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课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。
（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。
（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。
思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线()y f x=，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线()y g x=，如图1-28所示．学习连续函数的概念、函数间断点的分类。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性．定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()f x 在点0x 处连续．若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →．因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续．由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0lim ()x x f x →存在；（3）极限值0lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即30lim ()()x x f x f x →=．若00()lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点右连续；若00()lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点左连续．定理 1 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在0x 点左右连续．例1 证明函数2()1f x x =+在1x =处连续．证明一 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义．当自变量在1x =处有改变量x ∆时，222(1)1(11)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆，因此，20lim lim[2()]0x x y x x ∆→∆→∆=∆+∆=，所以()f x 在1x =处连续．证明二 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义，211lim ()lim(1)2x x f x x →→=+=，即1x →时()f x 的极限值为2．而21(1)112lim ()x f f x →=+==，即极限值等于函数在该点的函数值，所以()f x 在1x =处连续．例 2 讨论函数320()20x x f x x x ⎧+=⎨-+<⎩，，，在点0x =的连续性．解 因为30(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f +++→→==+==，4(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f ---→→==-+==， 所以()f x 在0x =点左右连续，故()f x 在点0x =处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上．定义2 如果一个函数在某区间()a b ，内的每一点处都连续，则称这个函数在区间()a b ，内连续，或称其为区间()a b ，内的连续函数．如果函数()y f x =在()a b ，内连续，且a 点右连续，b 点左连续，则称函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．⏹ 【学生】掌握连续函数的概念⏹ 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果()y f x =在点0x 处不连续，则称点0x x =是函数()f x 的间断点．由()y f x =在0x x =处连续的定义知，如果()f x 在0x 处有以下三种情况之一，则()f x 在0x 处间断： （1）()y f x =在点0x 处无定义； （2）0x x →时0lim ()x x f x →不存在；（3）函数值0()f x 和极限值0lim ()x x f x →都存在，但0lim ()()x x f x f x →≠．例如，函数1()1f x x =+在点1x =-处没有定义，1x =-就是函数1()1f x x =+的一个间断点．如果不考虑函数()f x 在0x 是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数()y f x =在点0x 处间断，但在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +均存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点，其中：5（1）若00()()f x f x +-=，即极限0lim ()x x f x →存在，则称点0x 是()f x 的可去间断点．