF，使得四边形AECF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】（1）证明：四边形AECF为平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：如图，四边形AECF就是所求作的菱形．【答案】略．5．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A. 点A；B. 点B；C. 点C；D. 点D．【答案】D6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．；（2）略；（3）略．【答案】（1）837．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．【答案】（1）8；（2）略；（3）略．3● 矩形。

菱形的性质与判定专项训练卷（基础）一．选择题（共10小题）1．下列说法中，正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线相等的平行四边形是菱形2．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD ＝10，则DE的长为（）A．2√10B．4√2C．√38D．4√33．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．94．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm5．如图，已知菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝14，则该菱形的面积等于（）A ．8B ．14C ．24D ．286．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝12，BD ＝16，AH ⊥BC 于H ，则AH 等于（ ）A ．245B ．485C ．4D ．57．如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥BC 交BD 于点E ，若∠BAD ＝118°，则∠CEB ＝（ ）A ．59°B ．62°C ．69°D ．72°8．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．AB ＝ADB ．AO 2+BO 2＝AB 2C ．AC ＝BD D ．∠BAC ＝∠ACB9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上．若点A 的坐标是（3，4），则点B 的坐标为（ ）A ．（5，4）B ．（8，4）C ．（5，3）D ．（8，3）10．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为（ ）A ．3B ．√5C ．2√3D ．√192二．填空题（共2小题）11．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，E ，F 两点分别从A ，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点B ，C 移动，连接EF ，在移动的过程中，EF 的最小值为 ．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为 ．三．解答题（共3小题）13．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4√5，BD＝8，求四边形ABEO的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．。

备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_四边形_菱形的判定-填空题专训及答案菱形的判定填空题专训1、(2018伊春.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是菱形．2、(2018黑龙江.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是菱形．3、(2013泰州.中考真卷) 对角线互相________的平行四边形是菱形．4、(2018鼓楼.中考模拟) 如图，在□ABCD中， E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足________时，四边形EHFG是菱形．5、(2017台州.中考模拟) 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________（只填写序号）．6、(2017芜湖.中考模拟) 如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点F是对角线BD上的一点，EF∥AB交AD于点E，FG∥BC交DC于点G，四边形EFGP是平行四边形，给出如下结论：①四边形EFGP是菱形；②△PED为等腰三角形；③若∠ABD=90°，则△EFP≌△GPD；④若四边形FPDG也是平行四边形，则BC∥AD且∠CDA=60°．其中正确的结论的序号是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．7、(2017瑶海.中考模拟) 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF=2以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）8、(2017东营.中考模拟) 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH= BD其中正确结论的为________（请将所有正确的序号都填上）．9、(2017襄阳.中考模拟) 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________使其成为菱形（只填一个即可）．10、(2017大祥.中考模拟) 用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形________．11、(2019常德.中考真卷) 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是________．（填序号）12、(2016广州.中考真卷) 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．13、(2011内江.中考真卷) 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________条件时，四边形EFGH是菱形．14、(2016兰州.中考真卷) ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．15、(2019三明.中考模拟) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，过点C的反比例函数的图象与AB交于点D，则△COD的面积为________．16、(2020玉林.中考真卷) 如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD________菱形（填“是”或“不是”）.17、(2021河南.中考模拟) 正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．所有正确结论的序号是________．18、(2021益阳.中考真卷) 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）.19、(2021汉川.中考模拟) 如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边，相交于点E，F.若，，则线段的最大值与最小值的和是.20、(2021湖里.中考模拟) 如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）.对于任意，下面四个结论：①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形 .所有正确结论的序号是.菱形的判定填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。

