高考数学重点难点复习(2)：充要条件的判定

高考数学难点2充要条件的判定习题与答案●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n}、{b n}满足：,求证：数列{a n}成等差数列的充要条件是数列{b n}也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.即有(2)必要性：∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是、(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)。

2020年新高考数学复习充分条件与必要条件的合理判定专题解析考纲要求:1、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2、掌握必要条件、充分条件与充要条件的判定. 基础知识回顾: 充分条件与必要条件已知命题p 是条件，命题q 是结论（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：3x <是4x <的充分条件。

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件；所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。

但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足)()(x f x f =-才是偶函数，满足)()(x f x f -=-是奇函数。

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.（4）两种常见说法：A 是B 的充分条件，是指A ⇒B ；A 的充分条件是B ，是指B ⇒AA 的充要条件是．．．B ．，充分性是指B ⇒A ，必要性是A ⇒B ，此语句应抓“条件是B ”；A ·是．B 的充要条件．．，此语句应抓“A 是条件”． 应用举例:类型一：充分条件与必要条件的判定——函数【例1】已知函数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C是（）【例2】已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.解析：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，设其解为，则，因此方程的两解不可能都大于1，其在中只有一解，其充要条件是，解得或，因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.故选：C.点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质. 类型二：充分条件与必要条件的判定——不等式【例3】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【例4】“”是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C类型三：充分条件与必要条件的判定——圆锥曲线【例5】【河北省衡水中学2018届高三数学（理科）三轮复习系列七】直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据直线和圆的位置关系求出直线和圆有两个不同交点的充要条件，然后再结合给出的选项求解．详解：圆的方程即为．由直线与圆有两个不同交点得，解得．又，∴直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是．故选B．点睛：解答本题时注意两点：一是先求出直线与圆有两个交点的充要条件，即；二是要正确理解必要不充分条件的含义，即是所选择的范围的真子集．【例6】已知椭圆：，直线：与轴交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点在直线上，则“轴”是“直线过线段中点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，则：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，则与重合，所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.类型四：充分条件与必要条件的判定——复数【例7】设，则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B是的真子集，故为必要非充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解过程中，需要首先确定出各条件对应的参数的取值范围，利用集合间的关系，求得结果.类型五：充分条件与必要条件的判定——三角函数【例8】设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【例9】”是“关于的方程有解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先求出得，而s有解可得即可.详解：由题得得，s有解可得，故可得“”是“关于的方程有解”的充分不必要条件，故选A.点睛：考查逻辑关系，能正确求解前后的结论，然后根据定义判断是解题关键，属于基础题.类型六：充分条件与必要条件的判定——平面向量 【例10】已知向量，，则“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A类型七：充分条件与必要条件的判定——集合【例11】若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±，所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 充分不必要条件，选A.【例12】 已知集合{}|145A x x x =-+-<，集合(){}22||log 2B x y x x ==-，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】B类型八：充分条件与必要条件的判定——立体几何【例13】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．【例14】若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能可得必要性不成立. 详解：由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.类型九：充分条件与必要条件的判定——数列【例15】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【例16】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D类型十：充分条件与必要条件的应用【例17】已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≥11（2）0＜a≤1【解析】试题分析：（1）分别求函数的定义域和不等式（）的解集化简集合A，由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的范围.试题解析：(1)由题意得，或，若，则必须满足，解得，∴的取值范围为.(2)易得或.∵是的充分不必要条件，∴或是或的真子集，则，其中两个等号不能同时成立，解得，∴a 的取值范围为.【例18】已知集合3|0 1x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合(){}22|2120 B x x m x m m =-+++-< :p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】[]01，【解析】试题分析：先化简A ，B ，再根据p 是q 的必要不充分条件，得出B A ≠⊂，列出方程组即可求出m的范围. 试题解析：由301xx ->+得： 13x -<<，∴|1 3 A x x =-<<.由()222120x m x m m -+++-<，得12m x m -<<+.∴|1 2 B x m x m =-<<+，∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ≠⊂ ∴11{23m m -≥-+≤，∴01m ≤≤，经检验符合题意，∴m 的取值范围为[]01，.方法、规律归纳:(1)充分条件、必要条件的判断方法【定义法】直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．【等价法】利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q 与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．【集合法】若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． (2)判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． 实战演练: 1．设：，：，则是的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A2．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先化简复数z,再转化“复数在复平面内对应的点在第三象限”，最后利用充分必要条件判断得解.详解：由题得=-a-5i,由于复数在复平面内对应的点在第三象限，所以所以“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的充要条件.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的计算、几何意义和充要条件，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、集合法和转化法来判断.3．设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C4．己知命题p : “关于x 的方程240x x a -+=有实根”,若非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+,则实数m 的取值范围是( ）A ． ()1,+∞B ． [)1,+∞C ． (),1-∞D ． (],1-∞ 【答案】A【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定4a ≤，然后确定非p 条件下4a >；根据充分不必要条件确定314m +>，进而求出m 的取值范围。