（2）若00()()f x f x +-≠，即极限0lim ()x x f x →不存在，则称点0x 是()f x 的跳跃间断点．设函数()y f x =在点0x 处间断，若在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +至少有一个不存在，则称0x 为()f x 的第二类间断点，其中：（1）若0()f x -与0()f x +至少有一个为无穷大，则称点0x 是()f x 的无穷间断点．（2）若0lim ()x x f x →振荡性地不存在，则称点0x 是()f x 的振荡间断点．例3 函数10()0010x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于(0)lim(1)1x f x ++→=+=，(0)lim(1)1x f x --→=-+=，(0)(0)1(0)0f f f +-==≠=，故0x =是函数()f x 的可去间断点，如图1-29所示．但如果将函数()f x 在0x =的定义改为(0)1f =，则函数在0x =点连续．由此可见，如果函数()f x 在0x 点是可去间断点，可通过补充或改变()f x 在0x 点的函数值，使()f x 在0x 点连续．例4 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于0(0)lim11x f ++→==，0(0)lim(1)1x f --→=-=-，即(0)f +和(0)f -都存在但不相等，故0x =是函数()f x 的跳跃间断点，如图1-30所示．6图1-29 图1-30例 5 函数1y x=在点0x =处无定义，由于(0)f +=+∞，(0)f -=-∞，故0x =是函数1y x=的无穷间断点，如图1-31所示．例6 函数1siny x =在点0x =处无定义，取122n x n =ππ-，122nx n '=ππ+(12)n =，，，当n →∞时，0n x →，0n x '→，但()sin 212n f x n π⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭，()sin 212n f x n π⎛⎫'=π+= ⎪⎝⎭，即当0x →时，函数1sinx值在1-与1+之间变动无限多次．故0x =是函数1sinx的振荡间断点，如图1-32所示．图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断7点的类型：（1）sin 0()e 10x xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩，，，在点0x =处；（2）221()32x f x x x -=-+在点11x =和22x =处．解 （1）函数()f x 在点0x =处有定义，且(0)2f =．但sin (0)lim 1x xf x--→==，(0)lim(e 1)2xx f ++→=+=，(0)(0)f f +-≠，故0x =为函数()f x 的跳跃间断点，属于第一类间断点．（2）221(1)(1)()32(1)(2)x x x f x x x x x --+==-+--在11x =，22x =处无定义，故11x =，22x =是()f x 的间断点． 由于111lim ()lim22x x x f x x →→+==--，故11x =是()f x 的可去间断点，属于第一类间断点． 由于221lim ()lim2x x x f x x →→+==∞-，故22x =是()f x 的无穷间断点，属于第二类间断点．⏹ 【学生】掌握函数间断点的分类问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．函数()f x 在点0x 处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数()f x 在点0x 处无定义，则0x 点是函数()f x 的第一类间断点，还是第二类间断点？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解3．分段函数()()()g x x af xh x x a⎧=⎨<⎩，，，在分段点x a=一定是间断点吗？⏹【学生】讨论、发言第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1．连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理．定理2设函数()f x和()g x在点x连续，则它们的和、差、积、商都在点x连续．例如，由于sin x，cos x在()-∞+∞，上的每一点都连续，故sintancosxxx=和coscotsinxxx=在其各自定义域上每一点都是连续的．2．初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的．由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的．根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可．例8求4e cos(4)lim3xxxx→+--．解由于该函数是初等函数，且在4x=处有定义，故由初等函数的连续性可以得出学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计第一章：函数连续性概念的引入1.1 教学目标1. 理解函数连续性的概念。
