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基于FDTD技术计算目标远场RCS方法的Matlab实现崔方;沈卫东
【期刊名称】《光电技术应用》
【年(卷),期】2006(021)004
【摘要】利用LOVE场等效原理,实现了从近场到远场的变换,很好地解决了应用时域有限差分法(FDTD)计算目标远场RCS(远场雷达散射截面)的问题,并应用Matlab 编程成功实现了此算法.最后利用该方法求解了三个实例中的远场RCS问题,并将其计算结果与理论或其他计算方法所得的结果进行了比较,结果吻合较好.
【总页数】4页(P11-14)
【作者】崔方;沈卫东
【作者单位】重庆通信学院,四川,重庆,400035;重庆通信学院,四川,重庆,400035【正文语种】中文
【中图分类】TN972+.1;TP314
【相关文献】
1.基于FDTD的脉冲法计算三维目标宽带RCS频率响应 [J], 张昆;薛晓春;张伟宁
2.基于FDTD方法的复杂目标RCS数值计算 [J], 许鑫;朱安石;杨勇;蔚建斌
3.基于FDTD与C++的金属目标RCS省内存计算 [J], 李欣;吴泽艳
4.FDTD结合近远场变换法计算复杂目标的RCS [J], 赵慎强;吴先良;孙玉发;李民权
5.用FDTD方法计算二维各向异性涂层目标的RCS [J], 郑宏兴;葛德彪;魏兵
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Matlab中的稳定性分析与边界值问题求解在科学研究和工程实践中，我们经常会遇到稳定性分析和边界值问题求解。
在这方面，Matlab是一个非常强大和常用的工具。
Matlab提供了许多功能和工具箱，可以帮助我们解决各种稳定性分析和边界值问题求解的挑战。
在本文中，我将介绍Matlab中几种常见的稳定性分析和边界值问题求解的方法。
首先，我将介绍Matlab中的稳定性分析方法。
稳定性分析是研究系统的稳定性和响应的一个重要方法。
在Matlab中，我们可以使用频域方法和时域方法进行稳定性分析。
在频域方法中，最常用的方法是使用传递函数来分析系统的稳定性。
传递函数是系统的输入和输出之间的关系。
在Matlab中，我们可以使用tf函数来创建传递函数，并使用bode函数画出系统的频率响应曲线。
通过观察频率响应曲线的幅度和相位特性，我们可以判断系统的稳定性。
除了传递函数法，Matlab还提供了其他频域方法，如辛普森法和拟合法。
辛普森法是通过将连续系统离散化为差分系统，并使用辛普森法求解差分方程，来分析系统的稳定性。
拟合法是将系统的频率响应曲线与已知的理想响应曲线进行比较，从而判断系统的稳定性。
这些方法在Matlab中都有相应的函数和工具箱。
在时域方法中，最常用的方法是使用状态空间方法来分析系统的稳定性。
状态空间方法是通过将系统表示为状态向量和状态方程的形式，来研究系统的稳定性和响应。
在Matlab中，我们可以使用ss函数来创建状态空间模型，并使用step函数和impulse函数来绘制系统的阶跃响应和冲激响应。
通过观察系统的阶跃响应和冲激响应的曲线，我们可以判断系统的稳定性。
除了状态空间法，Matlab还提供了其他时域方法，如拉普拉斯法和小波法。
拉普拉斯法是通过将系统的输入和输出之间的关系表示为拉普拉斯变换的形式，来分析系统的稳定性和响应。
小波法是利用小波分析的原理，将信号分解为不同频率的成分，并通过观察系统的小波系数来判断系统的稳定性。
Matlab 时域信号Z变换1. 介绍时域信号是指信号随时间变化的过程，而Z变换是一种用来分析时域信号的工具。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的函数和工具，可以对时域信号进行Z变换分析。
2. Z变换概述Z变换是一种将离散时间信号转换为Z域频率域的方法。
通过Z变换，可以将差分方程转换为传输函数，进而分析控制系统的稳定性和性能。
Z变换在数字信号处理、控制系统设计等领域有着广泛的应用。
3. Matlab中的Z变换函数在Matlab中，可以使用ztrans函数对离散时间信号进行Z变换。
该函数的语法如下：[H,p,k] = ztrans(h)其中，h为输入的差分方程，H为Z变换后的传输函数，p为极点，k 为常数项。