2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A 版2019） 专题一 集合与常用逻辑用语考点3 充分、必要条件的2种判断方法【方法点拨】1. 定义法：根据p 推q ，q 推p 是否成立进行判断。

2. 集合法：根据p ，q 成立与对应的集合之间的包含关系进行判断。

【高考模拟】1．已知,a b ∈R ，则“6a b +>”是“3a >且3b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.【解析】 ,a b ∈R ，若6a b +>，则,a b 的大小无法确定，不能得出3a >且3b >，故充分性不成立， 若3a >且3b >，则6a b +>，故必要性成立，∴“6a b +>”是“3a >且3b >”的必要而不充分条件.故选：B.2．设a ∈R ，则“1a >-”是“2log (23)1a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】先解不等式2log (23)1a ->，再用集合法判断.【解析】由2log (23)1a ->解得：52a >记()51,,,2A B ⎛⎫=-+∞=+∞ ⎪⎝⎭∵B A ⊆,∴“1a >-”是“2log (23)1a ->”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．3．已知函数y =f (x )的定义域为A ，则“x A ∀∈，都有f (x )≥4”是“函数y =f (x )最小值为4”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解.【解析】若“()f x 在A 上的最小值为4”则“x A ∀∈，()4f x ≥”成立，即必要性成立；函数()254f x x =+≥恒成立，但()f x 在A 上的最小值不是4，即充分性不成立， “x A ∀∈，()4f x ≥”是“()f x 在A 上的最小值为4”的必要不充分条件．故选：B.4．对于实数x ，“1x <”是“||1x <”的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解析】当1x <时，例如当21x =-<，但||1x >，故充分性不成立；反之，若||1x <，则11x -<<，故必要性成立.5．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】D【分析】 利用22a b a b >⇔>来判断AB ；利用2c ≥0来判断CD.【解析】对于A ，a b >a b >⇔22a b >，故“a b >”是“22a b >”的充分条件为假命题；对于B ，22a b >a b⇔>a b >，故“a b >”是“22a b >”的必要条件为假命题；对于C ，当2c =0时，a b >22ac bc >,故“a b >”是“22ac bc >”的充分条件为假命题；对于D ，()2220ac bc a b c >⇒>≠，故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件为真命题.故选：D6．已知a ，b 为实数，则“0a b >>”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】C【分析】利用lg y x =为增函数，分别判断充分性和必要性.【解析】充分性：∵lg y x =为增函数，∴0a b >>时有lg lg a b >，故充分性满足；必要性：∵lg y x =为增函数，∴lg lg a b >时可以得到0a b >>，故必要性满足；∴“0a b >>”是“lg lg a b >”的充要条件.【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.7．命题p ：220x x --<是命题q ：01x <<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断.【解析】 22012x x x --<⇔-<<，所以p q ，反之q p ⇒.故p 是q 的必要不充分条件.故选：B8．设R θ∈，则“sin θ<”是“04πθ<<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解正弦不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解析】当sin 2θ<时， 则32,22,22,44k k k k k Z ππθπππππ⎡⎫⎛⎤∈+⋃++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，当04πθ<<时，0sin 2θ<<，即“sin θ<”是“04πθ<<”的必要而不充分条件 故选：B 9．若,a b ∈R ，使||||6a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．6a b +≥B ．6a ≥C ．6b <-D ．||3a ≥且3b ≥【答案】C【分析】利用不等式的性质以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【解析】A ，3+36≥，不满足6a b +> ；B ，660a b =≥=，，不满足6a b +> ；C ，由6b <-可得6a b +>，反之，6a b +>，得不到6b <-，如2,5a b ==-.D ，33≥，33≥，不满足6a b +>.故选：C10．设a R ∈，则“2a =”是“24a =”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】若2a =，可以推出24a =，故充分性成立，若24a =，则2a =±，不能推出2a =，故必要性不成立，所以“2a =”是“24a =”的充分不必要条件．故选：C.11．命题“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．