2018春人教版数学八年级下册学案：第18章 矩形(二)

1新人教版八年级数学下册第十八章《矩形（2）》学案学习过程：一、自主预习（10分钟） 1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．2.在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC =10cm ，•边BC =•8cm ，•则△ABO的周长为________．3.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形 矩形边角对角线二、学习新知：自学教材1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请说出最基本的方法： 矩形具有平行四边形不具有的性质是：思考：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？（得到矩形的一个判定）2.做一做：按照画“边 ―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?说明理由. （探索得到矩形的另一个判定） 总结：矩形的判定方法． 矩形判定方法1：______________________________矩形判定方法2：_______________________________（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）二、合作解疑（10分钟）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ）(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )三、例题学习（10分钟）例1.：已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB =4 cm ，求这个平行四边形的面积．学习目标 1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力学习重点：矩形的判定．学习难点：矩形的判定及性质的综合应用．O D C BA例2 已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH 是矩形．练习二：（5分钟）（选择）1.下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2.满足下列条件（）的四边形是矩形。

A B C D 18.2.1 矩形(一)一、教学目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．1、课堂引入（1）.什么叫平行四边形？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .（2）.平行四边形有哪些性质？①边: 对边平行且相等.②角: 对角相等，邻角互补.③对角线: 互相平分.（3）我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（拉动过程如图）。

推动平行四边形的一角，在这个变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、特殊的平行四边形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．2、新课讲解（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，你能列举出生活中有关矩形的例子吗？（书桌面、教科书的封面等）（2）矩形的一般性质: 矩形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。

（3）合作探究:矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？从边、角、对角线三个方面考虑。

（学生利用度量、折叠、剪拼等方法小组合作操作、讨论）操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质的猜想．猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．问题：你会证明这两个猜想吗？求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD 是矩形，求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明： ∵四边形ABCD 是矩形∴ ∠A=90°又 矩形ABCD 是平行四边形 ∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D∠A +∠B = 180°∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四个角都是直角求证:矩形的对角线相等已知：如图,四边形ABCD 是矩形求证：AC = BD证明：在矩形ABCD 中∠ABC = ∠DCB = 90°又∵AB = DC ， BC = CB∴△ABC ≌△DCB∴AC = BD即矩形的对角线相等结论：矩形特殊的性质：从角上看：矩形的四个角都是直角．从对角线上看：矩形的两条对角线相等．从边、角、对角线比较平行四边形与矩形的性质。