4. 示例以下是一个使用Matlab进行Z变换的示例：假设有一个差分方程：y[n] = 0.5*y[n-1] + x[n]使用Matlab进行Z变换，可以得到传输函数H：syms z;h = 0.5*z^(-1)/(1 - 0.5*z^(-1));[H,p,k] = ztrans(h)通过上述示例可以看出，Matlab提供了简洁方便的函数，可以快速计算得到Z变换后的传输函数。
5. Z变换的应用Z变换在数字信号处理、控制系统设计、滤波器设计等领域有着广泛的应用。
通过Z变换，可以分析系统的频率响应、稳定性、传输函数等重要特性。
在数字滤波器设计中，Z变换可以将滤波器的差分方程转换为传输函数，从而分析滤波器的频率响应和稳定性。
在控制系统设计中，Z变换可以将差分方程转换为传输函数，从而分析系统的稳定性和性能。
6. 结论Matlab提供了丰富的函数和工具，可以方便快速地进行时域信号的Z 变换分析。
Z变换在数字信号处理、控制系统设计等领域有着广泛的应用，对于工程领域的研究和应用具有重要意义。
通过学习和掌握Matlab中的Z变换函数，可以更好地应用Z变换分析信号与系统的特性，促进科学研究和工程应用的发展。
有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.有限差分法有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
分类对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式2 时域有限差分法时域有限差分法是一种在时域中求解的数值计算方法，求解电磁场问题的FDTD方法是基于在时间和空间域中对Maxwell旋度方程的有限差分离散化一以具有两阶精度的中心有限差分格式来近似地代替原来微分形式的方程。
FDTD 方法模拟空间电磁性质的参数是按空间网格给出的，只需给定相应空间点的媒质参数，就可模拟复杂的电磁结构。
第十一章-时域有限差分方法第十一章时域有限差分方法自从1966年K. S. Yee 创建时域有限差分法 (Finite Difference Time Domain，简称FDTD)[1]以来，已经发展成为一种理论完整、应用广泛的数值方法，并且与矩量法和有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。
本章将介绍时域有限差分的基本理论，数值模拟技术，若干相关的专题以及工程实例。
11-1 差分的基本概念时域有限差分法是对微分形式的Maxwell方程进行差分求解的技术。
在详述其之前，首先简单回顾差分的基本概念。
已知分段连续函数在位置处的增量可表示为fxx，，(11-1-1) ,,，,,fxfxxfx，，，，，，其差商为,，,,fxfxxfx，，，，，， (11-1-2) ,,,xx,x当,0时，fx的导数定义为差商的极限，即，，,，,,fxfxxfx，，，，，，'limlim (11-1-3) fx,,，，,,,,xx00,,xx,x当足够小时，的导数可以近似为 fx，，dff,, (11-1-4) dxx,根据导数取值位置的不同，差分格式分为前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分定义为fxxfx，,,，，，，,f (11-1-5) ,,,xxx后向差分定义为fxfxx,,,，，，，,f (11-1-6) ,,,xxx中心差分定义为fxxfxx，,,,,22，，，，,f (11-1-7) ,,,xxxfxx，,将在点x处展开为Taylor级数，得，，23dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-8) fxxfxxxx，,,，,，,，,，，，，23d2!d3!dxxx37123dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-9) fxxfxxxx,,,,,，,,,，，，，23d2!d3!dxxx将方程 (11-1-8) 和 (11-1-9) 代入 (11-1-5) ~ (11-1-7)后可以发现，前向和后向差分具有一阶精度，中心差分具有二阶精度。
一、 设计任务采用FDTD 数值计算的方法来分析理想谐振腔中的场，谐振腔尺寸为25*12.5*60mm 填充空气，采用直角坐标系下的场分量迭代公式，激励源采用高斯脉冲源，源的参数根据谐振腔的尺寸来确定。
分析时间和空间离散度以及采样点数对分析结果的影响。
