《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：3-3

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-7[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 ．2 3 C. 3.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12si n 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 解析：依题意得asin A＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝ACsin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解． 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以 1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，∴B ＝45°， 又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝c sin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，sin B ＝33. (1)求cos A 及sin C 的值； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)因为A ＝2B ，所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33， 所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2.因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A ，b ＝2，所以233＝a223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长．解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10，由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一 因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32， 又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一 选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A＝6＋2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二 选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b .由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

【优化探究】（教师用书）2014高考数学总复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件配套试题理新人教B版[命题报告·教师用书独具]题号及难度考查知识点及角度基础中档稍难四种命题及其关系1、36、9、10充要条件的判断24、8、11充要条件的应用5、7121．(2013年西城模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．如果a＋1≤b，则a＞b B．如果a＋1＜b，则a＞bC．如果a＋1≤b，则a≤b D．如果a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2012年高考某某卷)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．答案：A3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中的真命题只有一个．故选C.答案：C4．(2013年某某模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A5．(2013年潍坊模拟)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案：C二、填空题6．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是____________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假7．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－18．(2013年某某模拟)对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a＞b时a2＞b2不一定成立，所以③错误，④中“a＜5”得不到“a＜3”，但“a ＜3”可得出“a＜5”，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确．答案：②④9．(2013年某某模拟)下列说法：①“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”； ②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的最小正周期是π； ③命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是真命题；④f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x >0时的解析式是f (x )＝2x，则x <0时的解析式为f (x )＝－2－x.其中正确的说法是________．(写出所有正确结论的序号)解析：对于①，“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”，因此①正确；对于②，注意到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，则其最小正周期是2π4＝π2，②不正确；对于③，注意到命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f (x )在x ＝x 0处无极值，则f ′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f (x )＝x 3，当x 0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2－x，因此④正确．综上所述，其中正确的说法是①④.答案：①④ 三、解答题10．给出命题：已知a 、b 为实数，若a ＋b ＝1则ab ≤14，判断其逆命题、否命题、逆否命题的真假．解析：因为a ＋b ＝1⇒1＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≥4ab ⇒ab ≤14，所以原命题为真命题．从而逆否命题亦为真命题；若ab ≤14，显然得不出a ＋b ＝1，故逆命题为假命题，从而否命题亦为假命题．11．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根． 当a ＝0时，x ＝－12，适合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1， 当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a <1时，若方程有且仅有一负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0.综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.12．(能力提升)求证：方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |＞3，这个条件是其充分条件吗？为什么？证明：设x 2＋ax ＋1＝0的两实根为x 1，x 2，则平方和大于3的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4≥0，x 21＋x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2＝－a2－2＞3，即a ＞5或a ＜－ 5. ∵{a |a ＞5或a ＜－5}{a ||a |＞3}，∴|a |＞3这个条件是必要条件但不是充分条件．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年某某模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (4－x )＝f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么f (0)<0是函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意得，f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．因此，当f (0)<0时，不能得出函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点，如此时f (2)<0，结合该函数的性质分析其图象可知，此时函数f (x )在区间[0,6]上不存在3个零点；反过来，当函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图象可知，此时f (0)<0.综上所述，f (0)<0是函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点的必要而不充分条件，选C.答案：C2．(2013年东城区质检)已知直线l 过定点(－1,1)，则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：显然当直线l 的斜率为0时，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切；当直线l 与圆x 2＋y2＝1相切时，除了直线l 的斜率等于0外，还有直线l 的斜率不存在的情况．所以“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．(2013年哈师大附中模拟)“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若数列a n ＝n 2－2λn 为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3>2λ，λ<32；注意到由λ<1可得λ<32；但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn 为递增数列”的充分不必要条件，选A.答案：A。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-4[命题报告·教师用书独具]1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D2．(2013年郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增，选C.