人教版八年级数学下册第十八章18．2.1 矩形 导学案第1课时 矩形的性质学习目标1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 预习反馈阅读教材P52～53，完成下列问题．1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．2．矩形的性质：矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等．如图2，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB 平行且等于CD ，AD 平行且等于BC ， ∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°， AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ，AC ＝BD ．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，则CD ＝12AB ．例题讲解例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4，求矩形对角线的长．【思路点拨】 因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个性质和已知条件，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．【解答】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC 与BD 相等且互相平分． ∴OA ＝OB. 又∠AOB ＝60°，∴△OAB 是等边三角形．∴OA ＝AB ＝4. ∴AC ＝BD ＝2OA ＝2×4＝8.【方法归纳】应用矩形性质计算的一般思路：①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求线段的长度是常用的思路；②根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系． 【跟踪训练1】(《名校课堂》18.2第1课时习题)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的大小为(B)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【跟踪训练2】如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，OE ＝OF.求证：AE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC.在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF(SAS)． ∴AE ＝CF.例2 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是高，如果ED ＝5 cm ，求HF 的长．【思路点拨】由中位线定理可知DE ＝12AC ，即可求出AC 的长度，又因为HF 是Rt △AHC 斜边上的中线，即可求出HF的长度．【解答】 由题意，得DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12AC.∵HF 是Rt △AHC 的斜边AC 上的中线， ∴HF ＝12AC.∴HF ＝DE ＝5 cm.【跟踪训练3】如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，BE ⊥AC ，垂足为E.若DE ＝4，AE ＝6，则BE 的长度是(D)A ．10B ．2 5C ．8D ．27 课后巩固训练1．在下面性质中，矩形不一定具有的是(D)A ．对角线相等B ．四个角都相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直2．直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是(A)A ．6B ．4C ．8D ．123．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则△AEF 的周长为(C)A ．7 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．12 cm4．如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠ABD 为(D)A ．60°B ．62.5°C ．65°D ．67.5°5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为4．6．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB)，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为点F ，求证：DF ＝AB.证明：∵四边形ABCD 是矩形，DF ⊥AE ， ∴∠EBA ＝∠DFA ＝90°，AD ∥BC. ∴∠DAF ＝∠AEB.在△AFD 和△EBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠AEB ，∠AFD ＝∠EBA ，AD ＝AE ，∴△AFD ≌△EBA(AAS)． ∴DF ＝AB. 课堂小结1．矩形的定义及性质．2．矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等．第2课时 矩形的判定教学目标1．能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力． 2．培养综合应用知识分析解决问题的能力． 预习反馈阅读教材P54～55，完成下列问题．1．如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．图1 图22．如图2，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形．3．如图，∵在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．例题讲解例 如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD ，∠OAD ＝50°.求∠OAB 的度数． 【思路点拨】 先证明▱ABCD 是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB 的度数． 【解答】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.又∵OA ＝OD ， ∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形． ∴∠DAB ＝90°. 又∠OAD ＝50°， ∴∠OAB ＝40°.【方法归纳】 判定矩形的基本思路：①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角； ②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．【跟踪训练1】 如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF.(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．证明：(1)∵AF ∥BC ， ∴∠AFC ＝∠FCB.又∵∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ， ∴△AEF ≌△DEC(AAS)． ∴AF ＝DC.又∵AF ＝BD ，∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点． (2)四边形AFBD 是矩形． ∵AF ∥BC ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°. ∴四边形AFBD 是矩形．【跟踪训练2】 (《名校课堂》18.2.1第2课时习题)已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAF ＝12∠DAB ，∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°.∴∠AFD ＝90°. 同理可得，∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形． 课后巩固训练1．在▱ABCD 中，增加一个条件四边形ABCD 就成为矩形，这个条件是(B)A ．AB ＝CDB ．∠A ＋∠C ＝180°C ．BD ＝2AB D ．AC ⊥BD2．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BCD ．AC ＝BD3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别是各边的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积是12．4．如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，且EA ＝EB.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴∠D ＋∠C ＝180°.∵E 是DC 边的中点，∴DE ＝EC.在△ADE 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AD ＝BC ，AE ＝BE ，∴△ADE ≌△BCE(SSS)．∴∠D ＝∠C. ∵∠D ＋∠C ＝180°，∴∠D ＝∠C ＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴平行四边形ABCD 是矩形．5．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC.(1)求证：AD ＝CN ；(2)若∠BAN ＝90°，求证：四边形ADCN 是矩形．证明：(1)∵CN ∥AB ， ∴∠DAM ＝∠NCM. 在△AMD 和△CMN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAM ＝∠NCM ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ，∴△AMD ≌△CMN(ASA)．∴AD ＝CN. (2)∵AD ∥CN ，AD ＝CN ， ∴四边形ADCN 是平行四边形． 又∵∠BAN ＝90°，即∠DAN ＝90°， ∴四边形ADCN 是矩形． 课堂小结矩形的判定方法：1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．对角线相等的平行四边形是矩形． 3．有三个角是直角的四边形是平行四边形．。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时2矩形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并掌握矩形的判定方法.2．使学生能应用矩形的定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力．过程与方法目标1．从矩形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与联系．2．让学生经历探索矩形判定定理的过程,理解并掌握矩形的判定方法,积累几何学习的经验,发展合情推理和演绎推理的能力．情感、态度与价值观目标在课堂活动中,通过观察、思考、猜想、证明,培养学生主动参与、乐于探究、勤于动手的学习习惯．【教学重点】矩形判定定理的运用．【教学难点】矩形判定方法的理解及应用．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图和例题.学生准备：复习矩形的定义及其性质.【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究知识点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠F AE ＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．知识点二：对角线相等的平行四边形是矩形例2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA 到N，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC，OB＝OD.若ON＝OB，那么ON＝OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．