1a ≤【答案】A【分析】 “[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题可转化为[]23,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案．【解析】若“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题，得23,[1,2]x a x ≥∈恒成立，只需()2min 33a x≤=， 所以4a ≤时，不能推出“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题，“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题时推出4a ≤，故4a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A ．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12．已知a ，b ，R c ∈，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义判断.【解析】当0c 时，22ac bc =，所以“a b >”不能推出22ac bc >，反过来，当22ac bc >，时，20c >，能推出a b >，所以“a b >”是“22ac bc >”成立的必要不充分条件.故选：C13．“a b >且c d >”是“a b d c ->-”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件定义判断即可得结果.【解析】当a b >且c d >时，0a b ->，0d c -<，所以a b d c ->-；反之不一定成立，如4a =，1b =，3d =，2c =满足a b d c ->-，但不满足a b >且c d >.故选：B14．已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】D【分析】先求出命题,p q 为真时，x 的范围，再根据充分不必要条件得出关于m 的不等关系，从而可得结论．【解析】 2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥． 故选：D ．15．“3πα=”是“()tan πα-=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.解：充分性：3πα=， ()2tan tan tan 333πππαπ⎛⎫∴-=-==- ⎪⎝⎭， 即3πα=能推出()tan 3πα-=-，即充分性成立，必要性：()tan 3πα-=-，则()23k k z ππαπ-=+∈， 则()3k k z παπ=-∈，故()tan 3πα-=-推不出3πα=， 故必要性不成立，故“3πα=”是“()tan 3πα-=-”的充分不必要条件.故选：A.16．a ∈R ，|a |<4成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．a <4B ．|a |<3C ．a 2<16D ．0<a <3【答案】A【分析】利用集合法判断.【解析】因为|a|<4的解集是()4,4-，A. 因为()4,4- (),4-∞，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B. 因为()3,3- ()4,4-，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C. 因为a2<16的解集是()4,4-，所以a2<16是|a|<4成立的一个充要条件；D. 因为()0,3 ()4,4-，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；17．已知,m n 是平面α内的两条相交直线，且直线l n ⊥，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【解析】当l m ⊥时，因为,m n 是平面α内的两条相交直线，l n ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得l α⊥；当l α⊥时，因为m α⊂，所以l m ⊥，综上，“l m ⊥”是“l α⊥”的充要条件.故选：A.18．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项.【解析】直线,l m 且//m α，若“l m ⊥”，不一定推出l α⊥，因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足； 反之，l α⊥，则直线l 垂直于面内的任意一条直线，由//m α，可得l m ⊥， 必要性满足，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B19．设R a ∈，则“a >是“22a >”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A首先根据22a >得到a >a <.【解析】由22a >，解得a >a <则当a >22a >成立.当22a >时，a >3a =-时，满足22a >，但a >.所以“a >是“22a >”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 20．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.【解析】 充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac +-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立； 必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立， 综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件， 故选：C.