备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_三角形全等的判定-单选题专训及答案三角形全等的判定单选题专训1、(2011连云港.中考真卷) 如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是（）A . 四边形EDCN是菱形B . 四边形MNCD是等腰梯形C . △AEM与△CBN相似D . △AEN与△EDM全等2、(2017天津.中考模拟) 如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A 运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为（）A . 3B . 5C . 7D . 3或73、(2018定兴.中考模拟) 已知正方形ABCD，点E在边AB上，以CE为边作正方形CEFG，如图所示，连接DG．求证：△BCE≌△DCG．甲、乙两位同学的证明过程如下，则下列说法正确的是（）甲：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形∴CB=CD CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD∴∠BCE=∠GCD∴△BCE≌△DCG（SAS）乙：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形∴CB=CD CE=CG且∠B=∠CDG=90°∴△BCE≌△DCG（HL）A . 甲同学的证明过程正确B . 乙同学的证明过程正确C . 两人的证明过程都正确D . 两人的证明过程都不正确4、(2017铁西.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A . =B . AD，AE将∠BAC三等分C . △ABE≌△ACD D . S△ADH =S△CEG5、(2017奉贤.中考模拟) 小明用如图所示的方法画出了与△ABC全等的△DEF，他的具体画法是：①画射线DM，在射线DM上截取DE=BC；②以点D为圆心，BA长为半径画弧，以点E为圆心，CA长为半径画弧，画弧相交于点F；③联结FD，FE；这样△DEF就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判定方法中的（）A . 边角边B . 角边角C . 角角边D . 边边边6、(2017启东.中考模拟) 下列语句正确的是（）A . 对角线互相垂直的四边形是菱形B . 矩形的对角线相等C . 有两边及一角对应相等的两个三角形全等D . 平行四边形是轴对称图形7、(2017宜兴.中考模拟) 下列语句正确的是（）A . 对角线互相垂直的四边形是菱形B . 有两边及一角对应相等的两个三角形全等C . 矩形的对角线相等D . 平行四边形是轴对称图形8、(2013台州.中考真卷) 已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2， A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A . ①正确，②错误B . ①错误，②正确C . ①，②都错误D . ①，②都正确9、(2016荆门.中考真卷) 如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A . △AFD≌△DCEB . AF= ADC . AB=AFD . BE=AD﹣DF10、(2019南山.中考模拟) 如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE ＝S△BDE：③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411、(2016深圳.中考模拟) 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积= AC•BD，其中正确的结论有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个12、(2019广东.中考真卷) 如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接、，为的中点，连接分别与、交于点、.则下列结论：① ；② ；③ ；④.其中符合题意的结论有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个13、(2016深圳.中考真卷) 下列命题正确的是（）A . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B . 两边及其一角相等的两个三角形全等C . 16的平方根是4D . 一组数据2，0，1，6，6的中位数和众数分别是2和614、(2019柳州.中考模拟) 如图，O为平行四边形ABCD两对角线的交点，图中全等的三角形有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对15、(2019柳州.中考真卷) 如图，在□ABCD中，全等三角形的对数共有( )A . 2对B . 3对C . 4对D . 5对16、(2011百色.中考真卷) 下列命题中是真命题的是（）A . 如果a2=b2，那么a=bB . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等D . 对应角相等的两个三角形全等17、(2011百色.中考真卷) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A . ①②③B . ②③④C . ①③⑤D . ①③④18、(2018峨眉山.中考模拟) 如图，已知，添加下列条件还不能判定≌ 的是（）A .B .C .D .19、(2017三台.中考模拟) 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S四边形ECFG =2S△BGE．A . 4B . 3C . 2D . 120、(2016贵州.中考真卷) 下列语句正确的是（）A . 对角线互相垂直的四边形是菱形B . 有两边及一角对应相等的两个三角形全等C . 矩形的对角线相等D . 平行四边形是轴对称图形21、(2016新疆维吾尔自治区.中考真卷) 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A . ∠A=∠DB . BC=EFC . ∠ACB=∠FD . AC=DF22、(2020常山.中考模拟) 如图，已知∠ACB=∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A . ∠ABC=∠DCB B . ∠A=∠DC . AC=DBD . AB=DC23、(2020宜宾.中考真卷) 如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 不等边三角形24、(2020石家庄.中考模拟) 如图，在中，，，，垂足为点，过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设，两点之间的距离为，过点作直线的垂线，垂足为．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（）① ；②当时，；③当时，四边形是平行四边形；④当或时，都有；⑤当时，与一定相似．A . 2条B . 3条C . 4条D . 5条25、(2020衡水.中考模拟) 在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B=∠C，求证：AB=AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个26、(2020邯郸.中考模拟) 如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接，作的中垂线分别交、于点、点，则、两点即为所求（乙）过作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则、两点即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A . 两人皆正确B . 两人皆不正确C . 甲正确，乙不正确D . 甲不正确，乙正确27、(2020新都.中考模拟) 如图，已知，，下列条件中不能判定≌ 的是( )A .B .C .D .28、(2020邵阳.中考真卷) 如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列错误的是（）A .B .C .D .29、(2020温州.中考模拟) 如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A . ∠ABC＝∠DCB B . ∠ABD＝∠DCAC . AC＝DBD . AB＝DC30、(2021成都.中考真卷) 如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（）A .。