2. 掌握连续函数的性质。
3. 学会使用连续性定义证明函数的连续性。
1.2 教学内容1. 函数连续性的定义。
2. 连续函数的基本性质。
3. 连续函数的图像特征。
1.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解函数连续性的定义和性质。
2. 借助图形演示，让学生直观理解连续函数的图像特征。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨连续函数的性质。
1.4 教学活动1. 引入函数连续性的概念，引导学生思考连续性与不连续性的例子。
2. 讲解连续函数的基本性质，引导学生通过实例验证。
3. 分析连续函数的图像特征，让学生学会识别连续函数。
1.5 教学评价1. 课堂提问，检查学生对函数连续性概念的理解。
2. 布置课后习题，巩固学生对连续函数性质的掌握。
第二章：导数的概念与性质2.1 教学目标1. 理解导数的概念。
2. 掌握导数的性质。
3. 学会使用导数研究函数的单调性、极值等性质。
2.2 教学内容1. 导数的定义。
2. 导数的基本性质。
3. 导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。
2.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义和性质。
2. 借助图形演示，让学生直观理解导数的作用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨导数在研究函数性质中的应用。
2.4 教学活动1. 引入导数的概念，引导学生思考导数与函数变化的关系。
2. 讲解导数的基本性质，引导学生通过实例验证。
3. 分析导数在研究函数单调性、极值等方面的应用，让学生学会使用导数研究函数性质。
2.5 教学评价1. 课堂提问，检查学生对导数概念的理解。
2. 布置课后习题，巩固学生对导数性质的掌握。
第三章：导数的计算方法3.1 教学目标1. 掌握基本函数的导数公式。
2. 学会使用导数计算复合函数的导数。
3. 掌握高阶导数的计算方法。
3.2 教学内容1. 基本函数的导数公式。
《计算机数学》课程教案一、函数连续的定义1. 函数的增量定义2.3.1 设函数在点的某邻域上有定义，当自变量由变到)(x f y 0x x 0x时，函数相应地由变到，函数相应的增量为.图2.3.1 图2.3.2如图2.3.1和图2.3.2中的都叫做函数的增量，函数的增量可正可负，故增量的本质意义是函数的变化量.2．函数在连续定义2.3.2 设函数在点 的某邻域内有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即.则称函数在点处是连续的，点称为函数的连续点；否则就称函数在点处是间断的，点称为函数的间断点.定义2.3.3 设函数在点的某邻域内有定义，若， 则称函数在点处连续.例2.3.1 已知函数，讨论在处的连续性.解 因为，，即，所以不存在，且是函数的间断点. 例2.3.2 设函数，讨论在处的连续性.解 因为，但是，即 x x ∆+0y )(0x f )(0x x f ∆+)()(00x f x x f y -∆+=∆y ∆)(x f y =0x )(x f y =0x 0x x x -=∆[]0)()(lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x )(x f 0x 0x )(x f )(x f 0x 0x )(x f )(x f y =0x )()(lim 00x f x f x x =→)(x f 0x ⎩⎨⎧>+≤=,1,1,1,)(2x x x x x f )(x f 1=x 1lim )(lim 211==--→→x x f x x 2)1(lim )(lim 11=+=++→→x x f x x lim x ®1+f x ()¹lim x ®1-f x ())(lim 1x f x →1=x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,1,0,)(4x x x x x f )(x f 0=x x x x f x x 400lim )(lim →→=0lim 30==→x x 1)0(=f， 故是的间断点.例2.3.3 讨论函数在处的连续性. 解 因为，，，即此时.同时，，即 ，故函数在点处是连续的.例2.3.4 求函数在处的连续性.解 因为函数在处没有定义，且，则为的间断点.3．函数在区间连续（1）若，则称函数在处右连续；若，则称函数在处左连续.（2）如果在区间内每一点都是连续的，就称在区间内连续；若在内连续，在处右连续，在处左连续，则称在上连续.连续函数的图形是一条连续不断的曲线． 二、初等函数的连续性1.初等函数的连续性定理2.3.1 一切初等函数在其定义域区间内连续.例2.3.5 求函数的连续区间. 