二、 方案设计（1）学习FDTD 理论，并推导直角坐标系下maxwell 方程的差分方程；（2）理论学习并推导理想矩形谐振腔中的时谐场，并分析其谐振频率分布； （3）激励源采用高斯脉冲源，导体采用PEC 边界，利用FDTD 编程求解谐振腔内的场分量；（4）对谐振腔内部分点处的采样数据进行频谱分析，提取其谐振频率分布，并与理论对比，并分析时间和空间离散度以及采样点数对分析结果的影响。
三、 设计原理3.1时域有限差分法FDTD(finite diference time domain)方法属于全波分析法， 它是Yee 在1966年所提出的数值方法“ ，其原理是将麦克斯韦方程式中两个微分形式的旋度方程式以中心差分式做离散化。
求解过程由递推完成，尤其适合计算机编程实现。
3.1.1有限差分法有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似的代替连续变量的微分方程，即构造合理的差分格式，使其解能保持原问题的主要性质，并有相当高的精确度。
假设f(x),为x 的连续函数，在x 轴上每隔h 距离取一点，其中任意某一点用x i 表示，则叫做f(x)在x i 点的中心差分。
在时域有限差分法中正是用中心差商代替微商，同时用Max-well 方程组建立差分方程。
3.1.2 Yee ’s 差分算法H E, 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理tt ∂∂=∂∂=⨯∇ED H εt t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ--（1）如图3-1所示，Yee 单元有以下特点：（1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；(i ,(i ,j+1,k+1)(i+1,(i+1,j+1,k+1)E yE x（2）每一坐标平面上的E分量四周由H分量环绕，H分量的四周由E分量环绕；（3）每一场分量自身相距一个空间步长，E和H相距半个空间步长（4）电场取n时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；（5）电场n+1时刻的值由 n 时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n+1时刻的旋度对应(n+1)+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应 (n+0.5)+0.5时刻的电场值；（6）3个空间方向上的时间步长相等，以保证均匀介质中场量的空间变量与时间变量完全对称。
时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理即：吸收边界条件是求解计算机模拟问题时系统外部给定的边界条件，它要求系统外部边界处必须接受系统内部的能量，同时不泄漏外部的能量。
这意味着，当一个边界条件是吸收的时候，系统的能量必须在边界处完全的消失，不能向外泄露出来。
而角点处理是指由于有限差分方法对极大或者极小的幅度变化数值无法模拟，所以在角点的处理上，需要应用到一定的处理技巧以获得更加精确的反应。
具体来说，吸收边界条件可以将系统作为一个漏波器，让系统中的能量沿着特定的路径慢慢消失。
边界处进行处理的方法有滤波器(Filter Bank)、支路(Branches)、吸收边界(Absorbing Boundary)和分布式加法器(Distributed Adder)等。
而其中比较重要的吸收边界方法有Schaefer-Mielke吸收边界法、Chu's 吸收边界法和Tau吸收边界法，它们都使用了时域有限差分法的思想，用不同的有限差分格式来模拟此边界。
在时域有限差分法中，角点处理是重要的一环，它关系到对极大和极小的幅度变化的模拟能力。
常用的角点处理方法有直接加权法（Direct Weighting）、折线移位法(Line Shifting)和直接波峰法（Direct Peak）等。
这些方法都是通过在角点处加入一定的折衷手段来获取精确的角点幅度变化的，而选择方法则是根据具体问题来确定的。
总之，时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理是时域有限差分法的重要组成部分，它们的正确处理能够极大改善计算机仿真问题的准确性和可靠性。
- 12 - 时域有限差分法的Matlab仿真 黄明红 汪清泉 （西安电子科技大学理学院，陕西 西安 710071）