备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_四边形_正方形的判定与性质-单选题专训及答案正方形的判定与性质单选题专训1、(2018灌南.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D，E两点，且O点在BC边上，则图中阴影等于（）部分面积S阴A .B .C . 5-D .2、(2019.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM 的长为（）A .B . 8C .D . 23、(2018三明.中考模拟) 如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A .B .C .D . 24、(2018中.中考模拟) 如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）A . 圆形铁片的半径是4cmB . 四边形AOBC为正方形C . 弧AB的长度为4πcmD . 扇形OAB的面积是4πcm25、(2017新泰.中考模拟) 在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（）A . 1B . 1或C . 1或D . 或6、(2017滨州.中考模拟) Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A . 15B . 12C . 13D . 147、(2017德州.中考真卷) 如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五=a2+b2；⑤A，个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFNM，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 58、(2017天门.中考模拟) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A . ②③B . ②④C . ②③④D . ①③④9、(2019衡阳.中考真卷) 如图，在直角三角形中，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为．则关于的函数图象大致为（）A .B .C .D .10、(2019广西壮族自治区.中考模拟) 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（）A .B .C .D .11、(2021四川.中考模拟) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A . 4B . 6.25C . 7.5D . 912、(2019天山.中考模拟) 已知在△A BC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB，AC的切点分别为E，F，延长EF分别与AN，BC的延长线交于P、Q，则＝（）A . 1B . 0.5C . 2D . 1.513、(2018新疆维吾尔自治区.中考真卷) 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现处，折痕与边BC交于点E，则CE 将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1的长为（）A . 6cmB . 4cmC . 3cmD . 2cm14、(2020上海.中考模拟) 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE②△DFP∽△BPH③△PFD∽△PDB④DP2=PH·PC其中正确的有( )A . ①②③④B . ②③C . ①②④D . ①③15、(2020衢州.中考模拟) 如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为，AB=8，则BC的长是（）A .B .C .D .16、(2020沙湾.中考模拟) 如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切，连接．则阴影部分的面积为（）A .B .C .D .17、(2020江北.中考模拟) 如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（）18、(2020云梦.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AB中点，在AD上取一点G，以点G为圆心，GD的长为半径作圆，该圆与BC边相切于点F，连接DE，EF，则图中阴影部分面积为（）A . 3πB . 4πC . 2π+6D . 5π+219、(2020衡阳.中考真卷) 下列各式中，计算正确的是（）A .B .C .D .20、(2021玉州.中考模拟) 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .21、(2020衡阳.中考真卷) 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（）A .B . 函数图象分布在第一、三象限C . 当时，随的增大而增大D . 当时，随的增大而减小22、(2020定安.中考模拟) 如图，在矩形中，，，，则内切圆的半径是（）23、(2020福州.中考模拟) 下列说法错误的是（）A . 矩形的对角线相等B . 正方形的对称轴有四条C . 平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形D . 菱形的对角线互相垂直且平分24、(2020海门.中考模拟) 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A . 40B . 44C . 84D . 8825、(2020秀洲.中考模拟) 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于Ｍ，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF。

中考二轮专项训练——菱形的判定与性质一、单选题1．如图，在ABCD 中， AC 平分 DAB ∠ ， 2AB = ，则ABCD 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．122．已知四边形ABCD 中， AB BC CD DA === ，对角线AC ，BD 相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD = C ．90ABC ∠=︒ D ．ABC BAC ∠=∠3．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．40B ．24C ．20D ．154．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ． 求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A ．甲、乙对，丙错 B ．乙、丙对，甲错 C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错5．如图，CE 是□ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E 、连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：3；④S 四边形AFOE ：S ∠COD ＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知∠ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，小红按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于 12AC 的长为半径在AC 两边作弧，交于两点M 、N ；②连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ；③过C 作CE∠AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ．则四边形ADCE 的周长为（ ）A ．10B ．20C ．12D ．247．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (20)31)A B ，，， ，若平移点 A 到点 C ，使以点 O A C B ，，， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A ．向左平移（ 43 ）个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移 3 个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移3 个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，BF∠AC ，CF∠BD ．若四边形BECF 的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．169．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD，BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（）．A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．42B．62C．2D．5二、填空题11．如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是．（写出一个即可）．12．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为cm2．13．如图，两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是．14．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 .15．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD∠DB ，∠DBE=70°，则∠ADE= .16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 及其外一点A ． 求作：l 的平行线，使它经过点A ．