解 因为函数需要满足，即函数的定义域为，所以函数的连续区间是.)0()(lim 0f x f x ≠→0=x )(x f ⎩⎨⎧<-≥==,0,,0,)(x x x x x x f 0=x 0)lim )(lim 00=-=--→→x x f x x （0lim )(lim 00==++→→x x f x x lim x ®0+f x ()=lim x ®0-f x ()=00)(lim 0=→x f x 0)0(=f 0)0()(lim 0==→f x f x 0=x 2)1(1)(-=x x f 1=x 2)1(1)(-=x x f 1=x ∞=-→21)1(1lim x x 1=x )(x f )(x f y =),(b a )()(lim 00x f x f x x =+→0x )()(lim 00x f x f x x =-→0x )(x f ),(b a )(x f ),(b a )(x f ),(b a a x =b x =)(x f ],[b a 11-+=x e x y ⎩⎨⎧≠-≥+,01,01x e x ⎩⎨⎧≠-≥⇒,0,1x x ),0()0,1[+∞- ),0(),0,1[+∞-2．利用函数的连续性求极限若在处连续，则，即求连续函数的极限，可归结为计算函数值.例2.3.6 求极限． 解 因为在处连续，故有.3.复合函数求极限的方法定理2.3.2 设有复合函数，若，而函数在点连续，则 例2.3.7 求极限. 解 函数化简为是由，复合而成的，函数在点连续，故. )(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→()1lim ln arctan x x →⎡⎤⎣⎦()ln arctan x 1x =()()1lim ln arctan =ln arctan1ln 4x x π→=⎡⎤⎣⎦)]([x f y ϕ=a x x x =→)(lim 0ϕ)(u f a u =).(lim [[lim 00a f x f x f x x x x =)](=)](→→ϕϕ1lim ln 1x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1ln 1x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u y ln =11x u x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u y ln =e u =111lim ln 1=lim ln 1ln lim 1ln 1x x x x x x e x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
数学教学函数的极限与连续性教案在数学教育中，函数的极限与连续性是基础而重要的概念，它们在高中数学和大学数学中都有广泛的应用。
为了帮助学生更好地理解和掌握这些概念，我设计了以下教案，以帮助教师有效地传授这些知识给学生。
**教案一：引入极限与连续性****教学目标：** 在开始学习极限和连续性之前，让学生明白这些概念的重要性和应用领域。
**教学内容：**1. 介绍什么是函数，以及为什么我们需要研究函数的极限与连续性。
2. 举例说明函数的极限和连续性在实际生活中的应用，如物理学、工程学和经济学。
3. 强调函数的极限和连续性对数学建模和问题求解的关键作用。
**教学方法：** 使用图表和实际案例，让学生参与讨论，引发他们对这些概念的兴趣。
**教案二：函数的极限****教学目标：** 引导学生了解函数的极限，掌握计算极限的方法。
**教学内容：**1. 定义函数的极限，包括数学符号和表达。
2. 介绍无穷大极限和无穷小极限的概念。
3. 讨论常见的极限计算规则，如极限的四则运算法则和极限的夹逼法则。
**教学方法：** 提供示例和练习，让学生逐步掌握极限的计算方法。
**教案三：函数的连续性****教学目标：** 帮助学生理解函数的连续性，学会判断和应用连续性。
**教学内容：**1. 解释函数的连续性的定义和数学表达。
2. 讨论连续函数的性质和特点。
3. 引导学生掌握判断函数连续性的方法，如使用极限的性质。
**教学方法：** 通过示例和练习，培养学生对连续性的感觉和判断能力。
**教案四：应用极限与连续性****教学目标：** 帮助学生将极限与连续性应用于实际问题求解。
**教学内容：**1. 展示如何使用极限和连续性解决实际问题，如求导、积分、极值和拐点等数学和科学问题。
2. 提供案例，让学生亲自尝试解决相关问题。
**教学方法：** 引导学生分析问题，运用所学知识解决具体应用场景中的数学难题。
**教案五：综合练习与评估****教学目标：** 让学生综合运用极限与连续性的知识，进行练习和评估。
高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。
2.掌握连续函数的性质和常见类型。
3.能够通过定义验证函数的连续性。
4.能够利用连续性解决相关问题。
教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。
2.连续函数的常见类型。
教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。
2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。
3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。
教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。
二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。