答案：C3．(2013年长沙模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1，选C.答案：C4．(2013年杭州模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：A5．(2013年潍坊质检)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：不妨设函数y ＝log 2x 的图象上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )，如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图象上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，不难知道这个方程有两个实数解，故选C.答案：C 二、填空题6．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∴g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋37．(2013年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝________.解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：38．(2013年宁波模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则f (x )是R 上的单调增函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－19．(2013年潍坊模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．(能力提升)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值． 解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年大同模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出如下命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( ) A ．①② B ．②④ C ．①②③D ．①②④解析：依题意可得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，①正确；由①知f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，则f (x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )＝f (－x )，因此有f (x －6)＝f (－6－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，②正确；依题意知，函数f (x )在[0,3]上是增函数，则函数f (x )在[－3,0]上是减函数，又函数f (x )是以6为周期的周期函数，因此函数y ＝f (x )在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y ＝f (x )的图象可知f (－9)＝f (9)＝f (3)＝f (－3)＝0，故函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案：D2．(2013年哈师大附中月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2<1，由此解得a >8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.答案：D3．(2012年高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：将函数化简，利用函数的奇偶性求解． f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案：2。

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 214＝1C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，即 x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y212＝1.答案：D2．(2013年淮南模拟)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0.答案：C3．(2013年潍坊质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为( )A ．4 B ．2 C ．3 D ．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：A4．(2013年青岛模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10B ．210 C.5D ．2 5解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|P Q →|＝2c ＝210，所以选B.答案：B5．(2013年银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线P A 、PB 的斜率的乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52B.62C.2D.153解析：因为A ，B 的连线经过坐标原点，所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由A ，B ，P 在双曲线上得x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，两式相减并且变形得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2.又k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2＝23，即c 2－a 2a 2＝e 2－1＝23，故双曲线的离心率e ＝153.答案：D 二、填空题6．(2013年宁波模拟)双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________． 解析：依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x7．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案：28．(2013年岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a和b 满足的一个等式是________________．解析：该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运算．可先求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0a －b ＝y 0，∴(a ＋b )2－(a －b )2＝1，∴ab ＝14， 答案：ab ＝149．(2013年合肥检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立．答案：233三、解答题10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3文档收集自网络，仅用于个人学习＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝ca ＝2， ∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．(2013年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，又∵点M (3，M )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.∴kmF 1·kmF 2＝m3＋23×m3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)由(2)知MF 1⊥MF 2， ∴△MF 1F 2为直角三角形．又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)， 由两点间距离公式得 |MF 1|＝(－23－3)2＋(0－3)2＝24＋123，|MF 2|＝(23－3)2＋(0－3)2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2| ＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6.12．(能力提升)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C 、D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C.3D.233解析：作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋yb ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＝c2，∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，两边同除以a 4得：e 4－4e 2＋4＝0， ∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2， ∴e ＝ 2或－2(舍)，∴e ＝ 2.答案：B2．(2013年苏州模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝54，得c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.答案：7。

