概率论与数理统计第2章例题

第二章考试题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 抛掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间2. , 取值的概率为 . 解：随机变量X 的散布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤3. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀散布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰ 故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 4. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27. 解：由题意知随机变量X 和Y 别离服从参数为2和p 、3和p 的二项散布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 取得4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,1329S2S1所以2(1)3p -=, 从而 300333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭5. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤. 解：此题用画图的方式来解：下图中红线即为()f x 的图像.()f xx0 1 2 3 4 5 6其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部份的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部份面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=. 而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右边的面积(绿色虚线所示x=k范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即 13k ≤≤. 6. 设随机变量(1,4)XN , 则{12}P X <≤= .(已知(0.5)0.6915Φ=.)解：由(1,4)XN 可知，1,2μσ==. 第一进行正态散布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭ 1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=7. 设硕士研究生入学数学考试合格率为，则15名考生中数学考试合格人数X 的概率散布是二项散布，参数为15和, 解：15名考生参加考试，能够视为15次伯努利实验。

1 概率论与数理统计答案 概率论答案chapter02

第二章 随机变量及其分布 1．考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付２０万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付５万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用．若投保人在一年内因意外死亡的概率为０．０００２，因其他原因死亡的概率为０．００１０，求公司赔付金额的分布律． 解 设赔付金额为X（以万元计），由条件知X取值为２０，５，０，且已知P｛X＝２０｝＝０．０００２，P｛X＝５｝＝０．００１０，故P｛X＝０｝＝１－P｛X＝２０｝－P｛X＝５｝＝０．９９８８，即有分布律 X２０ ５ ０ 2．（１）一袋中装有５只球，编号为１，２，３，４，５．在 2

袋中同时取３只，以X表示取出的３只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律． （２）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律．解 （１）从１～５五个正整数中随机取３个，以X表示３个数中的最大值．X的可能值为３，４，５．在五个数中任取３个共有 ５３ ＝１０种取法． ｛X＝３｝表示取出的３个数以３为最大值，其余两个数是１，２，仅有这一种情况，故P｛X＝３｝＝１ ５３＝１ ．３２ ５３４２ ３．５３ ．P｛X＝５｝也可由１－｛X＝４｝表示取出的３个数以４为最大值，其余两个数可在１，２，３中任取２个 ，共有 ３２ 种取法 ，故P｛X＝４｝＝ ＝ ｛X＝５｝表示取出的３个数以５为最大值，其余两个数 3

可在１，２，３，４中任取２个，共有 ４２ 种取法 ，故P｛X＝５｝＝ ＝ P｛X＝３｝－P｛X＝４｝得到． X的分布律为 Xpk ３４５ 28概率论与数理统计习题全解指南 （２）解法（i） 以Y１，Y２分别记第一次、第二次投掷时骰子出现的点数，样 本空间为 S＝｛（y１，y２）y１＝１，２，…，６；y２＝１，２，…，６｝， 共有６×６＝３６个样本点． ２，３，４，５，６这６个数，当且仅当以下X＝min｛Y１，Y２｝所有可能取的值为１， 三种情况之一发生时事件X＝k（k＝１，２，３，４，５，６）发生： （i）Y１＝k且Y２＝k＋１，k＋２，…，６（共有６－k个点）；（ii）Y２＝k且Y１＝k＋１，k＋２，…，６（共有 4