知识点三：有三个角是直角的四边形是矩形例3如图，▱ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝12∠DAB，∠HBA＝12∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝12(∠DAB＋∠ABC)＝12×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用例4如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】矩形的性质和判定与动点问题例5如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解析：(1)设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可．解：(1)设经过t s，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t ＝3t，解得t＝6；(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝13 2.方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、教学小结师生一起归纳总结:矩形的判定方法分两类:从四边形来判定和从平行四边形来判定.常用的判定方法有三种:①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;②矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形;③矩形的判定定理:三个角都是直角的四边形是矩形.四、学习检测1.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BEB.DE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,AB=CD,又∵AD=DE,∴DE∥BC,且DE=BC,∴四边形BCED为平行四边形.A.∵AB=BE,AB=CD,∴BE=CD,∴平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;B.∵DE⊥DC,∴∠EDB=90°+∠CDB>90°,∴四边形DBCE不可能是矩形,故本选项正确;C.∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;D.∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误.故选B.2.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,工人师傅依据的几何道理是.解析:工人师傅根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,通过测量平行四边形两条对角线是否相等可判断做的门框或零件是否为矩形,进而判断直角的精度.故填对角线相等的平行四边形是矩形.3.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,应添加的条件是(只填一个). 解析:∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,∴可填∠ABC=90°(或其余三个内角中的一个为90°);又∵对角线相等的平行四边形是矩形,∴可填“AC=BD”.故可填∠ABC=90°(答案不唯一).4.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD 的中点.求证：四边形EFGH是矩形.证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,∴AO=BO=CO=DO.又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴EO=FO=GO=HO.∴四边形EFGH为平行四边形,EG=HF,∴四边形EFGH是矩形.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时2 矩形的判定1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时2矩形的判定学案【学习目标】1．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；2．能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题．【学习重点】经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．【学习难点】能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题．【自主学习】一、知识回顾1．矩形的定义是什么？2．矩形有哪些性质？二、新知探究知识点1：二次根式的乘法想一想 1.类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？2.上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？如果不对，你的猜想是什么？对角线_______的__________________是矩形.证一证已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,∴△ABC______△DCB ,∴∠ABC______∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC + ∠DCB =______°,∴∠ABC = _______°,∴□ ABCD是__________.思考数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？要点归纳：矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.【跟踪练习】1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是( )A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=AD2.如图，在平行四边形ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形想一想 1.上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？2.至少有几个角是直角的四边形是矩形？猜测：有_____个角是直角的四边形是矩形.证一证已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=_______°,∠B+∠C=_______°，∴AD_____BC,AB_____CD.∴四边形ABCD是______________，∴四边形ABCD是________.思考一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？要点归纳：矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.【典例探究】例3如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．【跟踪练习】在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否相等B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三个角是否都为直角三、知识梳理内容矩形的判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法错误的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.有三个角是直角的四边形是矩形A(解析:根据矩形的判定方法进行判断.)2.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,则下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.AB=CD,AD=BC,AC=BDB.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180°,∠AOB=∠BOCD.AB∥CD,AB=CD,∠BAD=90°C(解析:AB=CD,AD=BC,由两组对边分别相等的四边形是平行四边形,知四边形ABCD是平行四边形,又AC=BD,由对角线相等的平行四边形是矩形知▱ABCD是矩形,故A正确;AO=CO,BO=DO,故四边形ABCD是平行四边形,又∠BAD=90°,故平行四边形ABCD是矩形,故B正确;AB∥CD,AB=CD,故四边形ABCD是平行四边形,又∠BAD=90°,故平行四边形ABCD是矩形,故D正确.故选C.)3.如果平行四边形各内角的平分线能够围成一个四边形,则这个四边形是( )A.正方形B.矩形C.梯形D.平行四边形B(解析:平行四边形相邻两角的平分线相交成直角,根据有三个角是直角的四边形是矩形可判断.故选B.)4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的四边中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分C(解析:由三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半知四边形EFGH 是平行四边形,由四边形ABCD的对角线互相垂直可得∠EFG=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答.故选C.)5.要从一张长40 cm,宽20 cm的矩形纸片中剪出长为18 cm,宽为12 cm的矩形纸片,则最多能剪出( )A.1个B.2个C.3个D.4个C(解析:在矩形纸片的长上依次截取三个12 cm,再在纸片的宽上截取一个18 cm,可知共3个.故选C.)6.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连接AE,BE,求证四边形ACBE为矩形.证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴AD=BD.∵DE=CD,∴四边形ACBE为平行四边形,又∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE为矩形.9.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．10.如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.(1)求证△ABD≌△BEC;(2)若∠BOD=2∠A,求证四边形BECD是矩形.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,BE∥CD.又∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴BD=EC.在△ABD与△BEC中,∴△ABD≌△BEC(SSS).(2)由(1)知四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,∴平行四边形BECD为矩形.11. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．12.如图,直线MN经过线段AC的端点A,点B,D分别在∠NAC和∠MAC的平分线AE,AF上,BD交AC于点O,如果O是BD的中点,当点O在AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形?并说明理由.解:O是AC的中点时,四边形ABCD是矩形.理由如下:因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,又∠F AC=∠MAC,∠CAE=∠CAN,所以∠F AE=∠F AC+∠CAE=(∠MAC+∠CAN)=×180°=90°,所以四边形ABCD是矩形.13. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A出发沿A方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？14.如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.(1)求证OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?说明理由.(1)证明:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE.∵CE平分∠BCA,∴∠BCE=∠OCE,∴∠OEC=∠OCE.∴OC=OE.同理可证OC=OF.∴OE=OF.(2)解:当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:∵OA=OC,OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,又∠ACF=∠ACD,∠ACE=∠ACB,所以∠ECF=∠ACF+∠ACE=(∠ACD+∠ACB)=×180°=90°.∴四边形AECF是矩形.。