【摘 要】文章主要介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab对自由空间中目标的散射近场进行了仿真，给出了一些散射问题的近场可视化结果和远场RCS结果。 【关键词】时域有限差分（FDTD）法；仿真；RCS 【中图分类号】O441.4 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2010)05-0012-02
（一）引言 目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分法（Finite Difference TimeDomain，FDTD）作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。 Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用。用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。 下面将采用FDTD法，结合Matlab的图形功能来模拟自由空间中目标的散射近场，说明了将二者结合起来的优越性。 （二）FDTD方法的基本原理
时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。FDTD空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。
图1 FDTD网格中电磁场分量的分布 电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。 1.Maxwell方程的差分形式 Maxwell旋度方程为：
Et
EH
r
rrσε+∂∂=×∇
，HtHEmrrrσμ−∂∂−=×∇ （1）
令),,,(tzyxf代表E或H在直角坐标系中某一分量，在时
间和空间域中的离散形式取以下符号表示：
),,(),,,(),,,(kjiftnzkyjxiftzyxfn=ΔΔΔΔ= （2）
其中：kji,,和n为整数。对于二维问题，设所有物理量均为与z坐标无关，即0/=∂∂z，于是将(1)式利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，下面以TE波为例，即可得到如下FDTD基本差分式： )(2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1njiznjizjibnjixjianjixHHCECE−++++−++++−⋅+⋅=
)(2/1,2/12/1,2/12/1,2/12/1,2/1,2/12/1,njiznjizjibnjixjianjiyHHCECE+++−+−++
+
+−⋅+⋅=
)(2/12/1,12/12/1,2/1,2/12/11,2/12/1,2/12/1,2/12/1,2/112/1,2/1+++++++++++++++++++−+−⋅+⋅=njiynjiynjixnjixjibnjizjianjizEEEEDHDH
（3） 上式中的参数aC、bC、aD、bD的定义如下：
)21()21(,,,,,jijijijijiattCεσε
σΔ+Δ
−=
； )21()(,,,,jijijijibttCεσδεΔ+Δ= （4）
)21()21(,,,,,jijmijijmijiattDμσμ
σΔ+Δ
−= ；)21()(,,,,jijmijijibttDμσδμΔ+Δ= （5）
其中：ε,μ,σ,mσ是各点处的电磁参数。在（3）式的推
导过程中假设时间步进δ
=Δ=Δyx
。由于计算机存储时数组
下标是整数，所以对（3）式进行了修改，修改后的更新方程如下： )(1,,,1,,,njiznjizjibnjixjianjixHHCECE−
−−⋅+⋅=
)(,,1,1,,,njiznjizjibnjixjianjiyHHCECE−⋅+⋅=−
−
)(,1,,1,,,,1,njiynjiynjixnjixjibnjizjianjizEEEEDHDH++
+−+−⋅+⋅=
（6）
利用TM波和TE波之间的对偶关系，即可编写统一适用于TE波和TM波情况的二维FDTD计算程序。 2.数值色散及稳定性条件 为了减小数值色散，在选取空间网格尺寸δ时，应满足δλ10min≥
，),,min(zyxΔΔΔ=δ，其中minλ是被研究媒质空间
的最小波长值。由此可以看出：减小网格尺寸可以减小数值色散，但是会引起计算存储量的增大，因此需综合考虑，权衡处理。