【点睛】 方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.21．“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ）A ．4433m -≤≤B ．423m -<≤C ．4433m -<≤D ．403m -≤< 【答案】B【分析】求出“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”成立时实数m 的取值范围，再结合必要不充分条件的定义可得出结论.【解析】由关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ，可得()23440m ∆=--⨯≤，解得4433m -≤≤，所以m 的取值范围是4433m -≤≤. 根据必要不充分条件的概念可知B 项正确.故选：B.22．已知x ∈R ，则“21x >”是“2x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件 【答案】A【分析】 解不等式21x >，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】 解不等式21x >，可得2210x x x--=<，解得02x <<，{}02x x << {}2x x <，因此，“21x >”是“2x <”的充分不必要条件.故选：A.23．“()0,απ∈”是“sin 0α>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【解析】由()0,απ∈，可得sin 0α>由sin 0α>可得()22k k k Z παππ<<+∈，所以sin 0α>得不出()0,απ∈， 可得()0,απ∈”是“sin 0α>”的充分不必要条件，故选：A24．设x ∈R ，则“1x >”是“11x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】解不等式11x <，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解析】 解不等式11x <，即1110x x x --=>，解得0x <或1x >. {}1x x > {0x x <或}1x >，因此，“1x >”是“11x <”的充分不必要条件.故选：A.25．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.【解析】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.26．一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线是这两个平面垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用线面垂直的判定定理来判断.【解析】根据线面垂直的判定定理：一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线可以推出这两个平面垂直；反过来，两个平面垂直也能够推出一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线.故选:C【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.27．命题 :p a b >，命题:q a c b c +>+（其中,,a b c ∈R ），那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断得出正确选项.【解析】若a b >，则a c b c +>+，所以命题p 可以得出命题q 成立，若a c b c +>+则a c c b c c +->+-，即a b >，所以所以命题q 可以得出命题p 成立， 所以p 是q 的充要条件，故选：C28．设x 、y R ∈，则“0x >，0y >”是“0xy >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【解析】充分性：若0x >且0y >，则0xy >，充分性成立； 必要性：若0xy >，则00x y >⎧⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，必要性不成立. 因此，“0x >，0y >”是“0xy >”的充分不必要条件.故选：A.29．已知22:1,:1p x y q x y +≤+≤，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】 分别把221x y +≤和1x y +≤表示的区域表示出来，利用集合法判断.【解析】不等式221x y +≤表示单位圆及其内部的区域，1x y +≤表示以(1,0)±和(0,1)±为顶点的正方形及其内部的区域，画图可知q 对应的区域被p 对应的区域包含，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．30．使“不等式241122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．1x <B ．0x <C ．1x >D ．0x >【答案】B【分析】 根据指数函数的性质，求得不等式的解集，再结合充分不必要条件和选项，即可求解.【解析】 由不等式241122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得24122x x -++>，即241x x -+>+，解得1x <，结合选项，可得“不等式241122xx-+⎛⎫>⎪⎝⎭成立”的一个充分不必要条件可以是0x<.故选：B.。