18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第1课时 矩形的性质学习目标：1、记忆矩形的定义；2、能结合图形说出矩形的性质；重难点：利用矩形的性质解决一些简单的实际问题。

学习过程一、看课本回答下列问题。

1、 叫做矩形。

矩形是 的平行四边形。

2、从矩形的定义中可以发现：两层意义1 ， 2二、探究矩形的性质1、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质： 矩形的对角（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质 矩形的对边矩形的对角线互相（2）矩形是轴对称图形，有（ ）条对称轴。

（3）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质（探究、归纳）：①如右图：矩形ABCD 的四个角都是几何语言 ：∵ ABCD 是矩形 ∴∠A =∠B=∠ =∠ =90②如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于O 点，你能猜出AC=BD 吗？证明你的猜想。

证明：由此矩形的对角线几何语言 ： ∵ ABCD 是矩形∴对角线 A C =（4）练习：结合图形1我能说出矩形的一些性质：（1）边：AB= ，AD=（2）角：ABC ∠= = = =︒90（3）对角线：AC= ， C D D CA B DOA= = = =21 =21（4）在图1中有 对全等的三角形，它们分别是 ；（5）图1中有 个等腰三角形，它们分别是三、探究直角三角形的性质 如图：矩形ABCD 的一条对角线将它分成 部分， 两条对角线将它分成 部分， 有哪几种特殊的三角形？由此推断：OA 、OB 、OC 、OD 有什么大小关系？ = = = = 21 =21从矩形的性质可以得到：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。

几何语言: ∵BO 是斜边AC 上的中线 ∴ B O=四、课后作业1、下列命题是假命题的是（ ）A 、 矩形的四个角是直角B 、矩形的对边平行且相等C 、矩形的对角线互相平分且相等D 、平行四边形的对角线互相平分且相等五、课堂小结六、课后反思C2、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB =60°，AB =4cm, （1） 求矩形对角线的长？（2） 求矩形的周长？ 解：。

人教版八年级下册18.2.1矩形教学设计设计背景本教学设计针对人教版八年级数学下册第18章“图形的计算”中的18.2.1“矩形”的教学内容进行设计。

矩形是初中数学中最基本的图形之一，通过此次教学，可以增强学生对矩形的认识，并通过实际例子应用矩形的计算方法，提高学生的计算能力和解决实际问题的能力。

教学目标1.了解矩形的定义、性质和判断方法2.掌握计算矩形面积和周长的方法3.学会应用矩形计算实际问题4.培养学生观察、分析和解决问题的能力教学内容1.矩形的定义和基本性质矩形是对边相等且对角线相等的四边形。

矩形有以下性质：•每个角都是直角•对边相等•对角线相等•对角线平分矩形•矩形四个角的平均数是90度2.计算矩形面积和周长的方法矩形的面积为长与宽的乘积，即$S = a \\times b$。