2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。
三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。
鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。
2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。
引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。
四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。
五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。
作业内容可以包括练习题、思考题等。
教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。
评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。
教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。
在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 让学生理解函数连续性的概念，掌握判断函数连续性的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 极限的概念和计算方法。
2. 函数连续性的概念和判断方法。
3. 极限和函数连续性在实际问题中的应用。
三、教学重点和难点：1. 教学重点：极限的概念和计算方法，函数连续性的概念和判断方法。
2. 教学难点：极限的计算方法，函数连续性的判断方法。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解极限和函数连续性的概念和计算方法。
2. 采用案例分析法，分析极限和函数连续性在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论问题，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引出极限和函数连续性的概念。
2. 讲解：讲解极限和函数连续性的概念和计算方法，结合案例进行分析。
3. 练习：让学生进行极限和函数连续性的计算练习，巩固所学知识。
4. 小组讨论：让学生分组讨论实际问题，应用所学知识解决问题。
5. 总结：对所学内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 教学反思：对教学过程进行反思，对学生的学习效果进行评估。
六、教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 学生作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 学生小组讨论表现：评估学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，了解学生对实际问题的分析和解决能力。
七、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统的学习材料。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示知识点。
3. 练习题：准备相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍极限的概念和计算方法。
第四章 函数的连续性（共10学时，理论课6学时，习题课4学时）
教学说明： 连续函数是数学分析中的主要函数类之一，有关连续函数类的一系列重要结论是支持数学分析的整个体系的支柱，本章的主要内容是介绍连续函数的基本性质。有关连续函数整体性质的证明在第七章讲了实数完备性之后给予证明。连续函数在混沌中的
应用（见文献39，是第二章中迭代生成数列的现代发展）在课外讲座Ⅱ中介绍。！ （一）教学内容 1函数连续性定义及局部性质； 2闭区间上函数连续的整体性质； 3初等函数的连续性。 （二）教学要求 1、 基本要求 （1）深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类； （1） 掌握连续函数的局部性质及复合函数和反函数的连续性； （2） 掌握闭区间上连续函数的整体性质，并会用这些性质解决一些具体问题； （3） 掌握初等函数的连续性。 2、 较高要求 （1）会使用连续函数的局部性质和整体性质证明综合性的问题，比如根的存在性定理在生活中的应用。 （2）深刻理解一致连续与连续的关系，会证明给定函数在某区间上一致连续或非一致连续。
第一讲 函数在一点的连续性（2时） 先回顾一下函数在0x点的极限 Axfxx)(lim0 设函数)(xf在0x的某个空心邻域内有定义，A 是一个确定的数，若对0,0，当 ||00xx时，都有 |)(|Axf ，则称)(xf在
0xx 时，以A为极限。
这里)(0xf可以有三种情况 1）)(0xf无定义，比如上章讲过的特殊极限 1)sin(lim000xxxxxx 2）Axf)(0，比如 00,1,)(xxxxxxxf， )()(lim000xfxxfxx
3）Axf)(0