小云的作法如下：(1)在直线l 上任取一点B ；(2)以B 为圆心，BA 长为半径作弧，交直线l 于点C ；(3)分别以A 、C 为圆心，BA 长为半径作弧，两弧相交于点D ；(4)作直线AD ．直线AD 即为所求．小云作图的依据是 ．17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形 ABCD 中， 3AB = ， 2AC = ，则 BD 的长为 ．三、解答题18．如图，在菱形 ABCD 中，将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F ，使得 AE CF = ．连接 ,,,DE DF BE BF ．求证：四边形 BEDF 是菱形．19．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，且 //DE AC ， //AE BD ，连接 OE .求证： OE AD ⊥ .20．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 是AC 上两点，AE ＝CF.求证：四边形BFDE 是菱形.21．如图，四边形 ABCD 是菱形，E 、F 是直线 AC 上两点， AF CE = .求证：四边形 FBED 是菱形.22．如图，四边形ABCD中，AD∠BC，AB∠AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点.（∠）求证：四边形AECD是菱形；（∠）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵在ABCD中，AC平分DAB∠，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.故答案为：C.【分析】首先根据一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形证出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长. 2．【答案】A【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，AB BC CD DA===，∴四边形ABCD是菱形，∴AC BD⊥；故答案为：A.【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.3．【答案】B【解析】【解答】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC∠BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∠CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故答案为：B．【分析】根据等腰三角形的性质，可得AC∠BD，∠BAO＝∠DAO，根据平行线的判定与性质可得∠BAC＝∠ACD，从而得出∠DAC＝∠ACD，由等角对等边可得AD＝CD，从而可得AB＝CD，从而可证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可求出AO的长，从而得出AC，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.【解析】【解答】解：菱形 ,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD ∴===⊥== 90,FOB FOD ∴∠==∠=︒,FO FO = ,FOB FOD ∴≌ ,FB FD ∴=同理可得： ,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE ∴===∴四边形FBED 是菱形．故甲符合题意； 连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ∠BD ，AO =CO ，BO =DO ， ∵AF =CE ， ∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确； 由甲，乙正确，可得丙的说法错误； 故答案为：A.【分析】先利用菱形的性质证明,FOB FOD ≌ 可得,FB FD = 同理可得FD=ED ，ED=EB ，即得,FB FD DE BE ===据此判断甲；连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质可得AC∠BD ，AO=CO ，BO=DO ，再证明OF=OE ，可证四边形FBED 是菱形，据此判断乙正确，丙错误.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∠CD ，AB ＝CD ， ∵EC 垂直平分AB ， ∴OA ＝OB ＝12 AB ＝ 12DC ，CD∠CE ，∴EAED＝EOEC＝OACD＝12，∴AE＝AD，OE＝OC，∵OA＝OB，OE＝OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB∠EC，∴四边形ACBE是菱形，故①符合题意，∵∠DCE＝90°，DA＝AE，∴AC＝AD＝AE，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②符合题意，∵OA∠CD，∴AFCF＝OACF＝12，∴AFAC＝AFBE＝13，故③不符合题意，设∠AOF的面积为a，则∠OFC的面积为2a，∠CDF的面积为4a，∠AOC的面积＝∠AOE的面积＝3a，∴四边形AFOE的面积为4a，∠ODC的面积为6a∴S四边形AFOE：S∠COD＝2：3．故④符合题意，故答案为：C．【分析】利用平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质和定义先证得四边形ACBE是菱形；再由菱形的性质和平行线的性质可得∠ACD＝∠BAE；根据三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质可证得AF：AC=AF:BE＝1：3；设∠AOF的面积为a，利用相似三角形的性质和两个同底三角形的面积比等于底的比可得S四边形AFOE=4a：S∠COD=6a．6．【答案】A【解析】【解答】∵分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，∴MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CE∠AB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CD∠AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；∴OA=OC= 12AC=2，OD=OE，AC∠DE，∵∠ACB=90°，∴DE∠BC，∴OD是∠ABC的中位线，∴OD= 12BC=12×3=1.5，∴AD= 22OA OD+=2.5，∴菱形ADCE的周长=4AD=10．故答案为：A．【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∠AB，可证得CD∠AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．7．【答案】C【解析】【解答】解：过B作射线BC∠OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，过B作BH∠x轴于H，∵B（3，1），∴OB= ()22312+=，∵A（2，0），∴C（3，1）∴OA=OB，∴则四边形OACB是菱形，∴平移点A到点C，向右平3个单位，再向上平移1个单位而得到，故答案为：C．【分析】过B作射线BC∠OA，在BC上截取BC=OA，过B作BH∠x轴于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OACB是平行四边形，用勾股定理可求得OB的长，由计算可求得OA=OB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的性质即可得平移的方向和距离。