矩形的周长为两倍长和宽的和，即C=2a+2b。

3.应用矩形计算实际问题利用矩形的面积和周长公式，可以计算有关矩形的实际问题，例如：•给定矩形周长求矩形面积•给定矩形面积求矩形周长教学过程1.导入通过放映图片或视频，引起学生兴趣，导入课题。

强调矩形在生活中的应用，并简单介绍矩形的基本定义和性质。

2.教学重点详细介绍矩形的性质，强化学生对矩形的认识。

3.教学难点讲解如何应用矩形计算实际问题，解决学生在应用中可能出现的困难。

4.知识运用结合教材内容，讲解矩形的面积和周长计算方法。

通过板书和例题讲解，让学生掌握计算矩形面积和周长的方法。

5.拓展应用讲解如何应用矩形计算实际问题。

通过实例演示和讲解，引导学生将所学内容应用于解决实际问题中。

6.综合练习带领学生做一些与矩形有关的计算题，检查学生掌握程度，并引导学生分析解决问题的方法。

教学评价1.试卷测试：采用形式多样的试卷进行考核。

2.课后习题：布置一定量的课后习题，既可以巩固学生的基础知识，又可以培养学生解决实际问题的能力。

3.课堂表现：通过学生的课堂表现来考核其掌握程度。

教学建议1.关注学生的思维过程，重视学生的思考和独立解决问题的能力。

人教版数学八年级下册18.2.1《矩形》教学设计2一. 教材分析《矩形》是人教版数学八年级下册第18章第二节的第一小节，本节内容是在学生已经掌握了四边形的性质，平行四边形的性质和判定，以及特殊的平行四边形——正方形的性质和判定基础上进行学习的。

本节课的主要内容是矩形的性质和判定。

矩形是初中数学中的一个重要概念，它既有平行四边形的性质，又有自己独特的性质。

矩形在实际生活和生产中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造等。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对平行四边形的性质和判定有一定的了解。

但是，对于矩形的性质和判定，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步掌握矩形的性质和判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握矩形的性质，能熟练运用矩形的性质进行解决问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等方式，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：矩形的性质。

2.难点：矩形的判定。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，引发学生的兴趣，引导学生主动参与学习。

2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现矩形的性质和判定方法。

3.合作交流法：学生在小组内进行讨论、交流，分享学习心得和经验。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要提前准备相关的教学材料，如PPT、实物模型等。

2.学生准备：学生需要预习相关的内容，了解平行四边形的性质和判定。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的矩形物体，如矩形桌面、矩形门框等，引导学生观察这些物体的共同特点，引发学生的兴趣。

然后，教师提出问题：“你们知道矩形有哪些性质吗？”从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示矩形的性质，如矩形的对边平行且相等，矩形的对角相等，矩形的对边垂直等。

人教版数学八年级下册教学设计：第18章矩形（二）一. 教材分析人教版数学八年级下册第18章矩形（二）的内容主要包括矩形的性质、矩形的判定以及矩形在实际应用中的举例。

本章内容在学生已经掌握了矩形的定义和一些基本性质的基础上进行，进一步深化学生对矩形的认识，培养学生运用矩形知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了矩形的定义和一些基本性质，对于矩形有一定的认识。

但是在实际应用中，如何运用矩形的性质解决问题，部分学生可能还比较困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握矩形的性质和判定方法，能够运用矩形的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：矩形的性质和判定方法。

2.教学难点：如何运用矩形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生了解矩形的性质和判定方法。

2.自主学习法：鼓励学生自主探究矩形的性质，培养学生的独立思考能力。

3.合作交流法：分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示矩形的性质和判定方法。

2.练习题：准备一些有关矩形的练习题，用于巩固所学知识。

3.实物道具：准备一些矩形的实物，如矩形纸片、矩形框架等，用于直观展示矩形的性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的矩形物体，如教室窗户、电视屏幕等，引导学生回顾矩形的定义和基本性质。

2.呈现（10分钟）讲解矩形的性质和判定方法，通过实物道具进行直观展示，让学生理解和掌握矩形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出一些生活中的矩形物体，并用矩形的性质进行解释。

然后，每组选取一名代表进行汇报，大家共同评价其正确性。