对1，2两种情况，曲线在 0x 处都出现了间断; 第3种情况与前两种情况不同，曲线在0x处连绵不断，我们称这种情况为，)(xf在0x处连续。 定义1 设函数)(xf在0x的某邻域内有定义，若 )()(lim00xfxfxx (2)
极限与连续性教案教案一：极限的引入与定义引言：极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的特性。
掌握极限的概念和性质，对于理解函数的变化规律以及求解导数等问题具有重要意义。
一、引入（略去）二、极限的定义1. 函数极限的定义在介绍函数极限之前，首先要引入自变量无穷逼近的概念。
定义1：设函数 f(x) 在实数集上有定义，a 为实数，如果对于任意给定的正数ε(ε>0)，都存在正数δ（δ>0），使得当 0 < |x - a| < δ 时，有|f(x) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f(x) 当 x 无限接近 a 时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L 或f(x) → L (x → a)2. 函数极限的性质（略去）教案二：连续性的引入与定义引言：连续性是数学中的重要概念，它刻画了函数在某一点处的平滑程度和不间断性。
理解连续性的概念和特性，对于函数图像的绘制和问题求解具有重要作用。
一、引入（略去）二、连续性的定义1. 函数在某一点的连续性定义1：设函数 f(x) 在 x=a 处有定义。
如果满足以下三个条件，则称函数在 x=a 处连续：（1）f(a) 存在；（2）lim(x→a) f(x) 存在；（3）lim(x→a) f(x) = f(a)2. 函数连续性的性质（略去）教案三：极限与连续性的关系引言：极限与连续性是微积分中密切相关的两个概念。
研究它们之间的关系，有助于深入理解函数的性质和求解一些复杂问题。
一、极限存在与函数的连续性（1）极限存在的函数不一定连续；（2）连续的函数一定存在极限。
二、连续函数与极限计算1. 连续函数的性质（略去）2. 通过极限计算连续函数的值教案四：综合运用与例题训练引言：对于极限和连续性这两个概念，实际问题的应用是尤为重要的。
通过综合运用这些概念，解决一些具体问题，不仅能够巩固理论知识，还能够培养学生的应用能力。
一、例题讲解（略去）二、例题练习（略去）总结：通过本课程的学习，我们深入了解了极限与连续性的概念、定义及其性质。
关于微积分中函数连续性的慕课设计-设计论文
关于微积分中函数连续性的慕课设计
【摘 要】本文探讨微积分中函数连续性章节的慕课教案设计，针
对慕课中微课的设计提出五点原则，并将慕课应用于教案实践中，为今后的教
案改革提供新的思路。
关键词函数连续性 慕课 设计原则
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）10C-0123-02
一、慕课概述
（一）慕课基本情况
慕课，英文名为Massive Open Online Courses，简称MOOCs，是大
规模在线开放课程。它是大数据时代背景下，新技术在教育领域中的应用。慕
课是IT与教育结合的方式，是一种集在线学习、在线考试、学习评估、课程管
理、培训功能为一体的平台。
慕课最早发源于美国，2008年出现第一个慕课，2011年来自190多个
国家的16万人注册了斯坦福大学“人工智能导论”免费课程，从此，更多的
慕课平台和课程不断涌现，并迅速应用于全世界高校中的教案模式改革。2013
年我国清华大学、北京大学、复旦大学等加入美国教育平台Edx中，上海交通
大学、台湾大学等加入Coursera。如今国内慕课资源有爱课网、超星慕课、网
易云课堂、上海高校课程中心等。“慕课”开始全面进入我国的相关教育研究
和改革中，并在我国各大高校中不断兴起。
（二）慕课的特点
慕课是大规模在线开放课程，慕课有大规模、在线、开放三个主要特点，
通过网络平台的课程分享、学习者在线学习、免费的在线教案，可以突破时空
限制，在具备上网条件下随时随地进行学习。
“大规模”即慕课平台的课程资源优质丰富，学习资源多元化，学生可以
自主选择感兴趣的课程。体现了学习方式的自主性、选择性和个性化。“在
线”即课程学习是网络在线学习，慕课平台可以对课程学习行为进行管理，可
实现生生互动、师生互动、线上答疑、布置作业、考试等管理。“开放”即慕
课平台的课程资源是免费的，可以实现教育公平，普通大学的学生或是社会人
士，可以通过慕课视频免费学习和目睹世界或是全国名校教授的授课课堂。慕
课的目标是将世界上最优质的教育资源传播到地球最偏远的角落。慕课可以使
任何人选择在任何时间任何地点享受任何学校的任何教师的任何课程资源。慕
课就是“任性”，六个“任何”将慕课的作用表达得淋漓尽致。
二、函数连续性的慕课设计
（一）函数连续性的慕课内容选择
连续函数是高等数学重要的一类函数，连续函数是刻画变量连续变化的数
学模型。微积分中的主要概念、定理、公式、法则都需要函数具有连续性。函
数是微积分的研究对象，极限是研究方法，连续是研究桥梁。
微积分中函数连续性的主要内容是函数连续的概念、函数间断点的分类、
连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。其中重点是
函数连续性的概念、间断点的分类、复合函数的连续性、闭区间上连续函数的
性质。难点是复合函数的连续性与闭区间上连续函数的性质。根据重难点，从
函数连续性概念、间断点分类、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性