2010年第5期 大 众 科 技 No.5，2010（总第129期） DA ZHONG KE JI (Cumulatively No.129)
【收稿日期】2010-03-10 【作者简介】黄明红（1985－），女，江苏涟水人，西安电子科技大学理学院无线电物理专业硕士研究生，研究方向为电磁散射和电磁场数值方法。 - 13 -
为了使数值计算稳定，时间步长的选择应满足： 222)(1)(1)(
11zyxtc
Δ+Δ+Δ≤Δ
（7）
其中εμ/1=c
是介质中的光速。一般取ct2/δ=Δ。
（三）自由空间中目标散射近场的可视化模拟 1.自由空间中未加散射体时的散射近场 FDTD模拟参数为：计算区域大小150150× (网格数)，正中的130130×为总场区，其外是散射场区。取空间网格大小40/λδ=，时间步进ct2/δ=Δ。平面波从左边入射，入射
角度为0°。图2是自由空间中未加散射体时的散射近场。
图2 自由空间中未加散射体时的散射近场 从图中我们得到：在自由空间内没有散射体的情况下，整个空间就没有散射场。入射波只存在于总场区内，散射场区域内没有电磁波。即入射波完全由总场散射场边界产生，又由总场散射场边界吸收，且在总场区域内也保持了平面波传播的特性，这与事实相符。由此可见，该方法的有效性。 2.自由空间中金属圆柱的散射近场 FDTD模拟参数为：计算区域大小150150× (网格数)，正
中的130130×为总场区，其外是散射场区。圆形金属散射体的圆心位于网格正中心，圆柱半径λ=r
，m2101−×=λ，取
空间网格大小40/λδ=，时间步进ct2/δ=Δ，可见圆柱半径为40个网格。平面波从左边入射到目标，入射角度为0°。图3是位于自由空间中金属圆柱在不同时刻的散射近场可视化模拟结果。
图3 位于自由空间中金属圆柱的散射近场 3.自由空间中金属方柱的散射近场 FDTD模拟参数与上述第1点相同，只是将散射体从金属圆柱换成金属方柱。图4是位于自由空间中金属方柱在不同时刻的散射近场可视化模拟结果。 由于散射体是金属，其散射性很强，从图3、图4中可以看出圆柱和方柱散射体内部均没有场，遵循了金属散射体的电磁规律。图中总场边界(入射波在此边界引入)处场为不连续，这是因为在总场边界以内为总场，以外为散射场，目标位于总场边界内部。通过这两个算例可以看出FDTD在可视化近场时非常实用。
图4 位于自由空间中金属方柱的散射近场 （四）自由空间中目标的远场RCS 1.自由空间中金属圆柱的远场RCS
020406080100120140160180-15-10-5051015
RCS/dB
θ/(°)
FDTD
020406080100120140160180246810121416
RCS/dB
θ/(°)
FDTD
TE波 TM波 图5 金属圆柱双站RCS
2.自由空间中金属方柱的远场RCS
020406080100120140160180-10-505101520
RCS/dB
θ/(°)
FDTD
TE波 TM波
图6 金属方柱双站RCS
图5和图6给出了不同形状散射体的双站RCS(用波长归一化)，包括TE波和TM波情况。所得结果与参考文献[1]作了对比，可以看出一致性很好。 （五）结语
以上结合FDTD和Matlab对自由空间中目标的近场散射做了仿真分析，所编Matlab程序简洁明了，运行效率也较高。FDTD法在电磁场数值分析方面有很大的优越性，而Matlab具有强大的数据处理和图形处理功能，可以快速地编出高效高质量的程序。将二者的优势有效地结合起来，可以将算法迅速程序化，并获得很好的数据处理结果，使研究者可以集中精力在FDTD方法和研究对象本身上，而只需花费少量的时间在程序的实现上。 【参考文献】 [1] 葛德彪,闫玉波.电磁场时域有限差分方法[M].西安:西安电子科技大学出版社,2005. [2] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media[J].IEEE Trans, Antennas Propagat, May 1996,AP-14(3): 302-307. [3] (美)Duane Hanselman,Bruce Littlefield著.精通Matlab 7[M].朱仁峰,译.北京:清华大学出版社, 2006.5. [4] 杨臻颖.三维散射的FDTD模拟及平面入射波补偿若干问题的研究[J].2006.
020406080100120140160180-80-60-40-20020RCS/dB
θ/(°)
FDTD