习 题 二（A ）三、解答题1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．解: (1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，，2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．解：注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!}{>===λλ k k ak X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!==-∞=∑λλae k ak k，所以λ-=e a .4．设随机变量X 的分布律为(1) 求X 的分布函数；(2) 求}21{≤X P ，}2523{≤<X P ，}32{≤≤x P ．解：(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，(2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P , {}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P . 5．设随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X5}(3) P {X = 3的倍数}解：(1) {}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P 偶数， (2) {}{}16116151415=-=≤-=≥X P X P ， (3) {}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数.6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X , {}{},98.002.0111240010400k k k kC X P X P -=∑-=≤-=≥9972.028.01!81810=-=-≈-=∑e k k K ，其中8=400×0.02.8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=1631.08369.01=-=.9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y1}．解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(xex F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()25~-e B Y ，,则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---kk k e e C k Y P .0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P 10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2||,02||,cos )(ππx x x a x f ，试求： (1) 系数a ； (2) X 落在区间)4,0(π内的概率．解：(1) 由归一性知：⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππa xdx a dx x f ，所以21=a . (2) .42|sin 21cos 21}40{404===<<⎰πππx xdx X P . 11．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F 试求：(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度． 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→，即A=1.（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .（3）X 的概率密度⎩⎨⎧<<='= ,010,2)()(x x x F x f .12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442=+++X Xx x 有实根的概率．解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程024422=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2≥--=∆X X ，即12-≤≥X X ，所以有实根的概率为 {}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=>(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少? 解: (1) 因为4)(3~，N X所以)2()5(}52{F F X P -=≤<5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ={})4()10(104--=≤<-F F X P 9996.019998.021)5.3(21)5.3()5.3(=-⨯=-Φ=--Φ-Φ={}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0= {}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=.(2){}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 21)23()(=-Φ==c c F ，经查表得21)0(=Φ，即023=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布函数一、随机变量随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。

要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。

很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。

例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H 、反面T 的情况。

这一试验 有两个结果：“出现H ”或“出现T ”。

为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。

比如，用数“1”代表“出现H ”，用数“0”代表“出现T ”。

这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。

建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X ，对于试验的两个结果，将X 的值分别规定为1或0。

如果与样本空间},{}{T H ==Ωω联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X 可以取不同的值。

因此，X 是定义在样本空间上的函数，具体地说是⎩⎨⎧====THX X ωωω当当,0,1)( 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称)(ωX X(ω)为随 机变量。

例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。

这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。

我们以X 记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试 验结果的不同而取不同的值，X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数Ω∈==t t t X X ,)(因此X 也是一个随机变量。

一般地有定义2-1 设Ω为一个随机试验的样本空间，如果对于Ω中的每一个元素ω，都有一个实数)(ωX 与之相对应，则称X 为随机变量。

一旦定义了随机变量X 后，就可以用它来描述事件。

通常，对于任意实数集合X L ,在L 上的取值，记为}{L X ∈，它表示事件})(|{L X ∈ωω，即})(|{}{L X L X ∈=∈ωω。

PO 1 2 C 3 C 3 C 3 C 31、解：第二章 随机变量及其分布设公司赔付金额为 X ，则 X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20 万，概率为 0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5 万，概率为 0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为 1-0.0002-0.0010=0.9988 所以 X 的分布律为：2、一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X 表示 取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律解：X 可以取值 3，4，5，分布律为1⨯ C 2 P ( X = 3) = P (一球为3号, 两球为1,2号) = 2= 5110 1⨯ C 2 3 P ( X = 4) = P (一球为4号, 再在1,2,3中任取两球) = 3= 10 1⨯ C 2 6P ( X = 5) = P (一球为5号, 再在1,2,3,4中任取两球) = 4 = 10 也可列为下表X ： 3， 4，5P ： 1 , 3 , 6 10 10 103、设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不 放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数 X 可能为 0，1，2 个。

C 3 P ( X = 0) = 13 =15C 1 ⨯ C 2 P ( X = 1) = 2 13 =15C 2 ⨯ C 1 P ( X = 2) = 2 13 =15再列为下表 xX ： 0， 1， 2P ： 22 , 12 , 1 35 35 354、进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p ，失败的概率为 q =1－p (0<p <1) （1） 将实验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需的试验次数，求 X 的分布律。

（此时称 X 服从以 p 为参数的几何分布。

）（2） 将实验进行到出现 r 次成功为止，以 Y 表示所需的试验次数，求 Y 的分布律（。