质、学习指导（习题课）等知识点进行慕课设计，如表1。
（二）函数连续性的慕课设计的原则
慕课的教案载体和核心是微视频，称为微课，一般是10分钟左右的教案
视频。微课、教案资源、教案平台构成一个教案体系即慕课。根据微积分中函
数连续性的内容结构和特点，针对慕课中微课的设计提出五点原则。
1.内容要“精”，突出重点
选取教案知识点时，主要针对教案中常见典型、有代表性的问题或内容。
选题尽量“小而精”，具有独立性、完整性、示范性、代表性，能够有效解决
教与学的重难点。每个知识点是一个10分钟左右的微视频，知识点讲解透
彻，针对学习目标并突出解决教案的重点和难点。风格以简洁为主，尽可能去
除一切与内容传递、有效沟通无关的冗余信息，降低学习者的认知负荷。
2.习题有“度”，螺旋上升
在视频教案过程中，讲解的例题要精心挑选，例题难度适中，有梯度，使
得学生在视频学习中可以听懂，并继续跟着学习。在视频学习中，穿插的习题
要注意难度适中，根据题目的难度进行排序，习题设置螺旋上升，这样使得学
生按部就班地完成学习，并在学习中感受到收获知识，增加学习的自信。
3.提问要“深”，启发性强
在10分钟的慕课设计中，不会像40分钟课堂上课一样，可以提出很多
问题。在精致的教案视频中，教师的提问就需要精心设计了。提问贯穿这个教
案视频，但是提问不能太多，太多就显得啰嗦。因此，提问设计要具有深度，
可以引发学生思考问题，提问不在于多，而在于精，在于深。
4.方法要“活”，渗透思想
数学的思想与方法可谓是数学的灵魂，学生也许忘记了所学的数学知识，
但是在学习的过程中学习的数学思想和方法却可以深深印在脑海里。这也就是
数学素养，在遇到实际问题时可以用以解决实际问题的能力，就是数学的灵
魂。在视频中，除了要将知识点讲解透彻，还要渗透涉及的数学思想和方法，
让学生深深感受数学的魅力。
5.内容要“动”，引人入胜
数学知识本就枯燥无味，抽象难懂，逻辑性强，因此在慕课视频的设计
中，要注意将内容设计得生动形象。在语言方面、动画方面可以设计得吸引学
生，在视频中可以设计有趣的动画，或是以故事的形式展示，形式的多样化可
以改善数学知识本身的枯燥无味，可以有效激发学生的学习兴趣，加强学生学
习的主动性。
（三）函数连续性的“慕课”设计流程
慕课的设计流程从实施步骤来划分主要有准备阶段、设计阶段、拍摄阶
段、应用阶段、评价总结阶段五个步骤。
准备阶段主要包括学习与认识、课程设置、资料文本素材准备。首先通过
学习国内外慕课有关的知识和理论、理清慕课建设的思路。其次对课程进行慕
课设置，慕课的教与学目标确定、教案活动策略和教案流程设计等。最后准备
慕课拍摄素材，准备相应的课件、教案、练习、拓展素材资源等。
设计阶段是慕课设计中最重要的阶段，也是体现慕课质量的核心部分。设
计阶段需要研究课程结构，拆解知识点，择取、凝练核心知识点，针对知识点
撰写微课授课方案。每个微课应设计讲课PPT、教案、演讲稿、思考题、讨论
题、拓展资源以及配套在线测试卷、考试卷和答案等。
拍摄阶段是根据设计好的教案进行拍摄，利用学校提供的设备进行拍摄或
请慕课制作公司拍摄。微课视频还需请校内外教育专家、相关授课教师和学生
对拍摄的视频进行研讨，再次对微课设计和拍摄进行改善。后期对视频进行修
正、处理、加字幕等技术改善，最终形成微课视频。
应用阶段是发挥慕课作用的阶段。主要包括完善资源、建设慕课平台、实
施慕课教案。慕课教案采用翻转课堂的教案模式，即学生在课外通过网络课程
资源自主学习，课上则进行讨论、交流、练习、辅导等活动。
总结评价阶段是根据实施过程中出现的问题、学生的反馈、学生的学习成
绩和能力的提升等方面进行总结和评价。总结评价后可以重新改进和完善微课
的设计、拍摄和慕课实施方案，从而使慕课教案更加适应教案的需要。
三、总结与反思
在慕课中最重要的是微课的设计，微课的质量决定了慕课的质量。因此设
计和制作出好的微课对教师来讲是一个挑战。在十分钟左右将知识点讲授完
整、过程清晰、突出重点，需要教师对内容的选择和组织进行千锤百炼，要使
微课具有较强的吸引力、有特色、有深度并体现现代教育理念和技术，要求教
师有较强的教案设计能力和较高的教案艺术水平。在微积分的慕课设计中，如
何将枯燥、抽象的知识以通俗易懂、形象生动的形式展示，并渗透数学思想方
法、数学文化以及微积分的应用和人文价值是值得思考的问题。
在拍摄微课时，要根据时间限制设计教案PPT，写好讲课稿，自行排练熟
悉后上镜头拍摄，可以减少失误，拍摄比较顺畅。在视频制作中要注意保证视
频清晰、流畅、节奏恰当、界面简洁。微课最好要配上字幕，以便学生学习理
解知识。但是对于微积分的微课中，出现很多数学符号和公式，但是字幕不支
持数学符号和公式的输入，字幕不能体现数学的特点，在制作字幕时要想办法
解决不能输入数学符号的缺陷。
在慕课的应用中，慕课视频教案不能完全取代课堂。如何开展在线练习、
小组协作、作业评改、交流讨论、互动答疑等活动；如何实施翻转课堂，有效
安排学生展示与教师讲授的时间；如何平衡线上学习与线下学习的关系，是慕
课实施中要解决的问题。
参考文献
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［8］杨宏林，丁占文，田立新.关于高等数学课程教案改革的几点思考
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【作者简介】刘巧玲（1988— ），女，壮族，广西南宁人，广西民族
大学助教，研究方向：数学教育。
（责编 丁 梦）