1.1菱形的性质与判定一、单选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．四边相等的四边形是菱形B ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相平分的四边形是菱形2．已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为4和6，则该菱形面积是（ ）A ．48B ．24C ．12D ．63．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）A ．8cm 和B ．4cm 和C ．8cm 和D ．4cm 和4．如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF ∠的度数是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．146．如图，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE 的位置，连接AD BD ，，则下列结论：①AD BC =；②BD AC ，互相平分；③四边形ACED 是菱形；④ACD DCE ∠=∠.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF 、分别是BAD ∠和BCD ∠的平分线，若添加以下一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形，则这个条件是（ ）A ．AE AF =B ．EF AC ⊥ C ．60B ∠=D ．AC 是EAF ∠的平分线8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E的坐标为( )A ．(B ．)2C ．)D ．( 9．如图，在菱形ABCD 中，EF ，分别是BC CD ，的中点，设ABCD S S =四边形，1AEF S S ∆=，则（ ）A ．112S S =B ．112S S <C ．112S S >D ．152S S =10．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝44°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连结DF ，则∠CDF 等于( )A ．112°B ．114°C ．116°D ．118°11．如图，菱形ABCD 的边长为9，面积为P 、E 分别为线段BD 、BC 上的动点，则PE PC +的最小值为（ ）A B ．C ．D ．912．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ：②GC 平分∠BGD ；③S四边形BCDG ＝4CG 2；④∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．菱形的对角线长分别为5cm 和12cm ，则菱形的周长是________cm ．14．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，对角线BD ＝16，点O 是线段BD 上的动点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AD 于F ．则OE +OF ＝___．15．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是__________________．16．如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，BF ，则CDF ∠=______.17．如图，四边形ABCD 为菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白两部分．当菱形的面积为60时，阴影部分的面积是________．18．三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为________cm ．19．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，从(1)AB ＝CD ；(2)AB ∥CD ；(3)OA ＝OC ；(4)OB ＝OD ；(5)AC ⊥BD ；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如(1)(2)(5)⇒四边形ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒四边形ABCD 是菱形；________⇒四边形ABCD 是菱形．20．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.若5AB =， 8BD =，则线段EF 的长为______．21．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．22．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，点P 是AC 延长线上的一个动点，过点P 作PE ⊥AD ，垂足为E ，作DC 延长线的垂线，垂足为F ，则|PE-PF|=_____．23．含60°角的菱形A 1B 1C 1B 2，A 2B 2C 2B 3，A 3B 3C 3B 4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，…，和点B 1，B 2，B 3，B 4，…，分别在直线y=kx 和x 轴上．已知B 1（2，0），B 2（4，0），则点A 1的坐标是_____；点A 3的坐标是_____；点A n 的坐标是____（n 为正整数）．24．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD 、CG ．给出以下结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④2.BCDG S AB =四边形其中正确的有______．三、解答题25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，D 为AB 的中点，//AE CD ，//CE AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若60B ︒∠=，6BC =，求菱形ADCE 的高．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．（1）证明：∠BAC ＝∠DAC ；（2）若AB//CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E 的位置，使∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．27．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF.(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．28．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作//AG DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：//DE BF ；（2）若90G ∠=︒，求证：四边形DEBF 是菱形．29．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上.（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，2FH =，求菱形ABCD 的周长．30．如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AB AD =//，对角线,AC BD 交于点,O AC 平分BAD ∠，过点C作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：DAC DCA ∠=∠；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若AB 2==，求OE 的长．31．如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．（1）连结BE ，CD ，求证：BE=CD ；（2）如图2，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为 度时，边AD′落在AE 上；②在①的条件下，延长DD’交CE 于点P ，连接BD′，CD′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．32．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：182y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：13y x =交于点A ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若M 是线段OA 上的点，且COM 的面积为24，求直线CM 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设E 是射线CM 上的点，在平面内是否存在点F ，使以O 、C 、E 、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和A B C '''重合放置，其中90C ∠=︒，30B B ∠∠'==︒，2AC AC '==．（1）操作发现：如图②，固定ABC ，将A B C ''绕点C 旋转，当点A '恰好落在AB 边上时． ①CA B ∠''=__，旋转角α=___（090α<<），线段A B ''与AC 的位置关系是____． ②设A BC '的面积为1S ，AB C '的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是___．（2）猜想论证：当A B C ''绕点C 旋转到③所示的位置时，徐富老师猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了A BC '和AB C '中BC ，B C '边上的高A D '，AE ，请你证明徐富老师的猜想．（3）拓展探究：如图④，60MON ∠=︒，OP 平分MON ∠，点N 为动点，//PQ MO 交ON 于点Q ，若在射线OM 上作点F ，使//PF OQ ，请证明PNF OPQ S S =△△．。