【优化探究】（教师用书）2014高考数学总复习 5-3等比数列配套试题 理 新人教B 版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年某某模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n(a ≠0，q ≠1，q 为非零常数)，则数列{a n }( )A ．是等差数列B ．是等比数列C ．既是等差数列也是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：当n ＝1时，a 1＝aq ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a (q －1)·q n －1，易知数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列．答案：D2．(2013年曲阜质检)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22 C.2D ．2解析：∵a 5·a 7＝4a 24，∴a 26＝4a 24，∴a 24·q 4＝4a 24.∵a 4≠0， ∴q 4＝4.∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝22. 答案：B3．在等比数列{a n }中，a 7a 8＝π3，则sin(a 5a 10)等于()A.12B ．－12 C.32D ．－32解析：由题意可得：sin(a 5a 10)＝sin(a 7a 8)＝sin π3＝32.答案：C4．(2013年杨州模拟)正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝()A ．8B ．15(2＋1)C ．15(2－1)D ．15(1－2) 解析：等比数列中若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·n ＝a p ·a q .∵a 2a 6＝a 24＝8，∴a 21q 6＝8.∴q 2＝2. ∴S 8＝1－q81－q ＝15(2＋1)．答案：B5．(2012年某某五校联考)一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.666－16－1只 B ．66只C ．63只 D ．62只解析：设第n 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂a n 只，则根据题意可知a 1＝1＋5＝6，a n ＝a n －1＋5a n －1＝6a n －1，则{a n }是等比数列，所以a 6＝a 1q 5＝6×65＝66，故选B.答案：B 二、填空题6．(2013年某某模拟)已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝________.解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2. 又∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， 解得a 2＝1，a 8＝2.∴q 6＝a 8a 2＝2.∴q 3＝ 2.∴a 13a 10＝q 3＝ 2. 答案： 27．(2013年某某徐汇模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由已知a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以a 4a 5＝2，又a 4＋a 5≥2a 4a 5＝22(当且仅当a 4＝a 5＝2时取等号)．所以a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．(2013年某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由已知可得：S n ＝3n，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，2·3n－1＝2.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2·3n －1n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2·3n －1n ≥29．(2013年某某质检)已知两个等比数列{a n }，{b n }满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，则a ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则有b 1＝a ＋1，b 2＝aq ＋2，b 3＝aq 2＋3，(aq ＋2)2＝(a ＋1)(aq 2＋3)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.因为数列{a n }是唯一的，因此由方程aq 2－4aq ＋3a －1＝0解得的a ，q 的值是唯一的．若Δ＝0，则a 2＋a ＝0，又a ＞0，因此这样的a 不存在．在方程aq 2－4aq ＋3a －1＝0必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a －1＝0，a ＝13，此时q ＝4，数列{a n }是唯一的，因此满足题意的a ＝13.答案：13三、解答题10．(2013年某某模拟)设等差数列{a n }的首项a 1为a (a ≠0)，前n 项和为S n . (1)若S 1，S 2，S 4成等比数列，求数列{a n }的通项公式； (2)证明：对∀n ∈N *，S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na ＋n n －12d ，所以S 1＝a ，S 2＝2a ＋d ，S 4＝4a ＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以S 22＝S 1·S 4，即(2a ＋d )2＝a ·(4a ＋6d )，整理得d (2a －d )＝0， 所以d ＝0或d ＝2a . 当d ＝0时，a n ＝a (a ≠0)；当d ＝2a 时，a n ＝a ＋(n －1)d ＝(2n －1)a (a ≠0)．(2)证明：不妨设存在m ∈N *，使得S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等比数列，则S 2m ＋1＝S m ·S m ＋2，得a 2＋mad ＋12m (m ＋1)d 2＝0，(*)①若d ＝0，则a ＝0，此时S m ＝S m ＋1＝S m ＋2＝0，这与等比数列的定义矛盾；②若d ≠0，要使数列{a n }的首项a 存在，则必有(*)式的Δ≥0.然而Δ＝(md )2－2m (m ＋1)d 2＝－(2m ＋m 2)·d 2＜0，矛盾．综上所述，对∀n ∈N *，S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列．11．(2013年昌平模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，a n b n ＋1＝2a n ＋1b n .(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为等比数列；并求数列{b n }的通项公式．解析：(1)∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， ∴数列{a n }为等差数列． 又a 1＝1，a 2＝2， 所以d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，数列{a n }的通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)∵a n ＝n ， ∴nb n ＋1＝2(n ＋1)b n . ∴b n ＋1n ＋1＝2·b nn. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是以b 11＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列．∴b nn＝2×2n －1.∴b n ＝n ·2n.12．(能力提升)(2013年某某模考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n＋k .(1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(4＋k )anbn ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n＋k －3n －1－k ＝2·3n －1，得等比数列{a n }的公比q ＝3，首项为2.∴a 1＝S 1＝3＋k ＝2.∴k ＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1.(2)由a n ＋12＝(4＋k )anbn ，可得b n ＝n2·3n －1，即b n ＝32·n 3n .∵T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋333＋…＋n 3n ，∴13T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋233＋334＋…＋n 3n ＋1.∴23T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1.∴T n ＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12·3n －n 3n ＋1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年乌鲁木齐检测)已知直线y ＝b (b ＞0)与曲线f (x )＝sin x 在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标x 1，x 2，x 3成等比数列，则b 的值为( )A.12B.22C.32D ．1 解析：依题意得，x 2＝π－x 1，x 3＝2π＋x 1.∵x 22＝x 1x 3， ∴(π－x 1)2＝x 1(2π＋x 1)，解得x 1＝π4.∴b ＝sin π4＝22，故选B.答案：B2．(2013年某某市八校联考)已知等比数列{a n }满足a n ＞0(n ∈N *)，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．(n ＋1)2B ．n 2C ．n (2n －1)D ．(n －1)2解析：由等比数列的性质可知a 5a 2n －5＝a 2n ，又a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，所以a n ＝2n .又log 2a 2n －1＝log 222n －1＝2n －1，所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋2n －1]n 2＝n 2，故选B.答案：B3．(2013年某某模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)． (1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)， 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)， 得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1. 与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1，qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4、公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1、公比为－1的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n2n ＝－1n ＋12n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1(n ≥1)， 当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n2n －a n －12n －1 ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤41－2n1－2＋－11－－1n1－－1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋2－4＋－1n－12.。