黄冈中学高考数学典型例题详解充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p：|1－31x|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:|1－31-x|≤2⇒－2≤31-x－1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x－(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n 关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则n n a a aa112+==p ∴q p p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p－1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax －sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =n na a an+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)= (－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立.综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1)32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：nan =2)1(2)1(--+n n b n n nb n －1∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性： 由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m②充分性： 当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >03216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x xn ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.再三体会下解题思路哈。

专题02 充分条件与必要条件【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒， （2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。

所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 例2【2018届山东省天成大联考高三第二次考试】已知，，，，则是（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例3【2018届江西省高三监测】已知命题p ： 2230x x +->；命题q ： 01x ax a ->--，且q ⌝的一个必要不充分条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. []3,0- B. ][(),30,-∞-⋃+∞ C. ()3,0- D. ()(),30,-∞-⋃+∞ 例4【2018届东北三省三校高三第二次模拟】设，则使成立的必要不充分条件是（ ）A.B.C.D.例5【2018届河北省保定市高三第一次模拟】已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例6. “b ≤y x b =+与圆221x y +=有公共点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例7【2018届天津市十二重点中学高三联考一】设条件p ：函数()()23log 2f x x x =-在(),a +∞上单调递增，条件q ：存在x R ∈使得不等式2121x x a ++-≤成立，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例8【2018届四川省棠湖中学高三3月月考】“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22log log a b >”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 例9【2018届北京市西城区156中学高三上学期期中】设，，是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件例10.已知{{}2|5,|A x x B x x ax x a =-≥=-≤-，当“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________【精选精练】1．【2018届河南省濮阳市高三二模】对于实数，，“”是“方程对应的曲线是椭圆”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2．【2018届河北省衡水中学高三十五模】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“1009a ， 1010a 是方程43220x x -⋅+=的两根”是“20181009S =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．【2018届上海市黄浦区高三4月模拟（二模）】在空间中，“直线 平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4．【2018届上海市杨浦区高三二模】已知22110a b +≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要5．【2018届重庆市高三4月二诊】“1cos22α=”是“()6k k Z παπ=+∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6．【2018届吉林省四平市高三质量检测】"1"a =是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件7．【2018届北京东城五中2017-2018学年高三上期中】已知向量a 、b 为非零向量，则“0a b ⋅>”是“a 、b 的夹角为锐角”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8．【2018届江西省上饶市高三下学期二模】“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9．【2018届山东省聊城市高三一模】设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10．【2018届河南省八市学评高三下学期第一次】设等差数列{}n a 的首项1a 大于0，公差为d ,则“0d <”是“{}14na a 为递减数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件11．设命题:p 实数m 使曲线222426120x y x y m m +---++=表示一个圆；命题:q 实数m 使曲线221x y m m a-=-表示双曲线.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围. 12．已知命题p ： {11}A x a x a =-<<+，命题q ： {}2430B x x x =-+≥.（1）若,A B A B R ⋂=∅⋃=，求实数a 的值； （2）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.。

1 / 1谈谈“充要条件”问题的证明在期末复习时，出现这样一道练习题： 已知y x ,都是非零实数，且y x >，求证：yx 11<的充要条件是0>xy ． 学生在证明过程中暴露出许多意想不到的错误，总结一下大概有这么三个问题：(1)解题很不规范，因为有关充要条件的证明通常要分两个方面（最好标明①必要性．②充分性）来书写过程，最后还应该有一个“综上所述”来肯定一下所证的问题．然而有不少学生没有这样分步表达，而是眉毛胡子一把抓，凌乱不堪．(2)这道题本身就可看作是不等式的一个性质，有些学生用这性质来证这个性质，出现循环论证，以致过程太简洁，只写了几个式子．(3)有些学生试图想通过等价性来证明问题，然而也由于心有想而没说出或说不出，没有使用“⇔”符号来叙述证题过程，而只证了一个方面就结束了．出现上面这些问题的原因是：书上没有相关例题示范，教师在课堂上也很少讲（不是没讲过，而是讲得少）相关例题．此处为弥补证明“充要条件”这一不足，特举几例细说之．上面练习题的解答：证明：(1)必要性．由y x 11< 得 011<-y x 即 0<-xyxy 又由y x >得0<-x y ， 所以 0>xy ． (2)充分性．由0>xy 及y x >得xyyxy x > 即y x 11<．综上所述：yx 11<的充要条件是0>xy ． 评注：(1)要证明命题的条件是充要的，必须要证两个方面，即既证明原命题成立，也证它的逆命题成立，证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性．(2) 区分“充分性”与“必要性”的方法：利用“Ａ的充要条件是Ｂ”与“Ａ的充分（不必要）条件是Ｂ”中“Ｂ是Ａ的充分条件”的一致性，可以断定：由Ｂ证出Ａ是“充分性”，通俗地说“后推出前”是“充分性”．(3) 如果分不清两方面中哪方面是充分性还是必要性，那么不写出“充分性”与“必要性”等文字也可以，但要标注(1)，(2)．当然如果采用“⇔”符号来叙述证题过程，就不好再分两个方面了．(4)对于充要条件，要熟悉它的同义词语：“当且仅当”， “等价于”， “…反之也成立”“需且只需”“原命题成立，逆命题也成立” ， 立几中的“确定”等等。